Matemática. Resolução das atividades complementares. M5 Análise combinatória

Transcrição

1 Resolução das atividades complemetares Matemática M Aálise combiatória p. 6 Ao laçarmos um dado duas vezes, quatas e quais são as possibilidades de ocorrêcia dos úmeros? Ao laçarmos um dado duas vezes, obtemos as ocorrêcias: (, ); (, ); (, ); (, 4); (, ); (, 6); (, ); (, ); (, ); (, 4); (, ); (, 6); (, ); (, ); (, ); (, 4); (, ); (, 6); (4, ); (4, ); (4, ); (4, 4); (4, ); (4, 6); (, ); (, ), (, ); (, 4); (, ); (, 6); (6, ); (6, ); (6, ); (6, 4); (6, ); (6, 6). O total de ocorrêcias é 6. Um edifício possui duas portas de etrada e três elevadores. De quatas maeiras uma pessoa pode chegar ao 0 o adar? 6 Para cada porta, temos elevadores: E P E E E P E E Portato, uma pessoa possui 6 maeiras (? 6) de chegar ao 0 o adar. Cosidere os algarismos, 4 e 6. a) Quatos são os úmeros de três algarismos que podemos formar com esses algarismos? b) Quatos são os úmeros de três algarismos distitos que podemos formar com esses algarismos? 6 a) Possibilidades: Podemos formar?? úmeros de três algarismos. b) Se os algarismos são distitos, ão podemos repetir os que já foram usados, etão: Podemos formar 6 úmeros (?? 6) de três algarismos distitos.

2 4 Quatos divisores aturais possui o úmero 00? Os divisores aturais de 00 são do tipo a? b. Exemplo:? 00 é um divisor de 00. a {0,,, } e b {0,, } Portato, o úmero 00 possui divisores aturais (4? ). De quatas maeiras diferetes os assetos de um carro poderão ser ocupados se houver cico pessoas que sabem dirigir e supodo que caibam um motorista e quatro passageiros? 0 Possibilidades: 4 4 Para o primeiro baco temos possibilidades, para o segudo, 4, para o terceiro,, para o quarto, e para o quito, possibilidade. Portato, temos um total de 0 maeiras (? 4??? 0) diferetes de ocupar os assetos do carro. 6 Uma churrascaria oferece 0 tipos de salada, dez tipos de care e cico tipos de sobremesa. Mauro resolveu optar por um tipo de salada, um tipo de care e um tipo de sobremesa. Quatas opções ele tem para motar seu prato? 00 Pelo pricípio multiplicativo, temos: 00 opções (0? 0? 00) para motar um prato com um tipo de salada, um tipo de care e um tipo de sobremesa. Oito atletas disputam as medalhas de ouro, prata e broze a prova dos 00 metros rasos. Qual o úmero de resultados possíveis para essas medalhas? 6 ouro prata broze 8 6 O úmero de resultados possíveis é 6 (8?? 6 6).

3 8 (Mackezie-SP) Num avião, uma fila tem sete poltroas dispostas como a figura abaixo: corredor corredor Os modos de João e Maria ocuparem duas poltroas dessa fila, de modo que ão haja um corredor etre eles, são em úmero de: a) 6 c) 8 e) b) d) 0 J M corredor J M corredor J M ou ou ou M J M J ou J M ou M J M ou J J M M ou J Nas três poltroas cetrais pode ficar uma poltroa vaga etre os dois, já que a codição é ão haver corredor etre João e Maria. Portato, são 0 possibilidades. 9 Dispomos de quatro cores distitas e temos de colorir o mapa mostrado a figura, com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja froteira é uma liha ão possam ser coloridos com a mesma cor. Respoda, justificado sua resposta, de quatas maeiras é possível colorir o mapa se: a) os países P e S forem coloridos com cores distitas. 48 b) os países P e S forem coloridos com a mesma cor. 6 a) Se P e S forem coloridos com cores distitas, teremos 4 possibilidades para P, possibilidades para S e possibilidades para R e Q, pois podem ser de mesma cor; portato, teremos um total de 48 possibilidades (4??? 48). b) Se P e S forem coloridos com a mesma cor, teremos 4 possibilidades para P e S e possibilidades para R e Q; portato, teremos um total de 6 possibilidades (4?? 6).

