Mé todos Numé ricos para a Probabilidade Binomial e. Hipergeomé trica. por. Rosiane Evangelista Borges

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1 Uiversidade Federal de Goiá s Campus Avaçado de Catalão Departameto de Matemá tica Mé todos Numé ricos para a Probabilidade Biomial e Hipergeomé trica por Rosiae Evagelista Borges Catalão - GO 2003

2 Rosiae Evagelista Borges Mé todos Numé ricos para a Probabilidade Biomial e Hipergeomé trica Moografia apresetada ao Curso de Especialização em Matemá tica do campus de Catalão, da Uiversidade Federal de Goiá s, como parte dos requisitos ecessá rios para a obteção do título de Especialista em Matemá tica. Orietador: Dr. Doald Mark Satee. Catalão - GO 2003

3 Rosiae Evagelista Borges Mé todos Numé ricos para a Probabilidade Biomial e Hipergeomé trica Moografia apresetada e aprovada em 31 de julho de 2003, pela Baca Examiadora costituída pelos professores. Prof. Dr. Doald Mark Satee Prof. Dr. Carlos Alberto Pereira dos Satos Prof. Ms. Cleves Mesquita Vaz

4 Agradecimetos Primeiramete a Deus pela força e oportuidade que me deu de cohecer e coviver com pessoas tão especiais e importates, aos quais extero aqui os mais profudos agradecimetos: Ao Prof. Dr. Doald Mark Satee, pela orietação e amizade; Ao meu esposo Nelso, pelo compaheirismo e cariho; Ao meu pai Jair e às mihas irmãs Regiae e Rosiree, pela compreesão que sempre pude cotar; Aos meus amigos pelo apoio demostrado, carihosamete à Reata, pela grade ajuda a digitação desta moografia.

5 A miha mãe Valdivia, i memoriam.

6 Resumo Essa moografia apreseta diversos artifícios para cotorar o problema do estouro aritmé tico o cá lculo dos fatoriais e das combiaçõ es que são aparecem a defiição das probabilidades Biomial e Hipergeomé trica. Etre esses artifícios estão a fórmula de Laczos para aproximação da fução Gama, a Fórmula de Stirlig e sua dedução, fórmulas de recorrêcia e, fialmete a aproximação de uma probabilidade por outra.

7 Abstract This moograph describes several tricks to avoid the overflow problems that ca occur durig the factorial ad combiatorial computatios witch appear at the Biomial ad Hipergeometric probability defiitios. These tricks iclude Laczos formula for tha approximatio of the Gamma fuctio, Strirlig s formula ad its developmet, recurrece formulas ad, fially the approximatio of oe probability by aother oe.

8 Sumário 1 INTRODUÇ ÃO OS MODELOS DE PROBABILIDADE A PROBABILIDADE BINOMIAL A PROBABILIDADE HIPERGEOMÉTRICA A PROBABILIDADE NORMAL O CÁLCULO DO FATORIAL O LOGARITMO DO FATORIAL A FUNÇÃO GAMA E A APROXIMAÇÃO DE LANCZOS A APROXIMAÇÃO DE STIRLING O CÁLCULO DA COMBINAÇ ÃO COMBINAÇÃO E LOGARITMO FÓ RMULAS DE RECORRÊNCIA O CÁLCULO DAS PROBABILIDADES FÓ RMULAS DE RECORRÊNCIA APROXIMAÇÃO DA HIPERGEOMÉTRICA PELA BINOMIAL APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL PELA NORMAL (DEMOIVRE-LAPLACE) CONCLUSÃ O BIBLIOGRAFIA... 23

