Goiânia, 07 a 10 de outubro. Mini Curso. Tópicos em passeios aleatórios. Ms. Valdivino Vargas Júnior - Doutorando/IME/USP

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1 Goiâia, 07 a 10 de outubro Mii Curso Tópicos em passeios aleatórios Ms. Valdivio Vargas Júior - Doutorado/IME/USP

2 TÓPICOS EM PASSEIOS ALEATÓRIOS VARGAS JÚNIOR,V. 1. Itrodução Cosidere a seguite situação hipotética. Um jogador etra em um cassio com X reais em diheiro para tetar a sorte. Admita que ele participa de um jogo que cosiste de apostas idepedetes. Em cada aposta ele recebe um real em caso de vitória e caso cotrário perde um real. A chace de vitória em cada aposta é p e coseqüetemete de derrota 1-p = q. Admita que os recursos do cassio são ilimitados, isto é, por mais sorte que o jogador teha, ão cosegue quebrar a baca. Supoha que ele jogue idefiidamete, apeas parado em caso de ficar sem diheiro. Uma questão iteressate é saber qual é a probabilidade do jogador em algum mometo ficar sem diheiro. A teoria mostra que mesmo o caso de um cassio justo (isto é, p = 0.5), esta probabilidade é 1. Tal problema é cohecido como ruía do jogador. Etretato, é bom ressaltar que o caso de o jogador ter probabilidade p superior a 50 por ceto em cada aposta existe probabilidade positiva do jogador uca ficar sem diheiro. Este é apeas um simples exemplo de processos que podem ser estudados a partir da teoria de passeios aleatórios. Estes são a formalização matemática de uma trajetória (de uma partícula, digamos) a partir de uma seqüêcia de passos dados de forma aleatória. Diversas áreas do cohecimeto como estatística, ecoomia, computação, ecologia, detre outras fazem uso de resultados oriudos desse majestoso modelo. Defiição 1.1. Sejam X 1, X 2, variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas tal que E X i <. Seja S 0 = C e S = S 0 + X i, 1. i=1 O processo {S, 0} é chamado passeio aleatório. Exemplo 1.2. Sejam X 1, X 2, variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas tal que P(X i = 1) = p e P(X i = 1) = 1 p = q. Temos um passeio aleatório simples. Se além disso, p = q temos um passeio aleatório simples simétrico. Figura 1.1. Uma realização de um passeio aleatório simples. Nesta figura, as elipses represetam sucessivas posições do passeio. Nesse caso, S 0 = 2, S 1 = 3, S 2 = 2 e assim por diate. O passeio visita a origem o quarto

3 2 VARGAS JÚNIOR,V. S_ S_ passo. A omeclatura segue da visualização de S como a posição de uma partícula iicialmete em S 0, e etão faz uma série de passos uitários idepedetes, cada passo sedo positivo com probabilidade p ou egativo com probabilidade 1-p. Em algus mometos usaremos a otação (0,S 0 ) para (,S ) para dizer que um passeio partiu de S 0 o istate 0 e está em S o istate. É fácil ver que a diâmica da ruía do jogador, o capital acumulado pelo jogador ao logo das apostas pode ser visto como um passeio aleatório simples. Nesse caso, a variável aleatória X i represeta o gaho do jogador a i-ésima jogada. Exemplo 1.3. Defia S 0 = i, i > 0 e S +1 = 0, se S = 0 e S +1 = S + X +1 se S 0, ode P(X +1 = 1) = P(X +1 = 1) = 1 2 Temos um passeio aleatório com barreira absorvete a origem. Exemplo 1.4. Cosidere o espaço de estados {0, 1,, d} e variáveis aleatórias idepedetes etre si tais que Se S {1, 2,, d 1} etão P(X +1 = 1) = p e P(X +1 = 1) = 1 p = q Se S = 0 etão P(X +1 = 1) = p e P(X +1 = 0) = 1 p = q Se S = d etão P(X +1 = 0) = p e P(X +1 = 1) = 1 p = q Temos um passeio aleatório com barreiras de reteção. Exemplo 1.5. Seja (X, 1) uma coleção de variáveis aleatórias idepedetes tais que P(X +1 = 1) = λ P(X +1 = 1) = µ ode λ + µ = 1. Temos um passeio aleatório ão homogêeo.

