UM NOVO OLHAR PARA O TEOREMA DE EULER

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1 X Ecotro Nacioal de Educação Matemática UM NOVO OLHA PAA O TEOEMA DE EULE Iácio Atôio Athayde Oliveira Secretária de Educação do Distrito Federal professoriacio@gmail.com Aa Maria edolfi Gadulfo Uiversidade de Brasília aamaria@mat.ub.br esumo: Um ovo olhar para o Teorema de Euler é uma proposta de mii-curso para ser apresetado o X ENEM em Salvador, BA, destiado a professores de matemática do ível médio. O pricipal objetivo cosiste em estudar o famoso teorema de Euler, experimetar suas aplicações e explorar algumas de suas geeralizações. Serão defiidos os elemetos geométricos básicos dos poliedros covexos, calculada a característica de Euler dessas figuras e demostrado experimetalmete o teorema de Euler, bem como as aplicações desses coceitos. Visado geeralizar esse teorema, o trabalho icluirá a costrução de figuras espaciais tais como os cojutos poliédricos e das figuras disco, toro e bada de Möbius, etre outras. A característica de Euler será calculada em cada uma dessas figuras. A abordagem diâmica dos temas mediate atividades, experiêcias e demostrações, iclui costruções geométricas e a maipulação de modelos matemáticos. Todos os materiais e as correspodetes soluções serão colocados a disposição dos professores participates. Com este curso procura-se icetivar o estudo dos coceitos geométricos, promover o uso de materiais didáticos em sala de aula e que os professores adquiram experiêcias que os torem multiplicadores perate os colegas a escola em que esiam. Palavras-chave: Euler; Característica; Poliedros. Histórico A seguite relação V A F (1) é cohecida como a Fórmula de Euler em recohecimeto a Leoard Euler ( ) que a publicou em 1750, com a formulação que para cada sólido limitado por superfícies plaas, o úmero de faces aumetado pelo úmero de vértices excede por dois o úmero de arestas. Tudo idica que Euler ão tiha uma prova satisfatória dessa idetidade, mas ficou covecido da sua validade pela cosideração de umerosos exemplos. Segudo algumas fotes, Descartes ( ), por volta de 1639, tiha cohecimetos sobre os elemetos de um poliedro referetes ao úmero de V vértices, A arestas e F faces, mas ão foram achadas evidêcias de seu cohecimeto da fórmula (1). No iício do século XIX apotaram-se evidêcias idicativas que a relação (1) ão pode ser verdadeira a geeralidade afirmada, pois surgiram casos de exceções. Assim, resultou em um Aais do X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Miicurso 1

2 X Ecotro Nacioal de Educação Matemática úmero de reformulações da versão básica da Fórmula de Euler e a itrodução dos vários parâmetros que substituíram o valor o segudo membro de (1). Poliedros Para uificação da liguagem, em cada tema defiiremos os elemetos básicos e ivestigaremos suas propriedades, segudo o tratameto em (Coxeter, 1961; Gadulfo, 007). Poliedro é a figura formada por um cojuto fiito de polígoos com as propriedades: i) A itersecção de dois polígoos do cojuto é um lado ou é um vértice ou é vazia. ii) Todo lado de um polígoo é lado de um e somete mais um polígoo do cojuto. iii) Dois polígoos com um lado comum ão pertecem ao mesmo plao. As faces do poliedro são os polígoos que o defiem e os lados e vértices desses polígoos são, respectivamete, as arestas e os vértices do poliedro. Um poliedro é covexo se está cotido um dos semi-espaços em relação ao plao por cada uma de suas faces. Caso cotrário, o poliedro é ão-covexo. Os poliedros podem ser classificados pelo úmero de faces: tetraedro (3), hexágoo (6), decaedro (10), etc. Atividade 1 - Costrua poliedros utilizado a defiição acima.. Faça um registro dos elemetos e classifique cada um dos poliedros costruídos. Atividade Determie a soma dos âgulos iteros das faces de um poliedro covexo que cocorrem em cada vértice do poliedro. Um poliedro é regular se ele é covexo, todas suas faces são polígoos regulares e em cada vértice cocorre o mesmo úmero de faces. Atividade 3 Costrua todos os poliedros regulares possíveis. Atividade 4 Faça uma tabela o úmero de faces(f), de vértices(v), de arestas (A), úmero de lados das faces (p) e o úmero de arestas por vértice (q) dos poliedros da Atividade 3. Aais do X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Miicurso

