MATEMÁTICA COMBINATÓRIA: INTRODUÇÃO

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "MATEMÁTICA COMBINATÓRIA: INTRODUÇÃO"

Transcrição

1 INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA 2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO Prof. Ilydio Pereira de Sá MATEMÁTICA COMBINATÓRIA: INTRODUÇÃO Princípio Fundamental da Contagem (PFC) ou Princípio Multiplicativo O princípio fundamental da contagem diz que se há x modos de tomar uma decisãod 1 e,tomadaadecisãod 1,háy modos de tomar a decisão D 2, então o número de modos de tomar sucessivamente ou simultaneamente as decisõesd 1 ed 2 éxy. 1

2 Exemplo 1: Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? SOLUÇÃO: Formar um casal equivale a tomar as decisões: D1 : Escolha do homem (5 modos). D2 : Escolha da mulher (5 modos). Há 5 5 = 25 modos de formar um casal. O princípio fundamental da contagem pode ser generalizado para um número qualquer de decisões, ou seja, se um problema de contagem pode ser subdividido em decisões (etapas) sucessivas ou consecutivas, o número de possibilidades existentes para essas escolhas será igual ao PRODUTO das possibilidades para as etapas intermediárias. Exemplo 2: Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não podem ser usadas cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira? Solução: Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. Há 3 modos de escolher a cor da primeira listra e, a partir daí, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. A resposta é = 192 modos. 2

3 Exemplo 3: Quantos são os números de três dígitos distintos? Solução: O primeiro dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual a 0. O segundo dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual ao primeiro dígito. O terceiro dígito pode ser escolhido de 8 modos, pois não pode ser igual nem ao primeiro nem ao segundo dígitos. A resposta é = 648 números. Exemplo 4: Qual o número máximo de veículos que podem ser emplacados no Brasil, com o atual sistema de três letras e quatro algarismos? Solução: Como o alfabeto utilizado tem 26 letras e o nosso sistema de algarismos é decimal (10 símbolos), teremos: 26 3 x 10 4 = veículos Exemplo 5: Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360? Solução: 360 = Os divisores inteiros e positivos de 360 são os números da forma 2 x 3 y 5 z, com x {0, 1, 2, 3} (4 possibilidades); y {0, 1, 2} (3 possibilidades) e z {0, 1} (2 possibilidades). Há = 24 maneiras de escolher os expoentes x, y e z. Há, portanto, 24 divisores positivos. 3

4 IMPORTANTE! Você já deve ter percebido nesses exemplos qual é a estratégia para resolver problemas de Combinatória: 1) Postura: Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos tomar. No Exemplo 3, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria escrever o número de três dígitos; no Exemplo 2, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria colorir a bandeira; no Exemplo 1, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria formar o casal. 2) Divisão: Devemos, sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples. Formar um casal foi dividido em escolher o homem e escolher a mulher; colorir a bandeira foi dividido em colorir cada listra; etc. Mas será que recaímos sempre em multiplicação? Ou existem outros casos? Observe o próximo exemplo: Usando as frutas Maçã (M), Banana (B), Abacaxi (A) e Pêra (P), quantos tipos distintos de saladas de frutas, com três dessas frutas, podem ser formadas? Agora temos uma novidade, que não ocorria nos casos anteriores. É que se escolhermos uma opção (B, A, M), por exemplo, e mexermos nessa ordem (A, B, M), não teremos uma salada de frutas diferente, será exatamente a mesma. A ordem de escolha das frutas não influi no resultado final. Como faremos nesses casos? Vamos escrever todas as opções, como se fossem distintas ao mudarmos a ordem das frutas: A B M A M B B A M B M A M A B M B A A B P A P B B A P B P A P A B P B A A M P A P M M A P M P A P A M P M A B P M B M P P B M P M B M B P M P B A resposta do problema está representada em apenas um dos grupos acima (4 tipos de saladas de frutas). Se calculássemos como nos casos anteriores, teríamos um total de 4 x 3 x 2 x 1 = 24 tipos (que estão representados acima). Como a resposta se repetiu 6 vezes, é claro que o resultado teve que ser dividido por 6. Por que será? Como podemos generalizar esse fato? 4

5 Vejamos um outro exemplo: Uma famosa sorveteria anuncia 31 diferentes sabores de sorvete. O número possível de casquinhas com três bolas sem nenhuma repetição de sabor é, portanto, 31 x 30 x 29 = ; qualquer um dos 31 sabores pode vir em cima, qualquer um dos 30 restantes no meio, e qualquer um dos 29 que sobraram embaixo. Se não estamos interessados no modo como os sabores são dispostos na casquinha, mas simplesmente em quantas casquinhas com três sabores há, teremos que dividir por 6, obtendo então casquinhas. Por que será que, novamente, dividimos por 6? A razão por que dividimos por 6 é que há 6 = 3 x 2 x 1=3! diferentes maneiras de dispor os sabores escolhidos numa casquinha. Vamos supor que os sabores escolhidos seja: morango-baunilha-chocolate. Teríamos as seguintes ordenações possíveis: MBC, MCB; BMC; BCM, CBM e CMB. Uma vez que o mesmo se aplica a cada casquinha com três sabores, o número dessas casquinhas é (31x30x29) / (3x2x1) = casquinhas com 3 sabores, escolhidos dentre os 31 oferecidos (sem importar a ordem de colocação desses 3 sabores na casquinha). Um exemplo menos engordativo é fornecido pelas muitas loterias existentes em nosso país. A mega-sena, por exemplo cujo jogo mínimo consiste na escolha de 6 dezenas, dentre as 60 disponíveis. Caso a ordem de escolha dos números fosse importante na escolha do apostador, teríamos 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 jogos distintos, com seis dezenas. Mas como sabemos que a ordem de escolha desses números não é importante, temos que dividir esse resultado por 6x5x4x3x2x1 = 720, já que qualquer uma das seqüências de seis números pode ser decomposta em 720 outras apostas iguais. Teremos, portanto possibilidades de escolha das 6 dezenas, dentre as 60 disponíveis na Megasena. 5