4 TÓPICOS EM PASSEIOS ALEATÓRIOS 3 Exemplo 1.6. Cosidere uma partícula realizado movimetos aleatórios sobre os vértices de um cubo. Seja S = {i : 1 i 8} os vértices do cubo e P(S +1 = j S = i) = 1 se i e j estão coectados e 3 P(S +1 = j S = i) = 0 caso cotrário. Temos um passeio aleatório o cubo. Neste, a cada passo a partícula escolhe saltar para um vértice viziho, tedo a mesma probabilidade de salto para cada um deles. Exemplo 1.7. Sejam (X, 1) variáveis aleatórias assumido valores reais tal que P(X x) = Γ(, x). Tome S +1 = S + X +1. Temos um passeio aleatório sobre a reta. 2. Coceitos básicos 2.1. Defiições. Destacaremos essa seção algus coceitos importates. Defiição 2.1. Primeira passagem de i para k. Seja um passeio aleatório, ode S 0 = i. O tempo de primeira passagem é defiido por T i,k = mi{ > 0; S = k} Quado i = k, a variável aleatória T k,k é chamada tempo de recorrêcia de k. Neste caso ós escreveremos simplesmete T k. Uma propriedade iteressate do tempo de primeira passagem o caso de passeios aleatórios simples é que os passos após a primeira passagem em k é idepedete das passages ateriores. Assim, ós podemos escrever, por exemplo T 0,2 = T 0,1 + T 1,2, ode T 0,1 e T 1,2 são idepedetes e têm a mesma distribuição já que as X i são ideticamete distribuídas. Defiição 2.2. Rage. O rage R do passeio é a quatidade de valores distitos que o passeio assume até o passo. Isto é, o úmero de valores distitos em (S 0, S 1,..., S ) Defiição 2.3. Tempo de parada. Sejam X 1, X 2, uma seqüêcia de variáveis aleatórias idepedetes. Uma variável aleatória N é dita tempo de parada para esta seqüêcia se o eveto {N = } é idepedete de X +1, X +2, para todo =1,2, No caso de um passeio aleatório o tempo de primeira passagem é um exemplo de tempo de parada. Ituitivamete falado, assistido ao processo é possível saber o istate em que T j ocorre. Em outras palavras, se {T j = } ós paramos após observar X 1,..., X e ates de observar X +1, X +2,...

5 4 VARGAS JÚNIOR,V. Teorema 2.4. Equação de Wald Se X i i 1 são v.a.i.i.d. tal que E X i < e se N é um tempo de parada para X 1, X 2, com E[N] <, etão E[ N X i ] = E[N]E[X 1 ]. i=1 Exemplo 2.5. Cosidere um passeio aleatório simples assimétrico com p > 1 2. O úmero esperado de passos até o passeio alcaçar a posição k, k > 0 é E[N] = k 2p 1 Demostração. Observe que E X 1 = 1 <. Além disso N N X j = k E[ X j ] = k j=1 j=1 Como E(X 1 ) = 2p 1 basta usar a equação de Wald para obter o resultado Recorrêcia e trasiêcia. Seja (S, 0) um passeio aleatório. Nós dizemos que um estado i é recorrete se P(S = i para ifiitos ) = 1 Nós dizemos que um estado i é trasiete se P(S = i para ifiitos ) = 0 Itroduza agora o úmero de visitas V i ao estado i. Temos: V i = =0 1 {S =i} Etão E(V i ) = E( 1 {S =i}) = E(1 {S =i}) = =0 =0 Itroduza também a probabilidade de retoro P(S = i). =0 f i = P(T i < ) É possível mostrar que se P(T i < ) = 1, etão i é recorrete e se P(T i < ) < 1 etão i é trasiete. Além disso, todo estado, ou é recorrete ou é trasiete. Por fim, podemos afirmar que para um estado recorrete a probabilidade de um evetual retoro é 1 equato que um estado trasiete existe probabilidade de uca haver retoro.

