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1 Uiversidade Federal da Bahia - IM Programa de Pós-Graduação em Matemática Professor: Tertuliao Fraco Aluo: Felipe Foseca dos Satos Trabalho do curso de Probabilidade Este trabalho cosiste em resolver algumas questões selecioadas pelo professor Tertuliao, que em sua maioria foram retiradas do livro: Probabilidade: um curso em ível itermediário, de Barry R. James. Capítulo 1 1 a QUESTÃO: Sejam A, B e C evetos aleatórios. Idetifique as seguites equações e frases, casado cada equação expressa a otação de cojutos com a correspodete frase a liguagem de evetos: (a A B C A B C (b A B C A (c A B C A (d (A B C\(B C A (i A e B C são icompatíveis. (ii Os evetos A, B e C são idêticos. (iii A ocorrêcia dea implica a de B e C. (iv A ocorrêcia de A decorre de B ou C. Resolução: Aalizado iicialmete o item (a, temos que A B C A B C para todo A, B e C. Por outro lado, A B C A B C sigifica que dado x A B C temos x A, B, C, ou seja, os evetos A, B e C são idêticos (a ocorrêcia de um implica a ocorrêcia de todos, portato (a (ii. Cosidere agora (b, sempre temos A B C A, mas A A B C implica que dado x A etão x B e x C. Logo a ocorrêcia de A implica a ocorrêcia de B e C, protato (b (iii. Em (c sempre ocorre que A A B C, mas se A B C A isso implica que para qualquer x B ou x C temos x A. Assim, a ocorrêcia de A decorre de B ou C. Ou seja, (c (iv.

2 Por fim, cosidere o item (d, sabemos que sempre ocorre (A B C\(B C A, ou seja, se x (A B C\(B C etão x / (B C, mas dado que A (A B C\(B C temos que para qualquer x A, x / (B C. Logo A e B C são icompatíveis, ou aida (d (i. 2 a QUESTÃO: A partir dos axiomas, prove a propriedade P5: P( A 1 P(A 1 Resolução: Cosidere, B 1 A 1 B 2 A 2 \A 1 B 3 A 3 \(A 2 A 1. B A \(A 1 A 1. Como por costrução os B são disjutos dois a dois, temos pelo axioma 3 que P( B P(B. Como A B, temos que P( A P( B P(B P(A 1 ode a ultima desigualdade ocorre devido ao fato de que para cada N, B A e P(A P(B (A B P(B + P(A B P(B. 3 a QUESTÃO: Sejam A 1, A 2,... evetos aleatórios. Mostre que (a P( A k 1 P(A k. (b Se P(A k 1 ε para k 1,...,, etão P( (c P( A k 1 P(A c k. A k 1 ε. 2

3 Resolução: Item (a: Usado o axioma 4 temos que P( ( A c k. Assim, pelo axioma 2 temos que A k P(A k. Cosidere Ω ( ( 1 P(Ω P ( A k ( A c k P( A k + P( A c k P( A k + Portato P( A k 1 P(A c k. Item (b: Pelo item (a temos P( A k Item (c: Sabedo que ( P( A c k ou seja, P( 1 P(A c k A k c ( P(A c k, como P ( A k 1 P(A c k. (1 P(A k P(A k 1 + (1 ε 1 ε. A k P(A c k. ( A c k e usado a 2o questão ficamos com P ( A k c A k c 1 P( A k temos 1 P( A k P(A c k, 4 a QUESTÃO: Demostre as seguites propriedades: (a Se P(A para 1, 2,..., etão P( A. 1 (b Se P(A 1 para 1, 2,..., etão P( Resolução: Item (a: Como vimos a 2 o questão P( A 1. A P(A, sedo P(A para todo N temos que P(A, pois é soma eumerável de zeros. Assim P( A, logo P( 1 A. Item (b: Pela 3 o questão item (c, P( P(A c para todo N, logo P( 1 A 1 e portato P( A 1 P(A c, como P(A 1, etão 1 P(A c (soma eumerável de zeros. Assim, A 1, já que, P( 1 A 1. 3

4 5 a QUESTÃO: Demostre: Se A 1, A 2,... e B 1, B 2,... são evetos aleatórios do mesmo espaço de probabilidade tais que P(A 1 e P(B p quado +, etão P(A B p. Resolução: Começamos mostrado que se P(C a etão P(Cc 1 a. De fato, como P(C c 1 P(C 1 a. Sabemos que para cada N, A B B assim P(A B P(B, logo lim P(A B lim P(B p. Por outro lado, 1 P(A B P((A B c P(A c Bc P(Ac + P(Bc, ou seja, P(A B 1 P(A c P(Bc. Assim, lim P(A B P(B c 1 (1 p p. Portato lim P(A B p. lim 1 P(Ac 8 a QUESTÃO: No jogo de CRAPS dois dados são jogados. Se o jogador tirar 7 ou 11 potos ele gaha. Se ele tira 2,3 ou 12 ele perde. Nos outros casos ele cotíua jogado os dois dados até sair 7, caso em que ele perde, ou etão sair o primeiro resultado, caso em que ele gaha. Descreva o espaço amostral. Qual a probabilidade dele gahar? Resolução: Seja Ω {2, 3, 4,..., 12} N o espaço amostral e deote X i k o valor k obtido a i esima jogada, i N e k {2, 3,..., 12}. Sabemos que P(X 1 2 P(X /36, P(X 1 3 P(X /36, P(X 1 4 P(X 1 1 3/36, P(X 1 5 P(X 1 9 4/36, P(X 1 6 P(X 1 8 5/36 e P(X 1 76/36. Como, ( P({gahar} P {gahar} {X 1 k} ( P k4,5,6,7,8,9,1,11 k4,5,6,7,8,9,1,11 {gahar} {X 1 k} P({gahar} {X 1 7} + P({gahar} {X 1 11} + 2P({gahar} {X 1 4} + 2P({gahar} {X 1 5} + 2P({gahar} {X 1 6} 4

