1 Resoluções dos exercícios de SÉRIES propostos nocaderno1

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1 Resoluções dos exercícios de SÉRIES propostos ocadero. Dadoque = /,asérieumérica = = 5 / éumasériededirichletcomα=/,logoédivergete.. A série umérica = é uma série geométrica de razão r = /. Como r = / ],[ etãoasérieuméricaécovergete. Dadoqueoprimeirotermoda sérieé/,ovalordasomadasérieé S= o termo razão = = = =.. Temos = = Portato, éumasériegeométricaderazãor=/. Dadoque r=/ ],[etãoasérieuméricaécovergete. Atededoa queoprimeirotermodasérieé/,ovalordasomadasérieé S= o termo razão = = = =. 4. A série umérica [ 5 ) ] = [ [ 5 ) ] ] = [ 5 ) ] =

2 é covergete, pois é uma série geométrica de razão r = / com r = / ],[. Dadoqueoprimeiro termodasérie umérica é 5/,ovalordasomadasérieé S= 5 )= 5 4 = 5 4 =5 4. A série umérica [ ) ]= éumasériegeométricaderazãor=. Dadoquer= / ],[ etão a série é divergete. Também o Critério do Termo Geral ou Critério Geral de Covergêcia) permite cocluir que a série é divergete. De facto, o termo geral u = ) ão tem limite a subsucessão,,,..., ) k,... dos termos pares tede para equato a subsucessão,,,..., ) k,... dos termos ímpares tede para ;há portato dois sublimites diferetes) logo u = ) 0ãotedepara0). A série umérica =++++ éuma sériegeométrica de razãor=. Como r = / ],[ etão a série umérica é divergete. Também o Critério do Termo Geral ou Critério Geral de Covergêcia) permite cocluir que a série é divergete. Defacto,otermogeralu =temporlimite As séries uméricas = ) = ) =

3 sãosériesgeométricasderazãor=,r= er=,respectivamete. Dado que em todas elas a razão r / ],[, todas estas séries são divergetes. Podemos mostrar pelo Critério do Termo Geralou Critério Geral de Covergêcia) que todas as séries uméricas, ), ), ), ) + e +5 + do exercício são divergetes. De facto, ão existemlogo ão são ulos) os limites lim ) e lim ), o termo geral u = ) ão tem limite pois a subsucessão 4, 6,64,..., ) k,... dos termos pares tede para + equato a subsucessão, 8,,..., ) k,...dostermosímparestede para )otermogeralu = ) ãotemlimitepoisasubsucessão,,,..., ) k,...dostermosparestedeparaequatoasubsucessão,,,..., ) k,...dostermosímparestedepara ). Para as restates séries uméricas, temos os seguites limites ão-ulos lim = + =+ 0, lim ) = 0, ) + lim = lim ) [ = lim + ) ] = e ) = +5 e 6 0, otequelim +5 =)e lim + + ) =+0= 0.

4 6. Sabedoqueasséries geométricaderazãor= ],[)e dedirichletcomα=>)sãocovergetespodemoscocluir, pela Proposição 8do Cadero ), que também são covergetes as séries = ) e 4 = ) 4. Fialmete, pela Proposição 7do Cadero ), a série umérica + ) 4 é covergete. 7. Podemos determiar a aturezacovergêcia ou divergêcia) de todas as séries uméricas deste exercício aplicado o Critério da Comparação - formulação ou Critério Geral da Comparação). As séries uméricas v determogeral v = +, v = +), v = e v = + são covergetes por serem válidas, para todo o, as desigualdades 0< 0< + < =, +) < = 0< < =, esercovergeteasériedetermogeralu = éasériededirichlet comα=>). Tambéméválidaparatodooadesigualdade 0 + <, N e é covergete a série de termo geral u = / é uma série geométricaderazãor=/,umvaloretre e). As séries uméricas u = e 4 u = cos

5 são divergetes atededo à desigualdade 0 < válidaapartirdaordem=iclusive),eàdesigualdade 0 cos) = cos, N válidaparatodoo),vistoque cos implica 0<cos) temos kπ/). Note que ambas séries usadas a comparação, = v a série harmóica) e v = = / sériededirichletcomα=/ ),sãodivergetes. 8. Pelo Critério da Comparação- formulação, as séries uméricas u =, u = e u = se são divergetes. Para qualquer uma destas séries, usamos a série de comparação v com termo geral v = / que é divergete é a série harmóica), pois permite obter os seguites limites fiitos e ão-ulos: L u v L = lim u v = 0, ) = lim ) = + = 0= 0 5

6 usamosasériededirichletcomα=porquegrau ) grau )= =)e u se L v limite de referêcia = 0. Pelo mesmo critério se coclui que são covergetes as séries uméricas u determogeral u = +)+5), u =si + e u = + l+ +5. O estudo da atureza de todas estas séries exige a comparação directa ou idirecta) com a série de Dirichlet v = / que é covergeteα=>). Defacto,sãofiitoseão-ulososlimites L = lim u v +)+5) = lim )+5) = 0, usamosasériededirichletcomα=porquegrau [ + ) +5) ] grau)= =) u si L = lim + v + si = lim + + sedo covergete a série v = 6 si + + limite de referêcia = 0 ) = + +.

