SEQÜÊNCIAS E EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS BASEADAS NA SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI

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1 SEQÜÊNCIAS E EQUAÇÕES E IFERENÇAS BASEAAS NA SEQÜÊNCIA E FIBONACCI Bruo Wesley Barbosa ((Ui-FACEF) Atoio Carlos da Silva Filho (Ui-FACEF) INTROUÇÃO Leoardo Pisao é mais cohecido pelo seu apelido: Fiboacci. Ele era filho de Guilielmo e um membro da família Boacci. Fiboacci asceu a Itália, mas foi educado o Norte da África, ode seu pai tiha um posto diplomático. Fiboacci termiou sua formação e suas viages ao redor de e, etão, retorou a Pisa. Restaram cópias dos seguites livros escritos por ele: Liber abaci (publicado em ), Practica geometriae (publicado em ), Flos (publicado 5), ad Liber quadratorum. Liber abaci, publicado em, após o retoro de Fiboacci à Itália, foi baseado a aritmética e a álgebra que Fiboacci acumulou durate suas viages. Este livro, que foi largamete copiado e imitado, itroduziu o sistema posicioal decimal e o uso de umerais arábicos a Europa. Um problema a terceira secção do Liber abaci levou à itrodução dos Números de Fiboacci e da seqüêcia de Fiboacci, pelos quais Fiboacci é mais lembrado hoje em dia: Quatos pares de coelhos podem se formar em um ao, partido de somete um par?. A resposta, para uma dada codição iicial, levou à seqüêcia de úmeros:,,,, 5, 8,,, 4, 55, 89, 44,. Fiboacci provavelmete icluiu o problema dos coelhos a partir dos seus cotatos o eterior e ão ivetou em o problema em a série de úmeros que levam o seu ome. Cada termo desta série pode ser obtido a partir dos dois primeiros termos, somado os dois ateriores. A razão etre termos sucessivos esta série coduz à assim chamada Razão Áurea:,68. Esta razão também pode ser obtida como uma das raízes da equação:. Uma geeralização levou a uma série ode, a partir de três termos iiciais arbitrários, obtiham-se os próimos termos somado os três termos imediatamete ateriores. A razão etre três termos sucessivos desta série coverge para o úmero,898, que passou a ser cohecido como úmero

2 Triboacci (FEINBERG, 96; ELIA, ). Ocorre que este úmero também pode ser obtido como uma das raízes da equação:. Geeralizações posteriores levaram à costrução de séries a partir de quatro termos arbitrários, cico termos arbitrários, etc. Em cada uma destas séries, a razão etre termos cosecutivos coverge, respectivamete, para os úmeros:,9756 (úmero Tetraacc,,96594 (úmero Petaacc etc. Estes úmeros também são soluções, respectivamete, das seguites equações (MUSTONEN, 5): 4 e 5 4, etc. Os coeficietes as equações defiidas o parágrafo aterior são todos iquais a. Este trabalho aalisará os casos em que estes coeficietes são diferetes de. Chamaremos a estas séries de séries de Fiboacci geeralizadas. O relacioameto etre as séries geeralizadas de Fiboacci e a série de Fiboacci propriamete dita é o objeto deste trabalho. MATERIAIS E MÉTOOS Chamado de ao i-ésimo úmero de Fiboacci, a relação básica etre os Números de Fiboacci é: Se fizermos a razão etre dois úmeros sucessivos a série de Fiboacci (,,,, 5, 8,, ), isto é, se dividirmos cada úmero pelo seu atecessor, ós ecotraremos a seguite série de úmeros: /, /, / 5, 5/ 666, 8/5 6, /8 65, / 658 Esta seqüêcia de úmeros coverge para o úmero cohecido como Razão Áurea e represetado por Φ: Φ

