O F Í C I O C I R C U L A R

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1 5 de outubro de /00-DG O F Í C I O C I R C U L A R Membros de Compensação, Corretoras Associadas e Operadores Especiais Ref.: Limites Mínimo e Máximo para Prêmios, Preços de Exercício e Preços de Barreira para os Contratos de Opções Flexíveis Nova Metodologia. Prezados Senhores, Comunicamos que, a partir do dia 01/11/00, inclusive, serão alterados os critérios de fixação de limites mínimo e máximo para prêmios e preços de exercício e de barreira das operações realizadas com os Contratos de Opções Flexíveis de Taxa de Câmbio de Reais por Dólar dos Estados Unidos e de Índice Bovespa, com e sem garantia, devendo obedecer aos critérios estabelecidos a seguir. I. Critério para Fixação dos Preços de Exercício e de Barreira 1. Opções Flexíveis de Taxa de Câmbio de Reais por Dólar dos Estados Unidos Opção de Compra a) X mínimo = 70% da taxa de câmbio de reais por dólar dos Estados Unidos, cotação intermediária de abertura, divulgada pelo Banco Central do Brasil na data da operação e corrigida pela taxa de cupom cambial estabelecida pela BM&F: c n Xmínimo = Sdol 1+ 0, c n b) X máximo = Sdol 1+ ( FVcall +1), onde: FV call σdol n =

2 143/00-DG.. c) X < B > S dol Opção de Venda c n 1 a) X mínimo = Sdol ( FVcall + 1 ) b) X máximo = 130% da taxa de câmbio de reais por dólar dos Estados Unidos, cotação intermediária de abertura, divulgada pelo Banco Central do Brasil na data da operação e corrigida pela taxa de cupom cambial estabelecida pela BM&F: c n Xmáximo = Sdol 1+ 1, c) X > B < S dol. Opções Flexíveis de Índice Bovespa Opção de Compra a) X mínimo = 70% do valor de abertura do Índice Bovespa (Ibovespa) a vista, corrigido pela taxa de juro prefixada estabelecida pela BM&F: u 5 Pré Xmínimo= Sind +1 0,7 100 u 5 Pré b) X máximo = Sind + 1 ( FVcall +1), onde: 100 σind n FVcall = c) X < B > S ind Opção de Venda u 5 Pré 1 a) X mínimo = Sind ( FVcall + 1 ) b) X máximo = 130% do valor de abertura do Índice Bovespa (Ibovespa) a vista, corrigido pela taxa de juro prefixada estabelecida pela BM&F: u 5 Pré Xmáximo = Sind + 1 1,3 100

3 143/00-DG.3. c) X > B < S ind Onde: X = preço de exercício; S dol = taxa de câmbio de reais por dólar dos Estados Unidos, cotação intermediária de abertura, divulgada pelo Banco Central do Brasil na data da operação; S ind = valor de abertura do Índice Bovespa a vista na data da operação; σ = volatilidade, expressa em percentual ao ano, para efeito de determinação de limites máximo e mínimo de preços de exercício; c = taxa de cupom cambial, em taxa linear anual, estabelecida pela BM&F; Pré = taxa de juro prefixada estabelecida pela BM&F. n = número de dias corridos compreendido entre a data da operação, inclusive, e a data de vencimento, exclusive; u = número de dias úteis compreendido entre a data da operação, inclusive, e a data de vencimento, exclusive; B = preço de barreira da opção. Parâmetros de Negociação Ativo Volatilidade Juro Taxa de câmbio Ibovespa 70 A BM&F poderá alterar esses valores, bem como os demais parâmetros, a qualquer tempo, a seu critério. II. Limites Mínimo e Máximo para Prêmios e Critérios de Aceitação de Operações de Opções Flexíveis pela BM&F Os contratos de opções flexíveis possuem parâmetros que são definidos diretamente entre as contrapartes, como: tipo de opção (de compra ou de venda); possibilidade ou não de exercício antecipado (americana ou européia); preço de exercício; data de vencimento; data de pagamento do prêmio; preço de barreira do tipo cap ou floor;

