Lista de Exercicios 1 MEDIDAS RESUMO. ESTIMAÇÃO PONTUAL.

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1 Introdução à Inferência Estatística Departamento de Física é Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 5 de setembro de 004 Lista de Exercicios 1 MEDIDAS RESUMO. ESTIMAÇÃO PONTUAL. 1 Medidas Resumo DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 1. Num jogo de dados, um jogador paga R$ 5 para laçar um dado equilibrado e ganha R$ 10 se der face 6, ganha R$ 5 se der face 5 e não ganha nada com as outras faces. Defina a variaável lucro por jogada como sendo o saldo do que o jogador ganhou menos o pagamento inicial (prejuízo é lucro negativo). Determine a média, moda e variância dessa variável.. Numa certa cidade, o número de crianças em idade escolar, em famílias com 4 filhos, é uma variável aleatória modelada pela Binomial com parâmetros n = 4 e p = 0, 6. Para cada filho em idade escolar, um projeto de apoio à educação paga 1 salário mínimo para a família. Calcule a média e a variância do custo desse projeto por família. Lembrar que uma variável aleatória X tem distribuição Binomial-(n, p), se ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k, k = 0, 1,,..., n, k onde ( ) n = k n! k!(n k)!. 3. O centro Acadêmico de uma faculdade pretende iniciar uma campanha para a melhoria das salas de informática. Para tal, fez uma enquete com todos os alunos e perguntou sobre o número de computadores que cada um tinha na sua residência. 1

2 computadores freqüência total 371 O Centro Acadêmico argumenta que o ideal é ter uma média de 1 computador por aluno, juntando os 0 da sala de informática da faculdade com os que os alunos têm em casa. Quantos computadores precisariam ser acrescentados à sala para atender o Centro Académico? 4. Duas moedas estão sobre a mesa, uma delas tem duas caras e a outra tem probabilidade igual de cara e coroa. Sorteamos, ao acaso, uma destas moedas e a lançamos duas vezes. Seja X a variável aleatória que conta o número de caras nesses dois lançamentos. Qual é a média de X? 5. Na linha de produção de uma grande montadora de veículos, existem 7 verificações do controle de qualidade. Sorteamos alguns dias do mês e anotamos o número de OKs recebidos pelos veículos produzidos nesses dias, isto é, em quantos dos controles mencionados o automóvel foi aprovado. aprovações freqüência total 6934 (i) Determine a média, moda, e mediana do número de aprovações por automóvel produzido. (ii) Calcule a variância. (iii) Crie uma nova variável Reprovações, indicando o número de verificações não OKs no vehículo. Determine média, moda, mediana e variância dessa variável. (iv) Cada reprovação implica em custos adicionais para a montadora, tendo em vista a necessidade de corrigir o defeito apontado. Admitindo um valor básico de R$ 00 por cada item reprovado num vehículo, calcule a média e a variância da espesa adicional por automóvel produzido. 6. A função de probabilidade da variável X é P(X = k) = 1/5 para k = 1,,..., 5. Calcule E[X] e E[X ], e usando esses resultados, determine E[(X + 3) ] e Var[3X ]. (Demostrar antes que para quaisquer a, b R, E[aX b] = a[e] b, e Var[aX b] = a Var[X] b; finalmente lembrar que Var[X] = E[X ] E[X].)