5 Sabedo que P({gahar} {X 1 4} P({gahar} {X 1 4}P({X 1 4} P({ gahar o esimo laçameto} {X 1 4}P({X 1 4} 1 ( ( P({gahar} {X 1 5} P({gahar} {X 1 5}P({X 1 5} P( {gahar o esimo laçameto} {X 1 5}P({X 1 5} 1 ( ( P({gahar} {X 1 6} P({gahar} {X 1 6}P({X 1 6} P( {gahar o esimo laçameto} {X 1 6}P({X 1 6} 1 ( ( Assim, temos que P({gahar} a QUESTÃO: Uma caixa cotém 2 sorvetes, do sabor A e do sabor B. De um grupo de 2 pessoas, a < preferem o sabor A, b < o sabor B e 2 (a+b ão tem preferêcia. Demostre: se os sorvetes são distribuídos ao acaso a probabilidade de que a preferêcia de todas as pessoas seja respeitada é de ( 2 a b a ( 2 / Resolução: Ordeemos as primeiras a + b pessoas de modo que as a primeiras prefiram o sabor A e as demais prefiram o sabor B. Como a quatidade de sequêcias possíveis de distribuir o sorvete é de C 2 (2!!! (úmero de caso possíveis. Sabedo que o úmero de casos favoráveis deve satisfazer: sorvete de sabor A para as a 5

6 primeiras pessoas depois sorvete de sabor B para as b seguites pessoas. Com isso restam apeas 2 a b pessoas a receber sorvete. Sedo que temos ( a sorvetes de sabor A e ( b sorvetes de sabor B. Assim o úmero de distribuição do sorvete sabor A é C a 2 a b, assim a quatidade de distribuição para o sabor B estas codições é de um úico modo, daí temos. 2 a b C2 P(Preferêcia Respeitada C a. 13 a QUESTÃO: (a Sejam A, B e C evetos aleatórios de um espaço de probabilidade (Ω, A, P. Mostre que P(A B P(A + P(B P(A B e P(A B C P(A + P(B + P(C P(A B P(A C P(B C + P(A B C. (b Eucie a geeralização do item (a para o caso da uião de evetos aleatórios. Resolução: Item (a: Como A (A\B (A B temos que P(A P(A\B + P(A B, de modo aálogo temos que P(B P(B\A + P(A B, assim somado P(A com P(B temos P(A + P(B P(A\B + P(A B + P(B\A + P(A B P((A\B (B\A (A B + P(A B P(A B + P(A B. Observe que a seguda igualdade decorre do fato de que os cojutos (A\B, (B\A e A B são disjutos. Assim, P(A B P(A + P(B P(A B. Para a seguda parte do item (a vamos usar o que já fizemos. Assim, P((A B C P(A B + P(C P((A B C P(A + P(B P(A B + P(C P((A C (B C P(A + P(B + P(C P(A B (P(A C + P(B C P(A B C P(A + P(B + P(C P(A B P(A C P(B C + P(A B C. Item (b: Sejam A 1, A 2,..., A evetos aleatórios de um espaço de probabilidade (Ω, A, P 6

7 etão P(A 1 A P(A i P(A i A j + P(A i A j A k...+( 1 1 P(A 1 A 2 A i1 1i<j 1i<j<k. a 16 QUESTÃO: Seja (Ω, A, P um espaço de probabilidade e supoha que todos os cojutos abaixo perteçam a A. Prove: (a Se os A são disjutos e P(B A c para todo, etão P(B A c (pode supor P(A >. (b O item (a com o lugar de. (c Se A +1 A e P(A +1 A 1 2 para todo, etão P(A. (d Se os A são disjutos e P(B A P(C A, etão P(B A P(C A. (e Se A 1, A 2,... são disjutos e A Ω etão P(B C P(A CP(B A C. Resolução: Item (a: Como P(B A P(B ( A P( (B A P(B A, ode a P( A P( A P( A terceira igualdade vem do fato dos A s serem disjutos o que implica que os B A s são disjutos. Além disso, temos que P(B A P(B A c daí temos P(B A cp(a, P(A assim P(B A cp(a P(B A P( A P(A c. P(B A Item (b: Vimos o item (a que P(B A. Sedo P(B A P(B A P( A P(A c etão P(B A cp(a, logo P(B A P(B A P( A cp(a P(A c. Item (c: Note que P(A +1 A P(A +1 A P(A +1 1 P(A P(A 2, daí P(A +1 P(A, o que 2 implica que, P(A P(A 1, N, pois P(A P(A 1, P(A 2 3 P(A 2 P(A 1,, P(A P(A