6 TÓPICOS EM PASSEIOS ALEATÓRIOS 5 Proposição 2.6. Para qualquer passeio aleatório, as seguites afirmações são equivaletes: i)f 0 = P(T 0 < ) = 1 ii)p(s = 0 ifiitas vezes ) = 1 iii) P(S = 0) =. =0 Demostração. Exercício. Ao logo dessa seção 3. Passeio Aleatório Simples S = X i, 1 i=1 é um passeio aleatório simples. Estamos assumido sem perda de geeralidade, S 0 = Resultados elemetares. Teorema 3.1. P(S = k) = ( +k 2 ) p +k k 2 (1 p) 2 Demostração. Cosidere uma realização do passeio aleatório de (0,0) para (,S ) com r passos positivos e s passos egativos. Se S = ( k etão ) r-s = k e r+s=. Logo r = +k 2 e s = k 2. O úmero de tais realizações é e cada uma tem a mesma r probabilidade, a saber p r q s. Etão ( ) P(S = k) = p r r q s Teorema 3.2. O passeio aleatório simples simétrico em Z (p=q= 1 2 ) é recorrete. Demostração. Basta mostrar que o estado 0 é recorrete. Sem perda de geeralidade assuma S 0 = 0. Etão, usado a Proposição 2.6 precisamos mostrar que P(S = 0) = =0 É claro que ão podemos retorar a 0 em um úmero ímpar de passos. Isto é P(S 2+1 = 0) = 0 para todo. Note que qualquer seqüêcia de passos de tamaho 2 de 0 para 0 é costituída de passos para cima e passos para baixo e ocorre ( com ) probabilidade (0, 5) (0, 5) 2 =(0, 25). Além disso, observe que existem modos de escolher passos detre 2. Etão ( ) 2 P(S 2 = 0) = (0, 25)

7 6 VARGAS JÚNIOR,V. Etretato, a fórmula de Stirlig os dá uma boa aproximação de! para grade:! 2π( e ) ode a b sigifica a 1 b Assim, para algum N suficietemete grade e todo N 1 P(S 2 = 0) 2 2π Assim e o passeio é recorrete. P(S 2 = 0) =N =N 1 2 2π = 3.2. Dualidade em Passeios aleatórios e Pricípio da reflexão. Afirmação 3.1. Pricípio da dualidade (X 1, X 2,, X ) tem a mesma distribuição cojuta de (X, X 1,, X 1 ) A validade do pricípio da dualidade é imediata já que as X i, i > 1 são idepedetes e ideticamete distribuídas. Proposição 3.3. Pricípio da Reflexão Se x e y são positivos etão o úmero de passeios de (0,x) para (,y) que tocam o eixo x é igual ao úmero de passeios de (0,-x) para (,y). Demostração. Exercício. Teorema 3.4. Teorema do Primeiro acerto Seja b > 0. Etão um passeio aleatório simples P(T 0,b = ) = b P(S = b) Demostração. Seja N (0, x) o úmero de realizações possíveis de (0,0) para (,x) (úmero de passeios de comprimeto saido de 0 e chegado a x). Seja aida N b (0, x) o úmero de realizações possíveis de (0,0) para (,x) que passam em b pelo meos uma vez. Observe que se T 0,b = etão X = 1 e S 1 = b 1. Etão existem N 1 (0, b 1) passeios de (0,0) para ( 1, b 1) dos quais N 1(0, b b 1) visitam b o trajeto. Cada uma dessas realizações tem probabilidade p +b 2 1 q b 2. Usado o Pricípio da reflexão: P(T 0,b = ) = p(n 1 (0, b 1) N 1 (0, b + 1))p +b 2 1 q b 2 ( ) 1 = [ +b 2 1 ( 1 +b 2 ) ]p +b 2 q b 2 = b P(S = b) O resultado a seguir mostra uma iteressate propriedade do passeio aleatório simples simétrico. P(T 0,1 < ) = 1, porém E[T 0,1 ] = Proposição 3.5. Num passeio aleatório simples simétrico E[T 0,1 ] =

