MATEMÁTICA MÓDULO 4 PROGRESSÕES 1. SEQUÊNCIAS 2. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) 2.1. DEFINIÇÃO

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1 PROGRESSÕES. SEQUÊNCIAS Ates de começarmos o estudo das progressões, veremos uma defiição um pouco mais geral: estudaremos o que é uma sequêcia. Ituitivamete, uma sequêcia é uma lista de elemetos que estão escritos em uma determiada ordem. Formalmete, uma sequêcia é uma fução cujo domíio é o cojuto dos úmeros iteiros positivos. Vejamos algus exemplos de sequêcias: i),,, 4, 5, 6,... (sequêcia (ifiita) dos iteiros positivos) ii), 4, 6, 8, 0,... (sequêcia (ifiita) dos iteiros positivos pares) iii),, 5, 7,,, 7,... (sequêcia (ifiita) dos úmeros primos positivos) iv) 5, 0, 5, 0, 5 (sequêcia (fiita) dos iteiros positivos múltiplos de 5 que são meores que 0) v),,,, 5, 8,,,... (sequêcia (ifiita) de Fiboacci cada termo, a partir do segudo, é a soma dos dois termos ateriores) Uma otação muito útil para represetar sequêcias é a seguite: a represeta o primeiro termo da sequêcia a represeta o segudo termo da sequêcia a represeta o terceiro termo da sequêcia... a represeta o -ésimo termo da sequêcia Com efeito, o exemplo v), teríamos: a, a, a, a4, a5 5, a6 8, a7, a8. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) Agora que já vimos o que é uma sequêcia, estamos aptos para itroduzir a ossa primeira progressão. Ates de mais ada, veja o seguite exemplo: a Copa do Mudo da Fraça ocorreu em 998, a Copa do Mudo da Coréia do Sul e do Japão ocorreu em 00, a Copa do Mudo da Alemaha ocorreu em 006, a Copa do Mudo da África do Sul ocorreu em 00 e última Copa do Mudo, realizada o Brasil, ocorreu em 04. Repare que a Copa do Mudo acotece de 4 em 4 aos. Pela defiição que veremos a seguir, os aos em que ocorrem a Copa do Mudo formam uma progressão aritmética... DEFINIÇÃO Uma sequêcia a, a, a, é dita uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) se a difereça etre quaisquer dois termos cosecutivos é costate, isto é, se a a r, para todo iteiro positivo e ode r é uma costate. Neste caso, dizemos que r é a razão desta PA.

2 EXEMPLOS: i),,,, é uma progressão aritmética com 5 termos e cuja razão é igual a = 0. ii),,,4,5,6, é uma progressão aritmética ifiita com razão. iii),,0,,, é uma progressão aritmética com 6 termos e cuja razão é... CLASSIFICAÇÃO I) CRESCENTES: aquelas ode cada termo é maior que o aterior, ou seja, ode a razão é positiva. EXEMPLO:,,,4,5,6, II) CONSTANTES: aquelas ode cada termo é igual ao aterior, ou seja, aquelas PA s com razão ula. EXEMPLO:,,,, III) DECRESCENTES: aquelas ode cada termo é meor que o aterior, ou seja, ode a razão é egativa... TERMO GERAL Vamos deduzir agora fórmulas para ecotrar um termo de uma PA se cohecermos outro termo e a razão. I) N-ÉSIMO TERMO EM FUNÇÃO DO PRIMEIRO: Como a difereça etre dois termos cosecutivos é sempre igual à razão da PA, podemos escrever: a a r a a r a4 a r a a r a a r Somado estas equações, repare que há cacelameto de vários termos: a a a a a4 a a a a a Assim, sobrarão apeas os termos a e a e etão obtemos que a a r. a a r r II) N-ÉSIMO TERMO EM FUNÇÃO DO P-ÉSIMO: Com um procedimeto aálogo ao do item aterior, podemos deduzir que: a a p r p Veja que esta fórmula permite relacioar quaisquer dois termos de uma PA. Além disso, a fórmula deduzida em I é um caso particular desta.