9 1 Itroduç ão. O experimeto aleatório chamado amostragem é um dos procedimetos mais comus que se tem a estatística. Escolher ao acaso uma amostra e dela se tirar coclusõ es sobre a população de ode a amostra foi retirada e quase que a justificativa da existêcia do estudo da probabilidade e estatística. Quado uma amostragem é feita, quer seja para ispecioar a qualidade das peças de uma liha de produção (população de tamaho idefiido), quer seja para se fazer uma pesquisa eleitoral (população de tamaho fiito), a distribuição de probabilidades subjacete são a distribuição biomial e a hipergeomé trica. As fórmulas para o cá lculo dessas probabilidades são relativamete simples e evolvem a determiação de fatoriais. Isso por sua vez esbarra em um problema de ordem prá tica. Um computador, ou calculadora, represeta um úmero real o sistema deomiado aritmé tica de poto flutuate. Neste sistema, um úmero é represetado a forma ±(0.d 1 d 2 d 3...d t ) β e (1) Ode β é a base em que a má quia opera (ormalmete 2); t é o úmero de dígitos a matissa; e e é o expoete, que deve estar o itervalo [l,u]. Dessa forma em qualquer máquia, apeas um subcojuto dos úmeros reais é represetado exatamete. Números que ão cabem o molde determiado pela expressão (1) são trucados ou arredodados para caberem. Existe, cotudo, uma situação em que um úmero ão pode ser ajustado para cabem a forma (1). Isso ocorre quado o úmero é tão grade que o seu expoete ultrapassa o limite

10 2 superior u. Esse problema é deomiado de overflow ou estouro aritmé tico. Quado ocorre um estouro aritmé tico o úmero em questão ão pode ser armazeado a má quia. Esse é um problema comum o cálculo do fatorial de um úmero. O que pode impossibilitar o cálculo das probabilidades biomial e hipergeomé trica para tamahos de população que, em termos da Estatística, são relativamete pequeas. A presete moografia edereça esse problema, apresetado diversos artifícios que tetam cotorar o problema do estouro aritmé tico o calculo dessas probabilidades. 2 Os Modelos de Probabilidade. Os métodos da estatística são, ormalmete, baseados em modelos matemá ticos de probabilidade. Apresetamos essa seção uma descrição dos modelos biomial e hipergeomé trico, que são a motivação dessa moografia, e a distribuição ormal, que levará a um dos artifícios importates para o cá lculo das outras probabilidades. 2.1 A Probabilidade Biomial. Cosidere um experimeto aleatório com um espaço amostral S. Cosidere, aida, que seja defiido um eveto A, e que esse eveto teha uma probabilidade p de ocorrer. Ao executar o experimeto, podemos dizer que houve um sucesso quado o eveto A ocorrer, e um fracasso quado o eveto A ão ocorrer. Cosidere aida que esse experimeto será executado uma quatidade fixa,, de vezes, e que estamos iteressados apeas o úmero total, X, de sucessos e ão a ordem em que elas ocorrem. O úmero de sucessos poderá ser qualquer um dos úmeros 0,1,...,. Se as repetiçõ es forem executadas de forma

11 3 idepedete, chama-se de Probabilidade Biomial às probabilidades correspodetes a cada valor de X. Diz-se, també m que X tem distribuição biomial, ou que X é uma variá vel aleatória biomialmete distribuída. Teorema 1. Seja X uma variá vel aleatória biomialmete distribuida, baseada em repetiçõ es com probabilidade p de sucesso. Etão, a probabilidade de X assumir um determiado valor k é dado por k k P( X = k) = p (1 p), k = 0,1, K, k (2) Demostração. Cosidere-se um particular elemeto do espaço amostral satisfazedo a codição X=k. Um resultado como esse poderia surgir, por exemplo, se as primeiras k repetiçõ es ocorresse A, equato as últimas k repetiçõ es ocorresse o seu complemetar A, isto é, A A A A... A A A A A... A k -k Figura 1 uma maeira de A ocorrer k vezes. Como todas repetiçõ es são idepedetes, a probabilidade desta seqüêcia particular ocorrer seria p k (1 p) -k, mas exatamete essa mesma probabilidade seria associada a qualquer outro resultado para o qual X=k. O úmero total de tais resultados é igual à permutação de todos os A com os A, cotado que se tem k elemetos A repetidos e -k elemetos A a quatidade de permutaçõ es é

12 4! (3) = k! ( k)! k Ode se pode observar que é a combiação de elemetos tomados k a k. Assim a probabilidade da uião de todos os evetos em que X=k é dado por p k e isso completa a demostração. k ( 1 p) k (4) 2.2 A Probabilidade Hipergeomé trica. Supoha-se que tehamos uma coleção de N objetos, r dos quais teham uma certa característica A, e (N r) das quais ão teham essa característica. Supoha que o experimeto aleatório a ser realizado seja de escolher, sem reposição e ao acaso, objetos dessa coleção ( N). Em seguida cota-se o úmero, X, de objetos com a característica A. X poderá ser 0, 1,...,. Se a probabilidade de cada objeto ser escolhido for a mesma, a probabilidade associada a cada um desses resultados chama-se Probabilidade Hipergeomé trica. Diz-se també m que X tem Distribuição Hipergeomé trica. Teorema 2. Seja X uma variá vel aleatória com distribuição hipergeomé trica, baseada a retirada de objetos a partir de uma coleção de N objetos, sedo que r das quais possui uma característica A. Etão, a probabilidade de X assumir um determiado valor k é dado por r N r k k P ( X = k) =, k = 0,1, 2, K, N (5)

