Métodos em contagens Bijeções, Contagens Duplas, Recorrências e Funções Geratrizes

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1 Métodos em cotages Bijeções, Cotages Duplas, Recorrêcias e Fuções Geratrizes Gustavo Empiotti - gustavoempiotti@gmail.com Jaeiro 08 Problemas de cotages são uma das pricipais categorias de problemas de Combiatória. Nessa aula vamos estudar algumas das técicas para resolvê-los! Primeiro, vamos precisar do básico: Fato básico : Qual o úmero de maeiras que podemos escolher k objetos detre um total de? Por exemplo, qual o úmero de subcojutos de {,,..., } com k elemetos? Solução: Temos opções para o primeiro elemeto, ( para o segudo, etc., até ( k para! o k-ésimo. Isso os dá.(....( k opções, que pode ser escrito como ( k!. Porém aqui estamos levado em cosideração a ordem; isto é, estamos cosiderado o cojuto {a, b, c} como diferete do {b, c, a}, o que ão é o objetivo. Logo, cotamos cada cojuto k! vezes. Etão, podemos dividir por! k! para corrigir. O úmero desejado é ( k!k!. Esse úmero é deotado ( k. Esta cotagem é importate! Guarde-a bem: Número de subcojutos de k elemetos de {,,..., }: (! = k ( k!k! Fato básico : Usado um argumeto semelhate, veja que o úmero de permutações (ou aagramas da palavra MISSISSIPPI é!!4!4!! (e essa fórmula é geeralizável, é claro. Cotagem direta - bijeções e cotagem dupla. Bijeção Uma bijeção é uma correspodêcia -pra- etre cojutos. O que sigifica ser -pra-? Cosidere o cojuto de duplas ordeadas os iteiros, como (,, (5, 3, etc. Cosidere a correspodêcia (formalmete, uma fução que leva uma dupla a sua reflexão, por exemplo, (, a (,. Podemos escrever f(, = (,. Ela é uma bijeção porque para cada dupla (x, y, existe uma úica dupla (a, b tal que f(a, b = (x, y. Isso é verdade porque coseguimos fazer o camiho iverso da correspodêcia e dizer que (a, b = (y, x. Cosidere, agora, a fução que leva uma dupla o seu primeiro elemeto, g(x, y = x. g ão é uma bijeção porque g(, =, por exemplo, mas g(, 3 = também. Para usar bijeções em problemas de cotages, iremos costruir correspodêcias etre o cojuto que queremos cotar, e um outro cojuto, mais fácil de cotar. Quado fazemos isso para cojutos fiitos, os cojutos têm que ter a mesma quatidade de elemetos! Fazemos isso através de uma trasformação do objeto que estamos cotado.

2 Problema Cosidere um tabuleiro 0 0. Uma formiga está o cato iferior esquerdo e quer chegar ao cato superior direito. Para isso, ela quer fazer um camiho de tamaho exatamete 0 (em outras palavras, ela ada sobre as arestas do tabuleiro, e ela só vai para cima e para a direita. De quatas maeiras ela pode fazer isso? Solução: a formiga sempre vai dar 0 passos para cima e 0 para a direita. Se codificarmos cima como C e direita como D, podemos fazer uma correspodêcia etre os camihos desejados e sequêcias do tipo CCCCCCCCCCDDDDDDDDDD. Verifique que isso é uma bijeção! (dada uma sequêcia de 0 Cs e 0 Ds, existe um úico camiho da formiga. Segue que a quatidade é ( 0 0. Problema Quatas soluções os iteiros ão-egativos tem a equação a b c = 0? Solução: Se pesarmos o 0 como 0 bolihas, queremos dividir essas 0 bolihas em grupos de 3. Podemos pesar as divisões etre esses grupos como os siais de. Assim, a solução 3 6 = 0 seria correspodete a. Verifique que isso é uma bijeção! Segue que o úmero de soluções é a quatidade de formas de ordear elemetos, sedo 0 de um tipo (bolihas e de outro (sial de. Ou seja, a quatidade de aagramas de AAAAAAAAAABB. Isso é dado por (. Essa cotagem também aparece bastate - ela é geeralizável (ela dá o úmero de soluções de a a... a k =. Ela é cohecida como fórmula das bolas as uras. Exercícios. Quatos subcojutos de {,, 3, 4,..., 30} têm a soma de seus elemetos maior que 3?. Quatas sequêcias estritamete crescetes de iteiros positivos começam com e termiam com 000?.3 De quatas maeiras podemos colocar v bolas vermelhas e b bolas bracas em caixas de modo que cada caixa coteha pelo meos uma bola de cada cor? Às vezes podemos também provar que duas quatidades iteressates são iguais, mas sem coseguir calcular essa quatidade!.4 Para qualquer cojuto fiito, prove que o úmero de subcojutos de tamaho par é igual ao úmero de subcojutos de tamaho ímpar (resolva com uma bijeção!.5 Prove que o úmero de partições ão-ordeadas de em k partes é igual ao úmero de partições de em que a maior parte é igual a k. Nota: Uma partição de é uma sequêcia ão-ordeada cuja soma é. As partições de 6, por exemplo, em 3 partes são {,, 4}, {,, 3}, {,, }; as partições em que a maior parte é 3 são {,,, 3}, {,, 3}, {3, 3} a quatidade de ambas é 3. Dica: use bolihas.