8 Demostração. E(T 0,1 ) = TÓPICOS EM PASSEIOS ALEATÓRIOS 7 P(S 2m+1 = 1) = m=0 m=0 ( 2m + 1 m + 1 Teorema 3.6. Teorema de Ballot Seja S um passeio aleatório simples com S 0 = 0. Etão 2 1 P( i=1 S i 0 S 2 = 2r) = r ) 2 (2m+1) = Demostração. A prova é semelhate a da prova do teorema do primeiro acerto. Cote o úmero N (1, 2r) de realizações de (1,1) para (2,2r) que visitam a origem. A idéia é refletir o passeio ates de seu primeiro 0 o eixo x, e assim mostrar que N (1, 2r) = N 2 1( 1, 2r). Como todas as N 2 (0, 2r) realizações são igualmete prováveis, a probabilidade requerida é N 2 1 (1, 2r) N2 1 0 (1, 2r) N 2 (0, 2r) = N 2 1(1, 2r) N 2 1 ( 1, 2r) N 2 (0, 2r) = r Exemplo 3.7. Cosidere a seguite situação. Em uma eleição após a cotagem dos votos o cadidato A garate a votos e o cadidato B, b votos. Supoha a > b. Qual a probabilidade de que o cadidato A liderou durate toda a cotagem? O Teorema de Ballot diz que esta probabilidade é a b a + b. O próximo resultado parece surpreedete porém é verdadeiro. Teorema 3.8. Seja S, 0 um passeio aleatório simples simétrico com S 0 = 0. Etão a) P(T 0 = 2) = P(S 2 2 = 0) P(S 2 = 0) b) P( 2 S k 0) = P(T 0 > 2) = P(S 2 = 0) Demostração. Primeiro o item a. Pela simetria, pricípio da reflexão e usado o teorema do primeiro acerto P(T 0 = 2) = 1 ( ) 2 1 P(S 2 1 = 1) = 2 (2 1) ( ) ( ) ( ) = = = P(S 2 2 = 0) P(S 2 = 0)

9 8 VARGAS JÚNIOR,V. Para o item b, observe que P(T 0 > 2) = 1 P(T 0 = 2k) = = P(S 2 = 0) [P(S 2k 2 = 0) P(S 2k = 0)] O próximo teorema lida com a taxa esperada a qual um passeio aleatório assume ovos valores. Teorema 3.9. E(R ) lim = P( passeio aleatório uca retora a 0) Demostração. Defia { 1 se Sk S I k = k 1, S k S k 2, S k S 0, 0 caso cotrário Etão Logo E[R ] = 1 + = 1 + = 1 + R = I k P(I k = 1) = 1 + P(S k S k 1, S k S k 2, S k S 0 ) P(X k 0, X k + X k 1 0, X k + X k X 1 0) P(X 1 0, X 1 + X 2 0, X 1 + X X k 0) ode a última desigualdade segue da dualidade. Logo E[R ] = 1 + P(S 1 0, S 2 0, S k 0) = ode T 0 é o tempo do primeiro retoro a 0. Tomado k Daí segue P(T 0 > k) P(T 0 > k) P(T 0 = ) = P(passeio aleatório uca retora a 0) E(R ) lim k=0 = P(passeio aleatório uca retora a 0) Corolário Cosidere um passeio aleatório simples assimétrico, com p > 1 2 E(R ) lim = 2p 1

