Uma abordagem histórico-matemática do número pi (π )

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1 Uma abordagem histórico-matemática do úmero pi (π ) Brua Gabriela Wedpap, Ferada De Bastiai, Sadro Marcos Guzzo Cetro de Ciêcias Exatas e Tecológicas UNIOESTE Cascavel - Pr. Resumo. O úmero pi (π ) represeta o quociete etre o perímetro de uma circuferêcia e o seu diâmetro. O primeiro matemático a ivestigar o úmero π foi Archimedes (87- a.c.). Uma das importâcias deste úmero deve-se ao fato da sua preseça em várias equações de diferetes campos da ciêcia. Hoje já se cohecem muitos métodos diferetes para o cálculo do π. O objetivo deste trabalho é apresetar um pouco da história do úmero π e formas já cohecidas para o cálculo do seu valor aproximado, dado êfase ao método que utiliza séries de potêcias. Palavras chaves. Número π, história do π, cálculo do π.. Itrodução Desde ates de Cristo já se cohecia o úmero pi, que durate 500 aos, ocupou posição cetral a história da matemática []. A primeira tetativa de calcular o úmero pi ocorreu por volta de 50 a.c. Matemáticos de algumas épocas tetaram calcular o valor de pi até provarem que é um úmero irracioal. A partir de etão métodos têm sido desevolvidos para o cálculo do valor de pi, represetado pela letra gregaπ, com um úmero cada vez maior de casas decimais.. História do úmero PI O úmero π tem uma história fasciate, que começou acerca de 4000 aos atrás. Ates de mais ada, é importate focar que a história do π, um dos passos fudametais cosistiu em adquirir cosciêcia da costâcia da razão etre o perímetro e o diâmetro de qualquer círculo, pois sem esta cosciêcia uca se teria cocebido o π. Iúmeros povos adaram à sua procura mesmo ates que chegassem a ter cosciêcia matemática. No velho testameto (I Reis 7:3) lê-se: "E ele (Salomão) fez também um lago de dez cúbitos, de margem a margem, circular, cico cúbitos de fudo, e trita cúbitos em

2 redor". Este mesmo verso aparece também em II Crôicas 4:. Esta passagem ocorre em uma lista de especificações para o grade templo de Salomão, costruído cerca de 950 a.c. A circuferêcia era, pois, três vezes o diâmetro. Isto sigifica que os atigos Hebreus se cotetavam em atribuir a π o valor 3. Este valor foi muito possivelmete ecotrado por medição. Matemáticos de várias épocas tetaram buscar uma racioalidade para π. No etato, chegaram a uma icrível descoberta para a época: a existêcia de úmeros irracioais. A prova de que π é um úmero irracioal foi feita por Joha Lambert, em 76, e Legedre, em 794. Além de irracioal, π é um úmero trascedete, o que foi provado por Ferdiad Lidema em 88. Isso sigifica que ão existe um poliômio com coeficietes iteiros ou racioais do qual π seja uma raiz. É difícil de calculá-lo porque sedo um úmero irracioal, sua represetação decimal ão apreseta ehuma previsibilidade. Um dos problemas mais itrigates a atiguidade, era a chamada quadratura do círculo. Este problema cosiste em costruir (apeas com régua ão graduada e compasso) um quadrado de área igual à área de um círculo dado. A primeira meção deste fato é feita por volta do ao 000 a.c. Isto é o que revela o papiro Rhid, um documeto egípcio descoberto em 855, cujas iscrições idicam a regra um oo: Isto sigifica que Se d é o diâmetro de um círculo, etão subtraido-se de d, um-oo de d, obtemos o lado do quadrado desejado. e portato, d 8d π, 9 6 π 3, O primeiro matemático a ivestigar o úmero π foi Archimedes (87- a.c.). Ele efetivamete calculou uma aproximação para o úmero π. Em sua época, já era cohecido que a razão etre o comprimeto de uma circuferêcia e o seu diâmetro resultava em uma costate. Archimedes costruiu polígoos regulares iscritos e circuscritos em uma circuferêcia e calculou o perímetro destes polígoos. Quato mais lados ele colocava o polígoo, melhor a aproximação. Usado um polígoo regular de 96 lados, Archimedes descobriu que < π < 3+ 7 ou seja, 3,40845 <π < 3,4857. O trabalho de Archimedes ão foi melhorado durate dezoito séculos. Hoje se sabe com bastate precisão o valor do úmero π. O úmero π (assim como todos os úmeros irracioais) ão pode ser represetado por uma fração, em outras palavras, o úmero π tem ifiitas casas decimais que ão apresetam comportameto periódico. Uma fração que muito se aproxima do valor de π, com um 6 erro meor que 0 355, é. 3 7