3 .6 Prove que o úmero de partições ão-ordeadas de em partes ímpares é igual ao úmero de partições de em partes distitas. Nota: Por exemplo, as partições de 5 em partes ímpares são {,,,, }, {,, 3}, {5}. As partições em partes distitas são {, 4}, {, 3}, {5} (a quatidade de ambas é 3.. Idetidades Combiatórias - Cotagem dupla A ideia de pegar um problema de cotagem e vê-lo de outra maeira também pode os ajudar a provar fórmulas combiatórias (essas fórmulas todas estão itimamete ligadas ao triâgulo de Pascal!. Essa técica em particular é chamada de cotagem dupla..6 ( ( 0 ( (... = Solução: o lado esquerdo da equação é: (úmero de subcojutos de {,,... } com 0 elemeto (úmero de subcojutos de {,,..., } com elemeto... (úmero de subcojutos de {,,..., } com elemetos. Cosideramos todos os possíveis tamahos dos subcojutos, logo cotamos todos os subcojutos. Logo, o lado esquerdo é o úmero de subcojutos de {,,..., } (é importate observar também que cotamos cada subcojuto exatamete uma vez; em outras palavras, trata-se de uma partição dos subcojutos de {,,..., }. Isso é claro esse caso porque ehum subcojuto pode ter tamaho a e também tamaho b para a b. Mas o úmero de subcojutos de {,,..., } é, que é o lado direito (você sabe dizer por quê?..7 ( ( r ( r = r.8 Idetidade do bastão de hockey: ( k k ( k k ( k k.9 Ache uma fórmula para ( ( 0 ( (... Recorrêcias. Motivação... ( kr k = ( kr k Uma recorrêcia é uma sequêcia umérica defiida em fução de algus dos (ou todos seus termos ateriores. O exemplo mais famoso talvez seja a sequêcia de Fiboacci, dada por a =, a =, a = a a. No geral uma recorrêcia é uma sequêcia (a N defiida por uma equação a = f(a, a,..., a, a 0 (vários dos termos podem ão aparecer; podemos ter, por exemplo, a = f(a Além disso, é ecessária uma codição iicial (por exemplo, a 0 = 0. Para estudar a aplicação de recorrêcias a cotages, começamos com um exemplo clássico. Problema 3: De quatas maeiras podemos preecher um tabuleiro 0 com domiós? Solução: A solução aqui pode se dar testado algus casos pequeos (uca esqueça o poder de casos pequeos, ão importa quão difícil seja o problema!. Seja a a quatidade de maeiras de preecher um tabuleiro com domiós. É fácil ver que a = e a =. Quado fazemos o caso = 3, podemos perceber o seguite: se pusermos um domió vertical a extrema direita do tabuleiro (estou imagiado o tabuleiro com casas a vertical por a horizotal, etão os resta a tarefa (que já fizemos de preecher um tabuleiro. Sabemos que isso pode ser feito de a = maeiras. Se ão pusermos um domió o vertical, é fácil perceber que precisamos pôr dois a horizotal, seão uma casiha vai ficar sem 3

4 preecher. Logo, sobra o tabuleiro para preechermos, o que pode ser feito de a = maeira. Logo, a 3 = a a = 3. Agora, esse processo pode ser geeralizado! Com um argumeto exatamete igual, podemos ver que a = a a. Isso os permite calcular a 0 e respoder o problema! É fácil ver que essa fórmula de recorrêcia (a = a a, a =, a = defie uicamete a sequêcia. De fato, temos a sequêcia de Fiboacci! Isso de certa forma respode o problema para todo. Mas isso pode ão ser satisfatório porque ão temos uma fórmula fechada (uma fórmula para a em fução de. A fórmula do termo geral da sequêcia de Fiboacci ão é muito fácil de perceber soziho; ela é: a = 5 (( 5 ( 5 Mais para a frete, este artigo, ós iremos apreder a deduzir esse tipo de fórmula sem precisar de ispiração divia. Por ora, fica como exercício provar por idução. Isso é um método importate em recorrêcias: cojecturar a fórmula e provar por idução! Exercícios. Torre de Haói: cosidere o jogo da torre de Haói. Temos