13 5 Demostração. O experimeto aleatório possui um espaço amostral fiito cujos evetos simples são formados por objetos diferetes. Assim o úmero total de evetos simples do experimeto é dado por Pois retiram-se objetos de um total de N. N (6) A j1 A j2 A j3 A j4... A jk A jk+1 A jk+2 A jk+3 A jk+4... A j k -k Figura 2 um eveto simples do espaço amostral ode k elemetos possuem a característica A ocorrer k vezes. Os evetos simples que compõ e o eveto X=k apresetam a forma geral da figura 2. Para obter a quatidade e evetos simples retiram-se k objetos dos r que possuem a característica A, e, em seguida, retiram-se -k objetos dos N-r restates que ão possuem a característica A, assim r N r (7) k k Como os evetos simples são igualmete prová veis, para calcular a probabilidade basta dividir a equação (7) pela (6). Isso completa a demostração. 2.3 A Probabilidade Normal. A probabilidade ormal tem um papel importate detro da teoria de probabilidade pois, de acordo com o Teorema Cetral do Limite, é o limite de uma soma muito grade de outras variá veis aleatórias. Sua descrição é apresetada a seguir.

14 6 Defiição: A variá vel X, tem uma distribuição ormal (ou gaussiaa) quado sua fução de desidade de probabilidade é da forma 1 1 x µ f ( x) = exp, < 2πσ 2 σ x < (8) Os parâmetros µ e σ devem satisfazer às codiçõ es < µ <, σ >0. Usualmete emprega-se a seguite otação: X terá distribuição N ( µ, σ 2 ) se e somete se, sua distribuição de probabilidade for dada pela equação acima. Teorema 3. Se X tiver a distribuição N ( µ, σ 2 ), e se Y = ax + b, etão Y terá a distribuição 2 2 N( aµ + b, a σ ). Demostração: O fato de que E( Y) = a + b propriedades do valor esperado e da variâcia. µ e V ( Y) = a 2 3 σ decorre imediatamete das Em coseqüêcia, se g for a fução de desidade de probabilidade de Y, teremos 1 1 g( y) = exp 2 2πσ 2σ y b a µ 2 1 a (9) 1 g(y) = [ y aµ + b] 2π σ 1 2 exp, a 2σ 2 a 2 (10) que, represeta a fução de desdidade de probabilidade de uma variá vel aleatória com 2 2 distribuição N( aµ + b, a σ )

15 7 Corolá rio: Se X tiver distribuição N ( µ, σ 2 ) e se Y = ( X µ ) / σ, etão Y terá distribuição N (0,1). Demostração: É evidete que Y é uma fução liear de X, e por isso, o teorema 3, se aplica. 3 O Cálculo do Fatorial. Um dos problemas básicos que causam estouro aritmé tico é o cálculo do fatorial de um úmero. Mesmo que um úmero seja pequeo, em comparação com a capacidade de uma má quia de represetar úmeros, o fatorial desse úmero pode ser tão grade a poto de causar um estouro aritmé tico. O cálculo da fução fatorial requer, portato, uma aá lise cuidadosa para que seja reduzido tato o esforço computacioal quato os problemas de estouro aritmé tico. 3.1 O Logaritmo do Fatorial. Quado o fatorial é usado apeas os cálculos itermediá rios, pode ser coveiete calcular o logaritmo do fatorial. Dessa forma um úmero grade pode ser armazeado em uma má quia como um úmero real e relativamete pequeo. O cá lculo do logaritmo do fatorial é relativamete simples pois l(!) = l(1 2 ) = l(1) + l(2) + L + l( ) Assim pode-se calcular o logaritmo do fatorial pela fórmula K (11)