4 143/00-DG.4. preço de barreira do tipo knock-in; preço de barreira do tipo knock-out; preço de rebate. Como é do conhecimento geral, conforme as disposições contidas no Ofício Circular 054/00, de 17/04/00, as operações realizadas em balcão e registradas na BM&F somente são aceitas mediante a verificação da existência de saldo de margem de garantia depositado. A BM&F decidiu aprimorar o processo de aceitação dessas operações. Para tanto, observará, além dos saldos de margem de garantia, os limites de prêmios para aceitação de negócios. Todos os negócios com opções flexíveis, inclusive as liquidações antecipadas, passarão a ser submetidos a um processo de apreçamento desenvolvido para todas as modalidades de operações, de acordo com modelos mundialmente conhecidos e utilizados. Tendo em vista esses modelos, a BM&F calculará dois preços teóricos para cada negócio submetido um mínimo e um máximo, ficando a aceitação da operação condicionada à observância desses limites. Ressaltamos que a BM&F poderá aceitar, a seu critério, o registro de operações fora dos limites definidos, mediante solicitação formal das partes envolvidas e demonstração do modelo de apreçamento adotado, bem como de todos os parâmetros utilizados. III. Prazo para Registro de Opções Flexíveis e Confirmação de Negócios Os registros referentes às opções flexíveis deverão ser realizados até as 18:15, ficando pendentes de confirmação com relação aos preços praticados até as 19:30 do mesmo dia. Se a Câmara de Derivativos BM&F constatar a existência de saldo de margem suficiente para a cobertura de risco nas contas dos participantes, a operação será confirmada no mesmo dia. Caso contrário, ficará pendente de confirmação até a cobertura da margem, a qual deverá ser feita até as 13:30 de D+1. Na hipótese de ausência do depósito das garantais requisitadas ou a seu critério, a Câmara poderá não aceitar as operações para liquidação. IV. Critério de Apreçamento das Opções Flexíveis Os dois principais parâmetros utilizados pelos modelos de apreçamento de opções são volatilidade e preço do ativo-objeto. Para a determinação dos preços mínimo e máximo a serem utilizados como referência para a aceitação de negócios com opções flexíveis, a Câmara de Derivativos

5 143/00-DG.5. BM&F calculará, todos os dias, o desvio-padrão da variação percentual diária do preço do ativo-objeto da opção (dólar ou Ibovespa), utilizando amostras de tamanhos diferentes: σ 30 = desvio-padrão calculado com janela de 30 dias; σ 60 = desvio-padrão calculado com janela de 60 dias; σ 90 = desvio-padrão calculado com janela de 90 dias; σ 180 = desvio-padrão calculado com janela de 180 dias; σ 360 = desvio-padrão calculado com janela de 360 dias. Em virtude da possibilidade de os participantes do mercado utilizarem modelos de apreçamento diferentes dos da Câmara, a determinação dos limites de preço mínimo e máximo será feita tomando por base o mínimo e o máximo desvios-padrão calculados, multiplicados por um fator de tolerância γ, cujo objetivo é acomodar eventuais diferenças existentes entre os modelos de apreçamento adotados. Assim, para efeito de apreçamento dos contratos, são usadas as volatilidades σ máx e σ mín, definidas abaixo: σ máx = (1 + γ) máx(σ 30, σ 60, σ 90, σ 180, σ 360 ); σ mín = (1 γ) mín(σ 30, σ 60, σ 90, σ 180, σ 360 ). onde γ é determinado pela Câmara, estando atualmente fixado em 0,3. A BM&F poderá alterar esse valor, a qualquer momento, a seu critério. Além disso, como o registro de opções flexíveis pode ser feito horas depois da realização do negócio, a Câmara não é capaz de saber o preço exato do ativo-objeto no momento da contratação. Diante disso, para efeito de determinação dos limites de preço, são definidas as variáveis S mín e S máx como o mínimo e o máximo valores atingidos pelo preço do ativo-objeto durante o dia, respectivamente. Os limites de preço máximo e mínimo das calls e puts são calculados por meio dos modelos apresentados no anexo deste Ofício, tendo como base o conjunto de parâmetros σ máx, σ mín, S máx e S mín, segundo definição abaixo: Preço máximo = máx[f(s máx, σ máx ), f (S máx, σ mín ), f(s mín, σ máx ), f (S mín, σ mín )] Preço mínimo = mín[f(s máx, σ máx ), f (S máx, σ mím ), f (S mín, σ máx ), f (S mín, σ mín )]

