PARTE I. Questões de escolha múltipla. Nas questões seguintes, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.

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1 o SI RSI RSI R Itrodução ao cálculo de probabilidades Matemática A - ºao PARTE I Questões de escolha múltipla Nas questões seguites, seleccioe a resposta correcta de etre as alterativas que lhe são apresetadas.. No laçameto de um dado, o acotecimeto sair um úmero par de pitas é um acotecimeto: A. Elemetar B. omposto. erto D. Impossível. No laçameto de duas moedas e observado as faces que ficam voltadas para cima, o umero de casos possíveis são: A. B.. D. 4. No laçameto de duas moedas, o acotecimeto cotrário ao acotecimeto sair pelo meos um euro (E) é: A. {(E, E)} B. {(V, V)}. {(E, V), (V, E),(V,V)} D. {(E, E), (V, V)} 4. osidere a eperiecia aleatória que cosiste em laçar um dado três vezes. O acotecimeto cotrário de saírem três faces iguais é: A. Saírem, eactamete, duas faces iguais B. Saírem, pelo meos, duas faces iguais. Saírem, o máimo, duas faces iguais D. Saírem três faces diferetes. Etrai-se uma carta de um baralho. osidere os acotecimetos: E: sair espadas e N: ão sair paus. O acotecimeto é: A. Sair paus, ouros ou copas" B. Sair paus. Não sair espadas D. Sair ouros ou copas 6. Sejam A e B dois acotecimetos de um espaço E, ambos possíveis mas ão certos. Sabedo que, podemos afirmar que sao icompatíveis os acotecimetos: A. A e B B. A e. e B D. e 7. Uma caia cotém quatro bolas umeradas de a 4 e retira-se uma bola. Um acotecimeto icompatível mas ão cotrário do acotecimeto sair úmero par é: A. Sair divisor de B. Sair úmero superior a. Sair divisor de D. Sair úmero iferior a

2 8. Laça-se uma moeda (valor/acioalidade) quatro vezes ao ar. é a probabilidade de: A. Sair valor os quatro laçametos B. Sair valor em apeas um laçameto. Sair valor, eactamete, em dois laçametos D. Sair valor o primeiro laçameto 9. Os círculos da figura são cocêtricos de raios e. Escolhedo um poto do círculo maior, ao acaso, a probabilidade de pertecer a coroa circular é: A. B.. D. 0. Sejam A e B dois acotecimetos associados a uma mesma eperiecia aleatória, tal que: p (A) =, p (B) = e p (A B) =. Podemos afirmar que A e B são: A. Icompatíveis B. Idepedetes. otrários D. A B = Ω. Numa caia eistem dez cartões umerados de a 0. Retiram-se dois cartões, sem repor o primeiro ates de retirar o segudo. Qual a probabilidade de tirar um e um só divisor de 8? A. B.. D.. De um baralho de cartas, etraem-se duas cartas ao acaso, sucessivamete e sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas cartas etraídas serem de copas? A. B.. D.. Sejam A, B e três acotecimetos de uma mesma eperiecia aleatória, icompatíveis dois a dois, em que A B =Ω. Sabe-se que p (A) = e p (B) =. Etão p (A) é igual a: A. B.. D. 4. Sejam A e B dois acotecimetos idepedetes de uma mesma eperiêcia aleatória, em que p (A) = 0, e p (B A) = 0,. Etão p (A B) é igual a: A. 0, B. 0,. 0,0 D. 0. Sejam A e B dois acotecimetos idepedetes de uma mesma eperiêcia aleatória, em que p () = 0,. Etão, p (A B) é igual a: A. 0, B. 0,7. 0,4 D. 0, 6. No Desporto Escolar de uma escola estão iscritos 0 aluos em duas modalidades: futebol e basquetebol. Sabe-se que 0 praticam futebol e 6 praticam basquetebol. Escolhido, ao acaso, um aluo do desporto Escolar, qual a probabilidade de ele praticar as duas modalidades? A. 0, B. 0,. 0, D. 0,4

3 7. Uma escola tem 00 aluos. Se escolher, ao acaso, um dos rapazes, a probabilidade de ele ser moreo é de 60%. Se escolher ao acaso, um dos aluos, a probabilidade de ele ser um rapaz moreo é de 4 %. Quatos rapazes tem a escola? A. 7 B D osidere a seguite tabela, ode A,, D e correspodem a quatro acotecimetos de uma eperiecia aleatória. 8.. A probabilidade de ocorrer A é: D A A. 0,6 B. 0,. 0,4 D. 0, 8.. A probabilidade de ocorrer D sabedo que ocorreu A é: A. 0, B. 0,. 0,4 D. 0, 9. Numa fabrica, realizou-se um iquérito sobre o absetismo dos seus fucioários. Obtiveram-se os seguites dados: 70% dos fucioários são homes, em que 0% destes faltam dias ou meos por mês e 0 % das mulheres faltam mais de dias por mês. Se escolher, ao acaso um dos fucioários, a probabilidade de ser mulher e faltar dias ou meos por mês é de: A. % B. 9%. 6% D. 7%

4 PARTE II Questões de resposta aberta Idique todos os cálculos que efectuar. Eplique os raciocíios e justifique as coclusões. 0. De um baralho de cartas tira-se uma ao acaso. Qual a probabilidade de que a carta seja: a) Uma figura? b) Dama ou ás? c) Rei ou copas?. Numa das faces de uma moeda equilibrada colou-se uma etiqueta com o úmero e a outra face uma etiqueta com o umero -. Laçou-se três vezes ao ar e cosiderou-se o úmero da face virada para cima. a) Defie, em etesão, o espaço de resultados associado a esta eperiecia. b) osidera os acotecimetos: A: O produto dos três úmeros e egativo B: No primeiro laçameto saiu - : Saiu, pelo meos duas vezes, a face - i. Defie, em etesão, os acotecimetos B, B e B \. ii. alcula p (A), p (A ) e p ( \ A).. Numa certa escola, 8% dos aluos tem telemóvel, 4% tem computador e % tem telemóvel e computador. Escolhido um aluo dessa escola ao acaso, qual a probabilidade de: a) Não ter computador em telemóvel? b) Só ter telemóvel?. Um saco cotém 6 cartões iguais, com úmeros positivos e com úmeros egativos. osidera a eperiecia aleatória que cosiste em tirar sucessivamete dois cartões do saco e multiplicar os úmeros obtidos. Averigúe se há mais hipóteses de obter um produto positivo ou egativo, sedo a etracção feita com e sem reposição. 4. Numa empresa, para telefoar para cada um dos sectores eistetes, é ecessário marcar um úmero de três algarismos. Os algarismos que costituem estes úmeros sal, e. a) Quatos úmeros diferetes é possível obter com estes algarismos? b) Qual a probabilidade de ter escolhido um destes úmeros de telefoe ao acaso e este ter: i. O algarismo o meio? ii. Todos os algarismos diferetes? iii. Todos os algarismos iguais? iv. Os algarismos das ceteas e das uidades iguais, mas diferetes do algarismo das dezeas?. Na Sala de Estudo de uma Escola Secudária, 70 aluos estão a receber apoio a varias disciplias. Etre essas disciplias, costam a Matemática, a Física e a Química. Sabe-se que: 8 têm apoio a Matemática; 8 só têm apoio a Física;

5 0 têm apoio a Química; têm apoio a Matemática e a Física; 0 têm apoio a Física e Química; têm apoio a Matemática e a Química; 8 têm apoio as disciplias (Matemática, Física, Química). a) Esquematize a situação a partir de um diagrama de Ve. b) alcule a probabilidade de um dos 70 aluos, escolhido ao acaso, ter apoio: i. Só a Matemática; ii. A Matemática ou a Física; iii. A Matemática e a Química; iv. A Física sabedo que tem apoio a Química. 6. Para preecher o boletim do Totobola, a Diaa laça um dado, em que os símbolos, X e, aparecem repetidos em faces opostas. A Diaa resolveu aalisar melhor o dado e, ao fim de 00 laçametos, fez o seguite registo: i X Frequêcia absoluta a) alcule, em percetagem, o valor da frequêcia relativa de sair ou um úico laçameto. b) A Diaa pesa que o dado está viciado. omete a afirmação. 7. Uma geleira de campismo cotém três tipos de refrigerates: oada, gasosa e larajada. Sabe-se que a probabilidade de tirar uma oada é dupla da probabilidade de tirar uma gasosa e a probabilidade de tirar uma larajada é metade da de tirar uma oada. A geleira tem oadas. a) alcule a probabilidade de tirar cada um dos refrigerates. b) Quatos refrigerates tem a geleira? 8. Sejam A e B dois acotecimetos de E. Se e, prove que A e B são acotecimetos icompatíveis. 9. Prove que se os acotecimetos A, B e de um mesmo espaço de acotecimetos são icompatíveis dois a dois, etão:. 0. Prove que: a ) b) ( ). Numa escola do distrito de oimbra, 0 dos 80 aluos que frequetam o º ao são cadidatos à realização do eame de Matemática. Dos que se cadidataram ao eame, 0 são raparigas e represetam metade da população escolar femiia do º ao. Escolhedo ao acaso um aluo desta escola, qual a probabilidade de ser um cadidato ao eame de matemática, tratado-se de um rapaz?. Numa determiada população, a percetagem de homes e 4% e % dos homes são portadores de certa doeça. A icidêcia da doeça a população femiia é %. Qual a percetagem da população que esta ifectada por esta doeça?

6 . Temos um saco com fichas verdes e vermelhas. Retiramos uma ficha do saco e tomamos ota da cor, colocamos de ovo a ficha o saco e retiramos ova ficha. Qual é a probabilidade das duas fichas serem vermelhas? 4. Numa caia há 0 bolas umeradas de a 0, sedo verdes e 8 azuis. a) Tiram-se duas bolas seguidas, sem as repor. Qual a probabilidade de a primeira ser verde e a seguda azul? b) Tiraram-se três bolas seguidas, sem as repor. Qual a probabilidade de serem duas azuis e uma verde (sem iteressar a ordem)?. Laça-se três vezes seguidas um dado com as faces umeradas de a 6. Determie a probabilidade de: a) A: o primeiro laçameto sair um b) B: sair um e um só os três laçametos c) : saírem dois e só dois os três laçametos d) D: obter três vezes o os três laçametos e) E: uca obter o úmero 6. Um baralho de cartas completo e costituído por cartas, repartidas por 4 aipes: copas, espadas, ouros e paus. ada aipe tem figuras rei, dama e valete. a) Retirado ao acaso 6 cartas de um baralho completo, qual a probabilidade de etre elas haver um e um só rei? Apresete o resultado a forma de dízima, com aproimação às milésimas. b) De um baralho completo etraem-se ao acaso, sucessivamete e sem reposição, duas cartas. Sejam E, e F os acotecimetos: E: sair espadas a ª etracção : sair copas a ª etracção F: sair figura a ª etracção Sem utilizar a formula da probabilidade codicioada, idique o valor de ( ) Numa pequea composição eplique o seu raciocíio.