3 7. Suponha que a demanda por certa peça, numa loja de autopeças, siga o seguinte modelo P(X = k) = Φ k, k = 1,, 3, 4. k! (i) Encontre o valor de Φ. (ii) Calcule a demanda esperada. (iii) Qual é a variabilidade da demanda. Estimação Pontual 8. ( ) Seja S, o estimador para a variância de uma certa população, σ, baseado na amostra X = X 1,..., X n, S = 1 n 1 n i=1 (X i X) onde X = n 1 n i=1 X i. (i) Verifique se S é viciado ou não. (ii) Verifique se S é consistente. 9. Foram sorteadas 15 famílias com filhos num certo bairro e observado o número de crianças de cada família, matriculadas na escola. Os dados foram 1, 1,, 0,, 0,, 3, 4, 1, 1,, 0, 0, e. Obtenha as estimativas correspondentes aos seguintes estimadores da média de crianças na escola nesse bairro, mínimo + máximo µ 1 =, µ = (X 1 + X ), µ 3 = X. Qual deles é o melhor estimador da média e por quê? 10. Seja X 1, X, X 3 uma amostra aleatória de uma população exponencial com média θ, isto é, E[X i ] = θ, i = 1,, 3. Cosidere os estimadores θ 1 = X, θ = X 1, θ3 = X 1 + X. (i) Demostrar que nenhum dos três estimadores é viesado. (ii) Qual dos estimadores tem menor variância? Lembrar que no caso exponencial Var(X i ) = θ. 11. ( ) Suponha que Y tem distribuição Binomial-(n, p). (i) Demostre que p = y/n é um estimador não viesado para p. Calcule a variância de p. 3

4 1. ( ) Demostrar que E[( θ θ) ] = Var( θ) + v, onde v = E[ θ] θ é o vicio. (Sugerência: escrever ( θ θ) = [ θ E[ θ] ] + [ E[ θ] θ ] ). 13. Seja X = X 1, X,..., X n uma amostra aleatória da uma população com densidade Gamma-(α, β), com α =, e β desconhecido, isto é, x e x/β f (x) = β se x > 0, 0 se x 0. (i) Obtenha o estimador de máxima verosimilhança para β. (ii) Calcular E[ β]. É β viciado para β? 3 Distribuições Amostrais 14. ( ) Uma variável de Bernoulli com probabilidade de sucesso p é amostrada, de forma, independente, duas vezes. Apresente a função de probabilidade da média amostral. 15. Uma variável aleatória assume quatro valores (-, -1, 1, ) com igual probabilidade. Para uma amostra de tamanho dois, obtenha a distribuição de S e verifique se ele é não viesado para estimar a variância σ da variável. 16. Supõe-se que o consumo mensal de água por residência em um certo bairro de Ribeirão Preto tem distribuição Normal com média 10 e desvio padrão (em m 3 ). Para uma amostra de 5 dessas residências, qual é a probabilidade de a média amostral não se afastar da verdadeira média por mais de 1 m 3? 17. Coleta-se uma amostra de 10 observações independentes de uma N(, ). Determine a probabilidade de a média amostral: (i) ser inferior a 1; (ii) ser superior a,5; (iii) estar entre 0 e. 18. Um fabricante afirma que sua vacina contra gripe imuniza em 80% dos casos. Uma amostra de 5 indivíduos que tomaram a vacina foi sorteada e testes foram feitos para verificar a imunização ou não desses indivíduos. Se o fabricante estiver correto, qual é a probabilidade da proporção de imunizados na mostra ser inferior à 0,75? E superior à 0,85? 4

5 4 Respostas 1. Para a variável lucro temos Lucro p i 4/6 1/6 1/6. µ =, 4; Var[Custo] = 0, (i) x = 0, 91; (ii) var x = 0, 99; (iii) 15 computadores. 5. (i) x = 6, 60, m d = 7, m o = 7. (ii) var x = 0, 44. (iii) R: Reprovações, r = 0, 40, m d (R) = m o (R) = 0, e var x (R) = 0, 45. (iv) D: Despesa: d = 80, varx (D) = (i) Φ = 1/6. (ii) µ =, 11. (iii) σ = 0, Veja a demostração para o vicio de σ feita na aula. 9. O estimador µ 3 é melhor por usar todas as observações disponíveis, além de ser não viciado e consistente. As estimativas são: µ 1 =, µ = 1 e µ 3 = 1, Descreva os eventos possíveis em duas retiradas de uma Bernoulli e a partir daí obtenha 15. X 0 1 p i (1 p) p(1 p) p S 0 1/ 9/ 8 p i 1/4 1/4 1/4 1/8 1/8 E[S ] = 5/, que é a variância da população. 16. Temos X N(10; 4/5), e a probabilidade desejada é 0, Temos X N(; /10), então: (i) 0,015. (ii) 0,1315. (iii) 0, ,643 e 0,643. Use aproximação Normal para considerar p N(0, 8; 0, 16/5). 5