3 .4. INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA Iterpolar, iserir ou itercalar k meios aritméticos etre os extremos a e b sigifica costruir uma progressão aritmética de k termos, sedo que o primeiro termo é igual a a e o segudo termo é igual a b. Vejamos um exemplo: EXEMPLO: Itercalar 0 meios aritméticos etre os extremos e 57. SOLUÇÃO: Queremos costruir uma PA a, a,, a de forma que a e a 57. Com base isto, vamos determiar a razão r da PA: pela fórmula do termo geral, temos que a a r. Substituido a e a 57, segue que 57 r r 5. Desta forma, os meios que devemos iserir são: 7,,7,,7,,7,4,47,5.5. SOMA DOS TERMOS Agora, estaremos iteressados em calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética: S a a a a. Para isso, precisaremos do seguite PROBIZU: PROBIZU Em uma progressão aritmética, a soma de dois termos equidistates do termo cetral sempre possui o mesmo valor, ou seja, Para calcular S, utilizaremos o seguite artifício (escreveremos a soma desejada a ordem iversa) S a a a a S a a a a. De fato, temos que () e. Somado estas duas últimas equações, temos que S a a a a a a a a Utilizado o PROBIZU, Assim, segue que S a a (). de uma PA: S a a. e etão obtemos a seguite fórmula para a soma dos termos Somado () e (), chegamos a. Podemos represetar PA s da seguite forma bastate útil: Eu gosto de gravar esta soma com a seguite frase: a soma dos termos de uma PA é igual ao primeiro termo mais o último termo vezes a quatidade de termos; isso tudo dividido por. PROBIZU Para três termos cosecutivos a, b, c de uma PA, vale que a c b.

4 Vejamos agora algus exercícios resolvidos ates de darmos cotiuidade à matéria: EXERCÍCIO RESOLVIDO : De 995 a 004, a população de uma cidade vem aumetado aualmete em progressão aritmética. Em 004 costatou-se que o úmero de habitates era 8% maior que o ao aterior. Pode-se cocluir que, de 995 a 004, a população dessa cidade aumetou em: a) 00% b) 80% c) 60% d) 00% e) 80% RESOLUÇÃO: De 995 a 004, há 0 aos a serem cosiderados. Seja a a população o ao de 995 e a 0 a população o ao de 004. Da iformação Em 004 costatou-se que o úmero de habitates era 8% maior que o ao aterior, podemos cocluir que: 8 a a,08a (*) Como a0 a9 r, substituido a9 a0 r a equação (*), temos que: a,08 a r 0 0,08r 0,08a 7 r a 5 5 7r a0 0 0 Fialmete, temos que a a 0 r a 9r a a 9r. Com isso, a 0 0 7r 9r 9r a0 a 9r Assim, o aumeto percetual da população de 995 até 004 é de 00% 00% 00%. a 9r RESPOSTA: A EXERCÍCIO RESOLVIDO : Determie quatro úmeros em progressão aritmética crescete, sabedo que sua soma é 8 e que a soma de seus quadrados é 6. 4

5 RESOLUÇÃO: Sejam x y, x y, x y, x y os quatro úmeros. Desta forma, temos: x y x y x y x y 8 ` x y x y x y x y 6 Simplificado as equações utilizado produtos otáveis, temos: 4x 8 4x 0y 6 Da primeira equação, x. Substituido este valor a seguda equação, obtemos que 6 0y 6 y. Como a progressão é crescete, temos que y 0.Logo y e a progressão desejada é,,,5.. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) Veja a história a seguir: O grão-vizir, pricipal coselheiro do rei, tiha ivetado um ovo jogo. Era jogado com peças móveis sobre um tabuleiro quadrado que cosistia em 64 quadrados vermelhos e pretos. O objetivo era capturar o rei iimigo, e por isso o jogo era chamado, em persa, shahmat shah para rei, mat para morto. Morte ao rei. O jogo, claro, é o xadrez. Mas reza a história que o rei ficou tão ecatado com a iveção que madou o grãovizir determiar sua própria recompesa. O grão-vizir já tiha a resposta a lígua: era um homem modesto, disse ao xá. Desejava apeas uma recompesa simples. Apotado as oito coluas e as oito filas de quadrados o tabuleiro que tiha ivetado, pediu que lhe fosse dado um úico grão de trigo o primeiro quadrado, o dobro dessa quatia o segudo, o dobro dessa quatia o terceiro e assim por diate, até que cada quadrado tivesse o seu complemeto de trigo. Não protestou o rei, era uma recompesa demasiada modesta para uma iveção tão importate. No etato, quado o mestre do Celeiro Real começou a cotar os grãos, o rei se viu diate de uma surpresa desagradável. O úmero de grãos começa bem pequeo:,, 4, 8, 6,, 64, 8, 56, 5, mas quado se chega ao 64 quadrado, o úmero se tora colossal, esmagador. O úmero fial chega a quase 8,5 quitilhões (se cada grão tivesse o tamaho de um milímetro, todos os grãos jutos pesariam cerca de 75 bilhões de toeladas!). Este é um exemplo de progressão geométrica, que é o assuto que estudaremos a seguir... DEFINIÇÃO Uma sequêcia a, a, a, é dita uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) se cada termo é igual ao aterior vezes uma costate, isto é, se a a q, para todo iteiro positivo e ode q é uma costate. Neste caso, dizemos que q é a razão desta PG. 5