6 Observe que a forma do número obtido é a mesma nesses 3 últimos exemplos: (4 x 3 x 2 x 1) / (3 x 2 x 1) diferentes tipos de salada de frutas. (31 x 30 x 29) /(3 x 2 x1) diferentes casquinhas com três sabores. (60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) maneiras de escolher seis números entre os sessenta da mega-sena. Números obtidos desta forma são chamados coeficientes combinatórios ou combinações. Eles surgem quando estamos interessados no número de maneiras de escolher R elementos a partir de N elementos e não estamos interessados na ordem em que os R elementos são escolhidos. Tente resolver: Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam sempre palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1º lugar, Brasil; 2º lugar, Nigéria; 3º lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir? 6

7 SOLUÇÃO: 24 x 23 x 22 = tampinhas distintas, já que a ordem de colocação dos nomes dos países é importante (define a sua classificação na copa) Outra para você tentar resolver 2) Quantos são os triângulos que podem ser construídos a partir de 10 pontos marcados sobre uma circunferência? A B SOLUÇÃO: Neste caso, a ordem de disposição dos elementos de cada coleção não importa ao problema, isto é, o triângulo ABC é o mesmo do triângulo ACB, por exemplo. Logo, como na questão da Mega-Sena, teremos que a quantidade de triângulos será dada por: C DESAFIO (OBMEP 2009) Com exatamente dois segmentos de reta, podemos fazer figuras diferentes unindo os vértices de um pentágono. Cinco dessas figuras estão ilustradas a seguir. Incluindo essas cinco, quantas figuras diferentes podemos fazer desse modo? 7

8 SOLUÇÃO Percebemos que essas figuras são sempre formadas pelos dois segmentos, escolhidos entre os lados e as diagonais de um pentágono. Como o pentágono possui 5 lados e 5 diagonais, são 10 os segmentos disponíveis para a escolha dos 2 que formarão a figura. Podemos usar o princípio multiplicativo, lembrando que esse é um daqueles casos mostrados anteriormente, que envolvem multiplicação e divisão, pois a figura formada pelos segmentos AB e CD será a mesma formada pelos segmentos CD e AB, ou seja a ORDEM desses segmentos não influi na figura resultante, logo, teremos: =45 figuras 8

SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS. 1. Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?

SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS. 1. Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? Temos 5 grupos com 5 possibilidades cada uma, então: 5.5=25 casais Se fossem duplas: Teríamos 10

Leia mais

Análise Combinatória. Prof. Thiago Figueiredo

Análise Combinatória. Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória Prof. Thiago Figueiredo (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras que podemos pintar esse tapete de modo que as

Leia mais

Princ ıpios b asicos Exemplo 1. Exemplo 2. Exemplo 3.

Princ ıpios b asicos Exemplo 1. Exemplo 2. Exemplo 3. Capítulo 6 Combinatória 1 Princípios básicos O princípio fundamental da contagem diz que se há x modos de tomar uma decisão D ½ e, tomada a decisão D ½,há y modos de tomar a decisão D ¾, então o número

Leia mais

Projeto Rumo ao ITA Exercícios estilo IME

Projeto Rumo ao ITA Exercícios estilo IME Exercícios estilo IME PROGRAMA IME ESPECIAL ANÁLISE COMBINATÓRIA PROF. PAULO ROBERTO 01. Em um baile há seis rapazes e dez moças. Quantos pares podem ser formados para a dança: a) sem restrição; b) se

Leia mais

Teoria das Probabilidades

Teoria das Probabilidades Teoria das Probabilidades Qual a probabilidade de eu passar no vestibular? Leandro Augusto Ferreira Centro de Divulgação Científica e Cultural Universidade de São Paulo São Carlos - Abril / 2009 Sumário

Leia mais

PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA

PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA Questão 1: Entre duas cidades A e B existem três empresas de avião e cinco de ônibus. Uma pessoa precisa fazer

Leia mais

Este material traz a teoria necessária à resolução das questões propostas.

Este material traz a teoria necessária à resolução das questões propostas. Inclui Teoria e Questões Inteiramente Resolvidas dos assuntos: Contagem: princípio aditivo e multiplicativo. Arranjo. Permutação. Combinação simples e com repetição. Lógica sentencial, de primeira ordem

Leia mais

Princípio Fundamental da Contagem

Princípio Fundamental da Contagem Princípio Fundamental da Contagem 1. (Uem 2013) Seja A o seguinte conjunto de números naturais: A {1, 2, 4, 6, 8}. Assinale o que for correto. 01) Podem ser formados exatamente 24 números ímpares com 4

Leia mais

Contagem II. Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em casos

Contagem II. Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em casos Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 5 Contagem II Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em

Leia mais

Contagem I. Figura 1: Abrindo uma Porta.