discos de tamaho diferetes, e 3 pios. Iicialmete os discos se ecotram em ordem crescete (o maior embaixo, o primeiro pio. O objetivo é, usado os 3 pios, mover todos os discos para o terceiro pio, a mesma ordem em que se ecotram iicialmete. Qual o úmero míimo de movimetos ecessários para essa tarefa? (você pode ler a solução desse problema o artigo A Torre de Haoi, do Carlos Shie, a Eureka. A imagem acima é de lá. O artigo está dispoível em []. Cosidere uma lígua que tem um alfabeto com apeas uma letra, mas a qual palavras de qualquer tamaho são permitidas. Uma mesagem esta lígua deve começar e termiar com palavras, mas digita-se um espaço etre palavras. Por exemplo aa aaa aa é uma mesagem de 9 caracteres. Quatas mesages de caracteres existem essa lígua?.3 Para um cojuto S de iteiros, defia S como sedo o cojuto {x : x S}. Quatos subcojutos S de,,..., satisfazem S S = {,,..., }?.4 Ecotre o úmero de subcojutos de {,,..., } que ão cotêm dois elemetos cosecutivos de {,,..., }.5 Prove por idução que se a = a a, a =, a =, etão a = 5 (( 5 ( 5. Dica: uma maeira de se livrar das raízes quadradas é somar e multiplicar os dois úmeros estrahos ( 5 e 5. O que você sabe sobre equações quadráticas?. Resolvedo Recorrêcias Lieares Vimos acima a fórmula do termo de Fiboacci: a = 5 (( 5 ( 5. Apesar de podermos prová-la por idução, ão está claro como chegamos a ela. 4

5 Para vermos de ode ela vem, cosidere uma outra recorrêcia parecida: a = 5a 6a, a 0 = 0 e a =. Ela é parecida o setido de que é liear (um exemplo de ão-liear é uma quadrática, como a = a e de grau (isto é, busca termos ateriores. Com um pouco de criatividade, podemos escrever a a = 3a 6a = 3(a a. Daí, vemos que se defiirmos b = a a, etão b = 3b. Temos uma PG (progressão geométrica, logo b = 3 b, e b =, logo b = 3 Porém, osso truque fucioa de outra maeira também: a 3a = (a 3a. Da mesma forma que ates, c = c ode c = a 3a, logo c = Isso os dá um sistema de equações: a a = 3 e a 3a =. Resolvedo para a, temos a fórmula para a. Porque osso truque fucioou? Porque a equação a = 5a 6a, 5=3 e 6=*3. Ou seja, e 3 tiveram papéis especiais a ossa maipulação porque e 3 são as raízes da equação x 5x 6 = 0 (isso é outra maeira de dizer que 5 = 3 e 6 =.3, pelas propriedades de soma e produto. Daí que vem uma maeira atural de ver a razão áurea (e seu cojugado a fórmula de Fiboacci. São as raízes de x x = 0, que surge da equação x = x x! O mesmo processo acima fucioa trocado e 3 pelas raízes da equação x x = 0, que são 5 e 5 Isso é uma teoria geeralizável! Exercícios:.6 Crie a teoria geeralizável sobre soluções para x = αx βx i a ossa solução, foi importate que e 3 são diferetes, pois usamos o truque duas vezes para coseguir o sistema de equação. O que acotece se a equação tiver raiz dupla? (por exemplo, dizemos que x 6x 9 tem raiz dupla pois x 6x 9 = (x 3. ii Essa teoria é geeralizável também para recorrêcias de grau maior que. O que você acha que dá pra dizer, esses casos? (isto é, equações como x = x x x 3?.3 Números de Catala Problema 4: Cosidere um tabuleiro. Uma formiga está o vértice iferior esquerdo do tabuleiro, e, ovamete, ela quer chegar ao vértice superior direito fazedo um camiho de tamaho (isto é, passos para cima e para baixo sobre as arestas do tabuleiro. Mas, dessa vez ela ão quer ultrapassar a diagoal do tabuleiro, ou seja, uca passa pela metade iferior direita do tabuleiro (ela pode tocar a diagoal, mas ão ultrapassá-la. De quatas maeiras ela pode fazer isso? Exemplo: para = 4, estas são as maeiras de fazê-lo: 5