7 Na verdade, aplicado o Critério da Comparação- formulação a esta série, cocluímos que é covergete por ser fiito e ão-ulo o limite L v w + + = 0 usamosasériededirichletcomα=porquegrau + ) grau)= =). Temosaidaolimitefiitoeão-ulo u L = lim + l l ) +5 v l ) l ) = lim l ) +5 limite de referêcia = lim = = +5 sabedo, pelo visto acima, que série ) = )+5) é covergete. 9. a) Nasériedepotêcias u x)= v x ) = x =+x+x +x +x 4 +. temosv =. Dolimite L v + v = obtemosoraiodecovergêciar=/l=/=. Asériede potêcias é covergete sempre que x toma valores o itervalo 7

8 aberto],[eédivergetesemprequex ], [ ],+ [. Parax=temosasérieumérica u )= = queédivergetepelocritériodotermogeraloseutermogeral tedepara 0). Parax= temosasérieumérica ) u )= que também é divergete pelo Critério do Termo Geral o seu termogeral ) ãotemlimitelogoãotedepara0)poisa subsucessão ) k) = dostermosdeordempartedepara easubsucessão ) k ) = ) k = ) k ) = dos termos de ordemímpar tede para ). Assim, o domíio decovergêciadasériedepotêciaséd=],[. b) Asériedepotêcias x =+x+x +x +x 4 + temxcomorazãoecomoprimeirotermo. Comotal,paracada x ],[,éetãopossivelobterafuçãosomapotualdasérie de potêcias como sedo fx)= o termo razão = x, eescrever x =+x+x +x +x 4 + = x. 0. Nasériedepotêciasdex [ ] u x)= x v )= [+ ) ] x, emquev =/[+ ) ],temosldadopor L = lim v [+ ) ] [+ ) ] = lim [+ ) ] [ [+ ) ] ] [+ ) ]. 8

9 Asucessão/[+ ) ] temporlimiteiferior lim [+ ) ] = [+] = 4 = 6, correspodete aos termos de ordem par em que ) k =, e por limite superior lim [+ ) ] = [+ )] = = 4, correspodete aos termos de ordem ímpar em que ) k =. Coforme a Proposição 7 do Cadero ), há que escolher o limite superior. Assim, temos L v [+ ) ] = [+ )] = = 4, dode R = /L = //4) = 4. A série de potêcias é covergete se x ] 4,4[. Para x ], 4[ ]4,+ [ a série de potêcias é divergete. Parax=4temosasérieumérica 4 [+ ) ] u 4)= que é divergete atededo a que o seu termo geral ão tem limite. Na verdade, a subsucessão dos termos de ordem par 4 k [+ ) k ] 4k 4k = = =4k 4k 4k 4k [+] [+] 4 4k = tedepara0masasubsucessãodostermosdeordemímpar 4 k 4k 4k ) k = =4k = [+ ) k 4k 4k ] [ ] 4k k ) = k ) = tedepara. Parax= 4temosasérieumérica u 4)= 4) [+ ) ] = ) 4 k 4 [+ ) ] queédivergeteporqueoseutermogeralãotemlimite. Naverdade, a subsucessão dos termos de ordem par 4 k ) k [+ ) k ] 4k 4k = = =4k 4k 4k 4k [+] 9 [+] 4 4k = 4 k

10 tedepara0masasubsucessãodostermosdeordemímpar ) k 4 k [+ ) k ] 4k = 4k [ ] = 4k = k ) = 4k 4k 4k ) k k ) = tede para. Fialmete, cocluímos que o domíio de covergêcia dasériedepotêciaséd=] 4,4[. Note que para esta série de potêcias ão é possível obter L pelo v + cálculodelim v. Defacto, lim v + v [+ ) + ] +) [+ ) ] [+ ) ] [+ ) + ] +) ãoexiste,poisostermosdeordempartedempara+,sãodados por [ + ) k ] 4k +) 4k [+ ) k+ ] k+) = ) k+) = 4 4k k+) = 44k ) k+ = 44k 4 k+ =44k k =4 k +, masostermosdeordemímpartedempara0,sãodadospor [ + ) k ] 4k ) 4k [+ ) k ] 4k = +) 4k = 4k 4 4k =k ) 4 4k ) k = 4 4k = 4k 4 4k =4 k 4k = 4. a) Asériedepotêciasdex u x)= v x )= )! x, k+ 0. 0