6 143/00-DG.6. onde f(s, σ) denota o modelo de apreçamento de opção apropriado ao caso em questão, cujo resultado é função dos parâmetros S e σ. Informamos, adicionalmente, que também anexamos o documento técnico contendo a especificação completa dos modelos de apreçamento, de modo que todos os participantes do mercado possam conhecer, antecipadamente, os limites de preço praticados pela Câmara. Esclarecimentos adicionais poderão ser obtidos com as Diretorias da Câmara de Derivativos (Nestor, Verdi, Cícero, Radislau, Randolfo, Regiane e Alexandre) e Técnica e de Planejamento (Marco Aurélio, Álvaro, Isabela, Luis Vicente e Vânia) e com o Escritório Rio (Galvão). Atenciosamente, Edemir Pinto Diretor Geral

7 Anexo ao Ofício Circular 143/00-DG OPÇÕES FLEXÍVEIS MODELOS TEÓRICOS PARA APREÇAMENTO DE OPERAÇÕES Este anexo tem o objetivo de descrever os modelos teóricos empregados pela Câmara de Derivativos BM&F no apreçamento das operações com opções flexíveis a ela submetidas. O anexo é de natureza técnica, procurando conferir a máxima transparência possível aos critérios utilizados pela Câmara na definição dos limites de preço. O anexo foi dividido em duas partes. A primeira descreve as fórmulas de apreçamento empregadas para opções européias e a segunda, os modelos de árvore binomial usados para opções americanas. 1. Fórmulas para Apreçamento de Opções Européias com Barreira As fórmulas abaixo relacionadas referem-se ao modelo de apreçamento desenvolvido por Merton (1973) e Reiner e Rubinstein (1991). Um excelente resumo também pode ser encontrado em Haug (1998). Primeiramente, são definidas as fórmulas de variáveis auxiliares que compõem o modelo: onde: ( b rt ) rt ( 1) ( 1 ) ( b r ) T rt ( ) ( ) A=φ S e N φ x φ X e N φ x φ σ T B=φ S e N φx φ X e N φ x φ σ T ( µ+ 1 rt / µ 1 / 1 ) ( µ+ 1 rt / µ / ) = rt µ ( η ησ ) ( / ) ( η ησ ) C =φ S e H S N ηy φ X e H S N η y ησ T D=φ Se H S N η y φ X e H S N η y ησ T E Ke N x T H S N y T ( / ) µ+λ µ λ ( / ) ( ) F = K H S N η z + H S N η z ηλσ T ( S X) ln / x1 = + (1 +µσ ) T, σ T ln( H / SX) y1 = + 1 +µσ T, σ T ( H S) ln / z = +λσ σ T T, µ= x y ( S H) ln / = + (1 +µσ ) σ T ln( H / S) = + ( 1 +µσ ) σ T b σ σ /, r λ= µ + σ T T S X T r b = preço do ativo objeto; = preço de exercício da opção; = prazo para o vencimento; = taxa de juro livre de risco; = custo de carregamento; Bolsa de Mercadorias & Futuros 1