3 X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Os poliedros regulares são cico. Os pares de valores {p,q} são chamados os símbolos de Schläfli para os cico poliedros covexos regulares. (Kappaff, 1990) Fig1 Poliedros regulares O teorema de Euler para poliedros covexos Iicialmete trataremos da demostração mais cohecida, aplicado método de idução. Teorema de Euler. Se P é um poliedro covexo com F faces, A arestas e V vértices etão vale a relação V A F. Demostração. Cosideramos um poliedro covexo P qualquer, com F faces, V vértices, A arestas e dele é retirada uma face, dado o poliedro P. Supohamos que o poliedro aberto ficam F faces, V vértices, A arestas, queremos provar que eles verificam a relação V A F 1 () Verifique que () é válida para F 1, levado em cota que este caso temos um polígoo covexo P 1 de k lados, logo V k e k A. Portato V A F k k 1 1. Pelo método de idução fiita, com respeito ao úmero de faces da figura, supohamos que a relação () é válida para um poliedro aberto V ' vértices e P de F' faces, o qual possui A ' arestas, isto é, V ' A' F' 1 (3) Para provar que () também é válida para um poliedro aberto P com F ' 1 faces, o qual possui F ' 1 F faces, V vértices, A arestas tais que: F F' 1 ; A' p q ( q arestas coicidiram) A V V' p q 1 ( q arestas coicidido, q 1 vértices coicidem). Calcule () aplicado as cosiderações ateriores e (3), de ode V A F V' p q 1 A' p q F' 1 V' A' F' Em coseqüêcia, () é válida para P. Aais do X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Miicurso 3

4 X Ecotro Nacioal de Educação Matemática que V Cosidere agora o poliedro P com F faces, V vértices, A arestas, levado em cota V, A A e F F 1, etão obtemos para P a idetidade V A F. Na seguite demostração do Teorema de Euler, de autoria de A. M. Legedre, são usadas projeções de poliedros a esfera e elemetos de trigoometria esférica. Segudo em (Lima, 1991). Temos: Demostração do Teorema de Euler por A. M. Legedre - Sejam um poliedro covexo P, com V vértices, A arestas e F faces e uma esfera E, de raio r, com cetro em O, poto iterior do poliedro P. Supohamos, sem perda de geeralidade, que as faces de P são triâgulos, pois se ão é esse o caso, sempre é possível decompor cada face em triâgulos utilizado diagoais. Esse processo de triagulação ão modifica o úmero de V A F, pois toda vez que traçamos uma diagoal em uma face, a quatidade V ão altera, equato cada uma das quatidades A e F aumetam uma uidade, esses aumetos se cacelam a expressão V A F. Projetado radialmete o poliedro P sobre a esfera E, teremos uma decomposição de E em triâgulos esféricos T, dispostos de maeira similar à disposição o poliedro P. Em particular, a esfera E fica recoberta por F triâgulos esféricos T, com um total de V vértices e A lados. Na Figura o triâgulo esférico t, sobre a esfera E, é projeção radial do triâgulo T. Pelo Teorema de Girard, e são âgulos iteros de um triâgulo esférico, medidos em radiaos, etão a, ode a é a área desse triâgulo. Essa fórmula Euler. a foi fudametal para que Legedre demostrasse o Teorema de Assim para cada um desses triâgulos T, vale o teorema de Girard. Portato, segue A que S, ode S é a soma das medidas em radiaos dos âgulos iteros dos triâgulos esféricos T e A é a área do triâgulo esférico T. O úmero total de triâgulos esféricos é F e a soma total das medidas em radiaos dos âgulos iteros desses F triâgulos é dada por Fig. Aais do X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Miicurso 4