7 SOLUÇÕES Parte I Questões de escolha múltipla. B. D. B 4.. B 6. A 7. D 8. B 9. D 0. A. B.. B 4.. B 6. B 7. D 8.. B 8.. B 9. A 0. a) b) c) Parte Ii Questões de resposta aberta. a) E= { } b) i. B = { } ii. B = { } B \ = { }. a) % b) 0%. Sem reposição: o produto é mais provável om reposição: probabilidade igual 4. a) 7 b). a) 6. a) 8% 7. a) i) iii) ii) iv) b) i. ( ) ii. iii. iv. b) São poucos laçametos para se afirmar que o dado esta viciado. Tem de se efectuar um úmero muito elevado de laçametos para poder afirmar com alguma certeza se o dado está viciado ou ão. b) = 4

8 . 0,87.,4%. 4. a) b). 6. a) a) d) b) e) c) b)

9 Probabilidade odicioada Acotecimetos idepedetes Istruções Matemática ºao. Fez-se um estudo estatístico com 00 automóveis de cilidrada (X) de valores 000, 00 e 600, em que se determiou a duração média (Y) (em milhares de quilómetros) de um cojuto de peus. O quadro seguite mostra os valores ecotrados: ilidrada (X) Duração (Y) A 000 B B : : D : Escolhedo uma destas viaturas à sorte e sabedo que tem 00 de cilidrada, qual é a probabilidade de que os peus teham uma duração de mil km?. Um dado perfeito é laçado duas vezes. Sejam A e B os acotecimetos: A: No º laçameto o º de potos da face superior é meor que B: No º laçameto o º de potos da face superior é pelo meos alcule a probabilidade de sair o º laçameto um º igual ou superior a sabedo que o º o º de potos é meor que.. Uma fábrica de toreiras dispõe de máquias que fabricam respectivamete 6% e % da produção total. A percetagem de toreiras defeituosas de cada máquia é, respectivamete, 4% e %. Qual a probabilidade de ao escolher uma toreira ao acaso, esta seja: a. Defeituosa? b. Fabricada pela máquia, sabedo que é defeituosa? 4. Um idivíduo para se deslocar de casa ao trabalho costuma ir em carro próprio ou de autocarro. omo prefere viajar em carro próprio, escolhe esta opção 80% das vezes. A probabilidade de chegar atrasado ao trabalho é de 8% e, se for em carro próprio, a probabilidade de chegar atrasado é de %. osidere os seguites acotecimetos: : Viajar em carro próprio A : hegar atrasado ao trabalho : Viajar de autocarro P : hegar ao trabalho à hora eacta alcule: a) p (A ) b) p (P) c) p ( A) d) p(a ) Traduza por palavras os acotecimetos das alíeas ateriores

10 Probabilidade odicioada Acotecimetos idepedetes Matemática ºao. No laçameto de um dado perfeito. Qual é a probabilidade de o úmero obtido ser 6, sabedo: a. Que se obteve um º par? b. Que se obteve um º impar? c. Que se obteve um múltiplo de? 6. O Heitor frequeta a Escola Secudária da cidade próima do local ode vive. Diariamete, tem duas possibilidades para ir às aulas: de comboio ou de autocarro. omo prefere o autocarro, 60% das vezes escolhe esse meio de trasporte. Sabedo que a probabilidade de chegar atrasado às aulas é e % e que a probabilidade de vir de autocarro e chegar atraso é %, calcule a probabilidade de: a. hegar atrasado sabedo que veio de autocarro. b. Não chegar atrasado e ão vir de autocarro. c. hegar atrasado ou vir de autocarro. d. Vir de autocarro dado que chegou atrasado. 7. Uma pessoa quer eviar um fa a um amigo mas ão se lembra qual o último algarismo. Qual é a probabilidade de o fa chegar ao destiatário? 8. Sejam A e B dois acotecimetos idepedetes tais que: - a probabilidade de que ocorram ambas é /; - a probabilidade de que ão ocorram algum é /6; - p(a) > p(b). Determie: a. p(a) b. p(b) c. p(aub) 9. Supodo que a probabilidade de uma pessoa ser morea é 60% e a probabilidade de ter os olhos verdes é 0%, determie a probabilidade de: a. Ser morea e ter olhos verdes; b. Ser morea ou ter olhos verdes; c. Três pessoas serem moreas. 0. Três pessoas são escolhidas ao acaso. alcule a probabilidade dos seguites acotecimetos: a. Nascerem em meses diferetes; b. Nascerem o mesmo mês; c. Só dois ascerem o mesmo mês.

11 Probabilidade odicioada Acotecimetos idepedetes Matemática ºao. Segudo as estatísticas da Suécia, a distribuição dos recém-ascidos por seo e cor dos olhos é a seguite: 7% rapazes de olhos azuis 4% rapazes de olhos castahos 0% raparigas de olhos azuis 9% raparigas de olhos castahos A Fracisca foi à materidade visitar o filho de uma amiga. O bebé tem olhos azuis, mas ão coseguiu saber de que seo é. Qual é a probabilidade de ser rapaz?. Laçaram-se dois dados e verificou-se que os úmeros são diferetes. Determie a probabilidade da soma dos úmeros ser.. Laço uma moeda; se sair cara, etraio uma bola da ura com 4 bolas bracas e uma vermelha. Se ão sair cara, ão etraio bola ehuma. Qual a probablilidade de obter bola vermelha? 4. Na freguesia de Sato Estevão há partidos políticos: P, P e P. Efectuou-se um referedo para decidir se se deveria proceder ou ão este ao ao restauro da igreja da terra. Os resultados em percetagem, em fução do partido em que cada cidadão votou as últimas eleições são: P P P Absteção Sim 40% 8% % 4% Não 4% % 4% % a. Qual a percetagem de votação de cada partido as últimas eleições? b. Qual é a probabilidade de que tomada uma pessoa ao acaso, teha votado Não o último referedo? c. alcule as seguites probabilidades:. p(p Não). p(p Sim). p(não P) 4. p(sim Abst). Laça-se um dado perfeito. Se sair úmero par, tira-se uma bola da ura ; se sair úmero impar tira-se uma bola da ura. A ura cotém 4 bolas bracas e bolas pretas. A ura cotém bolas bracas e bola preta. a. Qual é a probabilidade de obter uma bola preta?

12 Probabilidade odicioada Acotecimetos idepedetes Matemática ºao b. Resolva o problema aterior supodo que só a face dá acesso à ura ; se ão sair, tira-se a bola da ura. 6. Uma ura cotém 40 bolas iguais ao tacto, 7 bracas e vermelhas. Todas as bolas se podem abrir e 0 delas cotém detro o ome de um prémio surpresa coforme a tabela: Braca Vermelha om surpresa 6 4 Sem surpresa 9 a. Saiu uma bola braca. Qual é a probabilidade de que teha surpresa? b. Uma pessoa tirou uma bola com surpresa, mas ão se lembra da cor da bola. Qual é a probabilidade de que teha sido braca? 7. Uma loja de briquedos emprega três mulheres para fazerem embrulhos durate a época de Natal. Raquel embrulha 0% dos presetes e esquece-se de tirar o preço % das vezes. Helea embrulha 0% dos presetes e esquece-se de tirar o preço 8% das vezes equato que a Joaa, que embrulha os restates, esquece-se de tirar o preço % das vezes. a. Qual é a probabilidade de um presete comprado essa loja aida ter o preço? b. Supoha que tiha ido a essa loja, verificado em casa que o seu presete aida tiha o preço. alcule a probabilidade de ter sido embrulhado pela Joaa. Soluções: (quase sempre certas).. d) 88,4%.a) 70% d) % 7. 0 c),6% 0.a) 7 8.a) 0,06 b) 7% 4.a) 4% b) 88% c) b) 0 c) 0% 6.a) 0% b) 0% c) 8.a) b) b) 44 c) 44 4.a) p(p)=64% p(p)=% p(p)=7% b) 4% 4.c) a) % b) 0% 4..a) 4 c) b) a) % b) 68%. 6.a) b)

13 o SI RSI RSI R Probabilidade odicioada - Eercícios de Eame Istruções Matemática ºao. Uma caia cotém cico bolas bracas e cico bolas pretas, idistiguíveis ao tacto. Tiram-se ao acaso, sucessivamete e sem reposição, duas bolas da caia. osidere os seguites acotecimetos: B : a bola retirada em primeiro lugar é braca B : a bola retirada em segudo lugar é braca Qual o valor da probabilidade codicioada P(B B )? A) 4 4 B) ) Seja A um acotecimeto possível, cuja probabilidade é diferete de. Qual é o valor da probabilidade codicioada P(A A)? D) 9 A) 0 B) ) p(a) D) [p(a)]. Seja E o espaço de resultados associado a uma certa eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos tais que A E e B E. Tem-se que: p(a B) = 0% p(a) = 60% p(a B) = 80% Qual o valor da probabilidade codicioada p(a B)? A) B) 4 ) D) 4. O João utiliza, por vezes, o autocarro para ir de casa para a escola. Seja A o acotecimeto: João vai de autocarro para a escola. Seja B o acotecimeto: O João chega atrasado à escola. Uma das igualdades abaio idicadas traduz a seguite afirmação: Metade dos dias em que vai de autocarro para a escola, o João chega atrasado. Qual é essa igualdade? A) p(a B) = 0, B) p(a B) = 0, ) p(a B) = 0, D) p(b A) = 0,. Um estudo feito a uma certa marca de iogurtes revelou que: Se um iogurte está detro do prazo de validade, a probabilidade de estar estragado é 0,00; Se um iogurte está fora do prazo de validade, a probabilidade de estar estragado é 0,6.