10 Demostração. Exercício. TÓPICOS EM PASSEIOS ALEATÓRIOS 9 Teorema Em um passeio aleatório simples simétrico o úmero esperado de visitas ao estado k ates de retorar a origem é igual a 1 para todo k 0. Demostração. Para k > 0 seja Y o úmero de visitas ao estado k ates do primeiro retoro a origem. Y pode ser escrito da seguite forma Y = ode { 1 se k é visitado o tempo e ão há retoro a origem ates de I = 0 caso cotrário Ou de modo equivalete: { 1 se S > 0, S I = 1 > 0, S 1 > 0, S = k, 0 caso cotrário =1 I Logo E[Y ] = P(S > 0, S 1 > 0,, S = k) = = =1 P(X + + X 1 > 0, X 1 + X 1 > 0, X 1 = 0, X + + X 1 = k) =1 P(X X > 0, X 2 + X > 0, X = 0, X X = k) =1 ode a última igualdade segue da dualidade. Portato E[Y ] = P(S > 0, S > S 1, S > S 1, S = k) = =1 P(passeio aleatório simétrico acertar k a primeira vez o tempo ) =1 P(passeio aleatório sempre alcaçar k) = 1 (pela recorrêcia) O problema da ruia do jogador. Agora voltaremos ossa ateção para o problema da ruía do jogador descrito a itrodução. Lembre que a diâmica da ruía do jogador, o capital acumulado pelo jogador ao logo das apostas pode ser visto como um passeio aleatório. Nesse caso, a variável aleatória X i represeta o gaho do jogador a i-ésima jogada. Vamos mostrar que mesmo estado em um cassio justo, com probabilidade 1, o jogador fica sem diheiro em algum mometo.

11 10 VARGAS JÚNIOR,V. Demostração. Seja h i = P i (acertar 0). Etão h é a solução miimal ão egativa de h 0 = 1 h i = 1 2 h i h i 1 para i=1,2,... Essa relação de recorrêcia tem solução geral h i = A + Bi Mas a restrição 0 h i 1 força B = 0. Assim, h i = 1 para todo i. Dado o resultado desejado. 4. Aplicações atuais em passeios aleatórios- Frog model Detre uma variedade eorme de trabalhos evolvedo passeios aleatórios apresetaremos como exemplo o modelo dos sapos (Frog Model). Este é um sistema de passeios aleatórios simples sobre um grafo. Este modelo pode ser descrito da seguite forma. Existem partículas ativas e iativas sobre algum grafo. Cada partícula ativa realiza um passeio aleatório simples a tempo discreto. Quado uma partícula ativa salta sobre uma iativa, esta se tora ativa passado etão a realizar um passeio aleatório simples a tempo discreto. No frog model existem algumas variações sobre a maeira pela qual uma partícula ativa desaparece. Em Phase trasitio for the frog model por exemplo, cada partícula ativa tem probabilidade 1-p de desaparecer a cada passo de seu passeio. A seguir apresetaremos a descrição de algus artigos recetes evolvedo o frog model. A bibliografia completa destes artigos se ecotra as referêcias. Radom walks systems with killig em Z Cosidere um sistema de passeios aleatórios sobre Z a qual cada partícula ativa realiza um passeio aleatório simples assimétrico e ativa todas as partículas iativas que ecotra. O movimeto de uma partícula pára quado ela alcaça um certo úmero de saltos sem ativar ehuma partícula. Neste artigo é provado que se o processo cota com partículas eficietes (pequea probabilidade de salto para à esquerda) localizadas estrategicamete sobre Z o processo pode sobreviver, tedo partículas ativas em qualquer istate com probabilidade positiva. Caso cotrário, é costruído um processo que mesmo cotato com partículas eficietes morre quase certamete. Isto é o que acotece se as partículas estiverem localizadas iicialmete muito loge das outras ou se a sua probabilidade de salto para à direita tede a 1, porém ão tão rápido. CLT for the ifected proportio of idividuals for a epidemic model o a complete graph Neste artigo, os autores provam um teorema cetral do limite para a proporção de idivíduos ifectados para um modelo epidêmico costituído por um sistema de passeios aleatórios simples a tempo discreto sobre um grafo completo com vértices. Cada passeio aleatório faz o papel de um vírus. Um vírus duplica em cada istate em que ecotra um idivíduo susceptível e morre se acertar um idivíduo já ifectado. O processo pára quado ão existem mais vírus. Idivíduos estão todos