4 0 (UFMS) Cosidere o mapa da região formada pelos países A, B, C e D. A B D C Ao colorir um mapa, pode-se usar uma mesma cor mais de uma vez, desde que dois países vizihos teham cores diferetes. De acordo com essa iformação e usado apeas quatro cores, pode-se colorir o mapa acima de L maeiras distitas. Etão, é correto afirmar que L vale: a) 4 c) 40 e) b) 6 d) 48 Os úicos países que podem ser pitados com a mesma cor são B e D. Se B e D forem pitados com cores diferetes, teremos: A B C D 4 4??? 4; 4 possibilidades. Se B e D forem pitados com a mesma cor, teremos: A B C D 4 4?? 4; 4 possibilidades. Total: ; 48 possibilidades. (UFV-MG) Quero emplacar meu carro ovo atededo a algumas restrições. A placa do meu automóvel será formada por três letras distitas (icluido K, Y e W), seguidas por um úmero de quatro algarismos divisível por, que deverá ser formado usado-se apeas os algarismos,, 4 e. O úmero de placas que podem ser formadas atededo às restrições descritas é igual a: a) 4800 c) e) 0460 b) d) 4864 São 6 letras para a primeira casa, para a seguda e 4 para a terceira. Como o úmero é divisível por, ele termia em, e cada casa pode ser formada por qualquer um dos 4 algarismos Total: 6?? 4? 4? 4?

5 (Uesp-SP) Na coveção de um partido para laçameto da cadidatura de uma chapa ao govero de certo estado havia três possíveis cadidatos a goverador, sedo dois homes e uma mulher, e seis possíveis cadidatos a vice-goverador, sedo quatro homes e duas mulheres. Ficou estabelecido que a chapa goverador/vice-goverador seria formada por duas pessoas de sexos opostos. Sabedo que os ove cadidatos são distitos, o úmero de maeiras possíveis de se formar a chapa é: a) 8 c) 8 e) 4 b) d) 6 Coforme o euciado, teremos goverador homem e vice-goverador mulher ou goverador mulher e vice-goverador homem. Assim: se o goverador for homem? ; se o goverador for mulher? 4. Total:?? 4 8; 8 maeiras possíveis. (ITA-SP) Cosidere os úmeros de dois a seis algarismos distitos formados, utilizado-se apeas,, 4,, e 8. Quatos desses úmeros são ímpares e começam com dígito par? a) c) 4 e) 6 b) 46 d) 8 Temos 6 algarismos: algarismos pares e algarismos ímpares. Números com algarismos: pares ímpares? 9 Números com algarismos: pares ímpares 4? 4? 6 Números com 4 algarismos: pares ímpares 4? 4?? 08 Números com algarismos: pares ímpares 4? 4??? 6 Números com 6 algarismos: pares ímpares 4? 4???? 6 Total: ; 8 úmeros.

6 p. 8 4 Calcule o valor de: a)! 040 b) (0 )! 0 c) a)!? 6?? 4??? 040 b) (0 )!!? 4??? 0 9!? 6! 9!? 6! c)!? 0!? 6!? 0? 9! 0 9!? 6!!? 0! 0 Simplifique as expressões: a) ( 6 )! ( )! ( 6)! a) ( )! ( )! b)! b) ( )!! ( 6)! ( )? ( 6)! ( )? ( )? ( )?! (! ( )? ( )? ( ) )? ( )? ( ) 6 Resolva a equação: ( x )! ( x )!? ( x 4)! ( x )!. S {6} (x )! (x )!? (x 4)! (x )! (x )! (x )!? (x )? (x ) (x 4)! (x )? (x )? (x 4)! x x 6 0 x x 6 0 (x 6)? (x ) 0 x 6 ou x (ão covém) S {6} Simplifique e calcule o valor umérico da expressão: (k!), para k [( k )!]. 49 (k!) [(k )!], k!?! 6!? 6! 6?!?? 6! 6!? 6! 49

7 8 Prove que: ( )! ( )! ( )!. ( )! ( )! ( )! Desevolvedo o primeiro membro, temos: ( )! ( )? ( )! ( )? ( )! ( )! Portato,. ( )! ( )! ( )! o_ (igual ao membro) 9 Resolva a equação: (x )! (x )!. (x )!? (x )! (x )? x? (x )!? (x )! S { } x x x x 0 x 60 Não existe raiz quadrada exata de 6; logo, ão existe um úmero iteiro que satisfaça essa equação. S { } ( )! 0 Resolva a equação: ( )! 9 4. S { } ( )!? ( )? ( )! 4 4? ( ) 4 ( )! ( )! Não existe raiz quadrada exata de ; logo, ão existe um úmero iteiro que satisfaça a equação. S { } Exprima a expressão A??, 4... em fução de fatoriais. A (!) A??, 4... A?????? 4? 4??? 6? 6?...????? 4?...????? 4?...?!?! (!) A (!)