14 o 6. SI RSI RSI R Probabilidade odicioada - Eercícios de Eame Matemática ºao osidere que, um certo dia, uma mercearia tem dez iogurtes dessa marca, dos quais dois estão fora de prazo. Escolhedo, ao acaso, um desses dez iogurtes, qual é a probabilidade de ele estar estragado? 6.. Seja S o cojuto dos resultados associado a uma eperiêcia aleatória. Sejam E e E dois acotecimetos possíveis (E S e E S). Prove que (E E ) p(e ) p(e E ). p 6.. Um baralho de cartas completo é costituído por ciqueta e duas cartas, repartidas por quatro aipes de treze cartas: espadas, copas, ouros e paus. De um baralho completo etraem-se, sucessivamete e sem reposição, duas cartas. Qual é a probabilidade de pelo meos uma das cartas etraídas ão ser do aipe de espadas? Apresete o resultado a forma de fracção irredutível. Nota: se o desejar, utilize a igualdade referida a alíea aterior; este caso, deverá começar por caracterizar claramete os acotecimetos E e E, o coteto da sitaução apresetada. 7. O AUTO-HEXÁGONO é um stad de vedas de automóveis. Efectuou-se um estudo sobre as vedas de automóveis esse stad, o qual revelou que: % dos clietes compram automóvel com alarme e rádio; 0% dos clietes compram automóvel sem alarme e sem rádio; 4% dos clietes compram automóvel com alarme ( com ou sem rádio). Um cliete acaba de comprar um automóvel. 7.. A Maria, empregada do stad, que ada sabia das preferêcias desse cliete e ão tomou cohecimeto do equipameto do automóvel que ele tiha comprado, apostou que esse automóvel estava equipado com rádio, mas ão tiha alarme. Qual é a probabilidade da Maria acertar? Apresete o resultado a forma de percetagem. 7.. Alguém iformou depois a Maria de que o referido automóvel viha equipado com alarme. Soluções: Ela apostou, etão, que o automóvel também tiha rádio. Qual é a probabilidade de a Maria gahar esta ova aposta? Apresete o resultado a forma de fracção irredutível.. ). B). ) 4. D). 0, /7 7.. % 7.. /

15 o álculo de probabilidades o Triâgulo de Pascal o Aálise combiatória o Biómio de Newto Escolha Múltipla Matemática A - ºao. ico amigos vão dar um passeio um automóvel de lugares. Sabedo que só três deles podem coduzir, o úmero de formas diferetes de ocuparem os lugares durate o passeio é dado por: 4 A) A A B) 4 ) A 4 D) 4. Numa turma há 0 rapazes e raparigas. Sorteiam-se dois para represetar a turma um cocurso. A probabilidade de o par sorteado ser costituído por duas raparigas é cerca de: A) % B) % ) % D) %. Uma ura cotém 6 bolas bracas e 4 pretas. Tiram-se ao acaso, bolas da ura. A probabilidade de serem de uma cor e outra de cor diferete, é aproimadamete: A) 80% B) 4.7% ) 7.% D) 7% 4. No totoloto são sorteados 6 úmeros etre e 49 e obtém-se prémio desde que, uma aposta de 6 úmeros se acertem pelo meos. A probabilidade de que uma aposta seja premiado é de, aproimadamete: A) 44% B) 87% ) 98% D) %. Dos 00 cadidatos que respoderam a um aúcio para preecher as três vagas eistetes uma empresa, 4 são mulheres. A probabilidade de que sejam seleccioadas duas ( e só duas) mulheres é: A) B) 7 00 ) 00 4 D) O úmero de aagramas diferetes, com ou sem sigificado, da palavra PARABOLA e a probabilidade de que, escolhido um deles ao acaso, ele comece e termie em A são, respectivamete: A) 70 e 64,% B) 40 e,% ) 70 e 0,7% D) 40 e,8% 7. Ao aalisar os resultados de um iquérito feito a 00 aluos e uma escola, verificou-se que 60 praticam futebol, 0 praticam adebol e 0 ão praticam ehuma destas duas modalidades. Ao escolher-se ao acaso um dos aluos da escola, 44% é a probabilidade de que: A) Pratique apeas uma das modalidades B) Pratique pelo meos uma das modalidades ) Não pratique qualquer modalidade D) Pratique ambas as modalidades

16 o álculo de probabilidades o Triâgulo de Pascal o Aálise combiatória o Biómio de Newto Matemática A - ºao 8. Dum baralho de cartas, etrai-se uma mão de. A probabilidade que essa mão coteha pelo meos um ás é: A) 48 B) 4 4 ) D) 9. Realizou-se um estudo estatístico relativamete ao absetismo dos aluos de uma escola, tedo-se chegado aos seguites resultados: 8% dos aluos faltaram pelo meos um dia. % dos aluos faltaram pelo meos dias. 0% dos aluos faltaram pelo meos dias. % dos aluos faltaram 4 dias ou mais. Ao escolher-se, aleatoriamete, um aluo dessa escola, as probabilidades de que teha faltado zero dias e de que teha faltado eactamete dias são respectivamete: A) 6% e % B) 6% e % ) 6% e % D) 6% e % 0. Um grupo de 0 amigos, que icluem a Rita e o Baptista, possuem bilhetes para irem ao ciema. Quatos agrupametos diferetes se podem formar para ir ver o filme, sabedo que o Baptista só vai se a Rita for, mas que a Rita vai mesmo que o Baptista ão vá. A) B) 96 ) 6 D) 8. A Rita e o Baptista fazem parte do grupo que vai ver o filme. De quatos modos se podem setar os amigos, atededo a que o Baptista e a Rita pretedem ficar jutos? A) 0 B) 4 ) 48 D). olocaram-se uma ura oze bolas idistiguíveis ao tacto, umeradas de a.tirou-se uma bola da ura e verificou-se que o respectivo úmero era impar. Essa bola ão foi reposta a ura. Tirado, ao acaso, outra bola da ura, a probabilidade do úmero desta bola ser impar é: A) B) 0. Quatos úmeros de 4 algarismos, todos diferetes, é possível formar com os elemetos do cojuto {0;;;;4;}? 6 A) A 4 A B) 6 A 4 ) D) 4. O Ambrósio comprou um arquivador vertical com 0 posições para guardar os seus 0 Ds. Sabedo que são de música, de dados e são de filmes, de quatos modos diferetes podem ser arrumados, matedo jutos os do mesmo tipo? A) 6 B) 440 ) 8640 D) ) D) 6 6 A 4

17 o álculo de probabilidades o Triâgulo de Pascal o Aálise combiatória o Biómio de Newto Matemática A - ºao. No totoloto são sorteados 6 úmeros etre 49 e obtém-se prémio desde que, uma aposta de 6 úmeros se acertem pelo meos. A probabilidade de que uma aposta ão seja premiada é de: A) ) 6 46 B) D) A quatidade de úmeros pares, de 4 algarismos diferetes, que é possível escrever com os elemetos do cojuto {;;;4;;6;7}, pode ser epressa por: 7 A) A ' 4 B) 7 A 4 ) A D) A A 7. O código de um cofre é costituído por uma sequêcia de algarismos (0-9). A probabilidade de e apeas deles serem repetidos é igual a: A) 90% B) 7% ) 9% D) 7% 8. Uma caia possui 40 bombos de tipos diferetes, us com recheio de licor e outros com recheio de amêdoa, a proporção de para. osidere os seguites acotecimetos: B: o º bombom retirado é de licor ; B: o º bombom retirado é de amêdoa. O valor da probabilidade codicioada p( B B) é: A) B) 4 9 ) D) osiderado o alfabeto português, quatas são as matrículas actualmete em uso em Portugal em que e apeas dos dígitos são iguais e as letras são diferetes, como por eemplo 0-AB-00? A) B) 4.40 ) 8.60 D) O úmero de aagramas diferetes, com ou sem sigificado, que é possível formar com as letras da palavra LIMITE é: A) 60 B) 70 ) 80 D) 0. Um casal pretede ter filhos. Admitido que a probabilidade de ascer rapaz é igual à de ascer rapariga, a probabilidade do casal ter dois rapazes e uma rapariga é de: A) 8 B) ) 8 D)

18 o álculo de probabilidades o Triâgulo de Pascal o Aálise combiatória o Biómio de Newto Matemática A - ºao. A Joaa levou seis livros para casa da avó, ode ia passar uma temporada de férias: dois do José Saramago, um de Sophia de Mello Breyer Adresse e três de arl Saga. Decidiu que a ordem por que iria lê-los seria aleatória. A probabilidade de que os livros do José Saramago sejam o primeiro e o último a serem lidos é, aproimadamete: A),% B),% ) 6,67% D) 6,67%. Num quadro como o da figura, pretedem-se dispor as letras do alfabeto português.. O úmero de modos distitos de o fazer, ficado as cico vogais todas a ª liha, é epresso por: A)! B) ) A D) P 8 A8. A probabilidade de que a última liha coteha só vogais é: A)! B) 8!! ) A 0!! D) A 8! 4. Nascer a primavera, o verão, o Outoo ou o ivero são acotecimetos equiprováveis. A probabilidade de que, um grupo de cico amigos, três deles façam aos a primavera é de: A) 4 B) 4 4 ) 4 4 D)! 4. Para aálise da fidelidade de uma máquia de parafusos recolheu-se uma amostra que cotiha 8 parafusos defeituosos, o que permitiu estimar que a probabilidade de um parafuso produzido pela máquia ser defeituoso é de,47%. O úmero de parafusos da amostra foi cerca de: A) 7 B) 90 ) 700 D) A e B represetam dois quaisquer acotecimetos possíveis de uma dada eperiêcia aleatória. Das afirmações seguites:. Se A e B são acotecimetos icompatíveis, etão eles são cotrários.. Se p(a B) = p(a), etão p(ab)=p(a).p(b). Se A e B são acotecimetos idepedetes, etão AB. A) Apeas II é válida B) Apeas II e III são válidas ) Apeas I e III são válidas D) São todas válidas 4

19 o álculo de probabilidades o Triâgulo de Pascal o Aálise combiatória o Biómio de Newto Matemática A - ºao 7. Na população portuguesa sabe-se que a probabilidade de ascer rapaz é %. Relativamete às famílias com 4 filhos, a probabilidade de (e apeas ) deles serem rapazes é: A) 0, B) 4 0, ) 4 0, 0, 48 D) 0, 0, Numa moeda viciada a probabilidade de obter face é tripla da de obter coroa. A probabilidade de obter eactamete vezes face em 8 laçametos é: A) 8 B) 8 8 ) D) A soma de todos os elemetos de uma liha do triâgulo de Pascal é 8. O maior elemeto da liha seguite é: A).440 B) 6.40 ).870 D) é igual a: A) B) ) D) O úmero de percursos diferetes etre A e B, passado por R, e efectuado apeas deslocametos para baio e para a direita, é: 6 A) B) 6 ) 6 D) 6. A soma de todos os elemetos de lihas cosecutivas do triâgulo de Pascal é 07. O terceiro elemeto da primeira delas é: A) 0 B) 4 ) D) 0. osidere três lihas cosecutivas do triâgulo de Pascal, das quais se reproduzem algus elemetos: O valor de c é: A) 00 B) 00 ) 00 D) 64 4

20 o álculo de probabilidades o Triâgulo de Pascal o Aálise combiatória o Biómio de Newto 4. O úmero de percursos diferetes etre A e B, ão passado por R, e efectuado apeas deslocametos para baio e para a direita, é: 6 A) B) 6 ) 6 D) 6 Matemática A - ºao. Na tabela seguite está represetada uma distribuição de probabilidade. O valor de a é: A) 0,8 ou -0,9 B) -0,9 ) 0 D) 0,8 6. Acabou o tempo de um jogo de basquetebol, e uma das equipas está a perder por um poto, mas tem aida direito a três laces livres. O jogador que vai laçar cocretiza, em média, 60% dos laces livres que efectua e que cada lace livre cocretizado correspode a um poto. Qual a probabilidade de coseguir gahar a partida? A) 64,8% B) 6% ),6% D) 60% 7. A soma dos úmeros de uma determiada liha do triâgulo de Pascal é 048. O maior dos úmeros da liha seguite é: 000 A) 46 B) 94 ) 79 D) é igual a: A) B) 999 ) 000 D) Das afirmações seguites: (I) p. p. p (II)....( ) A) Apeas I é válida B) I e II são ambas válidas ) Apeas II é válida D) Nem I em II são válidas 40. Idique qual das equações seguites é equivalete à equação 4 A) B) ) 4 0 D) O termo idepedete de o desevolvimeto de é: A) -6 B) ) - D).