6 Solução: Como podemos trasformar isso uma recorrêcia? Dica: cosidere a primeira vez que o camiho toca a diagoal, sem ultrapassá-la, é claro (pode ser o poto fial, o cato superior direito. Supoha que isso ocorra à altura i. Ates de i a formiga ão toca a diagoal. Isso é aálogo a ão ultrapassar a diagoal logo acima da pricipal, isto é, a diagoal pricipal deslocada uma uidade para cima. Isso pode ser feito de c i maeiras. Para chegar do poto do toque (altura i ao poto fial, a formiga pode voltar tocar a diagoal pricipal - as regras são as mesmas. Isso pode ser feito de c i maeiras. Segue que c = c i c i i= Mas como resolver essa recorrêcia? Surpresa: vamos resolver o problema com uma bijeção! Nós iremos ver essa bijeção a aula. Essa solução é bastate famosa e pode ser vista também o artigo da Wikipedia [3]. (Ates de cotiuar, se você ão estava a aula, leia a Prova do artigo da Wikipedia! Aliás, a Wikipedia dá mais de uma solução por bijeção. A Prova é a mais cohecida, e mais simples que a Prova 3 Com a bijeção, sabemos que a solução da recorrêcia é c = (. Ou seja, provamos que a solução de c 0 = e c = i= c i c i é c = (! Pode parecer que a recorrêcia aqui foi iútil. Na verdade, existe uma maeira puramete algébrica de resolver a recorrêcia dada, sem a bijeção. Assim, poderíamos cocluir o problema algebricamete depois de chegar à recorrêcia. Esse método usa fuções geratrizes, que veremos a próxima seção. Mas a solução de Catala com fuções geratrizes é um pouco avaçada para essa aula, por isso eu ão a icluí aqui. Ela pode ser ecotrada também o artigo da Wikipedia [3], ou também o capítulo de Recorrêcias de []. Mas, agora, quado virmos a recorrêcia de Catala, já sabemos a solução do problema! Agora, vamos resolver os seguites problemas! Eles podem ser resolvidos com recorrêcias ou com bijeções. Tete coectar com a sequêcia de Catala. Você pode costruir uma recorrêcia como a acima, ou fazer uma bijeção com o problema da formiga acima..7 Uma triagulação de um polígoo é uma divisão dele em triâgulos que ão se cortam. Por exemplo, a imagem abaixo mostra todas as triagulações de um hexágoo. 6

7 De quatas maeiras podemos triagular um polígoo regular de lados? Dica: fixe uma aresta do polígoo, e cosidere o triâgulo da triagulação que usa essa aresta. Agora, crie uma recorrêcia! :.8 Uma sequêcia de parêteses à esquerda - o símbolo ( - e à direita é dita correta se ela fecha, isto é, faz setido a lígua portuguesa. Por exemplo, (((( é correta mas ((( ão é. Quatas sequêcias corretas de parêteses existem?.9 A figura abaixo ilustra uma escada de tamaho 4, e mostra todas as maeiras de costruir essa escada usado 4 retâgulo empilhados. De quatas maeiras podemos fazer isso para em geral?.0 Cosidere um polígoo regular de lados. De quatas maeiras podemos parear seus vértices do modo a criar lihas ligado esses pares, de modo que essas lihas ão se itersectem? Esses exemplos todos (icluido as images foram tirados do artigo da Wikipedia (em iglês sobre os úmeros de Catala. Lá tem muito mais exemplos super iteressates! Cosulte! [3].4 Um problema - P4 IMO 0 Problema 5: (IMO 0 Seja um iteiro positivo. Temos uma balaça de dois pratos e pesos cujas massas são 0,,...,. Devemos colocar os pesos a balaça, um por um, de tal forma que o prato direito uca seja mais pesado do que o prato esquerdo. A cada passo, devemos escolher um dos pesos que aida ão estejam a balaça e colocá-lo sobre o prato esquerdo ou sobre o prato direito, procededo assim até que todos os pesos teham sido colocados ela. Determie o úmero de maeiras em que isso pode ser feito. Solução: Fazedo casos pequeos, vemos a importâcia do peso maior. Como a soma de