5 X Ecotro Nacioal de Educação Matemática F S. F (4) A soma dos âgulos em toro de cada vértice é, logo S. V (5) e a área da superfície esférica E é 4 r, portato A 4 (6) 4 Substituido (5) e (6) em (4) resulta. V. F de ode segue que V F 4, em coseqüêcia V F 4. Para obtermos uma relação etre F, úmero de triâgulos esféricos T, e A, úmero total de lados desses triâgulos T, basta perceber que todo triâgulo T tem três lados, e toda aresta é lado de dois triâgulos T, assim 3F A, etão F A F. Portato V F 4 que pode ser expresso como V A F 4, assim V A F. Característica de Euler para poliedros No teorema de Euler temos que todos os poliedros covexos a V A F é válida. O membro esquerdo da equação é chamado de característica de Euler. Podemos represetar essa expressão da seguite forma, utilizado a letra grega : P V A F (7) Ode a característica de Euler para os poliedros covexos tem valor dois. Assim, a característica de Euler do octaedro é: Octaedro Na figura 3 cada face do octaedro foi divida em 4 partes, mediate o traçado de segmetos de retas perpediculares. Nesta figura os potos (A) ou (B) serão cosiderados ovos vértices, as lihas como (AB) serão ovas arestas e as áreas como (ABCD), ovas faces. Assim teremos 3 faces, 56 arestas e 6 vértices, etão Octaedro , portato, o resultado da característica de Euler permaece ialterado. Desehado lihas malucas sobre o octaedro, criado uma porção de ovas arestas, vértices e faces, obterá sempre a mesma característica de Euler dois. Isso os mostra que Aais do X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Miicurso 5

6 X Ecotro Nacioal de Educação Matemática mesmo deformado o octaedro a característica de Euler cotiuará sedo dois. Como apresetado a Figura 4. A deformação pode ser tal que o octaedro acabe virado uma esfera. Fig. 3 Fig. 4 Atividade 05 - Verificar a relação de Euler V + F = A + para os poliedros costruídos. Atividade 06 - Abrir os poliedros cofeccioados a atividade 04 para descobrir uma possível plaificação para os mesmos. Desehar o papel potilhado as plaificações ecotradas. Tete descobrir outras plaificações para os mesmos poliedros. O octaedro e a esfera são topologicamete idêticos, isto é, o octaedro é homeomorfo a esfera. Podemos verificar o que falamos ateriormete, se costruirmos o octaedro com massa de modelar. Experimetalmete, é possível trasformá-lo em uma esfera sem rasgar e em efetuar corte algum em sua superfície. Um poliedro ser homeomorfo à esfera, ituitivamete, sigifica que ele pode ser iflado apresetado um formato esférico, ou seja, um poliedro ser homeomorfo à esfera sigifica que todo o cojuto de polígoos que forma o poliedro pode ser deformado, sem destruir ou criar ovas itersecções etre eles, de forma a se trasformar em uma esfera. A seqüêcia a seguir mostra o processo com um octaedro. Ver Figura 5. Fig. 5 Aais do X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Miicurso 6

7 X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Um poliedro é covexo se toda reta que cotém algum poto do seu iterior itercepta o poliedro em exatamete dois potos. Os poliedros covexos estão icluídos etre os poliedros homeomorfos a esfera: basta fixar um poto do iterior, que chamaremos de poto base e usar as retas que passam por esse poto para deformar o poliedro até que se trasforme uma esfera com cetro o poto base. Um exemplo bastate cohecido é o poliedro covexo com 1 faces petagoais regulares cogruetes e 0 faces hexagoais regulares cogruetes, a popular bola de futebol. Assim, dizemos que um poliedro é homeomorfo à esfera se o cojuto de polígoos que formam o poliedro quado iflado for levado ao formato de uma esfera, sem que criem ovas itersecções ou destruam as itersecções Icosaedro Trucado já existetes. Isso só é possível com objetos topologicamete iguais. Fig. 6 Porém as coisas mudam se o espaço tiver um furo. O Teorema de Euler a sua forma básica (1) é válido para a froteira de poliedros covexos 3-dimesioais limitados e fechados. Características de Euler de cojutos poliédricos Coforme Euler mesmo achava essa fórmula é válida para todos os poliedros, mas se vê facilmete que há uma falha quado pesamos em geeralizar esta fórmula para todos os poliedros. Provavelmete, Euler ão cosiderou a figura espacial represetado a figura abaixo. A relação V A F é tratada para poliedros sem buracos. Aqui, por exemplo, temos V 16, A 3 e F 16 o qual se tem V A F, pois Assim a relação mecioada ão é válida. Dizemos que a relação V A F é utilizada somete para poliedros sem ehum buraco, e etão, reescrevedo a fórmula para poliedros em geral temos: V A F g (9) g é chamado o gêero da superfície, represeta o úmero de buracos do poliedro. Fig. 7 Aais do X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Miicurso 7