21 o álculo de probabilidades o Triâgulo de Pascal o Aálise combiatória o Biómio de Newto Matemática A - ºao 4. Na figura ao lado estão represetadas duas curvas de distribuição ormal, N e N, com a mesma média e desvios padrão, respectivamete, e. Podemos afirmar que: 4. Das seguites afirmações apeas uma é FALSA. Idetifique-a. A) Se uma dada eperiêcia A e B são acotecimetos cotrários, etão p(a B) = 0 B) Quaisquer que sejam os acotecimetos A e B, p(a B) = p(a) + p(b) ) Num laçameto de dois dados cúbicos equilibrados, é maior a probabilidade de obter um e um que a de obter duplo 6 D) Seja X uma variável estatística que segue uma lei ormal N(0;8). Etão a p(x < 4) é cerca de,87%. Questões de Desevolvimeto. Num evelope colocaram-se 8 cartões idistiguíveis. ada cartão tem escrito um úmero, sedo 4 dos úmeros positivos e os restates egativos. Tiram-se simultaeamete cartões, ao acaso. Há maior probabilidade de que o produto dos dois úmeros etraídos seja positivo ou egativo? Justifique.. Num dado viciado, sabe-se que a probabilidade de sair cada face é directamete proporcioal ao seu valor. alcule a probabilidade de, um laçameto, sair úmero impar de potos.. osidere os cojutos N={,,,4,}, V={a,e,i,o,u} e G={,,Ω,, }.. Quatas aplicações é possível defiir de N em V.. Se ão efectuarmos qualquer restrição... Que sejam bijectivas... ujo cotradomíio seja {a,e,i}. Quatas aplicações é possível defiir de N em G.. Se ão efectuarmos qualquer restrição... Que sejam ijectivas.. Quatos subcojutos de G é possível formar com pelo meos elemetos, mas ão mais de 4? Qual é a probabilidade de um desses subcojutos, escolhido ao acaso, coter? A) > B) < ) = D) Não é possível relacioar os desvios padrão

22 o álculo de probabilidades o Triâgulo de Pascal o Aálise combiatória o Biómio de Newto Matemática A - ºao 4. De etre 0 professores e 0 aluos vão ser escolhidas 0 pessoas para uma visita de estudo. Sabedo que o úmero de professores terá de ser ou 4 ou, de quatas maeiras se pode fazer a escolha?. De um baralho suprimiram-se várias cartas. Etre as que restaram, registam-se as seguites probabilidades de ser etraídas: p(rei) = 0, p(ouros) = 0, p(arta que ão seja em Rei em Ouros) = 0,6.. Está, etre as cartas que ficaram o rei de ouros? Em caso afirmativo qual a probabilidade de, ao etrair aleatoriamete uma carta, ele ser o etraído?.. Quatas cartas ficaram o baralho? 6. Numa reuião estão 4 represetates de 8 países, por país. Vão ser sorteados 6 para itegrar uma comissão. 6.. Qual a probabilidade dos sorteados pertecerem a apeas países? 6.. Sabedo que Portugal está represetado, qual a probabilidade de pelo meos um dos portugueses itegrar a comissão? 6.. Determie quatas comissões diferetes é possível formar, atededo a que em cada uma delas é desigado um presidete, um vice-presidete e um secretário. 7. Num festival de atação, decidiu-se orgaizar uma estafeta de 4 00 metros, em que cada equipa participa com 4 atletas. O clube Barbataa Dourada vai participar a prova, dispodo para formar a equipa, de dez atletas masculios e sete femiios. 7.. Quatos cojutos diferetes é possível costituir para formar a equipa deste clube? 7.. Escolhedo os elemetos da equipa por sorteio, qual a probabilidade da equipa itegrar, pelo meos, um atleta do seo masculio? E de itegrar, o míimo, três atletas do seo femiio? 7.. Formada a equipa, ficou esta costituída por dois rapazes e duas raparigas. Por questões técicas deve ser uma rapariga a realizar o primeiro percurso. De quatas formas diferetes se pode orgaizar a equipa? 7.4. Ao todo vão participar a prova seis clubes, apresetado o clube orgaizador da competição três equipas diferetes (cico clubes com uma equipa cada, e um clube com três equipas). A colocação das equipas pelas 8 pistas da piscia é feita por sorteio. De quatos modos diferetes podem os clubes ser distribuídos? (A troca de duas equipas do mesmo clube ão origia uma distribuição diferete). 7.. Qual a probabilidade de que as três equipas do clube orgaizador, fiquem colocadas em três das quatro pistas cetrais?

23 o álculo de probabilidades o Triâgulo de Pascal o Aálise combiatória o Biómio de Newto Matemática A - ºao 8. Numa moeda viciada, sabe-se que a probabilidade de obter escudo é da probabilidade de obter face. alcule a probabilidade de, em cico laçametos desta moeda, obter eactamete duas faces. 9. No adebol cada equipa etra em jogo com sete jogadores. erto clube treiou dezoito elemetos, três guarda-redes, cico potas, sete cetrais e três pivots. 9.. Quatas equipas diferetes, deste clube, é possível formar, sabedo que o treiador quer sempre em campo um guarda redes, dois e só dois potas e ão mais que dois pivots? 9.. Sabe-se que os remates efectuados da pota, têm 40% de probabilidade de resultar em golo. Se durate determiado jogo foram efectuados oze desses remates, qual a probabilidade de, com eles, ter obtido eactamete cico golos? 0. Uma pessoa tem de tomar diariamete, à mesma refeição, comprimidos de vitamia e um de vitamia A. Por lapso, misturou todos os comprimidos o mesmo frasco. Os comprimidos têm igual aspecto eterior, sedo de vitamia A e de vitamia. 0.. Ao retirar simultaeamete comprimidos do frasco, de quatas formas diferetes o pode fazer de modo que sejam todos do mesmo tipo de vitamia? 0.. Ao tomar dos comprimidos eistetes o frasco, qual a probabilidade de cumprir as idicações do médico?. Um grupo de joves de uma associação recreativa, costituído por rapazes e 7 raparigas, duas delas irmãs, decidiu decorar um recito de que dispõem para aí orgaizarem os seus covívios. Para tal começaram por eleger uma comissão de elemetos que devia coordear os trabalhos... Quatas comissões diferetes é possível desigar?.. Qual a probabilidade de:... a comissão ser costituída por elemetos do mesmo seo?... a comissão itegrar pelo meos um rapaz?... as duas irmãs fazerem parte da comissão? Depois de costituída, a comissão ficou composta pelo Adré, pelo Bruo, pela arla, pela Dia e pela Eva. Por uma questão de orgaização itera decidiram que deviam eleger um presidete, um tesoureiro, um secretário e dois vogais sem fuções difereciadas... De quatos modos diferetes é que a comissão desigada se pode orgaizar?.4. Qual a probabilidade do presidete ser um rapaz?

24 o álculo de probabilidades o Triâgulo de Pascal o Aálise combiatória o Biómio de Newto Matemática A - ºao.. ocordaram etão que o presidete devia ser um rapaz equato o tesoureiro e o secretário deviam ser raparigas. De quatos modos diferetes é que, estas codições, se podem orgaizar?. Um cocurso cosiste em fazer rodar o poteiro de uma roleta como a represetada a figura, sedo atribuído um prémio sempre que o cocorrete obtiver potuação 6, o que tem 0% de probabilidade de ocorrer. Por outro lado fica iseto de pagar se obtiver e paga a sua participação se o seu resultado for. Sabe-se que a probabilidade de obter é dupla da de obter... Qual a amplitude do sector circular que permite ão pagar a participação aida que ão coceda qualquer prémio?.. Se um dos covivas decidir jogar dez vezes, qual a probabilidade de obter eactamete 4 prémios?. Num tabuleiro com 4 lihas e 4 coluas, pretedem-se colocar 8 peças de um jogo de adrez, 4 peões bracos (idistitos etre si) e um bispo, um cavalo, uma torre e o rei pretos... De quatos modos diferetes pode ser efectuada a distribuição das peças pelo tabuleiro?.. Determie a probabilidade de, ao distribuir as peças aleatoriamete, pelo meos uma das diagoais ficar preechida? 4. Num curso da área de Ecoomia há 4 aluos e 8 professores. Para determiada fialidade foi ecessário orgaizar uma comissão composta por 4 aluos e professores. 4.. Quatas comissões diferetes é possível orgaizar? 4.. O José e a Aa são dois dos aluos. Se os elemetos da comissão forem sorteados, qual a probabilidade de fazerem ambos parte da comissão? 4.. Dos 4 aluos, 9 são do seo masculio. Qual a probabilidade da comissão itegrar pelo meos uma alua? 4.4. Escolhidos os seis elemetos que compõem a comissão, há ecessidade de eleger um presidete, um tesoureiro e um relator. Tedo em ateção que o presidete terá que ser um professor e o relator um dos aluos, de quatos modos diferetes pode ser orgaizada a comissão?