todos os outros é meor que ele (por quê?, o mometo em que ele é posto, a partir dali os demais pesos podem ser postos em qualquer ordem e em qualquer das badejas. Isso já os dá uma orietação sobre como cotar, porque essa última ação pode ser feita de ( j! j maeiras, ode j é o úmero de pesos postos ates do maior deles (podemos pô-los em ( j! ordes, e em cada passo podemos escolher pô-los à esquerda ou à direita. De quatas maeiras podemos pôr os pesos ates do grade? Podemos escolher quais serão esses pesos de ( j maeiras. E quato à ordem? 7

8 Digamos que os pesos colocados ates do peso maior são b, b,..., b j, ode b i {,,..., } i. Supoha sem perda de geeralidade que b < b <... < b j. Como já vimos, o peso maior é mais pesado que a soma de todos os outros, e isso vale aqui também (por quê?. Etão, o mometo em que colocamos b j, ão importa muito o fato de ele ser precisamete b j - para efeitos do problema, só importa que ele é maior que a soma de todos os outros. Assim, o úmero maeiras de colocar os pesos b, b,..., bj é igual ao úmero de maeiras de colocar b, b,..., b j. Iterado essa lógica, vemos que o úmero de maeiras de colocar b, b,..., b j a balaça é igual ao úmero de maeiras de colocar 0,,..., j a balaça (há uma bijeção etre as duas sequêcias! :D. Isso idica que podemos usar uma recorrêcia! Seja a j o úmero de maeiras de colocar 0,,..., j a balaça. Queríamos saber de quatas maeiras podemos distribuir os pesos a balaça quado o maior dos pesos é colocado o passo j. Já vimos que isso seria ( j! j vezes o úmero de maeiras de colocar os pesos b, b,..., b j. Acabamos de descobrir que esse úmero é a j! Assim, chegamos à recorrêcia: k ( a = a j ( j! j j j=0. Nesse mometo, ão fique desaimado com a complexidade da equação! A essa altura do problema, você já fez um avaço sigificativo, já utilizou toda a iformação combiatória do problema! Com um pouco de resiliêcia, se você coseguir trabalhar com essa equação, você acaba o problema! Essa equação ão se ecaixa o grupo que temos uma teoria completa (que seriam as lieares. Vamos ver mais maeiras de resolver equações de recorrêcia complicadas a próxima seção. Mas aqui podemos tetar a boa e velha estratégia dos casos pequeos! Se coseguirmos chegar a uma cojectura para a fórmula, deve ser fácil prová-la por idução. Fazedo casos pequeos, chegamos aos úmeros,3,5,05. Você pode reparar que 5 = 3 5 e 05 = 5 7. A cada passo, parece que estamos multiplicado pelo próximo ímpar! Cojectura: a é o -ésimo imparial! O imparial é o produtório dos primeiros ímpares: I( = (. Não é difícil ver que uma maeira de escrever o imparial é I( = (!!. O resto do problema, como previsto, é um exercício em idução, que fica pra você! : 3 Fuções Geratrizes Uma fução geratriz é um objeto da forma f(x = a 0 a x a x.... Isso deve gerar várias pergutas: primeiro, se essa defiição faz setido, dado que por exemplo se f(x = x x... e x >, a soma ão coverge, e portato a soma ão faz setido; segudo, o que isso tem a ver com combiatória? Respoderemos a primeira perguta evetualmete. Mas acho que ates vale a pea respoder a seguda, que é a motivação para respoder a primeira. Etão, vamos resolver algus problemas de combiatória sem os preocupar muito com as tecicidades, e depois pesamos sobre elas. Por ora, pese em f(x da mesma maeira que você pesa em poliômios: ão precisamos ter úmeros associados a eles, podemos pesar apeas em f(x como um objeto; uma sequêcia de coeficietes. 8