8 Portato, P(A P(A 1, ou seja, P(A 2, já que P(A. 1 Item (d: Sabedo que P(B A P(C A, temos para cada que P(B A P(C A, P(A P(A logo P(B A P(C A. Usado o fato de que os A são disjutos e as propriedades de probabilidade temos P(B A P( (B A P( A P( (C A P( A P(B A P( A P(C ( A P( A P(C A P( A P(C A. P(B C Item (e: Sabemos que P(B C. Como os A são disjutos e A Ω podemos P(C escrever B C ( A (B C (B A C ode os (B A C são disjutos para todo. Deste modo P(B C P(B A C P(B A C P(CP(A CP(B A C, ode a ultima igualdade decorre do Teorema da Multiplicação. Portato, P(B C P(B C P(C P(CP(A CP(B A C P(C P(A CP(B A C 17 a QUESTÃO: Supoha que a ocorrêcia ou ão de chuva depede das codições do tempo o dia imediatamete aterior. Admita-se que se chove hoje choverá amahã com probabilidade,7 e que se ão chove hoje choverá amahã com probabilidade,4. Sabedose que choveu hoje, calcule a probabilidade de que choverá depois de amahã. Resolução: Cosidere os seguites evetos: C {chover depois de amahã}, A{chover amahã} e N{ão chove amahã}. Assim queremos saber a probabilidade de C (A C (N C, logo P(C P(A C+P(N C. Mas P(A C P(A P(C A, e P(N C P(N P(C N , portato P(C a QUESTÃO: (De Feradez[12] Pedro quer eviar uma carta a Maria. A probabilidade de que Pedro escreva a carta é de.8. A probabilidade de que o correio ão a perca é de.9. A probabilidade de que o carteiro a etregue é de.9. Dado que Maria ão recebeu a carta, qual a probabilidade codicioal de que Pedro ão teha escrito? 8

9 Resolução: Cosidere os seguites evetos: M {Maria ão recebeu a carta}, P{Pedro ão escreveu a carta }, C{O correio perde a carta } e D{O carteiro ão etrega a carta}. Assim queremos saber P(P M saber P(M, Assim, P(P M P(M, já temos que P(P M P(P, 2. Resta Como M P ( P C ( P C D, ode P represeta a egação da seteça P. P(M P(P + P(P C + P( P C D P(P + P( PP(C P + P( P CP(D ( P C P(P + P( PP(C P + P( PP( C PP(D ( P C Portato P(P M Capítulo 2 1 a QUESTÃO: Seja X o úmero de caras obtidas em 4 laçametos de uma moeda hoesta. Desehe o gráfico da fução distribuição de X. Resolução: Sejam Ω {(w 1,..., w 4 ; w i cara ou coroa, i 1,..., 4} o espaço amostral e X : Ω R defiido por X(w úmero de caras em w (w 1,..., w 4 a variável aleatória. Assim F X (x P(X x é a fução de distribuição de X. Como X é variável aleatória discreta temos que [X x] [X x i ], logo F X (x i:x i x P(X x i. Calculado P(X x i ficamos com, P(X 1, P(X 1 4, i:x i x P(X 2 6 4, P(X 3, P(X 4 1, P(X < e P(X > 4. Assim, Portato o gráfico de F X é: se x < F X (x P(X x i se x [, 4] i:x i x 1 se x > 4. 9

10 Figura 1: Gráfico de F X 2 a QUESTÃO: Um poto é selecioado ao acaso, do quadrado uitário [, 1] [, 1]. Seja X a primeira coordeada do poto selecioado. Faça o gráfico da fução de distribuição de X. Resolução: Seja Ω {ω (x, y; x, y 1} o espaço amostral e cosidere X : Ω [, 1] dado por X(ω x. Como F X (x P(X x temos para x > 1 que F X (x P(X x 1 e para x <, F X (x P(X x P(. Como F X (x P(X x x 1 Portato se x < F X (x x se x [, 1] 1 se x > 1 x para x 1. Logo o gráfico de F X é: Figura 2: Gráfico de F X 3 a QUESTÃO: Se adotássemos F(x P(X < x como defiição da fução de distribuição 1

11 de X, qual seria a distição etre o gráfico de F Xt e o desehado o 2.1? Haveria alguma mudaça a fução de distribuição de T 1 o mesmo exemplo? Resolução: A distição etre o gráfico de F Xt e o desehado o 2.1 é que F Xt é cotíua a esquerda ao cotrário do que ocorre o 2.1, ode ele é cotíuo à direita, ou seja, os degrais seriam fechado à direita e abertos à esquerda. No caso da fução de distribuição de T 1 : sup{t; ω(t } temos que o 2.1 se t < F T1 (t 1 e λt se t e adotado F(t P(X < t vamos ter P(T 1 < t t e P(T 1 < t 1 e λt t >. Daí temos que se t F T1 (t 1 e λt se t > Portato F T1 (t F T1 (t, já que F T1 ( F T1 (. Logo o gráfico é o mesmo. 5 a QUESTÃO: Supoha que a vida útil de certo tipo de lâmpada teha distribuição expoecial com parâmetro λ. (a (Falta de memória da distribuição expoecial Seja T a vida de uma lâmpada desse tipo. Mostre que P(T > t + s P(T > s. (b Supoha que λ 3 quado a vida é expressa em dias. Uma lâmpada solitária é ligada em uma sala o istate t. Um dia depois, você etra a sala e fica ali durate 8 horas, saido o fial desse período. (i Qual a probabilidade de que você etre a sala quado já está escura? (ii Qual a probabilidade de você etrar a sala com a lâmpada aida acesa e sair da sala depois da lâmpada queimar? (iii Dado que a lâmpada estava acesa quado você etrou. Qual a probabilidade de você sair com a luz apagada? 11