Contagem I. Figura 1: Abrindo uma Porta. Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 4 Contagem I De quantos modos podemos nos vestir? Quantos números menores que 1000 possuem todos os algarismos pares?

Leia mais

INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CAMPUS SERRA BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO ALUNO(A): COMBINATÓRIA

INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CAMPUS SERRA BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO ALUNO(A): COMBINATÓRIA INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CAMPUS SERRA BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO ALUNO(A): COMBINATÓRIA A Combinatória é a parte da Matemática responsável pelo estudo de estruturas e relações discretas.

Leia mais

Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2008 Nível 1

Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2008 Nível 1 OBMEP 00 Nível 1 1 QUESTÃO 1 Como Leonardo da Vinci nasceu 91 anos antes de Pedro Américo, ele nasceu no ano 14 91 = 145. Por outro lado, Portinari nasceu 451 anos depois de Leonardo da Vinci, ou seja,

Leia mais

Contagem (2) Anjolina Grisi de Oliveira. 2007.1 / CIn-UFPE. Centro de Informática Universidade Federal de Pernambuco

Contagem (2) Anjolina Grisi de Oliveira. 2007.1 / CIn-UFPE. Centro de Informática Universidade Federal de Pernambuco 1 / 24 Contagem (2) Anjolina Grisi de Oliveira Centro de Informática Universidade Federal de Pernambuco 2007.1 / CIn-UFPE 2 / 24 O princípio da multiplicação de outra forma O princípio da multiplicação

Leia mais

Matemática 2. 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um. 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge.

Matemática 2. 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um. 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge. Matemática 2 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um paralelepípedo retângulo acoplado a um prisma triangular. 1,6m 1m 1,4m Calcule o volume da estrutura, em dm 3, e indique

Leia mais

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1 1 INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1 1. Origem histórica É possível quantificar o acaso? Para iniciar,

Leia mais

I. Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.)

I. Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.) ANÁLISE OMBINATÓRIA A principal finalidade da Análise ombinatória é estabelecer métodos de contagem. I. Princípio Fundamental da ontagem (P.F..) O P.F.., ou princípio multiplicativo, determina o número

Leia mais

SIMULADO TERCEIRÃO e PRÉ-ENEM OUTUBRO - MATEMÁTICA PROFJUNIOR BARRETO

SIMULADO TERCEIRÃO e PRÉ-ENEM OUTUBRO - MATEMÁTICA PROFJUNIOR BARRETO SIMULADO TERCEIRÃO e PRÉ-ENEM OUTUBRO - MATEMÁTICA PROFJUNIOR BARRETO 01) (Enem 2014 Adaptada) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega

Leia mais

Matéria: Matemática Assunto: Divisores e Múltiplos Prof. Dudan

Matéria: Matemática Assunto: Divisores e Múltiplos Prof. Dudan Matéria: Matemática Assunto: Divisores e Múltiplos Prof. Dudan Matemática Divisores e Múltiplos Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma: Se 15 é divisível por

Leia mais

ANÁLISE COMBINATÓRIA. 9 9 8 7 4536 números, já que os algarismos PRÍNCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

ANÁLISE COMBINATÓRIA. 9 9 8 7 4536 números, já que os algarismos PRÍNCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 1 ANÁLISE COMBINATÓRIA Considere os dois problemas abaixo: Em uma corrida envolvendo quatro corredores, quantas são as possibilidades de pódio? Para cada possível 1º lugar, existem três possíveis 2ºs lugares

Leia mais

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?

x0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas? Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões

Leia mais

Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Análise Combinatória 2º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO

Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Análise Combinatória 2º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Análise Combinatória 2º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista 5 3º Bimestre/2013 Aluno(a): Número: Turma: 1) Resolva

Leia mais

Aplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números

Aplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números Aplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números Nesse artigo vamos discutir algumas abordagens diferentes na Teoria dos Números, no sentido de envolverem também outras grandes áreas, como

Leia mais

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA D

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA D OBMEP 015 Nível 3 1 QUESTÃO 1 Como,5 = 5 x 0,5, o tempo que o frango deve ficar no forno é 5 x 1 = 60 minutos. Logo, Paula deve colocar o frango no forno às 19 h, mas 15 minutos antes deve acender o forno.

Leia mais

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA B

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA B 1 QUESTÃO 1 Marcos tem 10 0,25 = 2,50 reais em moedas de 25 centavos. Logo ele tem 4,30 2,50 = 1,80 reais em moedas de 10 centavos, ou seja, ele tem 1,80 0,10 = 18 moedas de 10 centavos. Outra maneira

Leia mais

B 01. Combinações e Permutações

B 01. Combinações e Permutações IME ITA Apostila ITA B 0 Combinações e Permutações Introdução Neste capítulo são apresentadas as ferramentas básicas que nos permitem determinar o número de elementos de conjuntos formados de acordo com

Leia mais

AV2 - MA 12-2012. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de modo que todos os CDs de rock fiquem juntos?

