Equivalência entre holomorfia, analiticidade e teorema de Cauchy

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1 Capítulo 6 Equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e teorema de Cauchy 6 Itrodução O resultado cetral deste capítulo é a equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e validade do Teorema de Cauchy Trata-se da importate uificação dos coceitos estabelecidos separadamete os três últimos capítulos, com base em derivadas, séries de potêcias e itegrais, respectivamete É uma ilustração muito elegate e útil das particularidades das fuções complexas A possibilidade de represetação de fuções complexas cotiuamete difereciáveis o iterior de círculos cotidos o domíio de holomorfia por séries de potêcias foi comuicada por Cauchy à Academia das Ciêcias de Turim em 83 Cauchy ão justificou a itegração termo a termo de uma série usada a demostração, o que levou P Tchébychev a assialar em 844 que tal só era possível em casos particulares, dificuldade que foi mais tarde ultrapassada com base o coceito de covergêcia uiforme, como se observou o capítulo aterior Em 889, J Morera 3 provou um recíproco do Teorema de Cauchy que estabelece que as fuções complexas com itegrais ulos sobre as froteiras de triâgulos fechados cotidos o cojuto de cotiuidade da fução itegrada são holomorfas o iterior desse cojuto Esta simples situação o plao complexo permitiu clarificar de forma geral aspectos de covergêcia e divergêcia de séries de potêcias que a recta real ão eram facilmete perceptíveis Por exemplo, a fução real x 6 /( + x ) é idefiidamete difereciável em toda a recta real e a sua série de Taylor cetrada a origem x = ( ) coverge apeas para x < ão havedo perca de difereciabilidade da fução os potos ±, equato a fução complexa defiida pela mesma expressão ão está defiida e tede para os potos ± i, o que, de facto, implica que o raio de covergêcia da série é Pafuti Tchébychev (8-894) 3 Jacito Morera (856-99) 8

2 8 Equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e teorema de Cauchy Com a cotribuição de E Goursat em 9, que permitiu provar o Teorema de Cauchy para fuções holomorfas sem a hipótese das derivadas destas fuções serem cotíuas, torou-se possível estabelecer para fuções complexas a equivalêcia dos coceitos de holomorfia e aaliticidade, e destes com a existêcia de primitivas locais Neste capítulo também se prova o Teorema Fudametal da Álgebra (todo o poliómio complexo de grau maior ou igual a tem pelo meos um zero e todos os zeros destes poliómios são úmeros complexos) Este teorema tem uma loga história Foi previsto por A Girard 4 uma publicação que apareceu em 69, mas resistiu a umerosas tetativas de demostração durate quase dois séculos As primeiras tetativas cosideraram poliómios de coeficietes reais JR d Alembert apresetou uma tetativa de prova em 746, L Euler em 749 e PS Laplace 5 em 795 CF Gauss idicou em 799, a sua tese de doutorameto, falhas as tetativas dos matemáticos referidos e propôs uma prova que também se revelou icompleta Em 84 JR Argad publicou uma tetativa de prova baseada a ideia de d Alembert, mas que também ão resolveu a questão Fialmete, em 86 Gauss publicou uma prova correcta seguido a ideia de Euler, e o mesmo ao apresetou uma outra prova Em 849, Gauss publicou mais uma prova, com base a ideia explorada a sua primeira tetativa, agora para poliómios com coeficietes complexos As provas referidas eram demostrações de existêcia ão costrutivas, isto é, ão se baseavam um método que pudesse ser aplicado para obter aproximações dos zeros das fuções Por esta razão, K Weierstrass tetou, sem sucesso, obter uma demostração costrutiva do teorema A primeira prova deste tipo só foi obtida em 94 por H Keser 6 Em 98, o seu filho M Keser 7 apresetou uma versão simplificada desta prova O capítulo tem uma secção dedicada ao teorema da fução iversa (toda a fução holomorfa um cojuto aberto tem iversa local holomorfa uma vizihaça de cada poto ode a sua derivada é diferete de zero e, essa vizihaça, trasforma cojutos abertos em cojutos abertos), à caracterização da estrutura local das fuções holomorfas em regiões (são costates ou adições de potêcias iteiras de fuções ivertíveis holomorfas com costates) e ao teorema da aplicação aberta (as images de regiões por fuções holomorfas ão costates são regiões) Demostra-se, também, um resultado de Weierstrass obtido os seus caderos de Muique de 84, que só foram publicados em 894, estabelecedo que as sucessões e séries de fuções aalíticas uiformemete covergetes em cojutos compactos são aalíticas e podem ser idefiidamete derivadas termo a termo Em particular, o processo de extesão de fuções poliomiais a fuções aalíticas pela cosideração de séries uiformemete covergetes ão coduz a ovas fuções quado é aplicado a fuções aalíticas Albert Girard (595-63) 5 Pierre Simo Laplace (749-87) 6 Hellmuth Keser ( ) 7 Marti Keser (98-)

3 6 Equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e teorema de Cauchy local 83 6 Equivalêcia de holomorfia, aaliticidade e teorema de Cauchy local O resultado seguite estabelece para fuções complexas que holomorfia e aaliticidade são equivaletes, e dá uma Fórmula de Cauchy local para as derivadas de qualquer ordem de fuções holomorfas (6) Teorema: Seja Ω um cojuto aberto Etão f H (Ω) se e só se f é aalítica em Ω Em caso afirmativo, se B R ( Ω e é um camiho fechado seccioalmete regular em ( \ { z}, f e as suas derivadas satisfazem B R ( )! f ( Id ( = π i f ( w) ( w + dw, para { } Dem Do teorema (56) sabe-se que se f aalítica em Ω, etão f H (Ω) Resta provar a recíproca Supõe-se f H (Ω) e B R Ω Seja um camiho fechado seccioalmete regular em B R ( \ { a} Da Fórmula de Cauchy em cojutos covexos (teorema (4)) obtém-se f ( Id z f w dw i ( ) ( ) = π w, para z BR ( \ * z Resulta da proposição (55) que f Id é aalítica em B R ( \ * e tem em cada círculo aberto B r ( Ω \ * a represetação em série de potêcias f ( w) f ( Id z dw ( z ( ) = i + π = ( w A uicidade dos coeficietes das séries de potêcias cetradas um poto que represetam uma mesma fução (fórmula (59) do teorema (56)) garate que é obtida a mesma série de potêcias qualquer que seja com as propriedades idicadas Portato, a represetação em série de potêcias cetrada em a que foi obtida é válida para todo z B Resulta que f é aalítica em Ω R A fórmula para as derivadas de f resulta das fórmulas o teorema (56) QED É de otar que o teorema aterior implica, para uma fução f H (Ω), que o raio de covergêcia da série de Taylor cetrada o poto a Ω é a distâcia de a à froteira de Ω, isto é, a úica obstrução à covergêcia da série de Taylor de uma fução difereciável complexa para o correspodete valor de f a partir de uma certa distâcia do poto a é a fução ão estar defiida ou ão ser holomorfa um poto a essa distâcia de a Esta situação cotrasta com o que se verifica para fuções reais difereciáveis e permite explicar a limitação de raios de covergêcia de séries de Taylor