25 o álculo de probabilidades o Triâgulo de Pascal o Aálise combiatória o Biómio de Newto Matemática A - ºao. A Feita uma sodagem etre a população estudatil de oimbra, cocluiu-se que 6% dos estudates ouvem, frequetemete, a Rádio Uiversidade, 9% a T.S.F. e que % ão costuma ouvir qualquer daquelas estações emissoras. Escolhido aleatoriamete um estudate, determie a probabilidade dele ouvir pelo meos, uma das estações de rádio refereciadas ambas as estações apeas uma das estações apeas a T.S.F.. 6. Num a bolsa com bolas ão se sabe quatas há, em de que cores são. Eperiêcia: fizeram-se 400 etracções de uma bola, com reposição, e saiu vezes bola azul, 8 vezes bola braca e 0 vezes bola verde. 6.. Podemos assegurar que detro da bolsa só há bolas azuis, bracas e verdes? Justifique. 6.. Atededo aos dados forecidos idique, justificado, qual a probabilidade de, uma próima etracção, sair bola verde. 6.. Supoha agora que a bolsa há dez bolas. De acordo com os dados forecidos idique quatas bolas verdes se prevê que haja a bolsa. 7. Um jogo de feira, cosiste o laçameto de um dado cúbico equilibrado, com as faces umeradas de a 6, e em fazer rodar uma roleta como a represetada a figura. A potuação de cada jogador será o produto das potuações obtidas. O jogador cuja potuação seja zero ão terá qualquer prémio, receberá 0 se obtiver potuação superior a 7 e receberá, os restates casos. 7.. Determie a probabilidade de, uma jogada, se obter potuação igual a 9. lassifique esse acotecimeto. 7.. Elabore uma tabela de distribuição de probabilidades da variável prémio gaho. 7.. O preço de cada aposta está fiado em. Será o jogo justo para o jogador? Justifique a sua resposta eplicado sucitamete o seu raciocíio. 8. Num baralho com cartas etraem-se, sucessivamete e sem reposição, duas cartas. Qual a probabilidade de as duas cartas tiradas ao acaso 8.. serem do mesmo aipe; 8.. ser, pelo meos, uma copa; 8.. a primeira ser preta e a seguda de paus.

26 o álculo de probabilidades o Triâgulo de Pascal o Aálise combiatória o Biómio de Newto 9. Um jogo cosiste em accioar uma roleta como a represetada a figura e, de seguida, retirar uma esfera de um saco com o úmero correspodete à potuação obtida a roleta. O saco cotém seis bolas azuis, três bracas e uma verde, o saco, quatro azuis, quatro bracas e duas verdes e o saco tem três bolas azuis, quatro bracas e três verdes. O apostador que etraia bola verde terá um prémio de, se etrair bola braca de e à bola azul correspode um prémio de. Matemática A - ºao 9.. Mostre que as probabilidades de gahar e são 7 % e 48 %, respectivamete. 9.. O proprietário do jogo estima que, por mês, sejam realizadas 000 apostas, o que lhe permitirá obter um lucro de 0. Qual o preço que ele pratica por aposta? 9.. Um par de amorados decidiu jogar a meias; ele gira a roleta e ela etrai a bola do saco. Ela ão reparou a roleta em viu o úmero do saco de ode etraiu a bola que foi verde. Qual a probabilidade de ter saído úmero a roleta? 0. As empresas Aeroalfa, Aerobeta e Aerodelta repartem etre si os voos domésticos da Matelâdia; as suas cotas de mercado são de 0%, 0% e 0%, respectivamete. A taa de potualidade dos voos da Aeroalfa é de 6%, da Aerobeta de 8% e da Aerodelta de 9%. 0.. Qual a percetagem de voos domésticos da Matelâdia que cumprem o horário? 0.. Um passageiro está a apresetar uma reclamação pelo facto de o seu voo ter chegado com mais de uma hora de atraso. Qual a probabilidade de ele ter viajado a Aerobeta?. No fial de 999, um comerciate grossista seleccioou os seus quize melhores clietes ao logo do ao, para etre eles sortear uma passagem de ao o Rio de Jaeiro, outra em Lodres e uma terceira a Madeira... De quatos modos diferetes podem ser atribuídos os prémios?.. O Sr. Asdrúbal possui estabelecimetos etre os quize seleccioados. Qual a probabilidade de pelos meos uma das suas lojas ser sorteada? Apresete o resultado a forma de dízima com aproimação às milésimas... Das quize lojas participates o sorteio, 60% são da zoa da grade Lisboa. Sabedo que as duas primeiras viages foram atribuídas a lojas dessa região, qual a probabilidade da terceira viagem sair a uma loja doutra região?. Sejam A e B dois acotecimetos idepedetes do espaço dos acotecimetos de uma eperiêcia aleatória. Prove que A e B também são idepedetes. (Note que A B = A \ (A B) e que se B A etão p(a\ B) = p(a) p(b) )

27 o álculo de probabilidades o Triâgulo de Pascal o Aálise combiatória o Biómio de Newto Matemática A - ºao. Para garatir o aoimato dos cadidatos a um emprego, uma empresa de cosultoria atribui a cada um deles um código alfaumérico que obedece às seguites regras: Tem algarismos, seguidos de 4 letras, algarismos e uma letra. A letra fial é A,, M, N ou S, cosoate a área de residêcia do cadidato. Os algarismos que precedem a letra fial são a idade do cadidato e são rejeitados todos os cadidatos com 40 ou mais aos, bem como os com meos de 8 aos. O grupo de 4 letras tem sempre cosoates e uma vogal. O º algarismo ão pode ser zero... alcule o úmero máimo de códigos que obedecem a estas regras. ( letras e 0 algarismos).. Para preechimeto de vagas, passaram a primeira fase do cocurso cadidatos, dois dos quais irmãos.... Supodo que todos têm, a fase seguite, igual probabilidade de ser escolhidos, de quatos modos diferetes pode ser feita essa escolha?... Qual a probabilidade de pelo meos um dos irmão vir a obter emprego? 4. Numa turma de 0 aluos, raparigas e 8 rapazes, vai ser eleita uma comissão costituída por três elemetos: presidete, tesoureiro e secretário. 4.. Quatas comissões diferetes é possível eleger? 4.. Quatas são as comissões em que o presidete e o tesoureiro são de seos diferetes? 4.. Qual a probabilidade de, pelo meos um rapaz, fazer parte da comissão? 4.4. Sabedo que para presidete foi eleito um rapaz, qual a probabilidade dos outros dois elemetos da comissão serem raparigas?. Numa corrida de cavalos, participam cojutos jóquei motada. Serão atribuídos prémios de valor diferete aos três primeiros classificados. uriosamete, dois dos jóqueis são pai e filho... De quatos modos diferetes se pode obter a lista ordeada dos três primeiros classificados?.. Supodo a ordem de chegada aleatória, qual a probabilidade da competição ser gaha pelo cavalo.º?.. Sabedo que a competição foi gaha pelo cavalo.º, qual a probabilidade dos outros prémios também serem atribuídos a cavalos com úmero ímpar?

28 o álculo de probabilidades o Triâgulo de Pascal o Aálise combiatória o Biómio de Newto Matemática A - ºao.4. Um patrociador decidiu sortear, etre os jóqueis, viages. Qual a probabilidade de pai e filho serem ambos sorteados? E pelo meos um deles? 6. No desevolvimeto de determie, caso eista, o termo idepedete de. 7. Determie o termo idepedete de, o desevolvimeto de. 8. No desevolvimeto de 0 : 8.. Determie, caso eista, o termo de grau. 8.. A soma dos coeficietes biomiais. 8.. A soma dos coeficietes uméricos. 9. No desevolvimeto de 6 a, determie o termo idepedete de. 6

29 o álculo de probabilidades o Triâgulo de Pascal o Aálise combiatória o Biómio de Newto Soluções: Parte Matemática A - ºao A 4D B 6 7A 8A 9 0D A A 4 6D 7D 8B 9 0A.D. 4B B 6B B B B 4D D 6A 7B 8B 9B 40D 4 4B 4B Parte. Negativo. 4,9% , , ,68% ,% ; 6,% ,% 8. 4,% , , ,%... 9,7%...,% % º..,% ,7% ,% ,8% %.. %.. 7%.4. 7% 6.. Não 6.. 0, Impossível Não, o preço justo seria, p(0) ;p(,) ;p(0) , 9..,% 0.. 0, ,6% , ,% ,7% ,6% ,67%..,%.4. 9,% ; 7,% a

30 o SI RSI RSI R Eercícios de aálise combiatória de eame Istruções Matemática A - ºao. Uma turma de uma escola secudária tem 7 aluos, raparigas e rapazes. O delegado de turma é um rapaz. Pretede-se costituir uma comissão para orgaizar um passeio. A comissão deve ser formada por 4 raparigas e rapazes. Acordou-se que um dos rapazes da comissão será ecessariamete o delegado de turma. a) Quatas comissões diferetes se podem costituir? b) Admita que os 7 membros da comissão, depois de costituída, vão posar para uma fotografia, colocado-se us ao lado dos outros. Supodo que eles se colocam ao acaso, qual a probabilidade de as raparigas ficarem todas jutas? Apresete o resultado a forma de dízima, com aproimação às milésimas.. O código de um cartão multibaco é uma sequêcia de quatro algarismos, como por eemplo, 09. a) Quatos códigos diferetes eistem com um e só um algarismo zero? b) Imagie que um amigo seu vai adquirir um cartão multibaco. Admitido que o código de qualquer multibaco é atribuído ao acaso, qual é a probabilidade de o código desse cartão ter os quatro algarismos diferetes?. Um fiscal do Miistério das Fiaças vai ispeccioar a cotabilidade de sete empresas, das quais são clubes de futebol profissioal. A sequêcia segudo a qual as sete ispecções vão ser feitas é aleatória. Qual é a probabilidade de que as três primeiras empresas ispeccioadas sejam eactamete os três clubes de futebol? Apresete o resultado a forma de percetagem arredodada às uidades. 4. osidere todos os úmeros pares com cico algarismos. Quatos destes úmeros têm eactamete 4 algarismos ímpares? A) 4 B) )! A D) 4. Laçam-se simultaeamete dois dados equilibrados com as faces umeradas de a 6 e multiplicam-se os dois úmeros saídos. A probabilidade do acotecimeto o produto dos dois úmeros saídos é é: A) 0 B) 6 ) 8 D) 6

31 o SI RSI RSI R Eercícios de aálise combiatória de eame Matemática A - ºao 6. Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com doze rapazes e oito raparigas. Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formado por cico rapazes e cico raparigas. De quatas maeiras diferetes se pode formar este grupo? 8 8 A) B) A A ) 8 D)! 8!! 7. Uma empresa de cofres atribuiu ao acaso um código secreto a cada cofre que comercializa. ada código secreto é formado por 4 algarismos por uma certa ordem. Escolhedo-se um cofre ao acaso, qual é a probabilidade de o código ter eactamete três zeros? A) 0,0004 B) 0,007 ) 0,006 D) 0, Na figura ao lado estão represetados o rio que atravessa certa localidade, uma ilha situada o leito desse rio e as 8 potes que ligam a ilha às marges. H represeta a habitação e E a escola de um jovem dessa localidade. Para efectuar o percurso de ida (casa ilha escola) e volta (escola ilha casa), o jovem pode seguir vários camihos, que diferem us dos outros pela sequêcia de potes utilizadas. Idique quatos camihos diferetes pode o jovem seguir, um percurso de ida e volta, sem passar duas vezes pela mesma pote. A) +4 B) 4 ) +4++ D) 9. osidere os potos A, B,, D, E e F, represetados sobre o cubo da figura ao lado. Escolhedo três destes potos ao acaso, a probabilidade de que eles defiam um plao é: A) 0, B) 0 ) 0,9 D) 0. Numa caia estão doze bolas de Ber com igual aspecto eterior. No etato cico ão têm creme. Retirado da caia três desses bolos ao acaso, a probabilidade de que apeas um deles teha creme é: A) 7 B) 66 7 ) 64 7 D). ico amigos vão dar um passeio um automóvel de cico lugares. Sabedo que só três deles podem coduzir, o úmero de formas diferetes de ocuparem os lugares é: 4 A) A A B) 4 ) A 4 D) 4 4 4