AV2 - MA 12-2012. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de modo que todos os CDs de rock fiquem juntos? Questão 1. Num porta-cds, cabem 10 CDs colocados um sobre o outro, formando uma pilha vertical. Tenho 3 CDs de MPB, 5 de rock e 2 de música clássica. (a) De quantos modos diferentes posso empilhá-los de

Leia mais

Existe, mas não sei exibir!

Existe, mas não sei exibir! Existe, mas não sei exibir! Você já teve aquela sensação do tipo ei, isso deve existir, mas não sei exibir um exemplo quando resolvia algum problema? O fato é que alguns problemas existenciais são resolvidos

Leia mais

Sistemas de Numerações.

Sistemas de Numerações. Matemática Profº: Carlos Roberto da Silva; Lourival Pereira Martins. Sistema de numeração: Binário, Octal, Decimal, Hexadecimal; Sistema de numeração: Conversões; Sistemas de Numerações. Nosso sistema

Leia mais

37ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 1 (6º e 7º anos do Ensino Fundamental) GABARITO

37ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 1 (6º e 7º anos do Ensino Fundamental) GABARITO GABARITO NÍVEL 1 37ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 1 (6º e 7º anos do Ensino Fundamental) GABARITO 1) C 6) A 11) D 16) C 2) D 7) C 12) C 17) D 3) E 8) B 13) E 18) A 4) E 9) B 14)

Leia mais

NOTAS DE AULA ANÁLISE COMBINATÓRIA. Prof. Benedito Tadeu V. Freire

NOTAS DE AULA ANÁLISE COMBINATÓRIA. Prof. Benedito Tadeu V. Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Fones: (84) 15-380 / 15.3819 FAX: (84) 11. 919 NOTAS DE AULA ANÁLISE COMBINATÓRIA Prof. Benedito

Leia mais

QUESTÃO 16 (UNICAMP) Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:

QUESTÃO 16 (UNICAMP) Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo: Nome: N.º: endereço: data: Telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA A 1 ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2015 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO 16 (UNICAMP) Três planos de telefonia celular

Leia mais

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas. Caro Professor, Em 009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram

Leia mais

Exercícios Análise Combinatória

Exercícios Análise Combinatória Exercícios Análise Combinatória 1. (Uemg 2014) Na Copa das Confederações de 2013, no Brasil, onde a seleção brasileira foi campeã, o técnico Luiz Felipe Scolari tinha à sua disposição 23 jogadores de várias

Leia mais

Curso Wellington Matemática Arranjo e Combinação Prof Hilton Franco

Curso Wellington Matemática Arranjo e Combinação Prof Hilton Franco 1. A figura abaixo ilustra um bloco de massa igual a 8 kg, em repouso, apoiado sobre um plano horizontal. Um prato de balança, com massa desprezível, está ligado ao bloco por um fio ideal. O fio passa

Leia mais

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO. AULA ONZE: Análise Combinatória (Parte II)

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO. AULA ONZE: Análise Combinatória (Parte II) 1 AULA ONZE: Análise Combinatória (Parte II) Olá, amigos! Tudo bem com vocês? Esta é nossa décima primeira aula, e ainda sequer chegamos à metade de nosso curso! Longo é o caminho do Raciocínio Lógico...

Leia mais

Com uma coleção de figuras e de formas geométricas que mais parecem um jogo, mostre à turma que os números também têm seu lado concreto

Com uma coleção de figuras e de formas geométricas que mais parecem um jogo, mostre à turma que os números também têm seu lado concreto Universidade Severino Sombra Fundamentos Teóricos e Metodologia de Matemática 1 1 Com uma coleção de figuras e de formas geométricas que mais parecem um jogo, mostre à turma que os números também têm seu

Leia mais

Combinatória. Matemática Professor: Paulo César 04/12/2014. Lista de Exercícios

Combinatória. Matemática Professor: Paulo César 04/12/2014. Lista de Exercícios Combinatória 1. (Espcex (Aman) 2015) De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas, sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da

Leia mais

CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA REVISÃO ENEM RETA FINAL

CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA REVISÃO ENEM RETA FINAL CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA REVISÃO ENEM RETA FINAL Tenho certeza que você se dedicou ao máximo esse ano, galerinha! Sangue no olho, muita garra nessa reta final! Essa vaga é de vocês! Forte abraço prof

Leia mais

É possível que cada pacote tenha: ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7 ( ) 9 ( ) 10. 02- Circule as frações equivalentes: 03- Escreva:

É possível que cada pacote tenha: ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7 ( ) 9 ( ) 10. 02- Circule as frações equivalentes: 03- Escreva: PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMÁTICA BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - 5º ANO - ENSINO FUNDAMENTAL ========================================================================== 0- Leia e resolva: a) No início do

Leia mais

. Para que essa soma seja 100, devemos ter 56 + 2x donde 2x = 44 e então x = 22, como antes.