9 A primeira aplicação é resolver recorrêcias sem ter que tirar fórmulas da caixiha! Vamos voltar à recorrêcia que vimos ates: a = 5a 6a, a 0 = 0, a =. Cosidere a fução geratriz desta sequêcia: f(x = a 0 a x a x.... Aqui etra o poder das fuções geratrizes: quado multiplicamos f(x por x, x, etc. ós deslocamos os coeficietes da fução: f(xx = a 0 x a x a x 3... Isso os permite usar a fórmula de recorrêcia da seguite maeira: 5f(xx = 5a 0 x 5a x 5a x f(xx = 6a 0 x 6a x 3 5a x 4... Subtraido uma equação da outra, temos: f(x(5x 6x = 5a 0 x (5a 6a 0 x (5a 6a x 3... = a x a 3 x 3... Logo, f(x(5x 6x = f(x x. Podemos resolver essa equação e obter f(x = Mas calma? Podemos dividir por fuções geratrizes? O que sigifica isso? x 5x6x. Novamete, peço para cotiuar esperado para o mometo em que vamos lidar com as formalidades. Por ora, vamos ver o poder dessa divisão. Temos que: ( x( x x... = Isso pode ser visto apeas expadido os dois lados e vedo que os termos se cacelam. Logo, x = x x... Essa equação é fudametal em fuções geratrizes! Voltado à ossa equação, temos f(x = Logo f(x = x ( x( 3x x 5x6x. Mas 5x6x fatora: 5x6x = ( x( 3x. Agora, da mesma maeira que deduzimos a fórmula fudametal acima, temos que x = x 4x 8x 3 x.... Se coseguirmos separar em duas frações, uma com deomiador ( x e outra 5x6x com deomiador ( 3x, coseguimos utilizar essas expasões para calcular f(x. Sabemos que quado somamos duas frações com deomiadores poliomiais, multiplicamos os deomiadores, assim: B 3x = A( 3xB( x ( x( 3x A = ( 3A Bx(AB ( x( 3x. Como queremos separar o deomiador de x ( x( 3x, podemos fazer o processo iverso! Basta achar A e B tais que ( 3A Bx(AB = x x (o x da direita é o umerador de ( x( 3x. Para isso, basta resolver o sistema 3A B = e A B = 0, que os dá A =, B = (essa técica se chama frações parciais. Logo, f(x = x ( x( 3x = x 3x 9

10 Agora sim usamos as expasões da forma x = x x... (usado x e 3x em vez de x. f(x = ( x 4x 8x 3... ( 3x 9x 7x 3... = a 0 a x a x... Logo, a = 3! Perceba o quão fácil é provar por idução essa fórmula, mas ão é tão fácil percebê-la! Assim como ocorreu quado estudamos recorrêcias lieares ates, exatamete o mesmo método fucioa para Fiboacci! Exercícios: 3. Resolva a sequêcia de Fiboacci usado fuções geratrizes 3. Resolva as seguites recorrêcias: i a = a, a 0 = 0 ii a 3 = 6a a 6a, a 0 =, a = 0, a = (assim como a seção aterior, essa aplicação de fuções geratrizes permite criar uma teoria geral sobre recorrêcias lieares iii a = a, a 0 =. Aqui você vai precisar expadir x como fução geratriz iv a 6a 9a = 3. Quado os expoetes cotam! Lembra do problema de partições que resolvemos com bijeção lá em cima? Relembrado: Problema 6: Prove que o úmero de partições de em partes ímpares é igual ao úmero de partições de em partes distitas. Nota: Uma partição de é uma sequêcia ão-ordeada cuja soma é. Por exemplo, as partições de 5 em partes ímpares são {,,,, }, {,, 3}, {5}. As partições em partes distitas são {, 4}, {, 3}, {5} (a quatidade de ambas é 3. Solução: Agora vamos resolvê-lo com fuções geratrizes! Cosidere D(x = d 0 d x d x... ode d j é o úmero de partições de j em partes diferetes. Afirmamos que D(x = ( x( x ( x 3 ( x 4... Por quê? Vamos chamar ( x( x ( x 3 ( x 4... de F (x por equato. Já vimos lá em cima que d 5 = 3 e as partições de 5 em partes diferetes são {, 4}, {, 3}, {5}. Como obtemos o coeficiete de x 5 em F (x? Faça as cotas: basta expadir até o termo ( x 5, pois os termos depois disso têm expoete maior que 5. Veremos que o coeficiete é 3, pois x 5 aparece como x 4, x 3 e x 5. Quado expadimos F (x, passamos por cada fator ( x r e decidimos se vamos icluir r a soma do expoete ou ão, e fazemos isso uma vez para cada r diferete. Logo, o coeficiete de x é exatamete a 0