8 O valor umérico da expressão ( )!, para é: ( )! a) 40 c) 40 e) b) 40 ( )!, ( )! ( )! ( )?? ( d) 40 )! ( )? ( )?? 6 6 (Uifesp-SP) O valor de log? 4? 6...! é: a) c) e) log b) d) log log? 4? 6...!? 4? 6...! log??????? 4...!?!! Em questões como a 4, a resposta é dada pela soma dos úmeros que idetificam as alterativas corretas. 4 (UFMS) Defiição : Dado um úmero atural, defie-se o fatorial de, idicado por!, como: 0!!!? ( )? ( )...?, para > Defiição : Dados dois úmeros aturais e p, com > p, defie-se o coeficiete biomial sobre p por: p! p!( p)! Cosiderado a(s) defiição(ões) e/ou, é correto afirmar que: (0), para todo atural tal que >. (0) a solução da equação ( )! 90 é um úmero atural par. ( )! (04) se a e b 6, etão a b = 0,. ( )! ( )? ( )! (08) ( ), para todo atural tal que >. ( )? ( )! (6) ( )? ( ), para todo atural tal que >. 4

9 (0) (Falsa)!!!!? ( )!!? ( )!!? ( )!? ( )!? ( )? ( )!? ( )? ( )? ( )! ( )!? ( )!?? ( )!? ( )? ( )? ( ) 6 (0) (Verdadeira) ( )! 90 ( )! 0 (04) (Verdadeira) a!!? 0! b! 6!? 9! a b (08) (Verdadeira) ( )?? ( )! ( )! (atural par) ou (ão covém)? 4???? 0!? 4???? 0!? 4???? 0? 9! 6?? 4???? 9!? 4???? 4??? 4???? 0 6?? 4?? ( )! ( )? ( )! ( )? ( )! (6) (Falsa) 6 0 ( )? ( )!? [( )? ] ( )? ( )! ( )!!? ( )! soma ( )?? ( )!? ( )! 0,? 4???? 4??? 4???? 0 6?? 4?? ( )? ( )?? ( )! ( )? ( )! ( )? ( )! ( ) ( )? ( )? ( )

10 p. 0 Calcule: a) A 0, 0 b) A A 9,, 4 a) A 0, 0! ( 0 )! b) A A 9,, 9? 8? 6? 0? 9? 8?! 0! 4 6 A expressão A, k existe para: a). 0 e k, 0 c) k. e) k 0 b). 0 e k 0 d) > k A!, k ( k)! A existe para k Para estimular o uso da bicicleta, o prefeito de uma cidade resolveu premiar os primeiros colocados de uma corrida de bicicletas ao redor da cidade com uma casa, um carro e uma bicicleta. De quatas maeiras distitas 0 cocorretes poderão gahar esses prêmios? 6840 casa carro 0 9 bicicleta 8 A 0, 0? 9? ; maeiras. 8 Uma ura cotém seis bolas umeradas de a 6. Outra ura cotém quatro bolas umeradas de a 4. De quatas maeiras diferetes podemos extrair quatro bolas da primeira ura e três bolas da seguda ura, sem fazer reposição de bolas? 8640 ura 4 6 ura 4 A 6, 4 A 4, 6?? 4?? 4?? 8 640; maeiras. 0

11 9 Um cofre é formado por um segredo de algarismos distitos. Um especialista em cofres leva três miutos em cada tetativa de abertura. Supodo que o especialista só coseguiu abrir o cofre depois de experimetar todas as possibilidades e que trabalhou horas por dia, podemos afirmar que, para abrir o cofre, ele levou: a) quatro dias c) dois meses e) mais de quatro meses b) um mês d) três meses A 0, 0? 9? 8?? 6 040; 040 tetativas. Para cada tetativa, o especialista leva miutos, etão: 040? 900; 900 miutos Uma hora tem 60 miutos, etão: 60 ; horas. Como ele trabalhou horas por dia: 6; 6 dias, que correspode a mais de quatro meses. 0 Com os algarismos,,, 4,, 6,, 8 e 9, quatos úmeros de três algarismos distitos podemos formar? 04 A 9, 9? 8? 04; 04 úmeros. Com os algarismos,,, 4,, 6, e 8, quatos úmeros etre 400 e 800 com algarismos distitos podemos formar? 68 4 A, 6 A A A,,, 4? A, 4?? 6 68; 68 úmeros. Uma sala tem 0 lugares. De quatas maeiras aluos podem setar-se? A 0! 0,! 0!! Quatas frações irredutíveis e diferetes de podemos formar com os úmeros,,,, e? Os úmeros,,,, e são úmeros primos. A 6, 6? 0; 0 frações. 0