. Para que essa soma seja 100, devemos ter 56 + 2x donde 2x = 44 e então x = 22, como antes. OBMEP 008 Nível 3 1 QUESTÃO 1 Carlos começou a trabalhar com 41-15=6 anos. Se y representa o número total de anos que ele trabalhará até se aposentar, então sua idade ao se aposentar será 6+y, e portanto

Leia mais

Sistemas de Numeração

Sistemas de Numeração Sistemas de Numeração Representação da Informação para seres humanos Números (1,2,3,4...) Letras (a,a,b,b,c,c...) Sinais de pontuação (:,;...) Operadores aritméticos (+,-,x,/) Representação da Informação

Leia mais

CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA

CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA 6ºANO CONTEÚDOS-1º TRIMESTRE Números naturais; Diferença entre número e algarismos; Posição relativa do algarismo dentro do número; Leitura do número; Sucessor e antecessor;

Leia mais

Soluções Nível 1 5 a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental

Soluções Nível 1 5 a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental a e 6 a séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental 1. (alternativa C) Os números 0,01 e 0,119 são menores que 0,12. Por outro lado, 0,1 e 0,7 são maiores que 0,. Finalmente, 0,29 é maior que 0,12 e menor

Leia mais

Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2015 Nível 1. QUESTÃO 1 ALTERNATIVA E Como 2 x 100,00 126,80 = 200,00 126,80 = 73,20, o troco foi de R$ 73,20.

Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2015 Nível 1. QUESTÃO 1 ALTERNATIVA E Como 2 x 100,00 126,80 = 200,00 126,80 = 73,20, o troco foi de R$ 73,20. 1 QUESTÃO 1 Como 2 x 100,00 126,80 = 200,00 126,80 = 73,20, o troco foi de R$ 73,20. QUESTÃO 2 Como 4580247 = 4580254 7, concluímos que 4580247 é múltiplo de 7. Este fato também pode ser verificado diretamente,

Leia mais

(A) (B) (C) (D) (E) RESPOSTA: (A)

(A) (B) (C) (D) (E) RESPOSTA: (A) 1. Assinale, dentre as regiões a seguir, pintadas de cinza, aquela que é formada pelos pontos do quadrado cuja distância a qualquer um dos vértices não é maior do que o comprimento do lado do quadrado.

Leia mais

PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-2011 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 13 / 12 / 2010

PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-2011 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 13 / 12 / 2010 PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-0 DA MACKENZIE Profa. Maria Antônia Gouveia. / / 00 QUESTÃO N o 9 Dadas as funções reais definidas por f(x) x x e g(x) x x, considere I, II, III e IV abaixo. I) Ambas

Leia mais

COLÉGIO RAPHAEL DI SANTO

COLÉGIO RAPHAEL DI SANTO COLÉGIO RAPHAEL DI SANTO LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA RECUPERAÇÃO º TRIMESTRE 6 ANOS PROFESSOR RICARDO Conteúdos da Recuperação Trimestral: - Sistema de numeração decimal; - Escrita de números de

Leia mais

Num cilindro as bases são círculos. O perímetro do círculo é igual ao comprimento da circunferência que limita o círculo.

Num cilindro as bases são círculos. O perímetro do círculo é igual ao comprimento da circunferência que limita o círculo. 1. Círculos e cilindros 1.1. Planificação da superfície de um cilindro Num cilindro as bases são círculos. O perímetro do círculo é igual ao comprimento da circunferência que limita o círculo. A planificação

Leia mais

QUADRADO MÁGICO - ORDEM 4

QUADRADO MÁGICO - ORDEM 4 CONCEITO Partindo da definição original, os QUADRADOS MÁGICOS devem satisfazer três condições: a) tabela ou matriz quadrada (número de igual ao número de ); b) domínio: com elementos assumindo valores

Leia mais

Métodos de Contagem e Probabilidade. Paulo Cezar Pinto Carvalho

Métodos de Contagem e Probabilidade. Paulo Cezar Pinto Carvalho Métodos de Contagem e Probabilidade Paulo Cezar Pinto Carvalho 3 Sobre o Autor Paulo Cezar Pinto Carvalho é formado em Engenharia pelo Instituto Militar de Engenharia, Mestre em Estatística pelo IMPA

Leia mais

REVISÃO E AVALIAÇÃO DA MATEMÁTICA

REVISÃO E AVALIAÇÃO DA MATEMÁTICA 2 Aula 45 REVISÃO E AVALIAÇÃO DA 3 Vídeo Arredondamento de números. 4 Arredondamento de números Muitas situações cotidianas envolvendo valores destinados à contagem, podem ser facilitadas utilizando o

Leia mais

Princípio da Casa dos Pombos II

Princípio da Casa dos Pombos II Programa Olímpico de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 8 Princípio da Casa dos Pombos II Nesta aula vamos continuar praticando as ideias da aula anterior, aplicando o

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Métodos sofisticados de contagem. Princípio das Casas dos Pombos. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo de Métodos sofisticados de contagem. Princípio das Casas dos Pombos. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo de Métodos sofisticados de contagem Princípio das Casas dos Pombos Segundo Ano do Ensino Médio Prof. Cícero Thiago Bernardino Magalhães Prof. Antonio Caminha Muniz Neto Em Combinatória,

Leia mais

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO

RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO Caro aluno, Disponibilizo abaixo a resolução das questões de Raciocínio Lógico- Matemático das provas para os cargos de Técnico do TRT/4ª Região (Rio