16 8 l(!) = i= 1 l( i) (12) Que pode ser facilmete programada. Etretato é importate lembrar que esse método ão é computacioalmete eficiete, uma vez que requer o cá lculo do logaritmo vezes. 3.2 A Fuçã o Gama e a Aproximaçã o de Laczos. Outra maeira de calcular a fução fatorial, é atravé s da fução gama. Esse método traz grades vatages do poto de vista do esforço computacioal. Vamos iicialmete, itroduzir a fução gama. Represetada pelo símbolo Γ ela é defiida assim: Γ p 1 x ( p) = x e dx, p 0 > 0 (13) Pode-se demostrar que essa itegral imprópria existe (coverge) sempre que p > 0. Se itegrarmos por partes, fazedo: e x dx = dv e x p 1 = u, (14) obteremos: Γ(p) = -e -x x p-1-0 [ -e x (p-1) x p 2 dx] 0 (15) = 0 + (p 1) e x x p 2 dx 0 (16) = (p 1) Γ(p 1) (17)

17 9 Desse modo, mostramos que a fução gama obedece a uma iteressate relação de recorrêcia. Supoha-se que p seja um iteiro positivo, digamos p=. Etão, aplicado-se a equação (17) repetidamete, obteremos: Γ() = ( 1) Γ( 1) (18) = ( 1) ( 2) Γ( 2) =... = ( 1) ( 2)...Γ(1) (19) Porem, Γ(1) = e x dx = 1 e por isso, teremos 0 Γ() = ( 1)! (20) Ou aida! = Γ(+1) (21) Se for um iteiro positivo. Portato poderemos cosiderar a fução gama como uma geeralização da fução fatorial. Há uma variedade dos métodos que podem ser usados para calcular a fução Γ() umericamete, mas, segudo Press (Press et all, 1997), ehum é tão bom quato a aproximação desevolvida por Laczos (Laczos, 1964). Esta aproximação é específica para a fução gama e depede de uma série de coeficietes c 1, c 2..., c. A aproximação da fução gama proposta por Laczos é : + 0,5 ( + 5,5) 2π c1 c2 c (22) Γ( ) = ( + 5,5) e c L Para o cojuto dos c s apresetado a tabela 1, o erro é meor do que, 2 x c 0 = 1, c 1 = 76,

18 10 c 2 = -86, c 3 = 24, c 4 = -1, c 5 = 0, c 6 = -0, Tabela 1 coeficietes para a aproximação de Laczos da fução gama. Para evitar problemas de estouro aritmé tico, é coveiete que ão se calcule a fução gama diretamete, mas sim o logaritmo da fução gama. O logaritmo da fução gama pode ser usada como uma aproximação para o logaritmo do fatorial seguido a fórmula (21), assim a expressão fica: l(!) = ( + 1,5) l( + 6,5) ( + 6,5) + l 2π c 1 c2 c (23) c L A fórmula (23) pode ser facilmete programada. A listagem 1 mostra o código fote de uma págia da iteret que calcula o fatorial de um úmero dado. Aparece em egrito a fução que programa a fórmula (23). A figura 3 mostra a disposição dos cotroles da pá gia. Listagem 1 Pá gia que calcula o fatorial usado a aproximação de Laczos. <html> <head> <title>cálculo de l(!) e!</title> <script laguage=javascript><!-- fuctio TArray() {retur this}

19 11 var c = ew TArray() c[0]= c[1]= c[2]= c[3]= c[4]= c[5]= c[6]= fuctio lfatorial() { = parseit() var tmp = 0.0 var soma = 0.0 var y = 0.0 tmp = +6.5 tmp = tmp-((+1.5)*math.log(tmp)) y = +2 soma = c[0] for(var j=1; j<=6; j++, y++) { soma += c[j]/y } //ed for j retur -tmp+math.log( *soma/(+1)) } //ed fuctio lfatorial fuctio fatorial() { retur Math.roud(Math.exp(lfatorial())) } //ed fuctio fatorial //--></script> </head> <body bgcolor=lightyellow><ceter> <h1>cálculo de l(<i></i>!) e <i></i>!</h1><hr> <br> <form ame=form1><table> <tr><td colspa=2 alig=ceter>número: <iput type=text ame=um