8 X Ecotro Nacioal de Educação Matemática O primeiro membro da equação (9) geralmete é chamada de característica de Euler e deotada por (P), de modo que (9) possam ser exprimidos ovamete como V A F (P) (10) As equações (1), (9) e (10) relacioam os úmeros dos vértices, das arestas e das faces do poliedro às propriedades topológicas dos próprios poliedros. Os dois poliedros abaixo têm um furo, isto é, g = 1, assim a relação V A F g é válida para o poliedro da Figura 9. Coforme em (Grübaum, 1994). Fig. 8 Fig.9 Etretato, esta solução simples ão é aplicável em todos os casos. O poliedro mostrado a Figura 8 igualmete tem g = 1, mas V = 16, A = 4 e F = 10, assim V A F ; logo as relações (9) e (10) ão são totalmete verdadeiras. A coisa muda se o objeto tiver um furo. Se a fizermos sobre a superfície do toro o mesmo que fizemos com o octaedro (traçado lihas ode serão costruídas faces, arestas e vértices) e depois cotarmos, acharemos um úmero de Euler igual a zero, isto é, (P) 0. O toro é uma figura espacial com um furo, é topologicamete diferete do octaedro e da esfera. Seguido o raciocíio da massa de modelar, ão dá para trasformar uma esfera de massa em um toro sem cortar ou rasgar alguma coisa. é (P) 1 Figura 10 Em particular a característica de Euler: da esfera é S, do plao projectivo, do disco é D 1, do toro é T 0 e da fita de Möbius é M 0. Para cada cojuto poliédrico P a relação (4.) costitui uma geeralização para cojutos poliédricos das equações V A F, V A F g e V A F (P) dadas para poliedros. Aais do X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Miicurso 8

9 X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Atividade 07 - Costruir quatro cojutos poliedros possíveis que satisfaz a fórmula V A F g. Complete a tabela abaixo. Poliedros Número de faces F Número de vértices V Número de arestas A (P) Atividade 08 - Este material pode ser bastate explorado o laboratório de esio de matemática de qualquer escola. Agora, elabore uma atividade que você possa utilizar em suas aulas. Coclusão O teorema de Euler que relacioa faces, arestas e vértices de um poliedro é um resultados que há décadas vem sedo estudado por vários geômetras e que devido a simplicidade do seu euciado e a geeralidade de sua validez, torou-se um resultado atraete e popular. A utilização dos materiais didáticos para desevolver as atividades propostas este mii-curso trará aos professores uma oportuidade de abordar os coteúdos de geometria evolvidos este teorema. Além disso, forece uma alterativa didática as aulas, através da utilização de materiais cocretos para serem usados tato em sala de aula ou em um possível laboratório de matemática. Sedo este um espaço ausete em ossas escolas, pricipalmete a rede pública. Portato, pretedemos formar professores multiplicadores o que diz a respeito de atividades voltadas para o laboratório de esio em matemática. eferêcias Coxeter, H.S.M., (1961) Itroductio to Geometry. New York: Wiley. Gadulfo. A. M. (007) Notas de aula do Curso de Especialização: Matemática para Professores. Brasília: UB. Aais do X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Miicurso 9

10 X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Grübaum, B., Shephard G. C. (1994) A ew look at Euler's theorem for polyhedra. Amherst : America Mathematical Mothly. Kappaff, J. (1990) Coectios: the geometric bridge betwee art ad sciece. New York: McGraw-Hill. Lima, E. L. (1991) Meu Professor de Matemática e outras histórias. io de Jaeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. Aais do X Ecotro Nacioal de Educação Matemática Miicurso 10