32 o SI RSI RSI R Eercícios de aálise combiatória de eame Matemática A - ºao. Numa terra há só quatro médicos. Numa certa oite, adoecem cico habitates. ada um deles escolhe, ao acaso, um dos médicos e chama pelo telefoe. Qual a probabilidade de que ão chamem todos o mesmo médico? A) B) ) D) 4 4. Na figura está represetado um poliedro com doze faces, que pode ser decomposto um cubo e em duas pirâmides quadragulares regulares. a) Pretede-se umerar as doze faces do poliedro, com os úmeros de a (um úmero diferete em cada face). omo se vê a figura, duas das faces do poliedro já estão umeradas, com os úmeros e. a) De quatas maeiras podemos umerar as outras dez faces, com os restates dez úmeros? a) De quatas maeiras podemos umerar as outras dez faces, com os restates dez úmeros, de forma a que, as faces de uma das pirâmides, fiquem só úmeros impares e, as faces da outra pirâmide, fiquem só úmeros pares? b) osidere agora o poliedro um referecial o.. Oyz, de tal forma que o vértice P coicida com a origem do referecial, e o vértice Q esteja o semieio positivo Oy. Escolhidos ao acaso três vértices distitos, qual é a probabilidade de estes defiirem um pao paralelo ao plao de equação y=0? Apresete o resultado a forma de fracção irredutível. 4. osidere todos os úmeros de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de a 9. a) Escolhe-se, ao acaso, um desses úmeros. a) Determie a probabilidade de o úmero escolhido ter eactamete dois algarismos iguais a. Apresete o resultado a forma de percetagem, arredodado às uidades. a) Determie a probabilidade de o úmero escolhido ter os algarismos todos diferetes e ser maior do que Apresete o resultado a forma de dízima, com três casas decimais. b) osidere o seguite problema: De todos os úmeros de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de a 9, algus deles cumprem as três codições seguites: 4 4

33 o SI RSI RSI R Eercícios de aálise combiatória de eame começam por 9; têm os algarismos todos diferetes; a soma dos quatro algarismos é par. Quatos são esses úmeros? Uma resposta correcta a este problema é 4 A A. Numa pequea composição com cerca de vite lihas, eplique porquê.. osidere o seguite problema: 4 4 Matemática A - ºao Vite e cico joves (doze rapazes e treze raparigas) pretedem ir ao ciema. hegados lá, verificam que eistem apeas vite bilhetes (para duas filas com dez lugares cosecutivos em cada uma delas). omprados os vites bilhetes, distribuem-os ao acaso. omo é evidete, cico joves irão ficar sem bilhete. Qual é a probabilidade de uma das filas ficar ocupada só com rapazes e a outra só com raparigas? Uma resposta correcta a este problema é: ! 0! 0! Numa pequea composição, com cerca de vite lihas, eplique esta resposta. Nota: Deve orgaizar a sua composição de acordo com os seguites tópicos: referêcia à Regra de Laplace; eplicação do úmeros de casos possíveis; eplicação do úmeros de casos favoráveis. 6. Três casais, os Nues, os Martis e os Satos, vão ao ciema. a) Ficou decidido que uma mulher, escolhida ao acaso de etre as três mulheres, paga três bilhetes, e que um homem, escolhido igualmete ao acaso de etre os três homes, paga outros três bilhetes. Qual é a probabilidade de o casal Nues pagar os seis bilhetes? Apresete o resultado a forma de fracção. b) osidere o seguite problema: Depois de terem comprado os bilhetes, todos para a mesma fila e em lugares cosecutivos, as seis pessoas distribuem-os ao acaso etre si. Supodo que cada pessoa se seta o lugar correspodete ao bilhete que lhe saiu, qual é a probabilidade de os membros de cada casal ficarem jutos, com o casal Martis o meio?

34 o SI RSI RSI R Eercícios de aálise combiatória de eame Matemática A - ºao Numa pequea composição, com cerca de quize lihas, eplique por que razão uma resposta correcta a este problema. Nota: Deve orgaizar a sua composição de acordo com os seguites tópicos: referêcia à Regra de Laplace; eplicação do úmeros de casos possíveis; eplicação do úmeros de casos favoráveis. 4 é 6! 7. Supoha que o doo de um casio lhe faz uma proposta, o setido de ivetar um jogo, para ser jogado por dois jogadores. Em cada jogada, é laçado um par de dados, umerados de a 6, e observa-se a soma dos úmeros saídos. O doo do casio coloca aida algumas restrições: o jogo terá de ser justo, isto é, ambos os jogadores deverão ter igual probabilidade de gahar; para que o jogo seja mais emotivo, deverão ocorrer situações em que iguém gaha, trasitado o valor do prémio para a jogada seguite; uma vez que o casio terá de gahar algum diheiro, deverá ocorrer uma situação (embora com probabilidade bastate mais pequea do que a probabilidade de cada um dos jogadores gahar) em que o prémio reverte a favor do casio. Numa pequea composição, com cerca de dez lihas, apresete, ao doo do casio, uma proposta de um jogo que obedeça a tais codições. Deverá fudametar a sua proposta idicado, a forma de percetagem, a probabilidade de, em cada jogada: cada um dos jogadores gahar; o casio gahar. Sugestão: omece por elaborar uma tabela ode figurem todas as somas possíveis (o laçameto de dois dados). Soluções: a) 707 b) 0,4 a) 96 b) 0,04 ) % 4)B )A 6)A 7) 8)B 9) 0)D ) )A a) 0! a) 0680 b) 4a) 6% 4a) 0,006

35 Ficha de trabalho de Matemática º 0 OLÉGIO DA RAINHA SANTA ISABEL Tema : Distribuição de probabilidade de uma º Ao variável aleatória. Média. Desvio padrão. 007/ 008 ) osidere o laçameto de três moedas. ada cara obtida faz gahar 4 potos e cada escudo faz perder potos..) Defia uma variável aleatória..) Determie o gaho esperado este jogo..) alcule o desvio padrão. ) Imagie o seguite jogo: jogamos ao ar três vezes seguidas uma moeda e aotamos os resultados. ada cruz obtida permite gahar 6 potos e cada cara faz perder potos. Será este jogo vatajoso para o jogador? Justifique a sua resposta.. erto jogo cosiste em laçar uma moeda ao ar até obter cara. Se sair ao º laçameto, o jogador gaha, e pára o jogo; se ão sair, terá de jogar outra vez e assim sucessivamete com os seguites gahos : se sair ao º laçameto gaha. Ao º laçameto 40 cêtimos, se sair o 4º laçameto gaha 0 cêtimos. Se ão sair cara ao 4º laçameto etão perde. Será este jogo equitativo? Estabeleça a distribuição de probabilidade e calcule a esperaça matemática. 4) O meu amigo Jorge propõe-me o seguite jogo: «Laçam-se dois dados equilibrados; se o total for iferior a 7, ele dá-me feijões; se o total for superior a 7, eu dou-lhe um úmero de feijões igual à difereça etre e o total; se for 7 o jogo é ulo». Será iteressate jogar com ele? ) Um jogo cosiste o seguite: cada jogador laça dois dados um tabuleiro. Se obtiver a soma maior ou igual a, gaha 6 ; se sair a soma 9 ou 0, recebe ; se sair soma 7 ou 8, recebe,. Nos restates casos ão recebe ada..) Qual é a média (ou valor esperado) da variável aleatória valor gaho em cada jogada..) Qual deverá ser o preço da aposta para cada laçameto, a fim de que o jogo seja justo? 6) O resultado de um iquérito em 00 fogos de um bairro degradado sobre o úmero de criaças (com idades iferiores ou iguais a 4 aos) que ele habitam é : º de criaças º de fogos i f i 6,% % 7% 9,7% 0,7% 8,%,7%,% 0,% 0,% Ecarado f i como um valor aproimado da probabilidade P i de um fogo ter i criaças: 6.) Qual a probabilidade de que teha meos de criaças? 6.) Qual a probabilidade de que teha mais de 4 criaças?,. 6.) alcule a média e o desvio padrão e

36 o SI RSI RSI R Distribuições de Probabilidades - Eercícios de Eame Istruções Matemática ºao. Laça-se duas vezes um dado equilibrado, com as faces umeradas de a 6. Seja X o úmero de vezes que sai a face 6 os dois laçametos. Qual a distribuição de probabilidades da variável X? A) B) ) D) i 0 p(x= i ) i 0 p(x= i ) i 0 p(x= i ) i 0 p(x= i )

37 o SI RSI RSI R Distribuições de Probabilidades - Eercícios de Eame Matemática ºao. Numa caia estão três cartões, umerados de a. Etraem-se ao acaso, e em simultâeo, dois cartões da caia. Seja X o maior dos úmeros saídos. Qual é a distribuição de probabilidades da variável aleatória X? A) B) ) D) i p(x= i ) i p(x= i ) i p(x= i ) i p(x= i ) 6. Na figura está esquematizado um dado equilibrado, cuja plaificação se apreseta esquematizada a figura B. Laça-se este dado duas vezes. osidere as seguites variáveis aleatórias, associadas a esta eperiêcia: X : úmero saído o primeiro laçameto