8 σ H K = volatilidade do ativo objeto; = preço de barreira (knock-in ou knock-out); = preço de rebate. 1.1 Barreiras do tipo knock-in Nas opções com cláusula de knock-in, o direito de exercício passará a existir somente se o preço do ativo-objeto, S, atingir o preço da barreira, H, antes da data de vencimento, T. Existe a possibilidade de incluir um prêmio de compensação ou rebate, K, que será pago na data de vencimento caso a barreira knock-in não seja alcançada durante a existência da opção. As opções com knock-in podem ser classificadas como in-and-down (S > H) ou in-and-up (S < H). O payoff e o prêmio dessas opções são obtidos conforme demonstrado a seguir. Knock-in-and-down indica que o preço do ativo-objeto na data de lançamento da opção está acima do preço de barreira, ou seja, S > H. O payoff da opção é dado por: Call: payoff = máx(s X; 0), se S H antes do vencimento T, e payoff = K (rebate), no caso contrário; Put: payoff = máx(x S ; 0), se S H antes do vencimento T, e payoff = K (rebate), no caso contrário. As fórmulas de cálculo do prêmio dessas opções são obtidas por meio da combinação das variáveis A, B, C, D, E e F anteriormente definidas: call C E η= 1, φ= 1 in and down( X> H) = + call A B D E η= 1, φ= 1 in and down( X< H) = + + put B C D E η= 1, φ= 1 in and down( X> H) = + + put A E η= 1, φ= 1 in and down( X< H) = + Knock-in-and-up indica que o preço do ativo-objeto na data de lançamento da opção está abaixo do preço de barreira, ou seja, S < H. O payoff da opção é dado por: Call: payoff = máx(s X; 0) se S H antes do vencimento T, e payoff = K (rebate), no caso contrário; Put: payoff = máx(x S; 0) se S H antes do vencimento T, e payoff = K (rebate), no caso contrário. As fórmulas de cálculo do prêmio são dadas por: call A E η= 1, φ= 1 in and up( X> H) = + call B C D E η= 1, φ= 1 in and up( X< H) = + + put A B D E η= 1, φ= 1 in and up( X> H) = + + put C E η= 1, φ= 1 in and up( X< H) = + Bolsa de Mercadorias & Futuros

9 1. Barreiras do tipo knock-out As opções com barreira do tipo knock-out são similares às opções tradicionais, exceto pelo fato de as primeiras deixarem de existir caso o preço do ativo-objeto, S, atinja a barreira knock-out antes da data de vencimento. Similarmente às knock-in, existe a prerrogativa do rebate (K), o qual é pago no caso de a opção deixar de existir antes do vencimento. A barreira knock-out pode ser do tipo out-and-down ou out-and-up. O payoff e o prêmio são calculados segundo as fórmulas a seguir. Knock-out-and-down indica que o preço do ativo-objeto na data de lançamento da opção está acima do preço de barreira, ou seja, S > H. O payoff será: Call: payoff = máx(s X;0), se S >H antes de T, e payoff = K (rebate), no caso contrário; Put: payoff = máx(x S; 0), se S >H antes de T, e payoff = K (rebate), no caso contrário. As fórmulas de cálculo do prêmio são dadas por: callout and down X> H = A C+ F η= 1, φ= 1 callout and downx< H = B D+ F η= 1, φ= 1 putout and down X> H = A B + C D + F η= 1, φ= 1 put F η= 1, φ= 1 out and down X< H = Knock-out-and-up indica que o preço do ativo-objeto na data de lançamento da opção está abaixo do preço de barreira, ou seja, S < H. O payoff será dado por: Call: payoff = máx(s X; 0) se S < H antes de T, e payoff = K (rebate), no caso contrário; Put: payoff = máx(x S; 0) se S < H antes de T, e payoff = K (rebate), no caso contrário. As fórmulas para cálculo do prêmio são dadas por: call F η= 1, φ= 1 out and up X> H = callout and up X< H = A B + C D + F η= 1, φ= 1 putout and up X> H = B D+ F η= 1, φ= 1 putout and upx < H = A C+ F η= 1, φ= 1. Modelos para Precificação de Opções Americanas com Barreira O modelo utilizado na precificação de opções americanas é o de árvores binomiais, desenvolvido por Cox, Ross e Rubinstein (1979). Na abordagem por eles proposta, as variações sofridas pelo preço do ativo-objeto a cada instante são dadas por: Variação up = u= e σ t Bolsa de Mercadorias & Futuros 3