3 Se pegarmos três úmeros vizihos de Fiboacci,, e, etão, para valores bem grades de i, a razão etre e será quase a mesma que a razão etre e. Assim, vejamos o que ocorre quado estas razões produzem o mesmo valor, X: i ) i ) i ) X Usado a relação de Fiboacci, podemos substituir por e, etão, simplificar a fração resultate: i ) i ) i ) i ) i ) i ) i ) i ) i ) i ) i ) Mas, como o último termo é /X, X ou X X X Uma seqüêcia Triboacci assemelha-se a uma seqüêcia de Fiboacci, mas em vez de começarmos com dois termos pré-defiidos, a seqüêcia é iiciada com três termos pré-determiados, e cada termo posterior é a soma dos três termos precedetes (BEZUSZKA, 977). Os primeiros úmeros de uma pequea seqüêcia padrão Triboacci são:,,, 4, 7,, 4, 44, 8, 49, 74, 54, 97, 75, 6, 5768, 69, 95, 589, 66, 45, 7, etc. Já uma seqüêcia Tetraacci assemelha-se a uma seqüêcia Triboacci, com a difereça que são quatro termos pré-determiados, e cada termo seguite é a soma dos quatro termos precedetes (WAILL, 99). Os primeiros úmeros de uma pequea seqüêcia padrão Tetraacci seriam:,,, 4, 8, 5, 9, 56, 8, 8, 4, 77, 49, 87, 556, 67, 569, 9648, 7644, 47, 895, 5477, etc. Todas estas séries geeralizadas apresetam a propriedade de que dois termos cosecutivos covergem para determiadas costates, deomiadas a literatura úmeros Triboacci, Tetraacci, etc. Os primeiros são os seguites:

4 Fiboacci:, Triboacci:, Tetraacci:, Petaacci:, Ocorre que os -boacci podem ser obtidos como soluções das equações (MUSTONEN, 5): Mas o que acotece quado os coeficietes destas equações ão são iguais a? Ou seja, quado temos equações dos seguites tipos: A procura das respostas a esta perguta costitui o corpo do presete trabalho, cetrado, porém, a ivestigação da primeira equação: a que defie os úmeros de Fiboacci propriamete ditos. RESULTAOS A pesquisa aida está em adameto. Numa primeira fase, aalisamos o que acotece com a equação: 4 4 C C C C B B B A A

5 4 A A Neste caso, em particular, a solução pode ser ecotrada de maeira aalítica. A raiz positiva, que os iteressa, é: A A 4A ( Fazedo A e variado A o itervalo (, ], obtemos o seguite gráfico: A Fig. Valores de à medida que A percorre o itervalo (, ]. A liha azul represeta a razão áurea. (i Fazedo A e variado A o itervalo (, ], obtemos o seguite gráfico:

6 A Fig. Valores de à medida que A percorre o itervalo (, ]. A liha azul represeta a razão áurea. (ii Fazedo A e A variarem o itervalo (, ], obtemos o gráfico tridimesioal a seguir:.5 X A A Fig. Valores de à medida que A e A percorrem o itervalo (, ]. O Plao azul represeta a razão áurea.

7 6 4 ANÁLISE E CONCLUSÃO e acordo com os gráficos obtidos, podemos verificar que os valores covergem cotiuamete para a razão áurea. Resta, agora, eplorar os casos para as sequêcias geeralizadas de Triboacci, de Tetraacci, etc. BIBLIOGRAFIA BEZUSZKA, S.; ANGELO, L. A Applicatio of Triboacci Numbers. The Fiboacci Quarterly,. 5., 977, p BIRKHOFF, Garret; MACLANE, Sauders. Álgebra Modera Básica. 4. ed. Rio de Jaeiro: Editora Guaabara ois S. A., p. ELIA, M. erived Sequeces, The Triboacci Recurrece ad Cubic Forms. The Fiboacci Quarterly, v. 9., p. 7-9,. FEINBERG, M. Fiboacci-Triboacci. The Fiboacci Quarterly. v., p. 7-74, 96. GRAHAM, Roald L.; KNUTH, oald E.; PATASHNIK; Ore. Matemática Cocreta.. ed. Rio de Jaeiro: LTC Editora, 995, 475 p. HANSELMAN, uae; LITTLEFIEL, Bruce. Matlab 6 Curso Completo. São Paulo: Pretice Hall,. 676 p. LIVIO, Mario. Razão Áurea: A História de Φ. Rio de Jaeiro: Editora Record, 6. p. MUSTONEN, Seppo. Etesio of Golde Sectio to Multiple-Partite divisio of a Lie Segmet. 5, p. ispoível em Acesso em: abril 7. WAILL, M. E. The Tetraacci Sequece ad Geeralizatios. The Fiboacci Quarterly, v.., p. 9-5, 99.