CSE-020 Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia

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1 CSE-020 Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia Engenharia e Tecnologia Espaciais ETE Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais L.F.Perondi Engenharia e Tecnologia Espaciais ETE Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais

2 1 - Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) Sumário 1.1 Definições 1.2 Classificação de Equações Diferenciais Ordinárias 1.3 Solução de EDO de primeira ordem 1.4 Solução de EDO de ordem superior 1.5 Problemas de Valor Inicial 1.6 Problemas de Valor de Contorno 1.6 Equações diferenciais como modelos matemáticos de fenômenos

3 EDO Definições Uma variedade de problemas em Física e Engenharia (e em outras áreas) são formulados em termos de equações diferenciais. De forma geral, uma equação diferencial expressa uma relação entre uma quantidade e suas variações com respeito a uma ou mais variáveis independentes. Equações diferenciais ordinárias apresentam uma única variável independente enquanto equações diferenciais parciais apresentam duas ou mais variáveis independentes. Nesta revisão, nos restringiremos às equações diferenciais ordinárias.

4 EDO Exemplo de notação utilizada:

5 EDO 1.2 Classificação das Equações Diferenciais Ordinárias Equações diferenciais ordinárias podem ser classificadas quanto às seguintes características: tipo, ordem e linearidade Classificação por Tipo Se a equação contiver somente derivadas de uma ou mais funções dependentes em relação a uma única variável independente, ela será denominada de equação diferencial ordinária (EDO), caso contrário será denominada de equação diferencia parcial (EDP).

6 EDO Exemplos: EDO: EDP:

7 EDO Classificação por Ordem A ordem de uma equação é definida como sendo igual à da derivada de maior ordem na equação. Ex.: ordem 2; ordem 2. ordem 1.

8 EDO Classificação por Linearidade Uma equação de ordem n é classificada como linear quando F é linear em A forma geral de uma equação linear é dada por:. - potência 1 para todas as derivadas, - coeficientes são funções unicamente da variável independente.

9 EDO Exemplos: lineares, não lineares.

10 EDO Forma Normal de uma Equação forma geral; forma normal. Nesta revisão, nos restringiremos às equações diferenciais que possam ser expressas em sua forma normal.

11 EDO 1.3 Equações Diferenciais de Ordem Existência de Solução Única Dada a equação de ordem 1 haverá uma solução única em uma região do plano x-y, se e somente se e são contínuas nesta região. Exemplos: Soluções em regiões que incluem y = 0 não serão necessariamente únicas. Esta equação apresentará solução única para qualquer região do plano x-y.

12 EDO 1.3 Equações Diferenciais de Ordem Soluções para Casos Especiais A) B)

13 EDO 1.3 Equações Diferenciais de Ordem Soluções para Casos Especiais C) Separação de Variáveis D) Equação Linear onde é a solução da equação homogênea e uma solução particular.

14 EDO 1.3 Equações Diferenciais de Ordem Soluções para Casos Especiais E) Diferencial Exata Diferencial será exata se e somente se esta condição for satisfeita. Exemplo. Considere a equação: Observa-se que: de modo que: Portanto a diferencial dada é exata.

15 EDO 1.3 Equações Diferenciais de Ordem Soluções para Casos Especiais F) Diferencial Não-Exata Fator integrante: μ Requer-se que: Obtém-se:

16 EDO 1.3 Equações Diferenciais de Ordem Soluções para Casos Especiais F) Diferencial Não-Exata Casos especiais: Se será: depender somente de x, então um fator integrante Se será: depender somente de y, então um fator integrante

17 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a Equações Lineares Teoria Geral

18 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a 1 Teoria Geral 1- Existência de Solução Se forem contínuas em um intervalo I da variável independente x e se em I, então existe uma única solução da equação neste intervalo.

19 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a 1 Teoria Geral 2-Solução da Equação Homogênea (g(x) = 0) Uma equação diferencial linear homogênea de ordem n apresenta n soluções linearmente independentes. A solução geral é dada pela combinação linear de quaisquer n soluções linearmente independentes. ( contínuos e )

20 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a 1 Teoria Geral Complemento - Critério de independência linear As n funções serão linearmente independentes em um intervalo I sse o determinante W(x) for diferente de zero para todo x em I, onde:.