12 Resolução: Item (a: Como a distribuição é expoecial etão F T (t t f(xdx t e P(T > t 1 (1 e λt e λt. Daí temos λe λx dx e λx t 1 e λt P(T > t + s T > t P(T > t + s, T > t P(T > t P(T > t + s P(T > t e λ(t+s e λt e λs P(T > s. Item (b,i: Sabedo que T é expresso em dias, desejamos saber qual a probabilidade da vida útil da lâmpada ser meor ou igual a um dia, ou seja, P(T 1 t 3e 3x dx e 3x t 1 e 3. Item (b,ii: Como etramos a sala um dia depois e permaecemos a sala durate oito horas, ou seja, 1 3 do dia, logo devemos calcular a probabilidade da lâmpada queimar depois de um dia e ates de um dia somado com 1 3 P(1 < T de dia, logo 3e 3x dx e 3x e 4 + e. Item (b,ii: Pela letra (a temos que a distribuição expoecial ão tem memória, assim P(T 4 3 T > 1 1 P(T > T > 1 1 P(T > 1 3 P(T e 3x dx e 3x e 1 6 a QUESTÃO: Seja X uma variável aleatória com desidade (a Determie o valor da costate c. cx 2 se 1 x 1 f(x caso cotrário. 12

13 (b Ache o valor α tal que F X (α 1 (α é o primeiro quartil da distribuição de X. 4 Resolução: Item (a: Sedo f a desidade de X temos que + f(xdx 1, mas 1 + f(xdx 1 Assim, 2c 3 1, portato c 3 2. f(xdx + Item (b: Como F X (α α 1 f(xdx f(xdx + temos que + 1 f(xdx 1 1 cx 2 dx 2c 3. α 1 f(xdx α x2 dx α , assim, α etão α a QUESTÃO: Uma variável aleatória X tem fução de distribuição F(x 1 se x > 1 x 3 se x 1 se x <. Qual e a desidade de X? Resolução: Como F é cotíua, X tem desidade. Assim a desidade de X é, se x < ou x > 1 f(x F (x 3x 2 se x 1. Os valores f os potos e 1 é arbitrário, pois qualquer que seja f( (ou f(1 a itegral x f(tdt é aida igual a F(x. 1 a QUESTÃO: Se X é uma variável aleatória com distribuição expoecial de parâmetro λ >, qual a distribuição da variável aleatória y mi(λ, X? Faça a decomposição de F Y. Resolução: Como X tem distribuição expoecial de parâmetro λ > sabemos que λe λt se t f(t se t < 13

14 é desidade de X. temos: Vamos agora ecotrar a distribuição de Y mi(λ, X. Como F Y (t P(Y t, Para t λ temos P(Y t 1. Para t <, P(Y t. Para t < λ temos P(Y t P(X t t λe λs ds t λe λs ds e λs t 1 e λt se t < Portato, F Y (t 1 e λt se t < λ. Vamos agora decompor F Y. 1 se t λ Como F Y tem apeas um salto em t λ e P 1 salto o poto λ 1 e λ2. Sabedo que F d (t F(t F(t, logo se t < λ F d (t e λ2 se t λ. Calculado agora a derivada de F Y obtemos a desidade de Y, se t ou t λ f(t F Y (t λe λt se t (, λ. se t < λ t Assim, F ab (t f(xdx 1 e λt se < t λ 1 e λ2 se t > λ F d. Portato F Y F ab + F d.. Por fim, temos F s F Y F ab Capítulo 3 6 a QUESTÃO: Um jogador vai laçar uma moeda hoesta. Ele para depois de laçar ou duas caras sucessivas ou duas coroas sucessivas. Qual a esperaça do úmero de laçametos? Resolução: Seja X a variável aleatória dada pelo úmero caras e coroas observadas. Assim, 14

15 temos que X é discreta, etão E(X + k P(X k, ode k é o úmero de laçametos. Como a probabilidade de gahar jogado a moeda apeas uma vez é ula, temos P(X 1, sabedo que a probabilidade de gahar jogado a moeda apeas duas vezes é duas vezes a probabilidade de tirar duas caras (ou duas coroas, logo P(X , procededo assim temos que P(X , P(X ,, P(X k 2 1, k 2 k 1 para N e 1. Etão E(X k P(X k + k2 k k 1 k 1 ( 2 1 k (1/ Observe que a peúltima igualdade ocorre, já que, para < α < 1 temos 1 1 α + k α k, e como a série de potêcias + α k pode ser derivada termo a termo qualquer úmero de vezes k etão, derivado uma vez ambos os lados ficamos com 1 (1 α 2 + kα k 1. 8 aquestão: Sejam X e Y variáveis aleatórias. Se F X(x F Y (x para todo x R, dizemos que X é estocasticamete maior que Y. Prove que se X é estocasticamete maior que Y, etão E(X E(Y (se existem E(X e E(Y. Resolução: Se X é estocasticamete maior que Y temos que F X (x F Y (x para todo x R. Logo 1 F X (x 1 F Y (x para todo x R, assim se E(X e E(Y existem, E(X + (1 F X (xdx F X (xdx + (1 F Y (xdx F X (xdx + (1 F Y (xdx F Y (xdx E(Y. Portato, E(X E(Y. 11 a QUESTÃO: Jogadores I e II têm 2, reais cada um. Laça-se uma moeda com probabilidade p de dar cara ( < p < 1. Se der cara, o jogador I recebe 1, reais do II; se der coroa, I paga 1 ao II. Cotiua-se laçado a moeda idepedetemete, até um dos jogadores perder tudo, isto é, até um deles ficar com os 4, reais. Determie E(N, 15