38 o SI RSI RSI R Distribuições de Probabilidades - Eercícios de Eame X : quadrado do úmero saído o segudo laçameto X : soma dos úmeros saídos os dois laçametos X 4 : produto dos úmeros saídos os dois laçametos Uma destas quatro variáveis tem a seguite distribuição de probabilidades: Qual delas? i - 0 p(x= i ) A) X B) X ) X D) X Matemática ºao 4. Uma caia cotém bolas bracas e bolas pretas, um total de doze bolas. osidere a eperiêcia aleatória que cosiste a etracção sucessiva, com reposição, de duas bolas. Seja X a variável que represeta o úmero de bolas bracas etraídas. Na tabela seguite ecotra-se represetada a distribuição de probabilidades da variável X. i 0 p(x= i ) Represete, através de uma tabela, a distribuição de probabilidades da variável Y:«úmero de bolas pretas etraídas». 4.. Quatas bolas bracas e quatas bolas pretas tem a caia? Justifique a sua resposta.... Seja E um espaço de resultados fiito, associado a uma eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos possíveis, mas ão certos. Prove que A e B são idepedetes se, e só se, p(b A) = p(b A ).. Numa caia eistem cico bolas bracas e três bolas pretas. Ao acaso tiram-se sucessivamete duas bolas da caia, ão repodo a ª bola a caia, ates de retirar a ª. Utilizado a propriedade euciada a alíea aterior, mostre que os acotecimetos «a ª bola retirada é preta» e «a ª bola retirada é braca» ão são idepedetes. 8 6

39 o SI RSI RSI R Distribuições de Probabilidades - Eercícios de Eame 6. A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é: A) ) P i X a a a i Qual o valor de a? B) 4 D) 7. Uma caia tem cico bombos, dos quais apeas dois têm licor. Tira-se da caia, ao acaso, uma amostra de três bombos. Matemática ºao osidere que X desiga a variável úmero de bombos com licor eistetes essa amostra. Qual das seguites distribuições de probabilidades pode ser a da variável X? A) B) ) D) P P P P 0 i X i 6 0 i X i 6 i X i 6 i X i 6

40 o SI RSI RSI R Distribuições de Probabilidades - Eercícios de Eame Matemática ºao 8. A Patrícia tem uma caia com cico bombos de igual aspecto eterior, mas só um é que tem licor. A patrícia tira, ao acaso, um bombom da caia, come-o e, se ão for o que tem licor, eperimeta outro. Vai procededo desta forma até ecotrar e comer o bombom de licor. Seja X a variável aleatória úmero de bombos sem licor que a Patrícia come. Qual é a distribuição de probabilidade da variável X? A) B) ) D) P P P P 0 4 i X 0, 0, 0, 0, 0, i 0 4 i X 0, 0, 0, 0, 0,4 i 4 i X 0, 0, 0, 0, 0, i 4 i X 0, 0, 0, 0, 0,4 i 9. A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é dada pela tabela P 0 4 i X a b b i (a e b desigam úmeros reais). A média da variável aleatória X é igual a. Qual o valor de a e qual o valor de b? A) a = ; b = 4 ) a = ; b = 6 B) a = ; b = D) a = ; b = 6

41 o SI RSI RSI R Distribuições de Probabilidades - Eercícios de Eame 0. O João tem catorze discos de música ligeira: seis são portugueses; quatro são espahóis; três são fraceses; um é italiao. 0.. O João pretede seleccioar quatro desses catorze discos Quatos cojutos diferetes pode o João fazer, de tal modo que os quatro Matemática ºao discos seleccioados sejam de quatro países diferetes, ou seja, um de cada país? 0... Quatos cojutos diferetes pode o João fazer, de tal modo que quatro discos seleccioados sejam todos do mesmo país? 0.. osidere agora a seguite eperiêcia: o João seleccioa, ao acaso, quatro dos catorze discos. Seja X a variável aleatória: úmero de discos italiaos seleccioados. ostrua a tabela de distribuição de probabilidade da variável X. Apresete as probabilidades a forma de fracção irredutível.. O João tem, o bolso, seis moedas: duas de euro e quatro moedas de 0 cêtimos. O João retira, simultaeamete e ao acaso, duas moedas do bolso... Seja X a quatia, em euros, correspodete às moedas retiradas pelo João. ostrua a tabela de distribuição de probabilidade da variável X, apresetado as probabilidades a forma de fracção irredutível... Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o João iformou a sua irmã Iês de que elas eram iguais. Ela apostou, etão, que a quatia retirada era euros. Qual é a probabilidade de a Iês gahar a aposta? Apresete o resultado sob a forma de fracção irredutível. Soluções:. A). A). D)

42 o SI RSI RSI R Distribuições Normais - Eercícios de Eame ou tipo de eame Istruções Matemática ºao. Admita que, uma certa escola, a variável Altura das aluas do ºao de escolaridade segue uma distribuição aproimadamete ormal, de média 70 cm. Escolhe-se, ao acaso, uma alua do º ao dessa escola. Relativamete a essa rapariga, qual dos seguites acotecimetos é o mais provável? A) A sua altura é superior a 80 cm. B) A sua altura é iferior a 80 cm. ) A sua altura é superior a cm. D) A sua altura é iferior a cm.. Na figura estão represetados os gráficos de duas distribuições ormais. Uma das distribuições tem valor médio a e desvio padrão b. A outra distribuição tem valor médio c e desvio padrão d. Os gráficos são simétricos em relação à mesma recta r. Qual das afirmações seguites é verdadeira? A) a = c e b > d B) a = c e b < d ) a > c e b = d D) a < c e b = d. O treiador de um atlta fez um estudo estatístico dos tempos gastos ultimamete a corrida dos 00 metros por esse atleta e verificou que essa variável segue uma distribuição aproimadamete ormal, com valor médio de 0,0 segudos e desvio padrão de 0,0 segudos. Essa atleta vai participar uma corrida de 00 metros. a) A probabilidade de o atleta fazer um tempo etre 0,0 e 0,90 segudos é, aproimadamete: A) 0,68 B) 0,6 ) 0,89 D) 0,94 b) A probabilidade de melhorar o seu record pessoal, que é de 0,0 segudosé, aproimadamete: A) 0,977 B) 0,0 ) 0,9 D) 0,94

43 o SI RSI RSI R Distribuições Normais - Eercícios de Eame ou tipo de eame Matemática ºao 4. Admita que, uma certa escola, a variável lassificação a Matemática obtida pelos aluos do º ao o º período segue uma distribuição aproimadamete ormal de média valores. Escolhe-se, ao acaso, um aluo do º ao dessa escola. Relativamete a essa aluo, qual dos seguites acotecimetos é mais provável? A) A sua classificação a Matemática, o º período, é superior a 4 valores. B) A sua classificação a Matemática, o º período, é iferior a 4 valores. ) A sua classificação a Matemática, o º período, é iferior a 9 valores. D) A sua classificação a Matemática, o º período, é superior a 9 valores.. Numa estufa eistem 00 platas de determiada espécie. Sabe-se que as alturas das platas dessa espécie seguem uma distribuição aproimadamete ormal, com valor médio de 80 cm e desvio padrão cm. Qual é o úmero dessa platas que é previsível terem uma altura iferior a 8 cm? 6. Numa escola com 400 aluos do º ao verificou-se que os seus pesos, em quilogramas, se distribuem segudo uma ormal de valor médio 70 e desvio padrão. 6.. Escolhe-se, ao acaso, um aluo do º ao dessa escola. Relativamete a esse aluo: 6... Qual é mais provável, pesar mais que 7 kg ou pesar meos que 68 kg? 6... Qual é a probabilidade de ter um peso compreedido etre 6 kg e 80 kg? Apresete o resultado em percetagem, com uma casa decimal. 6.. Quatos aluos do º ao dessa escola é de esperar que pesem mais que 7 kg?

44 o SI RSI RSI R Triâgulo de Pascal Questões. A soma de todos os elemetos de uma liha do triâgulo de Pascal é da liha seguite é: (A).440 (B) 6.40 ().870 (D) é igual a: (A) (B) () (D) Matemática A - ºao 8. O maior elemeto. A soma de todos os elemetos de lihas cosecutivas do triâgulo de Pascal é 07. O terceiro elemeto da primeira delas é: (A) 0 (B) 4 () (D) 0 4. osidere três lihas cosecutivas do triâgulo de Pascal, das quais se reproduzem algus elemetos: O valor de c é:.. 4 a c b (A) 00 (B) 00 () 00 (D) 64. Das afirmações seguites: (I) p. p. p (II)....( ) (A) Apeas (I) é válida () Apeas (II) é válida (B) (I) e (II) são ambas válidas (D) Nem (I) em (II) são válidas 6. osidere a liha do triâgulo de Pascal em que o segudo elemeto é. Escolhem-se, ao acaso, dois elemetos dessa liha. Qual é a probabilidade de estes dois elemetos serem iguais? (A) 9 (B) 6 () (D) Uma certa liha do Triâgulo de Pascal é costituída por todos os úmeros da forma 4 p. Escolhedo ao acaso um úmero dessa liha, qual é a probabilidade de ele ser? (A) (B) 4 () (D) 8. Qual é o 4º elemeto de uma determiada liha do triâgulo de Pascal, sabedo que o produto dos dois últimos elemetos da liha aterior é? (A) 707 (B) 00 () 9600 (D) 08 Algumas soluções:) B) B) 4B) B)

45 o SI RSI RSI R Biómio de Newto Questões. Qual o termo idepedete de o desevolvimeto de: a) b) 0 6. osidere o desevolvimeto do biómio seguite: 8. Matemática A - ºao a) Determie o ou os termos de maior coeficiete biomial desse desevolvimeto. b) Determie, caso eista, o termo em. c) Determie a soma de todos os coeficietes biomiais. d) Determie a soma de todos os coeficietes poliomiais.. Sabedo que y 6 7 é termo do desevolvimeto de y a) O termo com o mesmo grau em e em y. b) O termo com o grau em igual ao dobro do grau em y. c) O ou os termos médios. 4. Mostre que é uma das raízes de ídice 4 de Verifique se eiste algum termo idepedete de o desevolvimeto de que a soma dos coeficietes biomiais é O coeficiete biomial do termo em, o desevolvimeto de é: A) 0 ) 0 7. Sedo A) ) B) 0 D) S..., tem-se: S B) 0 S 9 0 S 0 D) S 0! e y 0, determie, caso eista: 4, sabedo

46 o SI RSI RSI R Número de Neper Tedo em cota que: ) alcule os seguites ites:.).).).7).9).).).).7) Soluções: 8.).4).) e.) e.) e.4).6) 4 0,.8).0).) 7.4).6) 4.8) 6 e 0,.) e.6) e Matemática ºao.7) e.8) e.9) e,.0) e.) e.) e 6.) e 6.4) e.) e.6) e.7) e.8) k u e u e k, k IR, u