Leia mais

CENTRO UNIVERSITÁRIO DA SERRA DOS ÓRGÃOS. Curso de Matemática

CENTRO UNIVERSITÁRIO DA SERRA DOS ÓRGÃOS. Curso de Matemática Introdução ao GeoGebra software livre 0 CENTRO UNIVERSITÁRIO DA SERRA DOS ÓRGÃOS Curso de Matemática Primeiros Passos Com o Software Livre GeoGebra Março de 2010 Prof. Ilydio Pereira de Sá Introdução ao

Leia mais

Unidade didáctica: circunferência e polígonos. Matemática 9º ano

Unidade didáctica: circunferência e polígonos. Matemática 9º ano Unidade didáctica: circunferência e polígonos Matemática 9º ano POLÍGONOS. Ângulos de um polígono DEFINIÇÃO: Um polígono é uma superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada. Em qualquer polígono

Leia mais

Atividade extra. Exercício 1. Exercício 2. Exercício 3. Matemática e suas Tecnologias Matemática

Atividade extra. Exercício 1. Exercício 2. Exercício 3. Matemática e suas Tecnologias Matemática Atividade extra Exercício 1 Considere o produto dos números naturais ímpares, 19 17 15... 3 1: Como pode ser reescrito utilizando fatorial? (a) 19! (b) 19! 20! (c) 19! 18 16... 2 (d) 19! 20 Exercício 2

Leia mais

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7 TEORIA DAS PROBABILIDADES Vamos considerar os seguintes experimentos: Um corpo de massa m, definida sendo arrastado horizontalmente por uma força qualquer, em um espaço definido.

Leia mais

Canguru sem fronteiras 2007

Canguru sem fronteiras 2007 Duração: 1h15mn Destinatários: alunos dos 10 e 11 anos de Escolaridade Nome: Turma: Não podes usar calculadora. Há apenas uma resposta correcta em cada questão. Inicialmente tens 30 pontos. Por cada questão

Leia mais

Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ

Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ. Questão Sistemas de Numeração No sistema de numeração de base 2, o numeral mais simples de

Leia mais

Os jogos nas aulas de matemática

Os jogos nas aulas de matemática UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO ENCONTRO REGIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Oficina: Os jogos nas aulas de matemática Professora: Odenise Maria bezerra Natal, agosto de

Leia mais

Questão 1 Uma circunferência de equação. ponto M e tangente ao eixo das ordenadas no ponto N. Sabendo que T é o centro da circunferência, determine:

Questão 1 Uma circunferência de equação. ponto M e tangente ao eixo das ordenadas no ponto N. Sabendo que T é o centro da circunferência, determine: Questão 1 Uma circunferência de equação 2 2 x + y 8x + 8y + 16 = 0 é tangente ao eixo das abscissas no ponto M e tangente ao eixo das ordenadas no ponto N. Sabendo que T é o centro da circunferência, determine:

Leia mais

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,

Leia mais

Canguru Matemático sem Fronteiras 2015

Canguru Matemático sem Fronteiras 2015 anguru Matemático sem Fronteiras 2015 http://www.mat.uc.pt/canguru/ ategoria: Benjamim Destinatários: alunos dos 7. o e 8. o anos de escolaridade ome: Turma: Duração: 1h 30min anguru Matemático. Todos

Leia mais

Métodos de Contagem e Probabilidade

Métodos de Contagem e Probabilidade page 1 Métodos de Contagem e Probabilidade Paulo Cezar Pinto Carvalho page 2 Sobre o autor. Paulo Cezar Pinto Carvalho é formado em Engenharia pelo Instituto Militar de Engenharia, Mestre em Estatística

Leia mais

Simulado OBM Nível 2

Simulado OBM Nível 2 Simulado OBM Nível 2 Gabarito Comentado Questão 1. Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação? a) 13 b) 26 c) 38 d) 39 e) 40 Entre 9 e 49 temos 39 números inteiros. Questão 2. Hoje é

Leia mais

Hit dos Bits. Série Matemática na Escola

Hit dos Bits. Série Matemática na Escola Hit dos Bits Série Matemática na Escola Objetivos 1. Apresentar o sistema de numeração binário; 2. Mostrar aplicações de sistemas de numeração diferentes do decimal; Hit dos Bits Série Matemática na Escola

Leia mais

Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior

Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=disc jc Aula 05 - Desvendando o GeoGebra PARTE 04 - COMO APAGAR OBJETOS. Ao iniciar o GeoGebra,

Leia mais

PROBABILIDADE ESTATÍSTICA

PROBABILIDADE ESTATÍSTICA PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA (1000 ton) 2500 Gráfico 4.1. Produção de Arroz do Município X - 1984-1994 2000 1500 1000 500 0 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 M. Bastos 2005 SUMÁRIO 1 TEORIA DOS CONJUNTOS

Leia mais

XXXVI OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (11 de agosto de 2012) Nível (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental)

XXXVI OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (11 de agosto de 2012) Nível (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental) Instruções: XXXVI OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (11 de agosto de 2012) Nível (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental) Folha de Perguntas A duração da prova é de 3h30min. O tempo

Leia mais

TEXTO DE REVISÃO: Uso da calculadora científica e potências de 10.