21 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a 1 Teoria Geral 3-Solução Geral A solução geral de uma equação diferencial de ordem n é dada pela soma da solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação não-homogênea.

22 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a Coeficientes Constantes

23 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a 1 Equações Homogêneas (1) -Uma equação diferencial homogênea de ordem n terá n soluções linearmente independentes. A solução geral expressa por uma combinação linear destas n soluções. - Forma geral das soluções:, onde m é uma constante. é Substituindo-se esta forma em (1), obtém-se a seguinte equação para m: cuja solução é dada por:,.

24 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a 1 Casos: a) Raízes reais

25 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a 1 Casos: b) Raízes imaginárias

26 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a 1 Casos: c) Raízes múltiplas

27 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a 1 Equações Não-Homogêneas A solução geral de uma equação não-homogênea de ordem n é dada por: onde é a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não-homogênea.

28 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a 1 Equações Não-Homogêneas Como obter? Um caminho consiste em estabelecer uma função tentativa a partir das características da função. a) polinômio Substituindo-se a função-tentativa na equação diferencial, obtém-se um conjunto de equações que definem as constantes.

29 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a 1 Equações Não-Homogêneas b) função trigonométrica Ex.:

30 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a 1 Equações Não-Homogêneas b) função trigonométrica Ex.: (cont.)

31 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a 1 Equações Não-Homogêneas c) função exponencial Ex.:

32 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a 1 Equações Não-Homogêneas c) função exponencial Ex.: (cont.)

33 EDO 1.4 Equações de Ordem Superior a 1 Equações Não-Homogêneas d) combinações polinômio+f. trigonométrica+exponencial Ex.:

34 EDO 1.5 Problema de Valor Inicial Resolver: sujeito à: Se e g(x) forem contínuos em I, e para todo x em I, e é um ponto pertencente a I, sempre haverá uma solução única para o problema acima.

35 EDO 1.6 Problema de Valor de Contorno Resolver: em um intervalo I, sujeito a condições que envolvem os valores da função e suas derivadas (até ordem n) em dois ou mais pontos dos intervalo I. Ex.:

36 EDO 1.6 Problema de Valor de Contorno Um problema de valor de contorno poderá ter uma, muitas ou nenhuma solução. Ex.: a) A = 0, B sin(2*pi) = 0 número infinito de soluções. b) A = 0, B sin(pi/2) = 1 uma única solução. c) A = 0, B sin(2*pi) = 1 não existe solução para o problema.

37 EDO 1.7 Equações diferenciais como modelos de fenômenos a) Dinâmica populacional Seja P o número de indivíduos em uma dada população. Em certas circunstâncias, observa-se que, em um intervalo de tempo, a variação de P é proporcional a P:. O crescimento da população com o tempo pode, então, ser modelada através da equação diferencial:.

38 EDO 1.7 Equações diferenciais como modelos de fenômenos b) Decaimento radiativo Seja A(t) o número de núcleos radiativos no tempo t em uma dada amostra. Observa-se experimentalmente que, em um intervalo de tempo, o número de núcleos que decaem radiativamente é proporcional a A(t): O número de núcleos com o tempo, nesta amostra, pode, então, ser modelada através da equação diferencial:

39 EDO 1.7 Equações diferenciais como modelos de fenômenos c) Disseminação de uma doença Sejam X(t) o número de pessoas que contraíram uma gripe e Y(t) o número de pessoas que ainda não contraíram a gripe, ambos no tempo t. É razoável supor que o crescimento de X(t) seja proporcional a X(t)Y(t):, uma vez que a gripe se espalha de pessoa para pessoa. Assumindo uma população constante:, o número de pessoas infectadas com a gripe com o tempo, nesta população, pode, então, ser modelado através da equação diferencial:.

40 EDO 1.7 Equações diferenciais como modelos de fenômenos d) Uma massa m sujeita à força produzida por uma mola de constante elástica K em um sistema massa-mola é descrito pela equação (1ª Lei de Newton):. Efetuando as substituições e, obtém-se a equação diferencial, cuja solução proporciona a posição de uma partícula de massa m com tempo em um sistema massa-mola.

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