10 Variação down = 1 d = u Além disso, a probabilidade de o preço sofrer uma variação u é dada por P e a probabilidade de ele sofrer uma variação d é dada por (1 P), onde: P = r t e d u d σ = volatilidade do ativo-objeto; t = espaço de tempo compreendido entre dois instantes consecutivos da árvore binomial; r = taxa de juro livre de risco; A seguir, considera-se uma árvore binomial com n passos, sendo x(i, j) o valor da variável x no instante i e no estado da natureza j..1 Barreiras simples (cap ou floor) Call O valor da call no instante final i = n em cada um dos estados da natureza j é dado por: ( i j ) ci, j = máx 0;mín S, XH ; X Nos instantes intermediários (i < n), o valor da call é dado por: { } r t ci, j = máx e P ci 1, j 1+ 1 P cn 1, j ;mín Snm, X; H X Put O valor da put no instante final i = n em cada um dos estados da natureza j é dado por: ( i j ) pi, j = máx 0;mín X S, ; X H Nos instantes intermediários ( i < n) o valor da put é dado por: { } r t pi, j = máx e P pi 1, j 1+ 1 P pi 1, j ;mín X Si, j; X H. Barreiras do tipo knock-out Conforme mencionado anteriormente, as opções com barreira do tipo knock-out deixam de existir quando o preço do ativo-objeto alcança a barreira. Assim, a precificação dessas opções em cada nó envolve a verificação de a barreira ter ou não sido atingida, retornando valor zero em caso afirmativo. 1 Tal procedimento é executado da seguinte forma: 1 Caso a opção envolva rebate, o detentor da posição receberá o valor de rebate (K) quando a barreira for atingida. Neste caso, o prêmio da opção valerá K, ao invés de zero. Bolsa de Mercadorias & Futuros 4

11 Se a barreira for knock-out-and-up (S 0 < H), define-se a variável x = 1 e, no caso de knock-outand-down, define-se x = 1. Call O valor da call no instante final i = n em cada um dos estados da natureza j é dado por: H) x > 0 (a barreira foi atingida): ci, j= K Caso contrário: i, j, ( i j ) c = máx 0; S X Nos instantes intermediários (i < n), o valor da call é dado por: H) x > 0 (barreira foi atingida): ci, j= K caso contrário: { } r t ci, j = máx e P ci 1, j 1+ 1 P ci 1, j ; Si, j X Put O valor da put no instante final i = n em cada um dos estados da natureza j é dado por: H) x > 0 (barreira foi atingida): pi, j= K Caso contrário: ( i j) p = máx 0; X S i, j, Nos instantes intermediários (i < n), o valor da put é dado por: H) x > 0 (barreira foi atingida): pi, j= K caso contrário: { } r t p = máx e P p + 1 P p ; X S i, j i 1, j 1 i 1, j i, j Como é possível perceber no procedimento acima, enquanto a barreira não é atingida, a opção é precificada da mesma forma que uma opção plain vanilla (sem barreira). Bolsa de Mercadorias & Futuros 5