TEXTO DE REVISÃO: Uso da calculadora científica e potências de 10. TEXTO DE REVISÃO: Uso da calculadora científica e potências de 10. Caro aluno (a): No livro texto (Halliday) cap.01 - Medidas alguns conceitos muito importantes são apresentados. Por exemplo, é muito importante

Leia mais

( y + 4) = 16 16 = 0 y + 4 = 0 y = 4

( y + 4) = 16 16 = 0 y + 4 = 0 y = 4 UFJF MÓDULO III DO PISM TRIÊNIO 00-0 GABARITO DA PROVA DE MATEMÁTICA Questão Uma circunferência de equação x + y 8x + 8y + 6 = 0 é tangente ao eixo das abscissas no ponto M e tangente ao eixo das ordenadas

Leia mais

Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida.

Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida. 9 ENSINO 9-º ano Matemática FUNDAMENTAL Atividades complementares Este material é um complemento da obra Matemática 9 Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para uso escolar. Venda proibida. Samuel

Leia mais

Professor Mauricio Lutz PROBABILIDADE

Professor Mauricio Lutz PROBABILIDADE PROBABILIDADE Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático (determinístico ou probabilístico) que melhor o explique. Os fenômenos

Leia mais

Contagem com Recursões

Contagem com Recursões Programa Olímpico de Treinamento Curso de Combinatória Nível 3 Prof. Carlos Shine Aula 4 Contagem com Recursões Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios

Leia mais

Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ

Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ Soluções de Questões de Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ 1. Questão Sistemas de Numeração No sistema de numeração de base, o numeral mais simples de

Leia mais

AULA 6 LÓGICA DOS CONJUNTOS

AULA 6 LÓGICA DOS CONJUNTOS Disciplina: Matemática Computacional Crédito do material: profa. Diana de Barros Teles Prof. Fernando Zaidan AULA 6 LÓGICA DOS CONJUNTOS Intuitivamente, conjunto é a coleção de objetos, que em geral, tem

Leia mais

Coordenadoria de Educação CADERNO DE REVISÃO-2011. Matemática Aluno (a) 5º ANO

Coordenadoria de Educação CADERNO DE REVISÃO-2011. Matemática Aluno (a) 5º ANO CADERNO DE REVISÃO-2011 Matemática Aluno (a) 5º ANO Caderno de revisão FICHA 1 COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO examesqueiros Os Números gloriabrindes.com.br noticias.terra.com.br cidadesaopaulo.olx... displaypaineis.com.br

Leia mais

Polígonos: as faces dos poliedros

Polígonos: as faces dos poliedros Módulo 1 Unidade 5 Polígonos: as faces dos poliedros Para início de conversa... Observe as imagens a seguir e tente perceber o que elas têm em comum:objetivos de aprendizagem Figura 1: O que uma colcha

Leia mais

UFJF CONCURSO VESTIBULAR 2012-2 GABARITO DA PROVA DE MATEMÁTICA

UFJF CONCURSO VESTIBULAR 2012-2 GABARITO DA PROVA DE MATEMÁTICA UFJF CONCURSO VESTIBULAR 0- GABARITO DA ROVA DE MATEMÁTICA Questão Uma construtora, para construir o novo prédio da biblioteca de uma universidade, cobra um valor fixo para iniciar as obras e mais um valor,

Leia mais

TC1 REVISÃO ENEM MATEMÁTICA ALEXANDRINO

TC1 REVISÃO ENEM MATEMÁTICA ALEXANDRINO TC1 REVISÃO ENEM MATEMÁTICA ALEXANDRINO 1.Considere o seguinte jogo de apostas: Numa cartela com 0 números disponíveis, um apostador escolhe de a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados

Leia mais

Matemática em Toda Parte II

Matemática em Toda Parte II Matemática em Toda Parte II Episódio: Matemática na Comunicação Resumo O episódio Matemática na Comunicação aborda como a Matemática tem ajudado o homem a se comunicar, revelando o que está oculto nas

Leia mais

2º ANO 4º. Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do triângulo de Pascal pode ser calculada pela

2º ANO 4º. Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do triângulo de Pascal pode ser calculada pela DISCIPLINA PROFESSOR DATA TURMA/TURNO MATEMÁTICA THIAGO PINHEIRO / 11 / 2013 SÉRIE NÍVEL TOTAL ESC. ESC. OBT. NOTA BIM. MÉDIO 2º ANO 4º ALUNO 1. (Uerj 2014) Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-lápis

Leia mais

INTRODUÇÃO AO AUTOCAD

INTRODUÇÃO AO AUTOCAD INTRODUÇÃO AO AUTOCAD O AUTOCAD é um software que se desenvolveu ao longo dos últimos 30 anos. No início o programa rodava no sistema D.O.S., o que dificultava um pouco seu uso. Com o surgimento do sistema

Leia mais

Quem conta um conto aumenta vários pontos

Quem conta um conto aumenta vários pontos Quem conta um conto aumenta vários pontos Carlos Shine 1 Princípio aditivo e multiplicativo O modo matemático mais eficaz de se modelar problemas de contagem é utilizar conjuntos, de modo que todo problema

Leia mais

Revisão de combinatória

Revisão de combinatória A UA UL LA Revisão de combinatória Introdução Nesta aula, vamos misturar os vários conceitos aprendidos em análise combinatória. Desde o princípio multiplicativo até os vários tipos de permutações e combinações.