4 84 Equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e teorema de Cauchy de fuções difereciáveis reais pela ocorrêcia de potos o plao complexo fora do eixo real ode as extesões complexas das fuções reais cosideradas ão são difereciáveis, como por exemplo o caso da fução real x 6 /( + x ) referido a itrodução ao presete capítulo O teorema aterior também garate que as derivadas de ordem arbitrariamete elevada de fuções holomorfas um cojuto existem e são holomorfas esse cojuto (6) Corolário: Seja Ω um cojuto aberto e f H (Ω) Etão f é ( ) idefiidamete difereciável em Ω e f H ( Ω), para todo Em particular, f é C Dem É uma cosequêcia imediata do teorema aterior, o qual garate que as ( ) codições assumidas a fução f tem derivada em Ω, e do facto já cohecido da existêcia de derivada de uma fução implicar a cotiuidade dessa fução QED Com base este resultado pode-se demostrar que o Teorema de Cauchy admite o seguite recíproco (63) Teorema de Morera: Seja Ω um cojuto aberto, f : Ω uma fução cotíua tal que f ( dz = para todo o triâgulo fechado Ω Etão f H (Ω) Dem Se C Ω é um círculo aberto pode-se defiir como a demostração da existêcia de primitivas de fuções holomorfas em cojutos covexos (teorema (47)) uma fução F H (C) tal que F = f O resultado aterior implica f H (Ω) QED Com o corolário (6) também se pode provar que a razão icremetal de uma fução holomorfa f um cojuto aberto Ω etre dois potos w, z Ω, como fução destas duas variáveis, pode ser estedida com os valores da derivada de f a uma fução cotíua em Ω Ω que é holomorfa em Ω quado cosiderada como fução de uma das variáveis com a outra fixa, o que é útil em várias situações (64) Proposição: Seja Ω um cojuto aberto, f H (Ω) e g : Ω Ω tal que f ( w) f (, se w z g ( w, = w z f (, se w = z Etão, g é cotíua em Ω Ω e as fuções z 6 g( w, com w Ω fixo, e w 6 g( w, com z Ω fixo, são holomorfas em Ω

5 6 Equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e teorema de Cauchy local 85 Dem A cotiuidade de g em potos de ( Ω Ω) \{( a, : a Ω} é cosequêcia imediata da cotiuidade de fuções holomorfas, estabelecida o teorema (36), e da cotiuidade de difereças e quocietes de fuções holomorfas em potos ode o deomiador ão se aula A difereciabilidade de f um poto a Ω assegura a cotiuidade das fuções de uma das variáveis, com a outra fixa, em potos ( w, = ( a,, mas aida é preciso provar a cotiuidade de g como fução de duas variáveis os potos ( a, Ω Ω Para ( w, Ω Ω cosidera-se o camiho regular que ue os dois potos por um segmeto de recta, ξ w, z ( t) = t w + ( t) z, e ( u, v) = f Etão ( f D ξ) f ( ξ( t)) ξ ( t) dt g ( w, g( a, = f ( = f ( w z w z f ( ξ( t))( w dt = f ( = ( f ( ξ( t)) f ( ) dt w z O corolário aterior assegura que f é cotíua em Ω Portato, qualquer que seja ε > existe δ > tal que z, w Bδ ( implica f ( ξ ( t)) f ( < ε, pois estas codições ξ ( t) Bδ ( para todo t [,] Em cosequêcia g( w, g( a, f ( ξ ( t) f ( dt < ε = ε, o que permite cocluir que g é cotiua em ( a, Resta provar a difereciabilidade das fuções de uma variável, com a outra fixa, cosideradas Para cada w Ω, a fução defiida em Ω por z 6 g( w, é difereciável em todos os potos z w, dado que somas, produtos e quocietes de fuções difereciáveis são difereciáveis em potos ode deomiadores de quocietes ão se aulam Do teorema (6) sabe-se que as fuções holomorfas são aalíticas e do teorema (56) que o desevolvimeto de uma fução aalítica em série de potêcias cetrada um poto é a série de Taylor da fução esse poto Como f H (Ω), obtémse, para todo w Ω g( w, w + h) g( w, w) lim = lim h h h [ f ( w + h) f ( w) ] h / h f ( w) ( ) f ( w) h = lim h f ( w) f ( w) h lim = h h! h = h j= ( j+ ) f ( w) h ( j + )! j f ( w) =, pelo que z 6 g( w, também é difereciável em z = w Portato, para cada w Ω, a fução z 6 g( w, é holomorfa em Ω Trocado os papeis de w e z, prova-se que w 6 g( w, é holomorfa em Ω QED O teorema seguite uifica, um cojuto aberto Ω os coceitos de holomorfia, aaliticidade, validade do Teorema de Cauchy a froteira de triâgulos fechados cotidos em Ω e existêcia de primitivas locais em (cojutos covexos de) Ω

6 86 Equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e teorema de Cauchy (65) Teorema de Uificação: Se Ω é um cojuto aberto e f : Ω, etão as propriedades seguites são equivaletes: ) f é holomorfa em Ω ) f é aalítica em Ω 3) f é cotíua em Ω e f ( dz =, para todo o triâgulo fechado Ω 4) f tem primitiva em todos os subcojutos abertos covexos de Ω Dem A equivalêcia de ) e ) foi provada o teorema (6), a de ) e 3) resulta do teorema (47), do Teorema de Morera (63) e da cotiuidade das fuções holomorfas (teorema (36)), a de ) e 4) resulta do teorema (47), da cotiuidade das fuções holomorfas e do corolário (6) aplicados a F tal que F = f QED De um poto de vista histórico, é iteressate observar que Cauchy se baseou pricipalmete a caracterização 3), Weierstrass a ) e Riema a ) 63 Teorema Fudametal da Álgebra Com base a aaliticidade das fuções holomorfas, o Pricípio do Módulo Máximo e o coceito de ordem de um zero de uma fução aalítica pode-se estabelecer o Teorema Fudametal da Álgebra que assegura que os zeros de poliómios complexos são úmeros complexos e são tatos, cotado multiplicidades, quato a ordem do poliómio Este resultado assume um iteresse especial se recordarmos que os úmeros complexos foram pela primeira vez cosiderados para obter zeros de poliómios reais que ão tiham zeros reais (66) Teorema Fudametal da Álgebra: Se P é um poliómio complexo de grau, etão P tem exactamete zeros em, cotado multiplicidades de zeros de acordo com as suas ordes como zeros de P Mais especificamete, se P( = a z + a z +! + az + a, com a, etão existe um úmero fiito de zeros distitos de P em, z,!, z, de ordes m,!, m, respectivamete, tais m m m que = m + m +! + m P ( = a ( z z ) ( z z )!( z z ) e Dem Escreve-se o poliómio P a forma P( = a z + a z +! + az + a, ode a, visto que se supõe que P é um poliómio de grau Como iθ P ( = z ( a + a / z +! + a / z + a / z ), verifica-se P ( r e ) + quado r + iθ Portato, para r > suficietemete grade é P( r e ) > P(), para todo θ [, π ] Se P ão tivesse zeros, etão f = ( / P) H ( ) e portato f seria aalítica em, com iθ () f ( r e ) θ, π, o que cotradiz o Pricípio do Módulo f > para todo [ ]