6 EXEMPLOS: i),,,, é uma progressão geométrica com 5 termos e cuja razão é igual a. ii),,4,8,6, é uma progressão geométrica ifiita com razão. iii),,,,, é uma progressão aritmética com 6 termos e cuja razão é CLASSIFICAÇÃO I) CRESCENTES: aquelas em que cada termo é maior que o aterior II) DECRESCENTES: aquelas em que cada termo é meor que o aterior III) ALTERNANTES: aquelas em que cada termo possui sial cotrário ao do aterior IV) CONSTANTES: aquelas em que cada termo é igual ao aterior V) ESTACIONÁRIAS: aquelas em que a razão é ula, ou seja, cada termo, a partir do segudo, é ulo... TERMO GERAL Para PG s, é bom represetá-las da seguite forma: Vamos deduzir agora fórmulas para ecotrar um termo de uma PG se cohecermos outro termo e a razão. termos: I) N-ÉSIMO TERMO EM FUNÇÃO DO PRIMEIRO: Podemos escrever: a a a a q a q a q 4 a a q a a q 4 termos: 5 termos: Multiplicado todas as equações e cacelado os termos, obtemos: a a q II) N-ÉSIMO TERMO EM FUNÇÃO DO P-ÉSIMO: Com um procedimeto aálogo ao do item aterior, podemos deduzir que: a a q p p Veja que esta fórmula permite relacioar quaisquer dois termos de uma PG. Além disso, a fórmula deduzida em I é um caso particular desta..4. INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA Iterpolar, iserir ou itercalar k meios geométricos etre os extremos a e b sigifica costruir uma progressão geométrica de k termos, sedo que o primeiro termo é igual a a e o segudo termo é igual a b. 6

7 Vejamos um exemplo: EXEMPLO: Itercalar 8 meios geométricos etre os extremos 5 e 560. SOLUÇÃO: Queremos costruir uma PG a, a,, a 0 de forma que a 5 e a Com base isto, vamos determiar a 9 razão q da PG: pela fórmula do termo geral, temos que a0 aq. Substituido a 5 e a 0 560, segue que q q 5 q. Desta forma, os meios que devemos iserir são: 0,0,40,80,60,0,640,80.5. SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA Agora, estaremos iteressados em calcular a soma dos termos de uma progressão geométrica: S a a a a. Utilizado a fórmula do termo geral, podemos reescrever S a a q a q a q () O truque agora é multiplicar ambos os lados pela razão q, obtedo assim: S q a q a q a q a q () Fazedo () (), obtemos, após cacelar os termos comus: S q a q Supodo q, obtemos a seguite fórmula: a S q q Por outro lado, se q, todos os termos da PG são iguais ao primeiro e obtemos: S a.6. PRODUTO DOS TERMOS DE UMA PG Estamos agora iteressados em calcular P aa a.substituido a, a,, a pelas expressões obtidas através do termo geral, temos: P a aq aq aq. Logo obtemos P a q e como, segue que: P a q 7