Leia mais

ELETRÔNICA. Changed with the DEMO VERSION of CAD-KAS PDF-Editor (http://www.cadkas.com). INTRODUÇÃO

ELETRÔNICA. Changed with the DEMO VERSION of CAD-KAS PDF-Editor (http://www.cadkas.com). INTRODUÇÃO 0010100111010101001010010101 CURSO DE 0101010100111010100101011101 1010011001111010100111010010 ELETRÔNICA 1010000111101010011101010010 DIGITAL INTRODUÇÃO Os circuitos equipados com processadores, cada

Leia mais

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade Edson de Faria Departamento de Matemática IME-USP 19 de Agosto, 2013 Probabilidade: uma Introdução / Aula 3 1 Probabilidade Discreta: Exemplos

Leia mais

Colégio Militar de Curitiba

Colégio Militar de Curitiba Colégio Militar de Curitiba Caro aluno Este Caderno de Apoio à Aprendizagem em Matemática foi produzido para você com o objetivo de colaborar com seus estudos. Ele apresenta uma série de atividades a serem

Leia mais

Aula 10 Triângulo Retângulo

Aula 10 Triângulo Retângulo Aula 10 Triângulo Retângulo Projeção ortogonal Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se projeção ortogonal desse ponto sobre essa reta o pé da perpendicular traçada do ponto à reta. Na figura,

Leia mais

Um Estudo Sobre a Chance de Repetição de Sorteios na Mega-Sena

Um Estudo Sobre a Chance de Repetição de Sorteios na Mega-Sena Um Estudo Sobre a Chance de Repetição de Sorteios na Mega-Sena Rogério César dos Santos 05 de Janeiro de 2014 Resumo Qual é a chance de haver um sorteio repetido na Mega-Sena, em n jogos? Como veremos,

Leia mais

Novas Tecnologias no Ensino da Matemática

Novas Tecnologias no Ensino da Matemática UFF Novas Tecnologias no Ensino da Matemática 1 Novas Tecnologias no Ensino da Matemática Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Lista 8 ATIVIDADE 1 Uma outra maneira de se poupar

Leia mais

Prof. Dra. Vera Clotilde Garcia, Acad. Fabiana Fattore Serres, Acad. Juliana Zys Magro e Acad. Taís Aline Bruno de Azevedo.

Prof. Dra. Vera Clotilde Garcia, Acad. Fabiana Fattore Serres, Acad. Juliana Zys Magro e Acad. Taís Aline Bruno de Azevedo. 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA SECRETARIA DE ENSINO À DISTÂNCIA O NÚMERO DE OURO Prof. Dra. Vera Clotilde Garcia, Acad. Fabiana Fattore Serres, Acad. Juliana Zys Magro

Leia mais

Matemática Financeira Módulo 2

Matemática Financeira Módulo 2 Fundamentos da Matemática O objetivo deste módulo consiste em apresentar breve revisão das regras e conceitos principais de matemática. Embora planilhas e calculadoras financeiras tenham facilitado grandemente

Leia mais

NÍVEL 1 7 a Lista. 1) Qual é o maior dos números?

NÍVEL 1 7 a Lista. 1) Qual é o maior dos números? NÍVEL 1 7 a Lista 1) Qual é o maior dos números? (A) 1000 + 0,01 (B)1000 0,01 (C) 1000/0,01 (D) 0,01/1000 (E) 1000 0,01 ) Qual o maior número de 6 algarismos que se pode encontrar suprimindo-se 9 algarismos

Leia mais

Vamos exemplificar o conceito de sistema posicional. Seja o número 1303, representado na base 10, escrito da seguinte forma:

Vamos exemplificar o conceito de sistema posicional. Seja o número 1303, representado na base 10, escrito da seguinte forma: Nova bibliografia: Título: Organização e projeto de computadores a interface Hardware/Software. Autor: David A. Patterson & John L. Hennessy. Tradução: Nery Machado Filho. Editora: Morgan Kaufmmann Editora

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na fgv

CPV O cursinho que mais aprova na fgv O cursinho que mais aprova na fgv FGV economia a Fase 17/dezembro/006 RACIOCÍNIO MATEMÁTICO 01. Em uma pesquisa de mercado feita com 50 entrevistados, todos responderam o seguinte questionário: I. Assinale

Leia mais

Exemplos de Problemas Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem. Professor: Flávio dos Reis Moura Skype; mineironegrogalo75

Exemplos de Problemas Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem. Professor: Flávio dos Reis Moura Skype; mineironegrogalo75 Exemplos de Problemas Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem Professor: Flávio dos Reis Moura Skype; mineironegrogalo75 Este material tem por objetivo ajudar o aluno a aplicar o Princípio Fundamental

Leia mais

Expoentes fracionários

Expoentes fracionários A UUL AL A Expoentes fracionários Nesta aula faremos uma revisão de potências com expoente inteiro, particularmente quando o expoente é um número negativo. Estudaremos o significado de potências com expoentes

Leia mais

Resoluções Prova Anglo

Resoluções Prova Anglo Resoluções Prova Anglo F- TIPO D-6 Matemática (P-2) Ensino Fundamental 6º ano DESCRITORES, RESOLUÇÕES E COMENTÁRIOS A Prova Anglo é um dos instrumentos para avali ar o desempenho dos alunos do 6 o ano

Leia mais