7 63 Teorema fudametal da Álgebra 87 Máximo 8 (55) Coclui-se que existe pelo meos um zero z de P Se m desiga a ordem do zero z de P, tal como defiida a demostração do teorema (5), verificase P( = ( z P (, ode P m ( é um poliómio de ordem m Se m >, aplica-se a P o argumeto aterior, e assim sucessivamete, obtedo-se zeros z j de ordes m j de poliómios P j ( de graus ( m +! + m j ), para j =,,!,, até que m m m ( m +! + m ) =, e P( = ( z ( z z)!( z z ) P (, ode P ( é um poliómio de grau zero, e portato, é uma costate É fácil ver que tem de ser P ( = a QED É útil verificar o que acotece com os zeros de poliómios com coeficietes reais (67) Corolário: Se P é um poliómio complexo de grau, com coeficietes reais, etão P tem exactamete zeros em, cotado multiplicidades de zeros de acordo com as suas ordes como zeros de P, e os zeros que ão são úmeros reais ocorrem ecessariamete em pares cojugados de zeros de ordes iguais Dem Se P( = a z + a z +! + az + a tem coeficietes reais, etão P ( = P(, pelo que se w é um zero de P também w é um zero de P Estes dois zeros são distitos se e só se w ão é um úmero real Neste caso, as ordes dos dois m zeros cojugados de P são iguais, pois P( = ( z w) g(, com g ( w), implica m P( = P( = ( z w) g(, com g ( w) QED 64 Estrutura local de fuções holomorfas e teorema da aplicação aberta Os cotradomíios de fuções holomorfas uma região só podem ser uma região ou um poto Nesta secção prova-se este facto, bem como outros aspectos relacioados, icluido o seguite Teorema da Fução Iversa que estabelece a existêcia de iversa local holomorfa de uma fução holomorfa com derivada diferete de zero um poto (68) Teorema da Fução Iversa: Seja Ω um cojuto aberto, ϕ H (Ω), a Ω e ϕ ( z ) Etão existe uma vizihaça V Ω de z tal que: ) ϕ é ijectiva em V e ϕ ão tem zeros em V, ) W = ϕ(v ) é um cojuto aberto, 3) A iversa de ϕ em V, ϕ :W V, é holomorfa e ( ϕ ) = /( ϕ D ϕ ) em W 8 Em alterativa, pode-se substituir o Pricípio do Módulo Máximo pela Propriedade de Valor Médio Uma outra alterativa é usar o Teorema de Liouville, dado que lim f ( = implica que f é z + limitada e, portato, costate igual a zero em, o que só seria possível se P tivesse grau zero

8 88 Equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e teorema de Cauchy Dem Se ( u, v) = ϕ, ( x, y) = z, a fução em tal que ( x, y) 6 ( u( x, y), v( x, y)) é C e, das Codições de Cauchy-Riema o seu jacobiao é J( u, v) = ( u / x)( v / y) ( u / y)( v / x) = ( u / x) + ( v / x) = ϕ Logo, o Teorema da Fução Iversa para fuções em implica a existêcia de uma vizihaça V de ( x, y ) = z ode a fução é ijectiva, J ( u, v), W = ( u, v)( V ) é aberto e a iversa u v) (, : W V é difereciável, pelo que a fução complexa dada ϕ tem as propriedades idicadas o euciado, faltado apeas verificar a fórmula para a derivada em 3) Esta resulta de derivar a equação ϕ D ϕ ( z ) = z, o que dá ( ϕ D ϕ )( ϕ ) = e, portato, a fórmula o euciado QED Com base o teorema aterior, a propriedade dos zeros de fuções holomorfas ão ideticamete ulas serem isolados, o coceito de ordem de zeros destas fuções e a existêcia de primitiva local de fuções holomorfas pode-se estabelecer a caracterização seguite das fuções holomorfas em regiões Esta caracterização mostra que a estrutura local das fuções holomorfas ão costates uma região é relativamete simples: a meos da adição de costates são potêcias iteiras de fuções ivertíveis holomorfas (69) Teorema (estrutura local das fuções holomorfas em regiões): Seja Ω uma região e f : Ω uma fução ão costate em Ω Etão a fução f é holomorfa em Ω se e só se cada poto z Ω tem uma vizihaça V Ω tal que ( ( z ) m f ( = w + ϕ ), para todo z V, ode w = f ( z ), m é a ordem do zero z da fução f w, ϕ é uma bijecção holomorfa de V sobre um círculo aberto B r () tal que ϕ ( z ) = e ϕ ão tem zeros em V (Figura 6) Dem É claro, da holomorfia de fuções obtidas por somas e composições de fuções holomorfas, que uma fução f da forma idicada em vizihaças de todos os potos de Ω é holomorfa este cojuto Supohamos agora que f H (Ω) e seja ρ > tal que B ρ ( z ) Ω Do teorema (5) sabe-se que os zeros de fuções holomorfas são isolados e, como B ρ ( z ) é compacto, os zeros de f w este cojuto são em úmero fiito, pelo que existe < ρ < ρ tal que z é o úico zero de f w em Ω = B ρ ( z ) e m (6) f w = ( z z ) g( ), para z Ω, ( z ode g H (Ω ) e g ão tem zeros em Ω Portato, g / g H ( Ω ) e, como Ω é um cojuto aberto covexo, sabe-se do teorema (47) que g / g tem uma primitiva h H (Ω ) em Ω Verifica-se ( ) h h h = = h g g e g e g e h e g g =, em Ω g h Portato, existe uma costate c tal que g = c e Sem perda de geeralidade, h supõe-se c = e g = e, visto que, para tal, basta cosiderar uma outra primitiva de g / g