11 quatidade de cojutos {r, r,..., r t }, para qualquer t, tal que os r i s são distitos e sua soma é, como queríamos. Logo D(x = ( x( x ( x 3 ( x 4... Agora, vamos pesar a fução geratriz das partições em ímpares: I(x = i 0 i x i x... ode i j é o úmero de partições de j em partes ímpares. Tete escrever I(x de forma fatorada, como fizemos com D(x. Coseguiu? Não é muito fácil a primeira vez que você aprede fuções geratrizes, mas com a prática você se acostuma! Cosidere G(x = ( x x x 3...( x 3 x 6 x 9...( x 5 x 0 x Percebeu o padrão? Cada fator é da forma x r x r x 3r..., para r ímpar. O primeiro fator represeta a quatidade de vezes que o aparece a partição; o segudo fator represeta a quatidade de vezes que o 3 aparece a partição, etc. Quado computamos [x 5 ], por exemplo (a otação [x t ] idica o coeficiete de x t, temos ovamete que [x 5 ] = 3. Dessa vez, o 3x 5 vem de: x 5., x.3 e x.5, que correspodem, respectivamete, às partições {,,,, }, {,, 3} e {5}. Da mesma forma que argumetamos acima, vemos que I(x = ( x x x 3...( x 3 x 6 x 9...( x 5 x 0 x 5...! Agora, a mágica: para resolver o problema, basta provar que D(x = I(x, ou seja, que ( x( x ( x 3 ( x 4 = ( x x x 3...( x 3 x 6 x 9...( x 5 x 0 x A parte combiatória do problema acabou - agora usaremos apeas maipulações algébricas! Já vimos que a idetidade mais básica em fuções geratrizes é x = x x.... Logo o lado direito (I(x é igual a x.... x 3 x 5 Logo, queremos provar que r N ( xr = s ímpar x s. Passado o deomiador para a esquerda, podemos usar a idetidade ( y( y = y. Queremos: s ímpar( x s r N ( x r = Agora, podemos iterar a operação que reescreve ( y( y como y. Observado que os úmeros da forma s para s ímpar são exatamete os úmeros pares que ão são múltiplos de 4, temos que a expressão acima (vamos chamá-la de E(x é x s ímpar( 4s ( x 4r r N Com este argumeto iterativo (pode-se fazer idução para formalizar, temos que E(x = x s ímpar( ks ( x kr r N

12 para todo k N. Queremos provar que E(x =. Mas, da expressão acima podemos ver que qualquer coeficiete ão-ulo de E(x, exceto o [x 0 ] (o coeficiete idepedete tem expoete o míimo k, para todo k. Mas ehum atural pode ser maior que todas as potêcias de dois! Segue que todo coeficiete de E(x diferete de [x 0 ] é ulo! Logo, E(x =. Essa parte do argumeto é, talvez, um pouco complicada formalmete. Outra maeira de desevolvêla é: da expressão acima, que pode ser provada formalmete com idução (e cosiderado todos ossos objetos como fuções geratrizes, para evitar discussões sobre covergêcia e coisas do tipo temos que, para todo k, E(x é da forma x k Q k (x para alguma fução geratriz Q k. Supoha que existe algum coeficiete [x r ] ão-ulo, para r > 0, isto é, E(x = cx r H(x. Seja s o meor ídice tal que [x s ] é ão-ulo e s > 0. Cosidere k tal que k > s, que sempre existe. Etão cx s P (x = x k Q k (x, logo cx s = x k Q k (x P (x. Mas P (x tem grau maior que s pela escolha de s, logo o lado direito da equação tem todos os termos com expoete maior que s. Absurdo, pois o lado esquerdo tem um úico termo, cujo expoete é s! Logo ão existe tal s. Os seguites problemas usam a mesma ideia! Exercícios 3.3 Prove que é possível escrever um úmero em qualquer base de forma úica. Nota: caso você ão esteja familiarizado com esse coceito: ós trabalhamos ormalmete com o sistema decimal. Isso sigifica que quado escrevemos 3 estamos os referido ao úmero Porém, isso pode ser feito substituido 0 por qualquer úmero. Por exemplo, em base (chamado sistema biário, o úmero 0 represeta 3 0, que cohecemos como 3 em base decimal (escreve-se (0 = (3 0. Em base 6, precisamos itroduzir 6 