16 ode N é o úmero de laçametos até termiar o jogo. Resolução: Como cada jogador perde ou gaha 1 a cada rodada temos que P(N P(N 1. Além disso, se k > 1 for ímpar também teremos P(N k, pois cada jogador recebeu 2, reais e pelas regras se k > 1 for ímpar temos que os dois jogadores já gahou e já perdeu em alguma das rodadas, supoha por absurdo que um dos jogadores gahou 4, a k esima jogada, k > 1 ímpar, seja ele o jogador I, como I perdeu em digamos < a < k laçametos, temos que I deve ter gaho em a + 2 laçametos para sair vitorioso, assim k 2a + 2 é par, absurdo. Logo os jogadores só podem gahar em um úmero par de laçametos. Assim N {2, 4, 6,...} e calculado: Para N 2 temos, P(N 2 (1 p 2 + p 2 ; Para N 4 temos, P(N 4 2(p(1 p 3 + (1 pp 3 ; Para N 6 temos, P(N 6 4(p 2 (1 p 4 + (1 p 2 p 4 Para N 8 temos, P(N 8 8(p 3 (1 p 5 + (1 p 3 p 5 ; Para N 2 temos, P(N (p 1 (1 p +1 + (1 p 1 p +1. Como E(N + 2k P(N 2k ficamos com, E(N 2 2k 2 1 (p 1 (1 p +1 + (1 p 1 p +1 k 2 1 ((1 p 1 p 1 ((1 p 2 + p 2 2((1 p 2 + p 2 k (2(1 pp 1 16

17 reescrevedo o somatório, k (2(1 pp (2(1 pp + 3(2(1 pp (2(1 pp + (2(1 pp + + (2(1 pp 2 + (2(1 pp 2 + (2(1 pp Assim, somado por coluas temos em cada colua progressão geométrica de razão maior que zero e meor que um. Daí k (2(1 pp 1 (2(1 pp + (2(1 pp (1 pp (2(1 pp (1 pp 1 2(1 pp 1 2(1 pp + 1 ( 1 + 2(1 pp + (2(1 pp (1 pp ( (1 pp 1 2(1 pp (1 2(1 pp 2 Logo, E(N 2((1 p 2 +p 2 + k (2(1 pp 1 2((1 p 2 +p 2 1 2((1 p2 +p 2. (1 2(1 pp 2 (1 2(1 pp 2 19 a QUESTÃO: Supoha que a variável aleatória X teha a seguite desidade triagular 1 + x se 1 x f(t 1 x se < x 1 se x < 1 ou x > 1. Calcule E(X e var(x. 17

18 Resolução: Como f é desidade de X temos que E(X xf(xdx 1 xf(xdx + xf(xdx + 1 xf(xdx + + xf(xdx xf(xdx + xf(xdx + x(1 + xdx + x(1 xdx ( x x ( x 2 2 x Sabedo que var(x E(X 2 (E(X 2 E(X 2 temos que var(x E(X 2 1 x 2 f(xdx x 2 (1 + xdx + x 2 (1 xdx a QUESTÃO: a Prove que se a variável aleatória X é limitada, etão tem mometos fiitos de toda ordem. b Seja A um eveto aleatório. Calcule todos os mometos absolutos da variável aleatória X I A. c Demostre: se X N(µ, σ 2, etão todos os mometos absolutos de X são fiitos. d Seja X Cauchy(, 1. Quais são os mometos absolutos fiitos de x? Resolução: Item (a: De fato, como X é limitada etão existe M > tal que X < M. Assim para cada N temos X < M, portato E( X E(M M < +. Logo X tem mometos fiitos de toda ordem. Item(b: Como X, temos que X X, além disso X é defihada como 1 se x A e caso cotrário, logo X k X X, daí temos que E( X k E(X I A dp P(X A. Item(c: Como X N(µ, σ 2 temos que X tem desidade f(x 1 etão, E X k x k f(xdx 1 2πσ 2πσ e 1 2 ( x µ σ 2. Seja k N x k e 1 2 ( x µ σ 2 dx, (1 18

19 cosiderado t x µ σ E X k 1 2πσ temos dx σdt e (1 pode ser reescrito como x k e 1 2 ( x µ σ 2 dx 1 2π σt + µ k e t2 2 dt 1 2π (σ t + µ k e t2 2 dt. (2 Como, (σ t + µ k C k (σ t k + C k 1 (σ t k 1 µ + C k 2 (σ t k 2 µ C k k 1 (σ t µ k 1 + C k k µ k, assim E X k 1 (C k 2π (σ t k e t2 2 dt + C k 1 (σ t k 1 µ e t2 2 dt + + C k k µ k e t2 2 dt. Sabedo que (σ t k e t2 2 dt σ k t k e t2 2 dt, logo se t k e t2 2 dt < + etão t e t2 2 dt < + k. Desse modo vamos os cosetrar apeas a t k e t2 2 dt, como t k e t2 2 dt + t k e t2 2 dt t k e t2 2 dt, basta etão calcular a t k e t2 2 dt. Usado o método de itegração por partes, chamado u t k 1 e dv te t2 2 dt temos du (k 1t k 2 dt e usado substituição simples chegamos que v e t2 2, logo t k e t2 2 dt t k 1 e t2 2 + (k 1 t k 2 e t2 2 dt. Se k 3, t k 2 e t2 2 dt e t2 2, caso k > 3 usamos ovamete itegração por partes, u t k 3 e dv te t2 2 dt temos du (k 3t k 4 dt e v e t2 2, daí (k 1 t k 2 e t2 2 dt (k 1 ( t k 3 e t2 2 + (k 3 t k 4 e t2 2 dt. Assim, t k e t2 2 dt t k 1 e t2 2 (k 1t k 3 e t2 2 + (k 1(k 3 t k 4 e t2 2 dt. Daí se k 5 temos t k 4 e t2 2 dt e t2 2, caso cotrário cotiuamos itegrado por partes e ficaremos com t k 1 e t2 t k e t2 2 (k 1t k 3 e t2 2 (k 1(k 3 2e t2 2 se k for ímpar; 2 dt t k 1 e t2 2 (k 1t k 3 e t2 2 (k 1(k 3 1 e t2 2 dt se k for par. 19