20 value=1><br><br> </td></tr> <tr valig=top><td> <iput type=butto value="l do Fatorial" oclick="form1.lg.value=lfatorial(form1.um.value)"> </td><td> <iput type=text ame=lg><br><br> </td></tr> <tr valig=top><td> <iput type=butto value="fatorial" oclick="form1.fat.value=fatorial(form1.um.value)"> </td><td> <iput type=text ame=fat><br><br> </td></tr> </table></form></ceter></body> </html> 12

21 13 Figura 3 Pá gia da iteret que calcula o Fatorial pela fó rmula de Laczos 3.3 A Aproximaçã o de Stirlig. Uma ferrameta importate da teoria aalítica das probabilidades está cotida o teorema clá ssico cohecido pelo ome de Fórmula de Stirlig! e 2π (24) Esse resultado é útil, ão apeas para a teoria, mas també m para a obteção de exceletes aproximaçõ es umé ricas. Embora o erro absoluto, que é a difereça etre os dois lados da equação ão cresça com o de, o erro relativo, que se comete ao utilizar a aproximação dimiui. Esse erro decresce regularmete e a precisão da aproximação de Stirlig

22 14 é otá vel, mesmo para valores pequeos de. De fato, o lado direito da equação os dá para 1! O valor 0,9221, para 2! 1,919 e para 5! (= 120) 118, 019. Os erros percetuais são 8,4 e 2 por ceto respectivamete. Para 10! = a aproximação os dá com um erro de 0,8%. Para 100! O erro é somete 0,08%. A dedução da fórmula de Stirlig parte da sua aproximação pela fução gama, assim: Γ x l( x) x ( + 1) =! = x e dx = e, 0 0 > 0 (25) Fazedo-se a seguite mudaça de variá veis Tem-se x = + y (26)! = e l( + y ) y dy (27) Para valores de grades pode-se fazer a seguite aproximação pela fórmula de Taylo: 2 y y y (28) l( + y ) = l( ) + l 1 + l( ) + + L 2 Substituido-se a aproximação (28) em (27) tem-se! = e l( ) + 2 y y y 2 dy (29) Que se simplifica para 2 2 y y = = l( ) 2 2! e e dy e e dy e y 2 2 dy (30) A primeira itegral do lado direito da equação (30) vale 2 π (Ávila, vol. III) e a Seguda itegral tede a zero quado tede cresce. Assim chega-se à fórmula dada por (24).

23 15 Seguido o mesmo procedimeto, é possível chegar-se a uma expressão mais precisa tomado-se mais termos da sé rie de Taylor, chegado-se a uma expressão do tipo:! e 2π L (31) 4 O Cálculo da Combiaç ão. No cálculo das probabilidades Biomial e Hipergeomé trica, a fução fatorial aparece quado se avaliam as combiaçõ es, uma vez que a fórmula para o cálculo da combiação é dada por! (32) = k k!( k)! Podem haver problemas de estouro aritmé tico o cálculo dos fatoriais, mesmo que o resultado fial da combiação ão teha esse problema. Para cotorar esse problema pode-se usar as té cicas de aproximação de fução fatorial coforme descrito a seguir. 4.1 Combiaçã o e Logaritmo. Tomado-se o logaritmo da combiação tem-se (33) l = l(!) l( k!) l(( k)!) k Assim a combiação pode ser calculada fazedo-se (34) l(!) l( k!) l(( k )!) = e k

24 16 Ode o logaritmo do fatorial pode ser calculado pela fórmula (12) ou preferecialmete pela fórmula de Laczos (23), reduzido-se dessa forma o problema do estouro aritmé tico os cá lculos itermediá rios. 4.2 Fó rmulas de Recorrê cia Uma técica iteressate para calcular as combiaçõ es é com o uso de fórmulas de recorrêcia. O poto mais importate essa técica é que as operaçõ es aritmé ticas são executadas apeas com úmero iteiros, ão havedo, portato, problemas de arredodameto, levado sempre a valores exatos, o que ão ocorre quado se tiram o logaritmo dos fatoriais. A seguir são apresetados dois teoremas que permitem cotorar o problema do estouro aritmé tico os cá lculos itermediá rios usado fórmulas de recorrêcia. Teorema (35) = k k + 1 k Demostração. Pelas propriedades do fatorial tem-se que ( + 1)! = ( + 1)! (36) e ( k + 1)! = ( k + 1) ( k)! (37) A combiação expressa por (32) pode ser calculada com