9 65 Aaliticidade das séries de fuções aalíticas e teoremas de Hurwitz 89 h( / m obtida adicioado uma costate apropriada a h Defie-se ϕ ( = ( z e, para z Ω Elevado ambos os membros desta equação a m e substituido em (6) obtém-se a fórmula o euciado A mesma equação garate que ϕ H (Ω ), pois dá uma fórmula para esta fução em termos de produtos e composições de fuções holomorfas Obtém-se directamete ϕ ( z ) = e ϕ ( z ) A existêcia de uma vizihaça V de z tal que ϕ ão tem zeros em V e ϕ é uma bijecção de V sobre o cojuto aberto W = ϕ( V ) resulta do Teorema da Fução Iversa (68) Como o cojuto W é aberto e cotém ϕ ( z ) =, existe um círculo aberto B r ( ) W Dado que ϕ é cotíua em V as suas images iversas de cojutos abertos são cojutos V = f () coclui-se a demostração do teorema QED abertos, pelo que tomado [ ] B r Como a potêcia de expoete m é uma fução m -para- de qualquer círculo aberto de cetro a origem mas sem a origem, B () \ {}, sobre B () \ {}, o teorema ρ ρ m aterior garate que uma fução f holomorfa e ão costate uma região é, uma vizihaça V de cada poto z da região, uma fução m -para- de V \ { z } para B r m ( w ) \ {}, ode w, m, r são como o euciado do teorema (Figura 6) Quado m >, diz-se que z é um poto de ramificação de ordem m z ϕ( f( Figura 6: Vizihaça de um poto de ramificação de ordem m = 3 (exemplo com z =, w =, ( ) 3 ϕ z =, ϕ ( = l z, f ( = (l ) É útil explicitar a cosequêcia seguite dos teoremas ateriores que, jutamete com o Teorema da Fução Iversa (68), implica que, para fuções holomorfas, a ão aulação da derivada é ecessária e suficiete para a ijectividade local, em cotraste com o que se verifica para fuções reais difereciáveis (6) Teorema: Se Ω aberto e f H(Ω) é ijectiva em Ω, etão f em Ω e f H( Ω) Dem Seja z Ω arbitrário Se f é ijectiva em Ω, etão ão é costate em qualquer vizihaça de z, pelo que a fórmula o euciado do teorema (69) dá a sua estrutura local Logo f só é ijectiva se a ordem da potêcia m essa fórmula é, o que implica f ( z ) Como z Ω é arbitrário, cocluiu-se que f em Ω Aplicado o Teorema da Fução Iversa (68) obtém-se que a iversa de f é holomorfa uma vizihaça de cada poto de Ω, pelo que é holomorfa em Ω QED

10 9 Equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e teorema de Cauchy Uma outra cosequêcia imediata dos teoremas ateriores é o Teorema da Aplicação Aberta auciado o iício desta secção (6) Teorema da Aplicação Aberta: Seja Ω e f H(Ω ) ão costate 9 em Ω Se Ω é aberto, etão f (Ω) é aberto Se Ω é uma região, etão f (Ω) é uma região Dem Do teorema (69), para cada poto z Ω existe um círculo aberto B r ( f ( ) f ( Ω), pelo que f (Ω) é um cojuto aberto Como f é cotíua em Ω, se Ω é coexo também f (Ω) é coexo Na verdade, se A, B são cojutos abertos disjutos tais que f ( Ω) = A B, etão Ω = f ( A) f ( B), ode as images iversas f ( A), f ( B) são cojutos disjutos que são abertos porque as images iversas de cojutos abertos por fuções cotíuas são cojutos abertos Como Ω é coexo, uma destas images iversas tem de ser Ω, pelo que também um dos cojutos A, B tem de ser Ω, o que implica que f (Ω) é coexo QED O teorema aterior garate que as fuções holomorfas ão costates trasformam cojutos abertos em cojutos abertos, de tal forma que cada compoete coexa do cojuto aberto de partida é trasformada uma compoete coexa aberta do cojuto de chegada Além disso, uma cosequêcia imediata dos dois últimos resultados é que uma fução holomorfa e ijectiva um cojuto aberto é um homeomorfismo (ie, uma bijecção cotíua com iversa cotíu deste cojuto a sua imagem É iteressate observar que pode ser obtida uma demostração alterativa do Pricípio do Módulo Máximo para fuções aalíticas (55) a partir do Teorema da Aplicação Aberta (6) Na verdade, se f é uma fução holomorfa ão costate um cojuto aberto Ω e a Ω, resulta deste teorema que f (Ω) é um cojuto aberto que cotém f e, portato, existe r > tal que B r ( f ( ) f ( Ω) É claro que B r ( f ( ) cotém potos com valores absolutos superiores a f (, pelo que f ão pode ter máximos locais em Ω a ão ser que seja costate este cojuto Esta demostração mostra que o Pricípio do Módulo Máximo para fuções aalíticas é uma cosequêcia de propriedades topológicas das trasformações defiidas por fuções aalíticas Um outro aspecto da estrutura local de fuções holomorfas é o da cotagem do úmero de zeros ou do úmero de potos ode é assumido um qualquer valor w (cotado multiplicidades) um círculo cetrado um poto O resultado seguite dá uma fórmula para cotar estes potos pela itegração de uma fução apropriada sobre um camiho que percorre a circuferêcia que delimita o círculo Ates de euciar e demostrar este resultado covém eteder a razão pela qual se espera que uma fórmula deste tipo fucioe Os potos ode uma fução f assume um valor w são os zeros da fução f w, pelo que o problema é sempre um de 9 Quado f é costate em Ω, (Ω) f é um poto

11 65 Aaliticidade das séries de fuções aalíticas e teoremas de Hurwitz 9 cotagem de zeros Neste caso, o resultado seguite estabelece que o úmero de zeros de uma fução f holomorfa um círculo fechado de cetro um poto a cuja froteira ão tem zeros de f é ( /(π i )) ( f / f ), ode é um camiho regular simples que percorre a circuferêcia froteira do círculo o setido positivo, ou seja, cotrário ao dos poteiros do relógio A fução w = f ( trasforma o camiho um camiho regular fechado Γ = f D e verifica-se f ( ( f D ) ( f D ) dz = dw f z = I f = ( ) I f D, D Γ w ode I é o itervalo ode está defiido O valor do último itegral é, por defiição, ( π i) Id Γ (), pelo que é igual ao úmero de voltas N que o camiho Γ dá em toro da origem quado o camiho dá uma volta sobre a circuferêcia Supohamos que os zeros de f o círculo são simples e que ão há mais de um zero o mesmo raio do círculo Equato o raio da circuferêcia passa uma vez por cada poto do círculo o domíio durate uma volta em toro do cetro a sua imagem passa N vezes pelo poto zero o cotradomíio (Figura 6) No caso dos zeros serem simples, isto implica que há N potos o círculo cosiderado ode f é zero, pelo que a fórmula cota efectivamete os zeros de f No caso em que os zeros de f ão são todos simples ou há zeros um mesmo raio do círculo cosiderado é também possível ver, em particular com base a estrutura local das fuções holomorfas estabelecida o teorema (69), que a fórmula cosiderada cota os zeros de f, com as suas multiplicidades (Figura 6) a f Figura 6: Correspodêcia local etre valores de z e de f ( ; cotagem de zeros e do úmero de potos ode f assume um mesmo valor É iteressate otar (Figura 6) que, o caso em que Γ ão passa o poto f, existe um círculo o cotradomíio com cetro este poto e cotido uma mesma A fução cosiderada esta figura é z 6 ( z z )( z z ), cujos zeros z, z são os dois potos marcados o domíio com os círculos maiores a cheio Cada poto a compoete coexa de \ Γ * que cotém a origem é assumido em pares de potos distitos do círculo delimitado pela circuferêcia traçada o domíio, com excepção de f que é assumido apeas o poto a Cada poto a outra compoete coexa limitada de \ Γ * é assumido um úico poto do círculo cosiderado o domíio