12 TÓPICOS EM PASSEIOS ALEATÓRIOS 11 coectados como vértices em um grafo coexo. Este modelo é próximo a algus problemas em epidemiologia e dissemiação de vírus em uma rede de computador. The shape theorem for frog model Neste artigo, os autores provam um teorema de forma para um cojuto crescete de passeios aleatórios simples sobre Z d. A diâmica do processo é a seguite. Existem partículas ativas que realizam passeio aleatório simples a tempo discreto e partículas iativas que ão se movem. Quado uma partícula iativa é acertada por uma ativa ela também se tora ativa. No tempo 0, todas as partículas estão iativas, exceto aquela localizada a origem. Os autores provam que o cojuto das posições origiais de todas as partículas reescalada pelo tempo coverge para algum cojuto covexo compacto. Phase trasitio for the frog model Neste artigo, têm-se um sistema de passeios aleatórios simples sobre um grafo. Existem partículas ativas e iativas sobre o grafo. Cada partícula ativa realiza um passeio aleatório simples a tempo discreto e em cada movimeto desaparece com probabilidade 1-p. Quado uma partícula ativa acerta uma partícula iativa, esta se tora ativa. Os autores apresetam resultados de trasição de fase e valores assitóticos para parâmetros críticos para Z d e árvores regulares. Self avoidig radom walks o homogeeous trees Neste artigo, os autores cosideram um sistema de partículas sobre uma árvore homogêea. No tempo 0 existe uma úica partícula sobre cada vértice da árvore estado apeas uma delas ativa. As outras se ecotram iativas. Uma partícula ativa realiza um passeio aleatório simples a tempo discreto idepedete, tedo probabilidade 1-p de desaparecer em cada passo. Uma partícula iativa se tora ativa quado seu vértice é acertado por uma partícula ativa. Os autores provam resultado de trasição de fase para esse modelo exibido limites para a probabilidade crítica. A criticalidade é com respeito a positividade da probabilidade do eveto existir partículas ativas em qualquer istate. Radom walk systems o complete graphs Neste artigo, os autores estudam duas versões de sistemas de passeios aleatórios sobre grafos completos. No primeiro, os passeios aleatórios têm tempo de vida com distribuição geométrica. Neste caso, é idetificado um parâmetro crítico relacioado a proporção de vértices visitados ates do processo morrer. Na seguda versão, o tempo de vida dos passeios depedem do passado do processo de modo ão markoviao. Para esta versão são apresetados resultados obtidos de aálise computacioal, simulações e aproximações de campo médio. Referêcias [1] D. Stirzaker, Elemetary Probability, Cambridge Uiversity Press, [2] F.P. Machado, E. Lebesztay, M. Z. Martiez (2005) Self avoidig radom walks o homogeeous trees

13 12 VARGAS JÚNIOR,V. [3] F.P. Machado, E. Lebesztay, M. Z. Martiez (2008) Radom walks systems with killig em Z [4] F.P. Machado, H. Mashuria, H. Matziger (2008) CLT for the ifected proportio of idividuals for a epidemic model o a complete graph [5] J. Norris, Markov Chais, Cambridge Uiversity Press, [6] R. Durret, Probability: theory ad examples, (2d ed.), Duxburry, Belmot. Calif. [7] O.S.M. Alves, F.P. Machado, E. Lebesztay, M. Z. Martiez (2006) Radom walk systems o complete graphs [8] O.S.M. Alves, F.P. Machado, S.Yu. Popov (2002)Phase trasitio for the frog model. [9].S.M. Alves, F.P. Machado, S.Yu. Popov (2000) The shape theorem for the frog model. [10] S.H. Ross, Stochastic Processes, Wiley Series i Probability ad Mathematical Statistics, [11] W. Feller, A Itroductio to Probability Theory ad its Applicatios, Wiley, New York,1966. Valdivio Vargas Júior Doutorado USP/São Paulo vvjuiorusp@yahoo.com.br