12 4 Quatos úmeros ímpares de quatro algarismos distitos podemos escrever com os algarismos,,, 4,, 6,, 8 e 9? 680 Se são ímpares, devem termiar em,,, ou 9. A 8, 9 A A A A 8, 8, 8, 8,? A 8,? 8?? 6 680; 680 úmeros. Resolva a equação: x! ( x )!. S {} x!?? x ( x ) ( x )! x (x )! ( x )! x x 8 ou x (ão covém) S {} x 0 6 (Faap-SP) Para abrir um arquivo o microcomputador, o usuário deve digitar uma seha de quatro caracteres, uma certa ordem e sem repeti-los. O usuário sabe quais são os caracteres, mas ão cohece a ordem em que devem ser digitados. Obstiado, procura acertar a seha por tetativas. O úmero de tetativas que deve fazer é: a) 4 c) 6 e) 0 b) 0 d) 40 A 4, 4 4??? 4 tetativas p. Calcule: a) P 40 b) (P ) 4400 a) P?? 4??? 40 b) (P )

13 8 8 Quatos aagramas diferetes podemos formar com as letras da palavra THAÍS? A palavra THAÍS possui letras, etão: P? 4??? (UPF-RS) O úmero de aagramas da palavra MELHOR, que começam e termiam por vogal, é defiido por: a) P 6 c) 4! e) P 4 b) P d) P 6 A palavra MELHOR possui vogais e 4 cosoates, etão: vogal 4 Portato, P 4. vogal 40 Determie M de modo que P ?? 6?? 4??? 8! P! 8! 8 4 Se é um úmero atural, determie para que P 0P. P 0P! 0? ( )!? ( )? ( )! 0? ( )! ( )? ( 6) 0 6 (ão covém) ou 6

14 4 Cosidere a palavra LUCIANE: a) Quatos são os aagramas dessa palavra? 040 b) Quatos aagramas começam por L? 0 c) Quatos começam por L e termiam em E? 0 d) Quatos começam por vogal? 880 e) Quatos apresetam as letras ANE jutas e essa ordem? f) Quatos apresetam as letras ANE jutas? 0 a) P? 6?? 4??? 040 L P6 6?? 4??? 0 b) L E P? 4??? 0 c) d) A palavra possui 4 vogais e cosoates, etão: vogal P 4? 6?? 4??? e) Cosideremos ANE uma só letra, etão: ANE P? 4??? 0 f) Podemos permutar ANE, ou seja, P? P??? 4??? 0 6 p. 4 (Mackezie-SP) Num quadro, as chaves de seis salas e de dois baheiros, todas distitas, estão dispostas em duas filas com quatro chaves cada uma. Se as chaves dos baheiros devem ocupar as extremidades da primeira fila, o úmero de formas diferetes de se colocar as chaves o quadro é: a) 6! c) 4? 6! e)? 6! b) 6? 6! d) 8! Chaves do baheiro:! Chaves das salas: 6! Como estão dispostas uma seguida da outra, temos: P? P 6? 6! 44 (Uesp-SP) Quatro amigos, Pedro, Luísa, João e Rita, vão ao ciema, setado-se em lugares cosecutivos a mesma fila. O úmero de maeiras que os quatro podem ficar dispostos de forma que Pedro e Luísa fiquem sempre jutos e João e Rita fiquem sempre jutos é: a) c) 8 e) 4 b) 4 d) 6 Pedro e Luísa, P João e Rita, P Os dois casais, P P? P? P?? 8; 8 formas diferetes. 4

15 4 Cosidere todos os úmeros formados por seis algarismos distitos obtidos permutado-se, de todas as formas possíveis, os algarismos,,, 4, e 6. a) Determie quatos úmeros é possível formar (o total) e quatos úmeros se iiciam com o algarismo. 0 e 0 b) Escrevedo-se esses úmeros em ordem crescete, determie qual posição ocupa o úmero 46 e que úmero ocupa a 4 a posição. 48 a e 64 a) No total: Iiciado com P 6 6?? 4??? 0 : P? 4??? 0 b) Colocado em ordem crescete, temos: iiciado com : 0 iiciado com : iiciado com : P P 0 P 0 iiciado com 4: 4 P 0 46 é o primeiro úmero iiciado com ; como 4? 0 480, 46 ocupa a 48 a posição. Na 4 a posição, sabemos que o úmero iicia por. P4 4??? 4 Portato, o maior úmero deste grupo é (FGV-SP) De quatas formas podemos permutar as letras da palavra ELOGIAR, de modo que as letras A e R fiquem jutas em qualquer ordem? a) 60 c) 080 e) 800 b) 0 d) 440 Cosideremos AR uma só letra, etão: E AR P 6 Como AR pode ficar em qualquer ordem P P 6? P 6?? 4????? 440; 440 formas. 4 Em quatos aagramas da palavra LEITO as vogais ão aparecem lado a lado? 84 A palavra possui vogais, etão: P. Cosiderado as permutações das vogais jutas como uma só letra, temos: LTEIO P. Seja P todas as permutações da palavra LEITO, e retirado todas as que possuem vogais lado a lado, temos: P P? P? 4??? (?? )? (?? ) ; 84 aagramas. 48 De quatos modos diferetes podemos dispor cico livros de Matemática, três de História e quatro de Física uma prateleira, de modo que os livros de mesma disciplia permaeçam jutos? 0680 M Matemática; H História; F Física MMMMMHHHFFFF P? P? P? P 4???? 4??????? 4??? 0680; 0680 modos diferetes.