12 9 Equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e teorema de Cauchy compoete coexa de \ Γ, pelo que todos os potos deste círculo são varridos o mesmo úmero de vezes pela imagem do raio da circuferêcia cosiderada o domíio, durate uma volta Cosequetemete, o úmero de potos o círculo do domíio que têm como valor um poto do círculo o cotradomíio é o mesmo do úmero de potos o círculo do domíio ode f assume o valor f, cotado multiplicidades, o que está de acordo com a estrutura local das fuções holomorfas estabelecida o teorema (69) (63) Teorema: Seja Ω um cojuto aberto, um camiho fechado regular simples que percorre a circuferêcia que delimita um círculo B r Ω o setido positivo, f uma fução ão costate holomorfa em Ω Se w \ f ( *), etão o úmero de potos em B r ode f assume o valor w, cotado multiplicidades de acordo com as ordes dos zeros de f w, é f ( N w ( f ; Br ( ) = dz i f ( w π Dem Os potos ode f assume o valor w são os zeros da fução f w Portato, como ( f w ) = f, basta provar o resultado o caso em que w =, o que correspode a cotar o úmero de zeros de f em B r Como os zeros de uma fução holomorfa são potos isolados e B r é um cojuto compacto, o úmero de zeros de f em B r é fiito Dado que, por hipótese, f ão tem zeros em * os zeros em B r são os mesmos que em B r Portato, podemos desigar os zeros de f em B r, sem repetições, por z, z,!, z, e as suas ordes por, respectivamete, m, m,!, m, e, etão, N ( f ; Br ( ) = m j = j As fuções holomorfas são aalíticas, pelo que para cada zero z de f de ordem m, o desevolvimeto de f em série de m potêcias cetrada em z dá f ( = ( z z ) g (, ode g H ( Ω) e g ( z ) Aplicado sucessivamete esta ideia para todos os zeros de f em B r, obtém-se m m f ( = ( z ( z z )! ( z z ) m g(, ode g H (Ω) e g ( para todo z Br Portato, verifica-se f ( m m m g ( = + + " + +, f ( z z z z z z g( iθ em todos os potos z B r Com o camiho :[, π ] Ω tal que ( θ) =a+re, o Teorema de Cauchy em cojutos covexos (48) implica ( g / g) = Da defiição de Id obtém-se ( f / f ) = (π i) j = m j Id ( z j ) Como B r é uma compoete coexa de \ *, sabe-se de (49) que a fução Id é costate em B r Em (4) obtevese Id ( = ( f / f ) = (π i) m = ( π i) N( f ; B ( ) QED, pelo que j = j r O resultado aterior permite obter uma outra demostração do Teorema Fudametal da Álgebra, diferete das referidas em (66) baseadas o Pricípio do Módulo Máximo, a Propriedade de Valor Médio ou o Teorema de Liouville Na verdade, se P( = a z + a z +! + a z+ a é um poliómio de grau, é fácil mostrar que ( /(π i )) P ( / P( dz pode ser arbitrariamete aproximado por ( /(π i )) / zdz =,

13 65 Aaliticidade das séries de fuções aalíticas e teoremas de Hurwitz 93 ode é um camiho regular simples que percorre o setido positivo a circuferêcia de cetro a origem e raio r > suficietemete grade Ambos os itegrais têm valores iteiros, pelo que, para r > suficietemete grade, são iguais O resultado precedete permite cocluir que P tem zeros em, cotado multiplicidades 65 Aaliticidade das séries de fuções aalíticas e teorema de Hurwitz O processo de passagem ao limite em sucessões e séries de fuções levou a alargar o cojuto das fuções poliomiais, dado origem ao cojuto das fuções aalíticas É atural idagar se a aplicação do mesmo processo a fuções aalíticas complexas coduz a uma ova extesão ou se, pelo cotrário, cotiua a dar fuções aalíticas O resultado seguite, estabelecido por C Weierstrass em 84 os seus caderos de Muique, publicados só em 894, mostra que se verifica esta última situação quado a covergêcia é uiforme em subcojutos compactos do domíio da fução defiida pelo limite, propriedade que já se verificava para as represetações de fuções aalíticas em séries (64) Teorema de Weierstrass para sucessões de fuções: Seja Ω um cojuto aberto Se { f } é uma sucessão de fuções aalíticas em cojutos abertos Ω tal que f f uiformemete em subcojutos compactos de Ω, etão f é aalítica em ( ) ( ) Ω e ( f ) f uiformemete em subcojutos compactos de Ω, para todo Dem Como os círculos fechados cotidos em Ω são compactos, a sucessão é uiformemete covergete esses círculos Dado que as fuções f são cotíuas esses círculos obtém-se que também f é cotíua eles, pelo que é cotíua em Ω Seja Ω um triâgulo fechado arbitrário Como Ω é um cojuto aberto, existe um triâgulo fechado Ω cujo iterior cotém Como é compacto, a sucessão coverge uiformemete este cojuto, pelo que o itegral de f sobre é o limite da sucessão dos itegrais de f sobre e, do Teorema de Cauchy em triâgulos (46), f ( dz = lim f ( dz = Resulta do Teorema de Morera (63) que f H (Ω) Se K Ω é um cojuto compacto, existe r > tal que U = z K Br ( é um subcojuto compacto de Ω Da estimativa de Cauchy em (53) para a derivada de ordem de f f obtém-se f z f ( ) ( ) ( max f f, para z K r U Como a sucessão f f uiformemete o cojuto compacto U, ( f ) f uiformemete em K Fica, assim, provada a afirmação o teorema para = A afirmação para resulta de aplicações sucessivas da afirmação para = a derivadas de ordes sucessivas de f QED