ovos dígitos: a, b, c, d, e, f. Etão, por exemplo, (b5c 6 = = ( Seja um iteiro positivo. Mostre que se temos uma balaça de dois pratos e pesos os valores, 3, 3, , etão com esses pesos podemos medir qualquer valor iteiro de maeira úica. 3.5 (problema repetido da parte de bijeções - agora resolva com fuções geratrizes! Prove que o úmero de partições de em k partes é igual ao úmero de partições de cuja maior parte é k. 4 Mas podemos fazer isso? Agora, voltamos à perguta: por que podemos fazer isso tudo? O que sigifica x x... se x >, quado a soma ão coverge? A resposta é que ão precisamos utilizar valores reais, como x =. Queremos usar as propriedades iteressates dessas expressões (que em grade parte se resumem ao fato de que x m = x m x. Etão, defiimos o objeto f = [a 0, a, a,...]. A partir daqui, defiimos soma, multiplicação, da maeira que os iteressa, e verificamos, usado essas defiições, que as propriedades que os iteressam se verificam (e.g., x = x x.... Para g = [b 0, b, b,...], defiimos a soma f g = [a 0 b 0, a b,...] Defiimos também a multiplicação: f.g = [a 0 b 0, a b 0 a 0 b, a 0 b a b a b 0,...], imitado a multiplicação de poliômios. Isso é uma ideia importate: estamos roubado as ideias da multiplicação e defiido objetos de modo que ão temos que os preocupar com questões como covergêcia. Escrever (a 0 a x a x...(b 0

13 b x b x... = a 0 b 0 (a 0 b a b 0 x... pode ser visto apeas como uma visualização dos objetos f e g, e a utilização das propriedades de soma e multiplicação defiidas para eles! Como explicamos x? Bom d em geral (em qualquer uiverso é o iverso multiplicativo de d. Aqui ão é diferete. Pela defiição de multiplicação acima, vemos que ( x( x x... =. Segue que ( x = x x.... x é só uma otação diferete para ( x. É importate aqui observar que ão podemos supor que qualquer objeto f(x = a o a x... tem um iverso multiplicativo, pois ão provamos que todo elemeto tem iverso. Assim, só podemos escrever f(x quado já provamos que existe g tal que fg =. De fato, muitos elemetos ão têm iverso! Por exemplo, ão existe uma fução geratriz g tal que g(xx =, isto é, f(x = x ão tem iverso! (qualquer elemeto da forma a x a x...,isto é, com a 0 = 0 ão tem iverso! Será que estes são todos os elemetos que ão têm iverso? Para saber mais sobre esse assuto, e também ver mais maeiras iesperadas de usar fuções geratrizes, cosulte [4]. Exercício: 3.5 Pese sobre quais fuções geratrizes têm iverso! Pese sobre quais suposições você está usado a sua resposta. 5 Provado idetidades Por último, voltamos às idetidades biomiais que provamos a primeira seção. Agora vamos prová-las de maeira puramete algébrica! 3.6 ( ( 0 ( (... = Você cohece o Biômio de Newto? (x y = ( 0 x ( x y ( x y... ( y. Essa fórmula pode ser provada combiatorialmete, pesado em como cada um dos termos x t y t surge. Ela também pode ser provada por idução. Substituido x = y =, temos a fórmula desejada! 3.7 Ache uma fórmula para ( ( 0 ( (... Você coseguiu resolver esse problema com bijeção? Para resolvê-lo com fuções geratrizes, fica uma dica: cosidere ( x = ( x ( x, e lembre que ( ( k = k. Ode aparece a soma de quadrados acima? 3.8 Prove que, para k < m,, k ( ( m ( j=0 j k j = m k 6 Bibliografia: [] Paul Zeitz, The Art of Problem Solvig, Secod Editio. Capítulos: Geeratig Fuctios (4.3, Partitios ad Bijectios (6., Recurrece (6.4 [] Carlos Yuzo Shie, A Torre de Haói. Publicado a Eureka! Dispoível em e ureka/docs/artigos/haoi.pdf [3] Catala Number, Wikipedia. umber [4] Mila Novakovic, Geeratig Fuctios. Dispoível em csiki/geeratig fuctios Novakovic.pdf (este artigo é mais avaçado 3