16 p. 49 Quatos são os aagramas da palavra MARCA? A palavra possui letras, e a letra A se repete vezes, portato: P!!? 4?? 60; 60 aagramas.!! 60 0 Quatos aagramas tem a palavra CACAU? A palavra possui letras, e as letras A e C se repetem vezes, etão:, 4 P!???? 0; 0 aagramas.!?!??? 0 Cosidere a palavra ANAGRAMA. a) Quatos são os aagramas dessa palavra? 680 b) Quatos são os aagramas que apresetam as letras NGM jutas e essa ordem? 0 c) Quatos são os aagramas que apresetam as letras NGM jutas e em qualquer ordem? a) A palavra possui 8 letras, e a letra A se repete 4 vezes, etão: 4 P 8! 8 6 4! 8???? 680; 680 aagramas. 4! 4! b) Cosiderado NGM uma só letra, temos ANGMARAA, uma palavra com 6 letras, sedo 4 delas a letra A. 4 6 P 6! 4! 6?? 0; 0 aagramas. 4! 4! 4 c) P? P 6 6? 0 80; 80 aagramas. 80 Quatos são os aagramas da palavra CAVADA cujas letras A ficam jutas? Cosiderado AAA uma só letra, temos: AAA P 4 4?? 4, 4 aagramas. 4 Quatos são os aagramas da palavra ORANGOTANGO? 8600 A palavra possui letras: letras O, letras N, letras A e letras G. P,,,? 0? 9? 8?? 6?? 4??? 8 600; aagramas.???????? 6

17 4 Quatos aagramas da palavra AMOROSO ão apresetam letras AM jutas? A palavra AMOROSO possui letras, e a letra O se repete vezes; portato: 6 P! 4!???? 840; 840 aagramas totais.!! 6 Aagramas com as letras AM jutas: P? P6? 6!?? 4?!?!! Etão, 600 aagramas ão apresetam as letras AM jutas ; 40 aagramas. Quatos aagramas da palavra TERREMOTO começam e termiam por T? T Das letras que podemos permutar, temos letras R, letras E e letras O; portato:,, 6 4! P????? 60; 60 aagramas.!?!?! T 60 6 Uma prova cotém dez testes, que devem ser respodidos com V ou F coforme as seteças sejam verdadeiras ou falsas. Paulo resolveu chutar todos os testes, colocado V em quatro testes e F os demais. Quatas maeiras ele tem para respoder à prova? 0 VVVVFFFFFF P 4, 6 0 0! 4!? 6! 0? 9? 8?? 6! 4???? 6! 0 Um meio ecotra-se a origem de um sistema cartesiao ortogoal. Ele pode dar um só passo de cada vez, para orte ou leste. Passado obrigatoriamete pelo poto (, ), quatas maeiras existem para ele chegar ao poto (, )? 0 y B A x Para chegar ao poto (, ): P! ; maeiras.!, 4 Para ir do poto (, ) ao poto (, ): P! 6 4!??? ; maeir as.!? 4!?? 4! Para ir do poto (0, 0) ao poto (, ), temos:? 0; 0 maeiras.

18 p. 8 (UEM-PR) Um técico de futebol dispõe de oito jogadores reserva, dos quais quatro serão covocados. Quatas são as possibilidades de escolher os quatro jogadores? 0 Podemos escolher 4 dos 8 jogadores, etão: C 8! 8 4! 8, 4?? 6?? 8?? 6? 0; 0 possibilidades. 4!? 4! 4!? 4! 4?? 9 Quatos plaos são determiados por quatro potos distitos e ão coplaares? potos ão coplaares determiam um plao, etão: C 4! 4, 4; 4 plaos.!?! 4 60 Em uma escola há 0 professores e aluos iteressados em represetar a escola um cogresso. Quatas comissões podemos orgaizar compostas de três professores e dois aluos? 40 De 0 professores, serão escolhidos, e de aluos, apeas serão escolhidos, etão: C C 0!! 0? 9? 8? 0,?,?? 40; 40 comissões.!?! 0!?!??? 6 (FGV-SP) De um grupo de oito pessoas, etre elas Atôio e Beedito, deseja-se escolher uma comissão de quatro pessoas. O úmero de comissões que podem ser formadas as quais Atôio participa e Beedito ão é igual a: a) c) 0 e) 6 b) 4 d) 0 Excluido Beedito da comissão e matedo sempre Atôio, devemos escolher pessoas detre as 6 que restam: C 6! 6 6,?? 4?! 0!?!!??? Portato, são 0 comissões em que Atôio participa e Beedito ão. 8