25 ( + 1)! (38) = k k!( k + 1)! Que usado-se as relaçõ es (36) e (37) pode ser escrita como ! (39) = k k + 1 k!( k)! Ode a seguda fração do lado direito da expressão é a combiação de, k a k, o que completa a demostração. Teorema 5. k = k + 1 k + 1 k (40) Demostração. Das propriedades da fução fatorial tem-se ( k + 1)! = ( k + 1) k! (41) e ( k)! = ( k) ( k 1)! ( k)! ( k 1)! = ( k) (42) A combiação desejada pode ser calculada como! (43) = k + 1 ( k + 1)!( k 1)! Substituido-se as relaçõ es (41) e (42) chega-se a k! = k + 1 k + 1 k!( k)! (44)

26 18 demostração. Ode a Seguda fração do lado direito é a combiação de, k a k. Isso completa a As fórmulas apresetadas os teoremas 4 e 5 são particularmete úteis se o problema a ser resolvido é o de calcular uma seqüêcia de combiaçõ es, como, por exemplo, todas as probabilidades associadas a um experimeto biomial. As fórmulas (35) e (40) permitem que se calcule uma combiação a partir de outra já cohecida fazedo-se apeas algumas operaçõ es de soma, subtração, multiplicação e divisão de iteiros. Uma combiação iicial simples é 0 =1 (45) Partido-se dessa combiação pode-se calcular uma seqüêcia de combiaçõ es até que se chegue à combiação desejada. 5 O Cálculo das Probabilidades. Por defiição, o valor de uma probabilidade é sempre um úmero real etre 0 e 1. Nesse setido mesmo que os cá lculos itermediá rios para se chegar ao valor da probabilidade levem a problemas de estouro aritmé tico ou qualquer outro tipo de istabilidade, o resultado fial será um úmero comum (etre zero e um). Pode ocorrer que, o cálculo da probabilidade biomial ou hipergeomé trica resultado do cálculo da combiação leve a um estouro aritmé tico. Para cotorar esse problema apresetamos algumas aproximaçõ es são feitas diretamete sobre a probabilidade, evitado-se ao má ximo o cá lculo das combiaçõ es.

27 Fó rmulas de Recorrê cia. Teorema 6 : Seja Etão P(X=k)=B(k) = k p ( 1 p ) k (46) B ( k k + ) = 1 ( K + 1)( 1 p). B( k), para k=1.. (47) com B(0) = (1 p) = e l(1 p) Demostração: A partir de (46) tem-se que B( K + 1) = p.( 1 p) K + 1 k 1 (48) Usado-se o teorema 5 e dividido-se e multiplicado a expressão por (1-p) tem-se que B(k+1) = k K + k p ( k pp ) (49) Que pode ser escrita como B( k k p ( k + 1)(1 p) k k + 1) = (1 ) p (50) Como a parte direita do lado direito da expressão é a própria expressão B(k), isso completa a demostração.

28 20 Teorema 7. Seja P(X=k) = H ( k ) = r N r k k N (51) Etão r k k H( k + ) = ( ) H k ( k ). ( ) ( N r + k + 1). ( ), para k=1.. (52) com H (0) = ( N r)! ( N )! l( N r)! + l( N )! l( N r )! l N! = e ( N r )! N! Demostração: A partir de (51) tem-se H( k + 1) = r N r k + 1 k 1 N (53) Ao aplicar a relação (44) em cada uma das combiaçõ es chega-se a = r k r k k + 1 k N r + k + 1 N r k (54) Pode-se observar que as combiaçõ es formam H(k). Isso completa a demostração.

29 Aproximaçã o da Hipergeomé trica pela Biomial Teorema 8: Admita-se que X teha distribuição hipergeomé trica. Se o tamaho da população N for muito maior que o tamaho da amostra etão teremos: r P( X = K) = k N k 1 r N k (55) Demostração. A distribuição biomial é aplicá vel quado fazemos amostragem com reposição (visto que, este caso, a probabilidade de obter um elemeto com a característica estudada permaece costate), equato a distribuição hipergeomé trica é aplicá vel quado fazemos amostragem sem reposição. Se o tamaho da população N for grade, ão fará muita difereça se fizermos ou ão retorar ao lote uma peça determiada, ates que a próxima seja escolhida. Assim se o tamaho da população N for suficietemete grade, a distribuição de X poderá ser aproximada pela distribuição biomial. Ode a probabilidade, p, de que seja escolhido um elemeto com a característica estudada é de r/n. Isso completa a demostração. 5.3 Aproximaçã o da Biomial pela Normal (DeMoivre-Laplace) Teorema 9. Se X tiver uma distribuição biomial com parâmetros e p, e se for grade, etão:

30 22 P( a X b + 0,5 p a 0,5 p b) = φ φ p(1 p) p(1 p) (56) Ode φ (z) é a fução de distribuição acumulada da fução ormal padrão. Demostração: Se X tem distribuição biomial com parâmetros e p, etão o Valor Esperado e a Variâcia são respectivamete E(X)=p e V(X)=p(1-p). Como X é a soma de provas de Berouilli, pelo Teorema Cetral do Limite X terá distribuição aproximadamete ormal com mé dia p e variâcia p (1-p). Coforme o corolá rio do teorema 3 Y = X p [ p 1 p ] 1 2 ( ) / (57) terá uma distribuição aproximadamete N(0,1) quado for suficietemete grade. Na prá tica esta aproximação será válida para valores de >10, desde que p seja próximo de ½. Se p for ecessá rio de 0 ou 1, deverá ser um tato maior, para garatir uma boa aproximação. Ao empregar da aproximação ormal à distribuição biomial, estaremos aproximado a distribuição de uma variá vel aleatória discreta com a distribuição de uma variá vel cotíua. Por isso, algum cuidado deve ser tomado como os potos extremos dos itervalos cosiderados. Por exemplo, para uma variá vel aleatória cotíua, P(X=3)=0, equato para uma variá vel aleatória discreta esta probabilidade pode ser ão ula. Segudo Meyer, as seguites correçõ es de cotiuidade melhoram a aproximação acima: ( 1 1) a) P( X = K) = P k x k +, ( ) b) P( a x b) = P a x + b (58)

31 23 Essas correçõ es estão cosideradas a expressão (56). 6 Coclusão. Apesar das limitaçõ es da máquias de calcular, icluido aqui os computadores, é possível calcular as probabilidades biomial e hipergeomé trica com eficiêcia e precisão. Aproximaçõ es como a fórmula de Taylor ou fraçõ es cotíuas, como a que deu origem à fórmula de Laczos, reduzem o esforço computacioal dramaticamete, fazedo com que má quias de pequeo porte realizem operaçõ es que, de outra forma, poderiam ser imprecisas e demoradas. O cálculo umé rico, por sua vez, tem cotribuído grademete para a aplicação dos modelos matemá ticos a problemas reais. Desta forma, acreditamos que o cálculo umé rico jutamete com oçõ es de programação devem ser coteúdos importates a formação de matemá ticos e cietistas que utilizam modelos matemá ticos como ferrameta para suas decisõ es. 7 Bibliografia. 1. ABRAMOWITZ, M. e STEGUN, I. A Hadbook of Mathematical Fuctios. Nova Iorque:Ed. Dover, Ávila, Geraldo S. S. Cá lculo Diferecial e Itegral Volume III. Livros Técicos e Cietíficos Editora S.A. Rio de Jaeiro, Boas, Mary, L. Mathematical Methods i the Physical Scieces 2 a edição. Ed. Joh

32 24 Wiley & Sos New York, 1983 pp COOKE, D., CRAVEN, A. H. e CLARKE, G. M. Basic Statiscal Computig. Lodres: Ed. Edward Arold Publ. Co., DACHS, J. Norberto W. Estatística Computacioal, Rio de Jaeiro:Ed. LTC, FELLER, William. Probability Theory ad is Applicatios. Nova Iorque: Ed. Joh Wiley ad Sos, Ic, Laczos, C. SIAM Joural o Numerical Aalysis, ser. B, vol. 1, pp MEYER, Paul L. Probabilidade e aplicaçõ es à Estatística. Rio de Jaeiro: LTC Livros Té cicos e Cietíficos, S.A, PEREIRA, Wilso. Elemetos de Estatística. São Paulo:McGraw-Hill do Brasil, PRESS, William H., TEUKOLSKY, Saul A., VETTERLING, William T., e FLANNERY, Bria P. Numerical Recipes i C. Cambridge, SPIEGEL, Murray Ralp. Probabilidade e Estatística. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1978.