20 como 1 2π e t2 2 dt 1 etão e t2 2 dt 2π, assim para k ímpar teremos + t k e t2 2 dt t k 1 e t2 2 + (k 1t k 3 e t 2 (k 1(k 3 2 < +. (k 1(k 3 2e t e para k par temos + t k e t2 2 dt t k 1 e t2 2 + (k 1t k 3 e t π (k 1(k π (k 1(k 3 1 < +. 2 Para t k e t2 2 dt fazemos a mesma aálise e teremos que E X k < + para todo k N. t k e t2 2 dt < +. Portato, Item (d: Como X Cauchy(, 1 etão X possui desidade dada por f(x 1 π(1+x 2, x R. Assim, tomado iicialmete k 1 temos que Como E X x π(1 + x 2 dx 1 π + x dx 1 du 1 l(u temos que 1+x 2 2 u 2 E X 1 π + x 1 + x 2dx 1 π x (1 + x 2 dx 1 π x 1 + x 2dx x (1 + x 2 dx. 1 2π l(1 + x π l(1 + x2 + Deste modo cocluímos que X ão possue mometos absolutos fiitos, pois caso houvesse, esse obrigaria a E X < a QUESTÃO: Prove que se X assume valores o itervalo [a, b], etão a E(X b e var(x (b a2 4. (sugestão: faça primeiro para a e b 1. Exiba uma variável aleatória que atige variâcia máxima. Resolução: Como a X b etão a E(a E(X E(b b. Note agora que 2

21 var(x (b a2 4, pois sabemos que a fução f(c E(X c 2 tem míimo em c E(X, logo ( var(x E(X E(X 2 E X a + b 2 E( b a + b ( 2 a b E 2 (b a2. 4 Para a variável aleatória que atige variâcia máxima, cosidere X assumido valores o itervalo [, 1] e X Beroulli(1/2, temos que var(x E(X 2 (E(X ( a QUESTÃO: Calcule a variâcia da variável aleátoria X, sob as seguites codições: (a X Poisso(λ, ode λ >. (b X b(, p, ode < p < 1. Resolução: Item (a: Sabedo que X Poisso(λ etão P(X k e λ λk k!, k, k N. Assim, E(X k k P(X k k ke λλk k! λe λ λ k 1 (k 1! λe λ j λ j j! λ. Por outro lado, E(X 2 + k 2 P(X k + k k k e λ λ k, tomado t k 1 temos, (k 1! E(X 2 λ k e λ λ k + (k 1! (t + 1 e λ λ t+1 t! t t e λ λ t t! t + λe λ + t t t e λ λ t+1 t! λ t t! λλ + λ λ2 + λ. + t e λ λ t+1 t! Portato, var(x E(X 2 (E(X 2 λ 2 + λ λ 2 λ. Item (b: Seja X i Beroulli(p, i 1,..., idepedetes. Assim, (ver questão 3 X d X X, logo E(X E(X E(X E(X 1 p. Como os X i são 21

22 idepedetes var(x var(x i var(x 1. Sabedo que i1 var(x 1 E(X 1 2 (E(X 1 2 E(X 1 2 p 2 E(X 1 p 2 p p 2 ode a peúltima igualdade decorre do fato de X assumir apeas valor ou 1, logo X 2 também só assumirá valor ou 1, logo E(X 1 2 E(X a QUESTÃO: (a Sejam X e Y variáveis aleatórias que só assumem os valores e 1. Mostre que se E(XY E(XE(Y, etão X e Y são idepedetes. (b Prove: Se X assume apeas valores a e b, Y assume apeas os valores c e d e cov(x, Y, etão X e Y são idepedetes. Resolução: Item (a: Sabedo que X e Y só assumem os valores e 1, temos que as σ álgebras de gerada por X e Y são σ(x {, Ω, A, A c } e σ(y {, Ω, B, B c }, ode A e B são os cojutos ode X e Y respectivamete assume apeas valor 1. Deste modo, P(A B E(I A I B E(XY E(XE(Y P(AP(B. Ademais, sabedo que P(A B P(AP(B temos que P(A B c P(AP(B c, P(A c B P(A c P(B e P(A c B c P(A c P(B c, já que, A B c A A B etão P(A B c P(A (A B P(A P(A B P(A P(AP(B P(A(1 P(B P(AP(B c De modo aálogo mostra-se que P(A c B P(A c P(B e como P(A c B c P((A B c 1 P(A B 1 P(A P(B + P(A B P(A c P(B + P(AP(B P(A c P(B(1 P(A P(A c (1 P(B P(A c P(B c Cocluímos que X e Y são idepedetes, já que para o e Ω o resultado é sempre válido. Item (b: Sabedo que X assume apeas valores a e b e que Y assume apeas valores c e d, temos que as σ álgebras gerada por X e Y são: σ(x {, Ω, A, A c } e σ(y {, Ω, B, B c }, 22