19 6 (Fuvest-SP) Na primeira fase de um campeoato de xadrez cada jogador joga uma vez cotra todos os demais. Nessa fase foram realizados 8 jogos. Quatos eram os jogadores? a) 0 c) e) 4 b) d) Seja o úmero de jogadores. Como cada jogador joga uma vez cotra todos os demais, temos: C!??, 8 8 ( ) ( )! ( )!?! ( )!?! (ão covém) 64 ou Portato, eram jogadores o campeoato de xadrez. 6 (FGV-SP) Um admiistrador de um fudo de ações dispõe de ações de dez empresas para a compra, etre elas as da empresa R e as da empresa S. a) De quatas maeiras ele poderá escolher sete empresas, etre as dez? 0 b) Se etre as sete empresas escolhidas devem figurar obrigatoriamete as empresas R e S, de quatas formas ele poderá escolher as empresas? 6 a) De 0 empresas, serão escolhidas. C 0! 0? 9? 8 0, 0; 0 maeiras.!?!? b) Se R e S devem figurar obrigatoriamete, sobrarão 8 empresas para escolher apeas, ou seja: C 8! 8 8,?? 6 6; 6 formas.!?!? 64 (Mackezie-SP) Uma sala tem cico lâmpadas com iterruptores idepedetes. O úmero de formas de ilumiá-la, com pelo meos duas lâmpadas acesas, é: a) 6 c) 8 e) 46 b) 0 d) 40 Podemos ter duas, três, quatro ou cico lâmpadas acesas. C C C C!!!,,, 4,!!?!!?!!? 4! 0!?! 0 0 6; 6 formas. 9

20 6 (Fuvest-SP) Uma ONG decidiu preparar sacolas, cotedo quatro ites distitos cada uma, para distribuir etre a população carete. Esses quatro ites devem ser escolhidos etre oito tipos de produtos de limpeza e cico tipos de alimetos ão perecíveis e pelo meos um item que seja produto de limpeza. Quatos tipos de sacolas distitas podem ser feitos? a) 60 c) 40 e) 640 b) 40 d) 600 Total de produtos 8 Retiramos do total os tipos de sacolas que só cotêm 4 produtos de limpeza e 4 produtos de alimeto. C C C! 8!!??? 0 8, 4 8, 4, 4?? 6? 9!? 4! 4!? 4!!? 4! 4??? 4??? (Fuvest-SP) Em uma certa comuidade, dois homes sempre se cumprimetam (a chegada) com um aperto de mão e se despedem (a saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimetam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceo. Duas mulheres só trocam aceos, tato para se cumprimetarem quato para se despedirem. Em uma comemoração, a qual pessoas almoçaram jutas, todos se cumprimetaram e se despediram a forma descrita acima. Quatos dos presetes eram mulheres, sabedo que foram trocados 0 apertos de mão? a) 6 c) 8 e) 0 b) d) 9 Seja x o úmero de homes. x se cumprimetam com um aperto de mão a chegada e a despedida, etão: C x, Etre um homem e uma mulher há x? ( x) cumprimetos. C x, x? ( x) 0? x!!? ( x )! x x 0 x x x x 0 0 6x 0 x 0 (homes) 0 mulheres 0

21 6 (FGV-SP) a) Uma seha de baco é costituída de três letras escolhidas etre as 6 do alfabeto, seguidas de três algarismos, escolhidos etre os dez algarismos de 0 a 9. Quatas sehas podem ser formadas usado-se três vogais e três algarismos pares? 6 6; 6 sehas. b) Um professor precisa elaborar uma prova de Matemática com cico questões, sedo uma de trigoometria, duas de álgebra e duas de geometria. Ele dispõe de três questões de trigoometria, seis de álgebra e cico de geometria. De quatas formas a prova pode ser elaborada, ão se levado em cota a ordem das questões? 40 a) Temos possibilidades para cada vogal e possibilidades para cada algarismo par. total 6 6; 6 sehas. b) T Trigoometria; A Álgebra; G Geometria Há questões T, 6 questões A e questões G. Para TAAGG, temos: C C C!,? 6,?,?! 6!? 4!?!!!?!?? 0 40 p (UEL-PR) Um professor etrega oito questões aos aluos para que, em uma prova, escolham cico questões para resolver, sedo que duas dessas questões são obrigatórias. Ao aalisar as provas, o professor percebeu que ão havia provas com as mesmas cico questões. Assim, é correto afirmar que o úmero máximo de aluos que etregou a prova é: a) 6 c) 6 e) 6 b) 0 d) 0 Como questões são obrigatórias, os aluos podem escolher das 6 restates. As possibilidades, etão, são o úmero de aluos, pois ão há provas com as mesmas questões. C 6! 6 6,?? 4 0 úmero máximo de aluos que etregou a prova.!?!??