47 o SI RSI RSI R Itrodução à fução epoecial - Actividade e do livro Actividade O perigo de ão descasar (págia 7) Matemática ºao Etre vários factores que aumetam o risco de acidete de automóvel estão: as codições atmosféricas adversas, o mau estado do piso, o cosumo de álcool,, está também o úmero de horas a coduzir sem iterromper para descasar. Admita que a fução; t r t traduz, em percetagem, o agravameto do risco (ou seja, da probabilidade) de acidete depois de t horas a coduzir sem iterrupção. Supoha que o domíio desta fução é o itervalo 0,6. º. Usemos a calculadora para obter uma represetação da fução r e idetificarmos o seu cotradomíio. O cotradomíio de r é o itervalo 0,6. Recorredo à calculadora gráfica vamos respoder às seguites questões: 4 º. O agravameto do risco de acidete ao fim 4 horas é %, dado por: r 4. E ao fim de cico horas e meia é aproimadamete 44,%, dado por, r, este valor pode de ser calculado com a calculadora e obtemos r, 44,, mas para obter um valor eacto temos de ver qual o sigificado de epoete fraccioário, e etão, que podemos calcular como potêcia de r,. º. O úmero de horas cosecutivas de codução que agrava o riso de acidete em % é a solução da equação r que vamos resolver utilizado a calculadora:

48 o SI RSI RSI R Itrodução à fução epoecial - Actividade e do livro O úmero de horas que agrava o risco de acidete em % é. A equação podia ser resolvida aaliticamete t t t t Matemática ºao 4º. O úmero de horas cosecutivas de codução que agrava o riso de acidete em 0% é a solução da equação r 0 que vamos resolver utilizado a calculadora: O risco de acidete agrava-se de 0% ao fim de aproimadamete horas e 40 miutos. º. O tempo máimo de codução, em horas e miutos, que garate que o risco ão é gravado mais de 0% é dado pela solução da equação r 0 O tempo máimo de codução, em horas e miutos, que garate que o risco ão é gravado mais de 0% é, aproimadamete, 4 horas e miutos. Actividade As vedas de telemóveis (págia 7) Espera-se que o úmero de aparelhos de um ovo modelo de telemóvel, vedidos meses depois de de Jaeiro de 00, seja dado, aproimadamete, por: v ,

49 o SI RSI RSI R Itrodução à fução epoecial - Actividade e do livro º. Vamos represetar graficamete a fução para um período de aos. Matemática ºao º. Relativamete a este modelo de telemóveis e usado a represetação gráfica vamos respoder às seguites questões: A de Jaeiro de 00 espera-se que estejam vedidas 99 telemóveis. v 0 99 E ao fim do º trimestre de 00, espera-se que estejam vedidos telemóveis. v Espera-se atigir uma veda de 9000 telemóveis por volta do dia 0 de Agosto de 00. O aumeto das vedas ão tem um ritmo costate. É os primeiros 8 meses que a veda dos telemóveis cresce, mas mais rapidamete é etre Maio e Juho e é a meio de Outubro de 00 que as vedas vão estabilizar. Mas a quebra o crescimeto dá-se em Juho, é para = que se ota a mudaça do setido da cocavidade como podemos descobrir ecotrado o máimo da derivada da fução:

50 o SI RSI RSI R Itrodução à fução epoecial - Actividade e do livro Matemática ºao Se cotiuar a ser comercializado ão coseguirá uca atigir 000 telemóveis porque o úmero de telemóveis apeas se aproimará de ou seja uca coseguirão veder mais de º. Acerca de um outro modelo de telemóvel, estima-se que o úmero de aparelhos vedidos, meses depois de de Jaeiro de 00, seja dado por: t ada um dos fabricates destes dois modelos de telemóvel diz que vai estar à frete do outro relativamete ao úmero de aparelhos vedidos. O fabricate do segudo modelo pesa apeas os primeiros 6 meses, altura em que o telemóvel está a ser laçado, desprezado o tempo durate o qual as vedas estabilizam. O fabricate do primeiro modelo pesa que se tiverem o modelo à veda durate dois aos, ele vai estar durate ao e meio a veder mais que o outro. Na realidade, só etre Jaeiro e Julho de 00 é que o segudo modelo se vede mais. Resolver os eercícios 4, e 6 da págia 8.

51 o o SI RSI RSI R Equações e iequações com epoeciais e logaritmos. aracterização da iversa de uma fução epoecial e logarítmica. Resolva, em as seguites equações: e e e 0.7. e 4e Determie o cojuto solução de cada uma das equações: e e e 4e Resolva em, cada uma das seguites iequações:.. e ( ).e 0...e , aracterize a fução iversa de cada uma das fuções defiidas pelas epressões: f() 4.. f() 4.. f() e 4.4. f() 4 Matemática ºao

52 o o SI RSI RSI R Equações e iequações com epoeciais e logaritmos. aracterização da iversa de uma fução epoecial e logarítmica Matemática ºao. Determie o domíio e o cotradomíio de cada uma das fuções reais de variável real defiidas por:.. g() g() 8 g() e.4. g() e.. g() 4 6. Aplicado a defiição de logaritmo, determie o valor de de modo que: 6.. log log log (4 ) 7. Resolva em, cada uma das equações: log 8 log ( ) log 7.. log log log 6 8. Resolva em, cada uma das seguites iequações: log 6 0 log 4 log log log ( ) 8.. e.l e 0 log e 4log e l l l log log 4( ) e 8.9. l( ) l l 0 9. Determie o domíio e o cotradomíio de cada uma das fuções defiidas por: 9.. f() log ( ) 9.. g() log( ) 9.. h() l( ) 9.4. k() l

53 o o SI RSI RSI R Equações e iequações com epoeciais e logaritmos. aracterização da iversa de uma fução epoecial e logarítmica 0. Defia a fução iversa de cada uma das seguites fuções: 0.. f() log ( 4) 0.. f() l( ) 0.. f() log ( ) f() l log 4( ) 0.6. Soluções: f() log f() log (.. =.. =.. = -.4. = log.. = log.6. = = 4 4 ) =.4. = l.7. 0 l 4.8. = = log 6.. =.4. = l.. = 0.6. =.7. =.8. =.. l ;.. ;.. ;.. ; 0 ;.6. ;log.9. 0 ;.0. ; f f : ; log : ; 4 log ( ).. D \ {0} ; D \ {6}.4. ; ; 6 log.7. ;.8. ;.. { } f f : ; : ; l( ) log ( ).. D \ {4} ; D ; 0 ;.. D ; D 0;.4. D \ { } ; D ; \ {e }.. D \ { } ; D ; ; 6.. = 9 6. = 6.. = = 6.. = 8 Matemática ºao

54 o o SI RSI RSI R Equações e iequações com epoeciais e logaritmos. aracterização da iversa de uma fução epoecial e logarítmica 7.. = 7.. = 7.. = < > ; ; e ; 8.6. e; ; 8.8. ; 8.9. ; 9.. ; ; D D 9.. D ; ; D 9.. ; ; ; D D 9.4. D \ { } ; D f f f : 4; 4 : : ; f f f : ; e : \ {0} e \ {e : \ {0} ; ; } Matemática ºao

55 o SI RSI RSI R Fuções epoeciais e logarítmicas Matemática ºao

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62 OLÉGIO DA RAINHA SANTA ISABEL TEMA: Fuções Epoeciais e Logarítmicas MATEMÁTIA º ANO

63 OLÉGIO DA RAINHA SANTA ISABEL TEMA: Defiição de ite de uma fução um poto (Segudo HEINE) MATEMÁTIA º ANO. Na figura está parte da represetação gráfica de uma fução f, cujo domíio é \. As rectas =, y= e y=0 são assímptotas do gráfico de f... Seja U a sucessão de termo geral f ( U ) é: U (A) 0 (B) () (D).. Idique o valor de:... f ( U ) sabedo que U... f ( U ) sabedo que U... f ( U ) sabedo que. osidere a fução f, de domíio, assim defiida: se f ( ) se U. O ite de Seja U a sucessão defiida por U f ( ). Idique qual das epressões seguites defie o termo geral de U : (A) (B) () (D) - -

64 . Na figura está parte da represetação gráfica de uma fução g de domíio... Idique o valor de:... f ( U ) sabedo que... f ( g ) sabedo que se 0 4. Seja a fução f ( ) se Mostre que ão eiste f ( ) 0 U g.. osidere a sucessão de termo geral valor de g U ). U. Idique o ( (A) 0 (B) () 4.. Defie uma fução g tal que f g ( ) 0 se 0. A fução h está defiida em por h ( ). se 0 osidere a, h ( c ), caso eistam. b e c (D). alcule h ( a ), h ( b ) e 6. Determie k de modo que a fução f teha ite quado -, sabedo que f está defiida da seguite forma: k se f ( ) k se - -

65 o SI RSI RSI R Limites de fuções Istruções. Sedo se f () 4 se Matemática ºao Prove que embora ão perteça ao domíio da fução, eiste e é igual a, o ite de f quado tede para.. Seja g a fução defiida em IR por.. Esboce o gráfico de g... Mostre que ão eiste g(). g () se se. Sedo s uma fução, real de variável real, tal que, alcule b de modo que s() eista. 4. alcule: s () 9 se 4 se b se se 0. osidere a fução real de variável real h() 4 se 0 se 0.. Mostre que h() 0.. alcule h() 6. alcule, se eistir, cada um dos ites seguites:

66 osidere a fução g defiida, em IR, por 7.. Idique o domíio de g. 7.. alcule g() ; g() e g(). 6 g() Depois de determiar os ites laterais para =, diga se eiste g(). se 8. Sedo a fução h defiida, em IR, por h() se 8.. alcule h() e h(). 8.. Ivestigue se eiste h(), calculado os respectivos ites laterais. 9. Sedo a fução t defiida, em IR, por t () se se se 9.. Ivestigue se eistem os ites t() e t() 0. osidere as fuções, reais de variável real, defiidas por: f() ; g() ; Determie os seus domíios. h () 0.. Averigúe se eiste o ite de cada uma das fuções quado tede para zero.. osidere as fuções, defiidas em IR, por: se 0 f() e se 0 se 0 g() se 0.. Verifique se eistem f() e g() Defia, em IR, a fução f + g e calcule, se eistir, f g ().. alcule f g () e f g (). 0. 0

67 Soluções:. Limites laterais iguais. f() e f(). Logo ão eiste f(). s() s() b h() h(). h() (id) (id) (id) IR \ 7. g() 4 ; g() ; g() 7. Não eiste ite 8. h() 0 ; h() 9. Não eiste ehum dos ites 0. D f IR \ 0 ; IR \ ; ; D h IR \ 0 D g 8. Eiste ite. h() 6 0. Não eiste ite, quado tede para zero de h. f() e g() 0. Não eiste ite, quado tede para zero, em de f em de g.. se 0 f g se 0 (f g)() 0 (f g)() 0. (f g)() e (f g)() 0

68 o o o SI RSI RSI R Limites de fuções Idetermiações Limites de referêcia I Determie: e 4 l. 4. ) ( e. 6. l e l e 4. l Matemática ºao II - alcule cada um dos seguites ites, recorredo, quado ecessário, aos ites otáveis Istruções e e e 0. l l. e. l l. e 6. l 9. l. e. e