3 Vários matemáticos ficaram ocupados, durate algum tempo, em calcular o valor de π com mais precisão do que se cohecia. Isto é, com mais casas decimais. A cada ova tetativa os cálculos se toravam mais elaborados e extesos. Depois da costrução do primeiro computador, o ENIAC (Electroic Numerical Itegrator Ad Computer), o trabalho de calcular π com maior exatidão coloca computadores para trabalhar durate horas ou até dias para calcular mais casas decimais de π. O próprio ENIAC foi usado por Reitwierser, em 949 para calcular 037 casas decimais corretas para π, trabalhado 70 horas. Em setembro de 00, Yasumasa Kaada atige a marca de,4 trilhão de casas decimais, usado um supercomputador Hitachi SR8000, que trabalhou por 60 horas, o Cetro de Iformação Tecológica da Uiversidade de Tokyo. 3. Importâcia do PI A importâcia de π deve-se também ao fato da sua preseça em várias equações de diferetes campos da ciêcia: descrevedo a hélice dupla do DNA, a teoria das supercordas, as equações de Eistei do campo gravitacioal, a arquitetura e em um grade úmero de problemas geométricos e estatísticos. O π apreseta-se também a teoria das vibrações e movimetos odulatórios. Mesmo a arte π tem sido uma fote de ispiração. Umberto Eco, a primeira págia do seu livro O Pêdulo de Foucault, descreve o pêdulo e a associação de π com o período do pêdulo. No filme π, faith i chaos, escrito e dirigido por Darre Aroofsky, um atormetado matemático teta decifrar um código, baseado-se em dígitos de π, para compreeder o padrão do mercado de capitais. 4. Cálculo do PI O osso objetivo aqui é apresetar uma maeira de se calcular o úmero π com a precisão que se desejar. O que será apresetado aqui ão é a melhor maeira para se calcular π, mas foi um método usado primitivamete para o cálculo de π. Algus dos métodos ecessitam do cohecimeto sobre séries de potêcias, o leitor iteressado pode cosultar []. A época do Reascimeto Europeu trouxe, a altura devida, uma ova cocepção da matemática, preocupada em provar as afirmações já feitas, uma matemática mais estruturada. Houve a ecessidade de calcular o úmero π, o caso de irracioal, demostrar este fato. Descobriu-se etão a defiição ão geométrica de π e do papel "ão geométrico" deste valor. Assim se chegou à descoberta das represetações de π por séries ifiitas. Um dos primeiros foi Wallis (66-703) com a fórmula, π Em 676, Newto usou a série de potêcias da fução arco seo, e obteve: ( )! (! ) 3 + π 6arcse, 4 0

4 que é uma série de covergêcia muito boa, com 50 termos da série obtém-se 30 dígitos exatos de π. Outra fórmula, obtida por volta de 670, que é por vezes atribuída a Leibiz (646-76), mas que parece ter sido descoberta primeiro por James Gregory ( ), e portato cohecida como fórmula de Gregory-Leibiz é que é objeto de osso estudo. ( ) 4 π 4arctg() , A Tabela apreseta uma aproximação para π usado as 30 primeiras parcelas da soma. Tabela. Aproximação de π pela série de Gregory-Leibiz 4 ( ) + π 0 4, , , , , , ,57486, , , , , , , , , ,3594 3, ,0563 3, , ,3357-0, , , , ,4848 3, , , ,9033 3, , 3, ,4857 3, ,0808 3, ,0564 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,08684 O problema desta fórmula é que a covergêcia se dá de forma muito leta. Pela tabela acima pode-se observar que a primeira casa decimal de π somete estabiliza-se quado já foram somados 5 termos. Serão ecessários 300 termos da série para que a seguda casa decimal seja igual a 4 e 5000 termos somados para obtermos a terceira casa decimal.

5 Em 706, Joh Machi itroduziu uma variação da série de Gregory-Leibiz com um aumeto sigificativo da covergêcia. A idéia de Machi foi utilizar uma expressão da forma, z m com z, m e iteiros. Nesta fórmula e estarão mais próximos de 0 do que, e m z isto garate covergêcia mais rápida. Machi ão só itroduziu uma fórmula como também uma idéia que é uma das que aida hoje é usada, pelos programas de computadores, para calcular os dígitos do π. Ele coseguiu 00 casas decimais de π, arctg. A fórmula ecotrada por Machi é dada por, desmembrado ( ) 4 5 Após Machi, muitos matemáticos utilizaram-se dessa idéia e ceteas de fórmulas foram obtidas por esse processo. As fórmulas obtidas por esse método são cohecidas como fórmulas do tipo Machi. Algumas delas são: Euler (738): Strassitzky: Huto: Kligestiera: Gauss: Stormer: 44 Sebah: ;

6 Para se ter uma idéia da covergêcia, a Tabela mostra uma aproximação de π usado os dez primeiros termos da série de Euler, ode coseguimos 6 casas decimais corretas de π. N S + Tabela. Aproximação de π pela série de Euler ( ) 4 ( ) 4 S + ( + ) 3 ( + ) S + S 0, , , , , , , , , , ,0898 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Apeas como curiosidade citamos outros dois tipos de séries para obter π. O idiao Sriivasa Ramauja, descobriu em 94 a impressioate fórmula π ( 4)(! ) (!) Esta série coverge rápido. Ela forece 8 casas decimais corretas a cada termo adicioado. Em 987, os irmãos Gregory e David Chudovsky melhoraram a série de Ramauja e descobriram π XXII SEMANA ACADÊMICA DA MATEMÁTICA ( ) ( 6)(! ) (! ) ( 3)(! ) Uma das melhores séries para obter π, pois coverge muito rápido. Cerca de 4 casas decimais corretas a cada termo adicioado. Em 997, David Bailey, Peter Borwei e Simo Plouffe cotabilizaram 0 bilhões de casas decimais para π, usado a fórmula 6 4 π, que permite calcular em base 6 (e cosequetemete em base ) qualquer um dos dígitos decimais de π sem precisar calcular os dígitos precedetes... π 5. Referêcias [] EYMARD, P., LAFON, J. The umber π. Editora AMS p. [] GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Vol 4. Editora LTC. 3 ed p.

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