8 .7. SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA Cosideraremos agora PG s ifiitas cuja razão q é tal que q, ou seja, q. Estamos iteressados em calcular S a a a. Para isso, ote que as somas S a a a se aproximam cada vez mais de S, quado vai ficado cada vez maior. Pela fórmula da soma dos termos de uma PG fiita, temos que a S q q. Repare agora que quado fica cada vez maior, temos que q se aproxima cada vez mais de 0. a 0 a Formalmete, temos que S lims. Com isso, obtemos a seguite fórmula para a soma dos q q termos de uma PG ifiita: S a q q ) (se PROBIZU Para três termos cosecutivos a, b, c de uma PG, vale que b = ac. Vejamos agora mais exercícios resolvidos ates de prosseguirmos com a matéria: EXERCÍCIO RESOLVIDO : O terceiro termo de uma progressão geométrica é 0 e o sexto termo é 80. Etão a razão desta progressão é: a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO: Temos que a 0 e a Pela fórmula do termo geral, temos que obtemos que: 80 0q q 8 q. RESPOSTA: D a a q a q. Substituido os valores, 6 6 EXERCÍCIO RESOLVIDO 4: A soma dos cico primeiros termos de uma PG, de razão egativa, é /. Além disso, a difereça etre o sétimo termo e o segudo termo desta PG é igual a. Determie a razão da PG. RESOLUÇÃO: Seja a, a,, a, a PG. Pelo euciado, temos: 8

9 S a 5 a 7 Pela fórmula da soma dos termos de uma PG, temos que S 5 5 a q () q 6 Pela fórmula do termo geral, temos que a7 aq e a a q. Substituido a seguda equação, segue que 5 5 a q q a q q. Substituido esta última a igualdade (), obtemos: q q q q q q 6 0 Resolvedo esta equação do segudo grau, levado em cota que q é egativo, temos que q. EXERCÍCIO RESOLVIDO 5: A soma dos termos de uma PG ifiita é. Sabedo que o primeiro termo é igual a, etão o quarto termo desta PG é: a) 7 b) 4 c) d) 7 e) 8 RESOLUÇÃO: Temos que a a e S q primeira igualdade a seguda, chegamos a a 4 aq RESPOSTA: A. 7 (usado a fórmula da soma dos ifiitos termos de uma PG). Substituido a q q. Pela fórmula do termo geral, 9

10 Vamos cotiuar ossos estudos agora vedo as progressões aritméticas-geométricas (PAG s): 4. PROGRESSÃO ARITMÉTICA-GEOMÉTRICA (PAG) 4.. DEFINIÇÃO Uma PAG é uma sequêcia cujo termo geral é da forma a uv, ode u é uma progressão aritmética e v é uma progressão geométrica. Vejamos algus exemplos para esclarecer a defiição. EXEMPLOS: i),, 4,4 8,5 6, é uma PAG, pois seus termos são os produtos dos termos da PA,,, 4, 5,... pelos termos da PG,, 4, 8, 6, ii),,,, é uma PAG, pois seus termos são os produtos dos termos da PA, 6, 9,, 5 pelos termos da PG,,,, SOMA DOS TERMOS DE UMA PAG Não desevolveremos aqui uma fórmula geral para o cálculo da soma dos termos de uma PAG, pois ão é de grade valia guardar esta fórmula. O mais importate, a verdade, é saber o procedimeto para se calcular a soma dos termos de uma PAG. Este procedimeto é completamete similar ao método utilizado para o cálculo da soma dos termos de uma PG. OBSERVAÇÃO A ideia que deve ser gravada é: Para calcular a soma dos termos de uma PAG, multiplique a soma desejada pela razão da PG e subtraia as duas relações ecotradas. Vejamos um exemplo para que as coisas fiquem aida mais claras: EXEMPLO: 4 Calcule S RESOLUÇÃO: Esta é a soma de uma PAG ifiita. Para calcular esta soma, multiplicaremos S iicialmete pela razão da PG, que é /. Assim, obtemos: S 4 () S ()