14 94 Equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e teorema de Cauchy Segue-se o resultado aálogo para séries estabelecedo que somas de séries de fuções complexas aalíticas uiformemete covergetes em cojutos compactos são aalíticas e as suas derivadas de qualquer ordem podem ser obtidas derivado a série termo a termo, ode as séries obtidas também covergem uiformemete em cojutos compactos Assim, a situação das fuções complexas cotrasta radicalmete com a das fuções reais, ode séries de fuções idefiidamete difereciáveis podem covergir para fuções que ão são difereciáveis em qualquer poto (65) Teorema de Weierstrass para séries de fuções: Seja Ω um cojuto aberto Se uma série de fuções f aalíticas em Ω coverge uiformemete em subcojutos compactos de Ω para uma fução f ( = f ( ) = z, etão f é aalítica ( ) em Ω e = ( ) f ( f ( ) = z para todo z Ω e, ode a série obtida também coverge uiformemete em subcojutos compactos de Ω Dem O resultado é cosequêcia imediata do teorema aterior, aplicado à sucessão cujos termos são as somas parciais da série, S = = f, com Ω = Ω QED A verificação de que uma sucessão { f } de fuções aalíticas coverge uiformemete um cojuto compacto K pode ser facilitada pela utilização do Pricípio do Módulo Máximo (55) porque o facto do máximo de f ( f ( em K ser atigido a froteira deste cojuto implica que basta verificar a covergêcia uiforme esta froteira para ter a garatia da covergêcia uiforme em K O coceito de covergêcia uiforme é particularmete útil porque várias propriedades dos termos de sucessões uiformemete covergetes em subcojuto compactos de um cojuto Ω passam para o limite da sucessão, o que, em geral, ão acotece quado a covergêcia é simples Já se observou esta situação com a cotiuidade (teorema (5)), a aaliticidade (teorema 64), a derivação de ordem arbitrária (teorema 64) Os resultados seguites estabelecem que a iexistêcia de zeros de fuções aalíticas um cojuto Ω, a ijectividade de fuções aalíticas, e a iclusão de cotradomíios de fuções aalíticas um mesmo cojuto também são propriedades que passam para os limites de sucessões uiformemete covergetes em subcojutos compactos de um cojuto Ω (o último caso desde que a fução limite ão seja costate) (66) Teorema de Hurwitz : Seja fuções aalíticas em Ω tal que Ω um cojuto aberto e { } f uma sucessão de f f uiformemete em subcojutos compactos de Ω Seas fuções f ão têm zeros em Ω e f ão é ideticamete zero, etão f ão tem zeros em Ω Este resultado foi obtido em 889 por Adolf Hurwitz (859-99)

15 65 Aaliticidade das séries de fuções aalíticas e teoremas de Hurwitz 95 Dem Do teorema (64), f é aalítica em Ω Se ão é ideticamete zero em Ω, resulta do teorema (5) que os seus zeros, caso existam, são isolados Logo, para cada a Ω existe r > tal que f em B r ( \{ a} Ω Em particular, a fução cotíua f tem um míimo m > o cojuto compacto B r, pelo que para suficietemete grade f f > m/, f > f m/ m/ e / f / f = f f /( f f ) < f f /( m /) Como f f uiformemete em B r, obtém-se / f / f uiformemete em B r Do teorema (64) também ( f ) f uiformemete em B r A cojugação destes dois factos dá ( f ) / f f / f uiformemete em B r e do teorema (5) ( f ) / f f / f Devido ao teorema (63) os itegrais o lado Br ( Br ( esquerdo são ulos, pois as fuções f ão tem zeros em B r Portato, também o itegral o lado direito é ulo, e o teorema (63) garate que f ão tem zeros em B r Como a Ω é arbitrário, coclui-se que f ão tem zeros em Ω QED O resultado seguite é uma cosequêcia imediata do teorema aterior (67) Teorema de Ijecção de Hurwitz: Seja sucessão de fuções aalíticas em Ω tal que compactos de Ω Etão: Ω um cojuto aberto e { } f uma f f uiformemete em subcojutos ) Seas fuções f são ijectivas em Ω, etão f é ijectiva em Ω ) Se S Ω é tal que ( Ω) S e f ão costate em Ω, etão f ( Ω) S f Dem ) Seja a Ω Da ijectividade de cada f resulta que a fução f f ão tem zeros em Ω \{ a} Esta fução é aalítica em Ω e f f ( f f ( uiformemete em subcojutos compactos de Ω \{ a} O teorema aterior implica que f f ão tem zeros em Ω \{ a}, pelo que f ão é ijectiva em Ω ) Seja b \ S As fuções f b são aalíticas em Ω e f b f b uiformemete em subcojutos compactos de Ω Além disso, as fuções f b ão têm zeros em Ω, e a fução f b ão é ideticamete zero em Ω pois f ão é costate este cojuto O teorema aterior implica que f b ão tem zeros em Ω, pelo que f ão assume o valor b este cojuto Coclui-se que f ( Ω) S QED Exercícios 6 Determie o maior círculo ode o prologameto por cotiuidade de z / si z tem desevolvimeto em série de potêcias de cetro a origem 6 Determie o maior círculo cetrado a origem ode a fução dada é ijectiva: z + z z b) e 63 Prove as seguites propriedades das fuções iteiras: Se os valores de f H ( ) pertecem ao semiplao complexo esquerdo, etão f é costate b) Se f H ( ) e lim f ( =, etão f tem pelo meos um zero 64 z Prove: Toda a fução iteira com períodos z, w \{ } com z / w é costate 65 Prove: Se uma fução é cotíua o círculo aberto B r () e é holomorfa os semicírculos { z Br () : Im z > } e { z Br () : Im z < }, etão é ecessariamete holomorfa em B () r