23 ode X assume valor a em A e b em A c e Y assume valor c em B e d em B c. Assim, X ai A + bi A c e Y ci B + di B c e portato, XY (ai A + bi A c(ci B + di B c aci A B + adi A B c + bci A c B + bdi A c B c. Ademais, como cov(x, Y E(XY E(XE(Y etão E(XY E(XE(Y. Daí, por um lado temos E(XY ace(i A B + ade(i A B c + bce(i A c B + bde(i A c B c acp(a B + adp(a B c + bcp(a c B + bdp(a c B c acp(a B + adp(a (A B + bcp(b (A B + bdp(a B c acp(a B + adp(a adp(a B + bcp(b bcp(a B + bd(1 P(A B (ac ad bcp(a B + adp(a + bcp(b + bd(1 P(A P(B + P(A B (ac ad bc + bdp(a B + adp(a + bcp(b + bd bdp(a bdp(b (3 por outro lado, E(XE(Y E(aI A + bi A ce(ci B + di B c [ae(i A + be(i A c][ce(i B + de(i B c] acp(ap(b + adp(ap(b c + bcp(a c P(B + bdp(a c P(B c acp(ap(b + adp(a(1 P(B + bc(1 P(AP(B + bd(1 P(A(1 P(B (ac ad bc + bdp(ap(b + adp(a + bcp(b + bd bdp(a bdp(b (4 De (3 e (4 temos que (ac ad bc + bdp(a B (ac ad bc + bdp(ap(b. Como (ac ad bc + bd (a b(c d e a b e c d temos que (a b(c d, logo P(A B P(AP(B. Usado o que fizemos a letra (a cocluímos que P(A B c P(AP(B c, P(A c B P(A c P(B e P(A c B c P(A c P(B c, ou seja, X e Y são idepedetes, já que para o e Ω o resultado é sempre válido. 28 a QUESTÃO: Se X e Y são variáveis aleatórias idepedetes com variâcias fiitas. 23

24 Demostre que var(xy var(xvar(y + (E(X 2 var(y + (E(Y 2 var(x. Resolução: Por um lado, usado a idepedêcia das variáveis aleatórias temos var(xy E(XY 2 (E(XY 2 E(X 2 Y 2 (E(XE(Y 2 E(X 2 E(Y 2 (E(X 2 (E(Y 2. (5 Por outro lado, var(xvar(y + (E(X 2 var(y + (E(Y 2 var(x (E(X 2 E(X 2 (E(Y 2 E(Y 2 + E(X 2 (E(Y 2 E(Y 2 + E(Y 2 (E(X 2 E(X 2 E(X 2 E(Y 2 (E(X 2 (E(Y 2. (6 Por (5 e (6 temos que var(xy var(xvar(y + (E(X 2 var(y + (E(Y 2 var(x. a 29 QUESTÃO: Sejam X e Y variáveis aleatórias com variâcias fiitas. Mostre que se var(x var(y, etão X + Y e X Y ão são idepedetes. Resolução: Supoha por absurdo que X + Y e X Y são idepedetes, assim E(X + Y (X Y E(X +Y E(X Y, mas E[(X +Y (X Y ] E(X 2 Y 2 E(X 2 E(Y 2 e E(X + Y E(X Y (E(X + E(Y (E(X E(Y (E(X 2 (E(Y 2, daí E(X 2 E(Y 2 (E(X 2 (E(Y 2, logo var(x E(X 2 (E(X 2 E(Y 2 (E(Y 2 var(y, absurdo, pois var(x var(y. 3 a QUESTÃO: Seja X uma variável aleatória tedo distribuição b(, p. Mostre que X tem a mesma distribuição que X X, ode as X i são variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas que assumem apeas os valores e 1. (Qual é P(X i 1? 24

25 Utilize esse resultado para calcular a esperaça e a variâcia de X. Resolução: Sabedo que X X são i.i.d. (idepedetes e ideticamete distribuídas com probabilidade digamos, P(X i 1 p e P(X i 1 p para p 1, temos que P( X i k represeta a probabilidade de X i (1 i assumir k valores 1 e k i1 valores. Como existem C k combiações deste tipo, usamos a idepedêcia dos X i e o fato de serem ideticamete distribuídos e obtemos, P( X i k Ck (P(X 1 1 k (P(X 1 k Ck pk (1 p k. i1 Portato, X X b(, p. Assim, calcular a esperaça e a variâcia fica bem mais simples, já que, sabedo que E(X i (1 p + p p para 1 i e como X d X X temos que E(X E(X i E(X 1 p. i1 i1 Para calcular a variâcia usamos o fato de que sedo os X i s idepedetes temos var(x var(x i e como X i assume apeas os valores e 1 temos que Xi 2 X i logo i1 var(x i E(X i 2 (E(X 2 E(X i (E(X 2 p p 2 e cocluímos que var(x (p p a QUESTÃO: Demostre que a covariâcia é biliear: ( m cov a i X i, b j X j i1 j1 m a i b i cov(x i, X j j1 i1 ode os a i eb j são úmeros reais. (Supoha que as X i e Y j possuam variâcias fiitas. Resolução: Sabemos pela defiição de covariâcia que ( m cov a i X i, [( m ( ] ( m ( b j X j E a i X i b j X j E a i X i E b j X j. j1 i1 j1 i1 i1 j1 25