11 Fazedo () (), obtemos: S S S Caímos agora a soma dos termos de uma PG ifiita de termo iicial / e razão /. Assim, usado a fórmula da soma dos termos de uma PG ifiita, temos: S S 4 5. PROGRESSÕES DE ORDEM SUPERIOR Cosidere a seguite imagem: Cotado o úmero de bolihas em cada figura, temos: Figura boliha Figura bolihas Figura 6 bolihas Figura 4 0 bolihas Figura 5 5 bolihas Figura 6 bolihas A sequêcia do úmero de bolihas em cada figura é dada por,, 6, 0, 5,. Agora, vamos observar as difereças etre o úmero de bolihas etre uma figura e a próxima: = 6 = 0 6 = = 5 5 = 6 Veja que a sequêcia formada por estas difereças costitui uma progressão aritmética. Pela defiição que veremos a seguir, a sequêcia do úmero de bolihas em cada figura costituirá uma progressão aritmética de seguda ordem.

12 OBSERVAÇÃO Os úmeros desta sequêcia que cosideramos são chamados de úmeros triagulares. 5.. DEFINIÇÃO A defiição de uma PA de ordem superior é recursiva, ou seja, a defiição depede das defiições ateriores. Começaremos defiido o que é uma PA de ª ordem, depois o que é uma PA de ª ordem e em seguida geeralizaremos a defiição. I) PA de ª ordem: uma sequêcia é dita uma PA de seguda ordem se as difereças etre seus termos cosecutivos costituem uma PA. EXEMPLOS: i),, 6, 0, 5,, 8 é uma PA de seguda ordem, pois as difereças etre os termos cosecutivos formam a sequêcia,, 4, 5, 6, 7, que é uma PA. ii),, 7,,, é uma PA de seguda ordem, pois as difereças etre os termos cosecutivos formam a sequêcia, 4, 6, 8, 0, que é uma PA. II) PA de ª ordem: uma sequêcia é dita uma PA de seguda ordem se as difereças etre seus termos cosecutivos costituem uma PA de seguda ordem. EXEMPLOS: i), 8, 7, 64, 5, 6 é uma PA de terceira ordem, pois as difereças etre os termos cosecutivos formam a sequêcia 7, 9, 7, 6, 9, que é uma PA de seguda ordem, uma vez que as difereças etre os termos cosecutivos desta última sequêcia são, 8, 4, 0, que é uma PA. III) PA de k-ésima ordem: uma sequêcia é dita uma PA de ordem k se as difereças etre seus termos cosecutivos costituem uma PA de ordem k. 5.. TERMO GERAL Não demostraremos o resultado a seguir este material, pois a demostração foge ao escopo dos cocursos para os quais estamos os preparado (a prova utiliza idução forte e algumas maipulações algébricas). TEOREMA : O termo geral de uma PA de ordem k é um poliômio de grau k. 5.. SOMA DOS TERMOS Mais uma vez, ão demostraremos o resultado a seguir. TEOREMA : A soma dos termos de uma PA de ordem k é um poliômio de grau k, sem termo idepedete.

13 Vejamos agora um exercício resolvido: EXERCÍCIO RESOLVIDO 6: Calcule. RESOLUÇÃO: O termo geral da soma que estamos buscado é da forma k, que é um poliômio de grau. Desta forma, queremos calcular a soma dos termos de uma PA de seguda ordem. Pelo teorema, esta soma é um poliômio de grau, sem termo idepedete. Assim, temos a b c. Para ecotrar as costates a, b, c, devemos substituir algus valores para : : a b c a b c : a b c : Temos etão o sistema` a b c 4a b c 5 9a b c 4 Resolvedo este sistema, ecotramos a, b, c. 6 Assim, a soma pedida é. 6 6 VAMOS AGORA PARA A BATALHA DOS EXERCÍCIOS??

14 EXERCÍCIOS DE COMBATE. Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são a, a, a. O quarto termo desta PA é: a) b) c) 4 d) 5 e) 6. Numa progressão aritmética de primeiro termo / e razão /, a soma dos primeiros termos é 0/. O valor de é a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9. Iterpolado-se 7 termos aritméticos etre os úmeros 0 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo termo cetral é a) 45 b) 5 c) 54 d) 55 e) Uma criaça aêmica pesava 8, kg. Iiciou um tratameto médico que fez com que egordasse 50 g por semaa durate 4 meses. Quato pesava ao térmio da 5ª semaa de tratameto? a),50 kg b) 5 kg c) 0,7 kg d) 0,55 kg e) 0,46 kg 4