22 69 (UEM-PR) Uma empresa cota com cico motoristas e dez vededores. As equipes de vedas são formadas por um motorista e três vededores. Nessas codições, assiale a(s) alterativa(s) correta(s). (0) A quatidade máxima possível de equipes de vedas pode ser obtida calculado C, 4. (0) A quatidade máxima possível de equipes de vedas pode ser obtida calculado C,? C 0,. (04) Com o motorista João e a vededora Joaa em uma mesma equipe, a quatidade máxima possível de equipes diferetes pode ser obtida efetuado C 9,. (08) Se o motorista João e a vededora Joaa estão em equipes diferetes, etão a quatidade máxima possível de equipes que pode ser formada essas codições é 64. (6) Com as vededoras Joaa e Maria em uma mesma equipe, a quatidade máxima possível de equipes diferetes pode ser obtida efetuado A 8,? A,. 0 (0) (Falsa); a quatidade máxima possível de equipes de vedas é dada por: C C! 0! 0? 9? 8,? 0,?? 600; 600 equipes. 4!?!!?!? (0) (Verdadeira); a quatidade máxima possível de equipes de vedas é dada por: C,? C 0, 600; 600 equipes. (04) (Verdadeira); com o motorista João e a vededora Joaa em uma mesma equipe, temos: C 9! 9 9,? 8 6; 6 equipes.!?! (08) (Verdadeira); com o motorista João e a vededora Joaa em equipes diferetes, temos: ; 64 equipes. (6) (Verdadeira); fixado duas vededoras, temos: C 8,? C, A 8,? A,. soma (Uifesp-SP) Em um edifício residecial de São Paulo, os moradores foram covocados para uma reuião com a fialidade de escolher um sídico e quatro membros do coselho fiscal, sedo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita etre dez moradores. De quatas maeiras diferetes será possível fazer essas escolhas? a) 64 c) e) 60 b) 6 d) 640 Para a escolha do sídico, temos 0 possibilidades, e para a escolha dos membros do coselho fiscal, temos 9 moradores para ocupar os 4 cargos. 0C? 9! 9? 8?? 6 9, 4 0 0? 60!? 4! 4??

23 p. 9 a) b) Calcule: 0 c) e) d) 4 90 a)! 0!? 0! d) 4!!? 4! b)! 0!?! e) 0 8 0!!? 8! 0? 9 90 c)! 8!?!??? 0? 9? 4??? 8 Determie o valor de x a igualdade: 0 0 6x 4x x 4x 0. 6x 4x 0 x (ão covém) ou 6x 4x 0 0 0x 0 x Calcule usado a relação de Stiffel a) b) Pela relação de Stiffel, temos: 0 a) 8 b) p!!? 4! 9! 6!?! p p? 0? 9? 8?? 6? 6 80? 6?? 4??? 9? 8?? 6?? 4 6?? 4??? 4 Calcule: 6 6 a) i 0 b) i 6 64 i 0 a) i i b) 6 i i 0 0 i

24 Determie sabedo que: Logo, Demostre a validade da relação de Stiffel: p p p p Desevolvedo os úmeros biomiais, temos: ( )! ( )! ( p )!? ( p )! ( p)!? p! Desevolvedo o primeiro membro, temos: ( )! ( )! ( p)!? ( p )! ( p )!? p! p p.! ( p)!? p! Desevolvedo os maiores úmeros os deomiadores, temos: ( )! ( )! ( p)? ( p )!? ( p )! ( p )!? p? (p )! O mmc é ( p)!? p! ou ( p)? ( p )!? p? (p )!; etão: p? ( )! ( p)? ( )!! ( p)!? p! ( p)!? p! ( )!? (p p) ( p)!? p!? ( )!! ( p)!? p! ( p)!? p!! ( p)!? p! o_ (igual ao membro)! ( p)!? p! A seqüêcia, 9, 6, 84, x, y,... é uma liha do triâgulo de Pascal. Determie x e y., 9, 6, 84, x, y, Observe que:, 9, 6 0 x y ( ) 9 4 9! 9? 8?? 6!? 4! 4?? , 84, x, y 4 6 ( ) 9 x 6 e y 6 4

25 0 0 8 Resolva a equação: x x. S {4, } 0 0 x x Aplicado a relação de Stiffel o primeiro membro, temos: x x x 4 ou x x S {4, } 9 (FGV-SP) Se 6, etão é igual a: a) 4 c) 9 e) 8 b) 6 d) 6 o_ membro: o_ membro: pela relação de 6 Stiffel, 6? ( )? ( )!!? ( )!!? ( )! Igualado os dois membros, temos: (UFAM) A soma 0 68 apresetada é a soma dos úmeros biomiais da liha do umerador M do triâgulo de Pascal. Etão é: a) c) e) 4 b) 0 d) Logo,.