16 96 Equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e teorema de Cauchy 66 Prove: Se f H ( Br ( ), f M em B r e f ( = b >, etão o úmero de zeros de f em log( M / b) / log( R / ρ B ρ, para < ρ < r, cotado multiplicidades, é meor ou igual a ) (Sugestão: Se z,!, z desigam os zeros de f em B ρ (a ), repetidos de acordo com as multiplicidades, defia g ( = f ( { Π = ( z / z )} e ote que g ( ) = f () ) 67 Prove: Se as froteiras de duas regiões disjutas Ω, Ω têm em comum um segmeto de recta ou um arco de circuferêcia L, f H ( Ω ) e f é cotíua em L, para =,, e f = f em L, etão a fução f = f em Ω L, para =,, é holomorfa em Ω Ω L 68 Prove: Se Ω é uma região cuja froteira uma vizihaça de um dos seus potos é um arco de curva regular simples * e f H(Ω) é prologável por cotiuidade a * aulado-se este arco, etão f = em Ω 69 Prove o Pricípio de Simetria * ou Pricípio de Reflexão: Sejam Ω, Ω regiões cujas froteiras são curvas de Jorda que cotêm segmetos de recta ou arcos de circuferêcias, * * respectivamete, Ω,Ω L, L, e sejam Ω, Ω regiões simétricas e disjutas de, respectivamete, * Se f é uma trasformação coforme de * * Ω sobre Ω tal que f ( L) = L, etão pode ser * * * prologada a uma trasformação coforme de Ω L Ω sobre Ω L Ω * (Sugestão: Comece pelo caso em que L e L são segmetos de recta o eixo real e aplique o exercício 67) 6 Com base o Pricípio de Simetria do exercício aterior, prove o resultado seguite de prologameto aalítico devido a H Schwarz: Se Ω é uma região cuja froteira cotém um arco aalítico 3 *, toda a trasformação coforme f de Ω sobre um círculo aberto B r () tem um prologameto aalítico através de * 6 Prove: Seja Ω limitado e f H (Ω) cotíua em Ω Se a Ω e f ( f ( d > para z Ω, etão f ( Ω ) Bd ( f ( ) SejaF = { f H ( B ()) : f ( ) = } Prove o Teorema de Bloch 4 : Se f F, etão existe a B () tal que f( B ()) f( Bρ ( ) B ( f ( ) a β, com ρ a = ( a )/ e β =3/ (Sugestão: Desige por M o máximo de f ( ( z ) para z B (), e por a B () um poto ode este máximo ocorre Observe que f f ( em Bρ a Estime o resto da fórmula de Taylor de ª ordem de f em o poto a com base a Fórmula de Cauchy e prove que, com K ( ρ) = ρ ρ /( ρa ρ), se tem f ( f ( K( ρ ) f ( para z a = ρ < ρa Desige por ρ * o poto ode K assume o valor máximo e aplique o exercício aterior) b) Prove: Nas codições da alíea aterior, f é ijectiva em Bρ a / 3( e f ( Bρ / 3( ) B/ 7( f ( ) a (Sugestão: Estime f ( f ( com base a Fórmula de Cauchy e aplique o exercício 5) c) Chama-se costate de Bloch 5 a B = if{β ( f ) : f F }, ode β ( f ) = sup{ r : existe um círculo aberto S B () ode f é ijectiva tal que f ( S ) cotém um círculo aberto de raio r } Mostre que /7 B d) Chama-se costate de Ladau 6 a L = if{λ ( f ) : f F }, ode λ ( f ) = sup{ r : f ( B ()) cotém um círculo aberto de raio r } Mostre que B L e) Prove: Se f F, etão f ( B ()) cotém um círculo aberto de raio L f) Prove: Se Ω é uma região, f H(Ω), f ( c) para algum c Ω, etão qualquer que seja ε > f (Ω) cotém um círculo de raio d ( c, Ω) f ( c) /( L ε), ode d ( c, Ω) é a distâcia de c a Ω g) Prove 7 : Se f é uma fução iteira que ão é costate, etão f ( ) cotém círculos de raios arbitrariamete grades α 63 Prove a seguite extesão do Teorema de Liouville: Se f é iteira e f ( C z para algus C >, α <, etão f é costate O Pricípio de Simetria foi mecioado pela primeira vez em 85 por B Riema a sua tese de doutorameto e foi provado em por H Schwarz, que também explorou algumas cosequêcias 3 Um arco aalítico ou uma curva aalítica é a imagem de um camiho que é uma fução aalítica de variável real, ie, represetável por séries de potêcias em vizihaças de cada poto do domíio de 4 Adré Bloch ( ) provou este resultado em 94 (a verdade uma versão mais forte com β vezes maior) Em 96 Edmud Ladau (89-969) simplificou cosideravelmete a prova, mas com β = /6 < / < 3/ < 3 A prova sugerida este exercício foi proposta em 97 por Theodor Esterma (9-99) A Hurwitz foi o primeiro a provar, em 94, um resultado do tipo do Teorema de Bloch: Se f H ( B (), f ( ) =, f ( ) = e f ( para todo z, etão f ( B ()) Br(), para r = / 58 ; C Carathéodory mostrou em 97 que esta situação r = / 6 é o raio óptimo 5 A costate de Bloch foi itroduzida por E Ladau em 99, que provou a estimativa idicada Em 937, L Ahlfors e Helmut Grusy (94-986) provaram,433< 3 / / 4 B Γ(/ 3) Γ(/) /( Γ(/ 4)( + 3 / ) / <, 47 e cojecturaram que a estimativa superior é o valor de B, o que aida ão está estabelecido Em 99, Mario Bo simplificou a prova de L Ahlfors e H Grusy 6 A costate de Ladau foi itroduzida por Edmud Ladau em 99, quado também obteve a estimativa idicada e provou o resultado a alíea e) Em 943, Has Rademacher (89-969) provou,5 L Γ(/3) Γ(5/ 6)/ Γ(/ 6) <, 544 e cojecturou que a estimativa superior é o valor de L, o que aida ão está estabelecido 7 O Pequeo Teorema de Picard (exercícios e ) estabelece o resultado mais forte de que toda a fução iteira ão costate omite quato muito um poto de

17 65 Aaliticidade das séries de fuções aalíticas e teoremas de Hurwitz Diz-se que uma m-pla ordeada de poliómios reais ( P,, P m ) é uma cadeia de Sturm 8 se em cada zero de P os poliómios adjacetes P e P têm valores diferetes de zero de siais + cotrários e P ão tem zeros Chama-se cadeia de Sturm geeralizada a uma m-pla ordeada de m poliómios reais obtidos de uma cadeia de Sturm multiplicado cada elemeto por um mesmo poliómio real Prove: Se P, Q são poliómios reais com o grau de Q maior ou igual ao de P, etão a m-pla ordeada ( P,, P m ), com P = P, P = Q e cada um dos outros elemetos P igual ao resto da divisão poliomial dos dois elemetos ateriores (resto da divisão de P por P ) é uma cadeia de Sturm geeralizada b) Chama-se ídice de Cauchy de uma fução racioal real R à difereça I (R) etre o úmero de saltos de para + os valores de R (x) quado x cresce de para + Prove: O úmero de raizes reais distitas de um poliómio real P é I ( P / P) Dada uma cadeia de Sturm geeralizada P = ( P,, P m ), desiga-se por S(P) a difereça etre os úmeros de mudaças de sial a m-pla ordeada ( P ( x),, P ( x)) quado x + e quado x m Prove 9 : Se ( P,, P m ) é uma cadeia de Sturm geeralizada, etão I( P / P ) = S( P) c) Cosidere uma fução poliomial complexa de coeficietes reais desigados como se segue: P ( = a z + b z + a z + b z + a z + b z + " Chama-se tabela de Routh a a a a " " a [ / ] b b b " b [ / ] c c c " d d d " " " " ode [ / ] é o meor iteiro maior ou igual a / e os elemetos de cada liha a partir da seguda são obtidos das duas lihas precedetes subtraido aos elemetos da liha de cima os elemetos correspodetes da liha de baixo multiplicados pelo úmero que faz com que a difereça obtida a primeira colua seja ula, omitido depois esta difereça ula com o correspodete deslizameto de uma posição para a esquerda de todas as outras difereças calculadas Prove o critério de Routh 3 : Todos os zeros da fução poliomial P têm parte real egativa se e só se todos os elemetos a primeira colua da tabela de Routh são diferetes de zero e do mesmo sial (Sugestão: Aplique o Pricípio do Argumeto sobre um camiho que percorre o setido positivo o arco da circuferêcia o semiplao complexo direito com cetro a origem e raio R + e o correspodete diâmetro cotido o eixo imagiário, mostre que o aumeto de um argumeto cotíuo de P ( iω) quado i ω percorre o eixo imagiário de baixo para cima é π I (R), ode I (R) é o ídice de Cauchy de R( ω ) = ( b ω b ω + bω " )/( aω aω + aω " ), e calcule I (R) com base a alíea b)) Exercícios com aplicações a aálise e processameto de siais 65 Dada uma fução f :, defie-se a fução real + fˆ iωt ( ω ) = f ( t) e dt, chamada trasformada de Fourier de f, cosiderado o itegral de Lebesgue Esta fução fica defiida em se e só se f é itegrável à Lebesgue em, ou seja, f L ( ) À trasformação F [ f ] = fˆ chama-se trasformação de Fourier É claro que é uma trasformação liear de L ( ) o espaço das fuções reais defiidas em e pode ser ivertida em codições relativamete gerais Em particular pode-se provar: Se ˆ i f, f L ( ) e π ω e ω t g( t) = (/( )) + fˆ( ) dω, para t, etão g é cotíua em, g( t) quado t ±, e f = g qtp 3 em Uma cosequêcia imediata é: A trasformação de Fourier é ijectiva 8 Jacques Charles Fraçois Sturm (83-855) 9 Este resultado é o caso particular com itervalo ] + [, do Teorema de Sturm relativo à determiação do úmero de zeros de um poliómio real um itervalo, estabelecido em 89 por JCF Sturm Edward Routh (83-97) O critério de Routh foi publicado por E Routh em 887 Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83) A trasformação de Fourier foi itroduzida pelo próprio JBJ Fourier, em associação com a itrodução de séries de Fourier, uma comuicação sobre a propagação do calor apresetada a Academia das Ciêcias de Paris em 87, mas só publicada em 8 depois de grade cotrovérsia Cotudo, a trasformação de Fourier só foi torada rigorosa com trabalhos de vários matemáticos o fial do século XIX e do iício do século XX, iclusivamete com a adopção do itegral de Lebesgue, itroduzido por H Lebesgue em 9 O desevolvimeto da aálise de Fourier veio a origiar a área da matemática cohecida por Aálise Harmóica Charles Louis Fefferma (949-) recebeu em 978 a Medalha Fields por cotribuições esta área Pode-se ecotrar um estudo da trasformação de Fourier o livro de W Rudi, Priciples of Mathematical Aalysis, idicado a bibliografia fial 3 qtp sigifica quase em toda a parte, ie, excepto possivelmete um cojuto de medida ula