11 emquev =/!),écovergeteparatodoox Rporque v + L = lim v +)!! +)!! = lim! +)! + = + =0+ doder=/l=/0 + =+. Assim,odomíiodecovergêciadasériedepotêciaséD=R. b) Nasériedepotêciasdex u x)= v x )=! x ), temosv =!. Dadoque +)! L! +)!! +)=+ cocluímos quer=/l=/+ =0. Dacodição x >R, que este caso é x >0equivalete a x 0), cocluímos que asériedepotêciasédivergetesemprequex R\{0}. Para x=0temosasérieuméricaula u 0)= 0! = 0 que é covergete. Assim, o domíio de covergêcia da série de potêciaséd={0}.. a) Asériedepotêciasdex [ x ) ] u x )= [ v x ) ] = emquev =,écovergetesemprequex tomavaloreso itervalo aberto], [ porque v + L v + =,

12 dode R = /L = / =. Portato, a série é covergete se x ],[,correspodetea <x < <x<, eédivergeteparax ],[ ],+ [. Parax=temos a série umérica [ u )= ) ] = [ ) ] que é divergete o termo geral ão tem limite, logo ão tede para0). Parax=temosasérieumérica [ u )= ) ] = ) = queédivergeteotermogeraltedepara+ 0). Assim, o domíiodecovergêciadasériedepotêciaséd=],[. b) Asériedepotêciasdex u x )= [ v x ) ] = [ ) +)! x )+ emquev = ) /[+)!],écovergeteparatodoox R porque ) + ) + v + L = lim v [+)+]! +)! ) ) +)! +)! ) + +)! = lim +)! ) ) ) +)! = lim +) +) +)! ) = lim +) +) +) +) = lim +) +) = + ) + ) = + =0+ doder=/l=/0 + =+. ]

13 . a) Sabedo que expx= ) )! x paratodoox R,cocluímossubstituidoxporx )que exp x ) = [ x ) ] = ) )! )! x ) = +x + x4 + 6 x6 + + )! x ) + semprequex R,ouseja,paratodoox R. Em alterativa, podemos obter o desevolvimeto de MacLauri dafuçãofx)=exp x ). Atededoaque f x) = xexp x ) logo f 0)=0 f x) = +4x ) exp x ) logo f 0)= f x) = x+8x ) exp x ) logo f 0)=0 f 4) x) = +48x +6x 4) exp x ) logo f 4) 0)= temos exp x ) = +! x + 4! x4 + 0 x 6 + 6! = + x + x4 + 6 x6 + = 0! x0 +! x +! x4 +! x6 + + )! x ) +. Háquemostrarqueodomíiodecovergêciadasériedepotêcias )! x ) = ) )! x

14 éd=r. Defacto,temos v + L = lim v + )! )! )! = lim! )! )!! )! =0+ doder=/l=/0 + =+. b) HàqueobterodesevolvimetodeTaylordafuçãofx)=/x emtorodex=. Atededoaque f x) = )x = x logo f )= 4 f x) = )x = x logo f )= = 4 temos f x) = )x 4 = 6 x 4 logo f )= 6 4 = 8 x = + ) x )+ 4 4 x ) + 8! = 4 x )+ 8 x ) = 4 x )+ 8 x ) + + ) x ) +. x ) + 6 x ) + 6 x ) Háquemostrarqueodomíiodecovergêciadasériedepotêciasdex [ ] ) x ) = [ ] ) x ) 4

15 emquev = ) /. Temos ) + ) v + L = lim v + ) + ) ) ) = lim ) ) = doder=/l=//)=. Portato, asérieécovergete sex ]0,4[correspodetea <x < 0<x<4. écovergetesemprequex tomavaloresoitervaloaberto ],[) e é divergete para x ],0[ ]4,+ [. Para x=0 temos a série umérica 0 ) = u [ ] ) 0 ) [ ] = [ = = ) ) ) ) ] [ [ ) ] ] = queédivergeteotermogeraltedepara/ 0). Parax=4 temos a série umérica 4 ) = u [ ] ) 4 ) = ] [ ) = [ ) ] que é divergete o termo geral ão tem limite, logo ão tede para 0). Assim, o domíio de covergêcia da série de potêcias éd=]0,4[. 5