26 8 Calcule o valor da expressão: Pela relação de Stiffel, temos: ! 6 6!? 6! 46? 0? 9? 8? 46? 4??? 6 46 p. 8 Desevolva o biômio (x y). Seja a fórmula do biômio: (x a) a 0 x a x 0 Etão, temos: (x y) (y) 0 (x) (y) ( 0 x) (x y) 8x 6yx 4y x y 8x 6yx 4y x y a x... a x 0 (y) (x)... (y) ( x) 0 8 Efetue o desevolvimeto de (x ) 4. x 4 x 4x 08x (x ) x 4 0 x 0 4 ( ) ( ) 4 x ( ) x ( ) ( 4 ) (x ) 4 x 4 x 4x 08x 8 6 4

27 84 Utilizado a fórmula do biômio de Newto, calcule: ( 4 ) ( 4 ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) Se a a b a b a b a b ab 6 b 4 096, determie 6 (a b) a a b a b a b a b ab 6 b (a b) 6 (a b) Calcule o valor umérico da seqüêcia: p(x, y) x x 4 y 0x y 0x y xy 4 y, para x p(x, y) x x 4 y 0x y 0x y xy 4 y (x y) Se x e y, etão: e y. 8 Qual a soma dos coeficietes dos termos do desevolvimeto de (x y)? Para acharmos a soma dos coeficietes, basta determiarmos os valores para x e y ; etão: (x y) ( ) 6 6 6

28 88 (FGV-SP) A soma dos coeficietes do desevolvimeto de (x y) é igual a: a) 8 c) 4 e) 9 b) 8 d) Para x e y, temos: (x y) ( ) 4 89 (ITA-SP) Sabedo que 04 é a soma dos coeficietes do poliômio em x e y, obtido pelo desevolvimeto do biômio (x y) m, temos que o úmero de arrajos sem repetição de m elemetos tomados dois a dois é: a) 80 c) 0 e) 60 b) 90 d) 00 Para x e y, temos: ( ) m 04 m 0 m 0 A 0! 0, 8! 0? 9 90; 90 arrajos. 90 (FGV-SP) x 6 y 9 é a parte literal de um dos termos do desevolvimeto de (x y). O termo cuja razão etre o seu coeficiete e o coeficiete do termo seguite é igual a 9 é: a) o 8 o termo c) o 6 o termo e) o 4 o termo b) o o termo d) o o termo O termo geral de um biômio é dado por: T p p p p x. p 6 Como um dos termos possui parte literal x 6 y 9, temos: p 9 p Etão: T y. p x p p! p ( )! Do euciado, temos: p? p! 9! p ( p )!? ( p )! 9p 9 0 p 6p 96 p 6 Assim, o termo é o o. 8 9 p p 9

29 9 (ITA-SP) Determie o coeficiete de x 4 o desevolvimeto de ( x x ) 9. ( x x ) 9 [( x) x ] 9 T p T T q p 9 p 9 p q 9? p 9 p ( x) (x ) p 9 x desevolvedo ( x) 9 p, temos: 9 p x substi q tuido em T p, temos: p q q q 9 p q x p x Como o coeficiete desejado é o de x 4, etão: se q 0 p p q 4 x x p q 4 se q p se q 4 p 0 Etão: T T p p 9? p 9 p? 9 p q q x p 44 x q ?? 0 x 9 9 x? 0 4 x 9 p q x x 6x x 6x 4 44x Portato, o coeficiete de x 4 é 44. p q (Fatec-SP) Para que o termo médio do desevolvimeto do biômio (se x cos x) 6, segudo as potêcias decrescetes de se x, seja igual a, o arco x deve ter sua extremidade pertecete ao: a) o ou o quadrates c) o ou o quadrates e) eixo das ordeadas b) o ou o quadrates d) eixo das abscissas O biômio possui termos, e o termo do meio é o T 4. 6 T 4?? se x cos x 6! se x cos 6 x?? 4 se x? cos x 0 se x? cos!?!?? Etão: 0 se x? cos x se x? cos x 40 Para que se x? cos x seja positivo, é ecessário que x perteça ao o ou o quadrates, em que seo e cosseo possuem o mesmo sial. x 9

30 9 (ITA-SP) O termo idepedete de x o desevolvimeto do biômio x x x x é: a) 9 4 c) 89 e) 6 b) 9 d) 6 T x x x x x p p ( ) ( ) ( ) p ( ) x p p p 6 p 6 ( ) ( ) x p 6 x 6 o termo geral é: p 8 Tp ( p ) p x Para acharmos o termo idepedete de x, temos: p 8 0 p 8. Substituido p, temos: T ? 6? ( ) ( )? 6 0