12 .3 Barreiras do tipo knock-in As opções com barreira do tipo knock-in passam a existir apenas depois de o preço do ativoobjeto haver atingido o preço de barreira. Para essas opções, a árvore binomial é construída duas vezes. A primeira árvore precifica uma opção plain vanilla (sem barreira), enquanto a segunda se baseia na primeira para precificar a opção com knock-in. Sejam c* i, j e p* i, j, respectivamente, os preços de uma call e de uma put sem barreira no instante i, estado da natureza j. Analogamente às opções com barreira do tipo knock-out, em cada um dos pontos intermediários da árvore, é feita a verificação do rompimento da barreira. Em caso afirmativo, o prêmio da opção naquele ponto será igual ao prêmio de uma opção plain vanilla (c* ou p*); caso contrário, será dado pelo valor presente da expectativa de payoff no instante seguinte, conforme demonstrado nas fórmulas abaixo. Se a barreira for knock-in-and-up (S 0 < H), define-se a variável auxiliar x = 1 e, no caso de knockin-and-down, define-se x = 1. Call O valor da call no instante final i = n em cada um dos estados da natureza j é dado por: H) x > 0 (a barreira foi atingida): c = c* i, j i, j Caso contrário: ci, j= K Nos instantes intermediários (i < n), o valor da call é dado por: H) x > 0 (a barreira foi atingida): c = c* i, j i, j Caso contrário: ( 1 ) c = e P c + P c r t i, j i+ 1, j+ 1 i+ 1, j Put O valor da put no instante final i = n em cada um dos estados da natureza j é dado por: H) x > 0 (a barreira foi atingida): p = p* i, j i, j Caso contrário: pi, j= K Bolsa de Mercadorias & Futuros 6

13 Nos instantes intermediários (i < n) o valor da put é dado por: H) x > 0 (a barreira foi atingida): p = p* i, j i, j Caso contrário: ( 1 ) p = e P p + P p r t i, j i+ 1, j+ 1 i+ 1, j.4 Barreira do tipo knock-out + barreira simples Existe a possibilidade de se incluir mais de um tipo de barreira na mesma opção. Na hipótese de se utilizarem uma barreira do tipo knock-out e uma barreira simples, obviamente a barreira simples deverá ser inferior à knock-out, quando esta for knock-out-and-up, e superior, quando for knock-out-and-down. A precificação dessa opção é feita utilizando-se, em conjunto, a limitação do prêmio da opção à diferença entre o preço de exercício e o preço de barreira e a verificação contínua do rompimento da barreira, como demonstrado a seguir. H) x > 0 (a barreira foi atingida): Caso contrário: Call Put c i,j = K p i,j = K { } r t ci, j = máx e P ci 1, j 1+ 1 P ci 1, j ;mín Si, j X; H X { } r t pi, j = máx e P pi 1, j 1+ 1 P pi 1, j ;mín X Si, j; X H.5 Barreira do tipo knock-in + barreira simples No caso das opções com barreira do tipo knock-in e barreira simples, a precificação ocorre em duas etapas, como no caso das opções que possuem apenas uma barreira de knock-in. Na primeira etapa, calcula-se o prêmio de uma opção com barreira simples em cada um dos pontos da árvore binomial, desconsiderando a barreira de knock-in. Posteriormente, em nova árvore, faz-se a verificação do rompimento da barreira em cada ponto, retornando o prêmio calculado para a opção com barreira simples caso o preço de barreira tenha sido atingido. Caso isso não ocorra, o prêmio será dado pelo valor presente do payoff esperado no instante seguinte, conforme demonstrado nas fórmulas a seguir. H) x > 0 (a barreira foi atingida), a opção é precificada como uma opção plain vanilla com barreira simples; caso contrário: De outra forma, a barreira simples nunca seria relevante, perdendo o sentido sua utilização. Bolsa de Mercadorias & Futuros 7

14 Call ( 1 ) c = e P c + P c r t i, j i+ 1, j+ 1 i+ 1, j Put ( 1 ) p = e P p + P p r t i, j i+ 1, j+ 1 i+ 1, j Assim como no caso das opções que possuem apenas barreira de knock-in, no último instante da árvore, se a barreira não houver sido atingida, (S i, j H) x < 0, o prêmio da opção será igual ao valor de rebate K. 3 Referências Bibliográficas Haug, E.G. The Complete Guide to Options Pricing Formulas. New York: McGraw-Hill, Merton, R.C. Theory of Rational Option Pricing, in Bell Journal of Economics and Management Science, 4, , Reiner, E. and Rubinstein M. Breaking Down the Barriers, in Risk Magazine 4(8), Se a opção envolver rebate; caso contrário, o prêmio em tal ponto será zero. Bolsa de Mercadorias & Futuros 8