26 [ ( m ( ] Reescrevedo E a i X i b j X j e usado a liearidade da esperaça temos, i1 j1 [( m ( ] [ ( ( ] E a i X i b j X j E a 1 X 1 b j X j + + a m X m b j X j i1 j1 j1 j1 E [a 1 b 1 X 1 Y 1 + a 1 b 2 X 1 Y a 1 b X 1 Y + + a m b 1 X m Y a m b X m Y ] a 1 b 1 E(X 1 Y a 1 b E(X 1 Y + + a m b 1 E(X m Y a m b E(X m Y a 1 b j E(X 1 Y j + + a m b j E(X m Y j j1 m i1 j1 a i b j E(X i Y j (7 j1 de modo aálogo temos que ( m ( E a i X i E b j X j E(a 1 X 1 + a m X m E(b 1 Y b Y i1 j1 [a 1 E(X a m E(X m ] [b 1 E(Y 1 + b E(Y ] a 1 b 1 E(X 1 E(Y a 1 b E(X 1 E(Y + + a m b 1 E(X m E(Y a m b E(X m E(Y a 1 b j E(X 1 E(Y j + + a m b j E(X m E(Y j j1 m i1 a i b j E(X i E(Y j. j1 j1 (8 Assim, de (7 e (8 ( m cov a i X i, b j X j i1 j1 [( m ( ] ( m ( E a i X i b j X j E a i X i E b j X j i1 j1 i1 j1 m m a i b j E(X i Y j a i b j E(X i E(Y j i1 m i1 m j1 i1 j1 a i b j (E(X i Y j E(X i E(Y j j1 a i b j cov(x i, Y j i1 j1 j1 i1 m a i b j cov(x i, Y j. 37 a QUESTÃO: Exiba um exemplo de uma sequêcia tal que X (ω X(ω ω Ω, com E(X e E(X fiitas, mas E(X E(X. (Sugestão. Seja Y U[, 1] e defia 26

27 X I [<Y < 1 ]. Resolução: Cosidere X I [<Y < 1 ] I [, 1 ]. Note que, para todo ω [, 1], X (ω I [, 1 ] se ω [, 1/], assim X X para todo ω [, 1], já que quado caso cotrário. + o itervalo [, 1/] [, ]. Por outro lado, E(X P(X 1 1 equato que E(X, desse modo E(X E(X. Capítulo 5 1 a QUESTÃO: Seja A 1, A 2,... uma sequêcia de evetos aleatórios em (Ω, A, P, com idicadores I A1, I A2,.... Mostre que P(A se, e somete se, I A P. Resolução: Dado que lim P(A, queremos mostrar que para todo ε >, lim P( I A ε. Como lim P( I A ε lim P(I A ε, temos dois casos a cosiderar: caso < ε 1, temos que I A ε {ω Ω; I A (ω ε} A, assim lim P( I A ε lim P(I A ε Caso ε > 1, temos que I A ε {ω Ω; I A (ω ε}, logo lim P(A. Portato, I A P. lim P( I A ε lim P(I A ε lim P(. Cosidere agora que I P A, ou seja, para todo ε > lim P( I A ε. Mas como lim P( I A ε lim P(I A ε, para todo ε >, tome etão < ε 1 assim, I A ε {ω Ω; I A (ω ε} A. Logo lim P( I A ε lim P(I A ε lim P(A. 3 a QUESTÃO: Seja (X 1 uma sequêcia de variáveis aleatórias. Prove que se E(X α e var(x, etão X P α. 27

28 Resolução: Como lim var(x lim E(X 2 (E(X 2 etão lim E(X 2 lim (E(X 2 α 2, já que, E(X α. Seja ε >, temos pela desigualdade de Chebychev que, P( X α ε E(X α 2 Logo, para todo ε >, E(X2 2αX + α 2 ε 2 ε 2 E(X2 2αE(X + α 2 ε 2 lim P( X α ε, ou seja, X P α. α 2 2α α + α 2 ε 2. 6 a QUESTÃO: Sejam X 1, X 2,... variáveis aleatórias idepedetes tais que X tem distribuição U[, a ], ode a >. Mostre: (a Se a 2, etão com probabilidade 1, somete um úmero fiito das X toma valores meores que 1. (b Se a, etão com probabilidade 1, um úmero ifiito das X toma valores meores que 1. Resolução: Item(a: Como X U[, 2 ] temos que P(X < 1 1. Cosidere agora o eveto 2 A [X < 1], N. Daí temos que + P(A + 1 < +, pelo Lema de Borel 2 Catelli P(A ifiitas vezes, ou seja, P(A fiitas vezes 1. i1 Item(b: Como X U[, ] temos que P(X < 1 1. Assim cosiderado o eveto A [X < 1], N, temos que os A s são idepedetes, já que os X i s são idepedetes e + P(A + +, ovamete pelo Lema de Borel-Catelli temos que i1 P(A ifiitas vezes 1. i1 1 i1 7 a QUESTÃO: Sejam X 1, X 2,... variáveis aleatórias idepedetes tais que P(X 1 1/, P(X 1 1/. Mostre que X P mas P(X. Resolução: Queremos provar que para qualquer ε >, lim P( X ε. Sabemos 28

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