18 98 Equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e teorema de Cauchy A trasformação de Fourier é muito útil o estudo e resolução de equações difereciais, a aálise e cotrolo de sistemas, a aálise e processameto de siais Neste cotexto é usual chamar à trasformada de Fourier de uma fução f decomposição a frequêcia ou decomposição espectral de f Graficamete, represeta-se esta decomposição, em fução da frequêcia, pelos gráficos do módulo e de um argumeto (ou, a liguagem de aálise de siais, amplitude e fase) da trasformada de Fourier (Figura 64) /( ) f(t) ^ Arg f ^ ( ω) π t ω ω π/ π/ π/ π/ Figura 64: Decomposição espectral de um impulso uitário de largura 66 Prove: Se ˆ f, f L ( ) e fˆ tem suporte um itervalo compacto [ τ,τ ] (ie, f = em \ [ τ,τ ]), etão a extesão complexa da fórmula de iversão da trasformada de Fourier, i π ω ω z g( = (/( )) + fˆ( ) e dω ( g = f qtp em ), é uma fução iteira de ordem ρ e, quado ρ = é de tipo σ τ (Sugestão: Aplique o Teorema de Morera e majore o itegral) 67 Prove o seguite teorema de iterpolação 4 : Seja τ > Se f é uma fução iteira de ordem N ρ <, ou de ordem ρ = e tipo σ < τ, etão f ( = lim N + = N f ( π / τ ) (siτ / ( τ z π ) (Sugestão: Para N desige F N ( = /(π i) f ( ς ) /{( ς si( τ ς )} dς, ode N é um camiho regular simples que descreve a circuferêcia z = ( N + / )π / τ o setido positivo, aplique o Teorema dos Resíduos para calcular o itegral, e mostre que F N ( quado N +, estimado f ( com base Im z uma estimativa si( me, para z N, e aplicado os exercícios 64 e 65) 68 Cosidere o circuito da Figura 65 e recorde os exercícios 7 e 65 Supodo que existem, mostre que as trasformadas de Fourier das tesões de saída e etrada, respectivamete ˆv e vˆ i, estão relacioadas por v ˆ ( ω) = {(/ ) /{ + i (3RC / ) ω}} vˆ i ( ω) e observe que o módulo e o argumeto de vˆ / vˆ i têm as represetações gráficas a Figura 66 Em particular, as compoetes espectrais de alta frequêcia do sial de etrada são mais ateuadas do que as de baixa frequêcia Por esta razão, diz-se que este circuito é um filtro passa-baixo b) Chama-se largura de bada de um filtro passa-baixo à frequêcia f B = ω B / (π ) ode o sial é ateuado a -3 db 5 do seu valor em ω = Para o circuito aqui cosiderado, mostre que ω B é aproximadamete /(3RC ) Calcule o valor de RC de modo ao filtro ter largura de bada de Hz R R V i (t) R C V (t) o Figura 65: Circuito eléctrico 4 Este resultado foi descoberto em 933 por Vladimir Alesadrovich Koteliov (98-) um cotexto de aálise de siais, embora fosse cohecido ateriormete em matemática como um resultado geral de iterpolação Estabelece que uma fução de ordem ρ = e tipo σ < τ pode ser iterpolada exactamete a partir dos seus valores os potos π / τ, Cojugado este facto com o resultado do exercício aterior, obtém-se que uma fução f ˆ L ( ) com trasformada de Fourier ˆ f L ( ) de suporte um itervalo compacto [ τ,τ ] é iterpolada exactamete pela expressão dada, a partir apeas dos seus valores os potos π / τ Isto garate que uma frequêcia de amostragem superior a σ / π é suficiete para permitir recostituir completamete um sial com espectro de frequêcia limitado por σ /( π ) (ie, de largura de bada σ /( π ) ), ou seja, basta uma frequêcia de amostragem dupla da frequêcia máxima o espectro do sial Neste cotexto, o resultado é cohecido por Teorema de Amostragem de Shao- Koteliov O matemático Claude Shao (96-) fudou a Teoria da Iformação em 948, altura em que também provou o Teoremada Amostragem por um método diferete do aqui referido O resultado tiha sido previsto para fuções siusoidais em 98 por Harry Nyquist ( ), pelo que a frequêcia dupla da largura de bada de um sial é cohecida por ritmo de amostragem de Nyquist Tato Nyquist como Shao trabalharam os Bell Telephoe Laboratories, respectivamete os períodos e db desiga decibéis É uma medida logarítmica de amplitude de siais que foi itroduzida em acústica para quatificar a itesidade soora: um sial de amplitude A tem log A db

19 65 Aaliticidade das séries de fuções aalíticas e teoremas de Hurwitz 99 v log ^o ( ω) v^ i 6-9 ω B v Arg ^o ( ω) v^ i ω B π/ db Figura 66: Módulo e argumeto de vˆ / vˆ para o circuito da figura aterior i