15 5. Se dividirmos o décimo primeiro termo de uma progressão aritmética pelo seu terceiro termo, obtemos 4, equato, se dividirmos o oo termo dessa progressão pelo seu quarto termo, obtemos e o resto 4. A soma dos 0 primeiros termos dessa progressão é: a) 50 b) 40 c) 60 d) 590 e) Mister MM, o Mágico da Matemática, apresetou-se diate de uma platéia com 50 fichas, cada uma cotedo um úmero. Ele pediu a uma espectadora que ordeasse as fichas de forma que o úmero de cada uma, excetuado-se a primeira e a última, fosse a média aritmética do úmero da aterior com o da posterior. Mister MM solicitou a seguir à espectadora que lhe iformasse o valor da décima sexta e da trigésima primeira ficha, obtedo como resposta 0 e 58 respectivamete. Para delírio da platéia, Mister MM adivihou etão o valor da última ficha. Determie você também este valor. 7. A soma dos cico primeiros termos de uma PA vale 5 e o produto desses termos é zero. Sedo a razão da PA um úmero iteiro e positivo, o segudo termo dessa seqüêcia vale a) 0. b). c). d). e) 4 8. A direção de uma escola decidiu efeitar o pátio com badeiras coloridas. As badeiras foram colocadas em liha reta, a seguite ordem: badeira vermelha, azul, vermelhas, azuis, vermelhas, azuis, e assim por diate. Depois de colocadas exatamete 99 badeiras, o úmero das de cor azul era: a) a) 55 b) b) 60 c) c) 50 d) d) Calcule. 5

16 0. Os úmeros a, a, a formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a, a, a estejam em progressão geométrica. Dado aida que a 0 e a, coclui-se que r é igual a a) b) c) 4 d) e). Calcule A soma dos ifiitos termos de uma progressão geométrica crescete é igual a,5 e a soma dos dois primeiros termos é igual a. Nessas codições, o termo umericamete igual à razão da seqüêcia é o a) quarto. b) quito. c) sexto. d) sétimo. e) oitavo.. (AFA 90) O produto dos 5 primeiros termos da progressão geométrica, de primeiro termo e razão 0, vale: 05 a) 0 5 b) 0 5 c) 0 5 d) 0 e) ra 4. (AFA 90) Quatos úmeros NÃO múltiplos de há o cojuto x 5 x 500 a) 0 b) 8 c) 406 d) 4 e) ra? 6

17 5. (AFA 95) Num petágoo, os âgulos iteros estão em progressão aritmética. Qual o º termo, em graus, desta progressão? a) 54 b) 08 c) 6 d) 6 6. (AFA 97) Seja uma Progressão Geométrica de termos positivos com razão. O primeiro termo, o último e a soma dos termos dessa PG essa ordem formam os três primeiros termos de uma Progressão Aritmética. A razão etre os termos 4 e 4 dessa PA é: a) 0,4 b) 0,7 c),4 d),7 7. (AFA 99) Se a seqüêcia de iteiros (, x, y) é uma Progressão Geométrica e (x +, y, ) uma Progressão Aritmética, etão, o valor de x + y é: a) b) c) d) 4 8. (AFA 00) Se a soma dos 6 primeiros termos de uma progressão aritmética é e o sétimo termo é o triplo da soma do terceiro com o quarto termo, etão o primeiro termo dessa progressão é a) 7 b) 8 c) 9 d) 0 9. (AFA 00) Seja (x, y, z, w) uma progressão aritmética crescete cuja soma é 0 e (a, b, c, d) uma progressão geométrica com a + b = e c + d = 9. Se ambas têm a mesma razão, etão o produto yw é a) 8 b) c) 7 d) 9 7

18 0. (AFA 06) São dadas uma progressão aritmética e uma progressão geométrica alterate com primeiro termo igual a. Multiplicado-se os termos correspodetes das duas sequêcias obtém-se a sequêcia (-,,,...). A soma dos 5 primeiros termos desta sequêcia é a) 6 b) 97 c) 0 d). (AFA 07) Sejam as sequêcias de úmeros reais (, x, y,...) que é uma progressão aritmética de razão r, e (x, y, 4,...) que é uma progressão geométrica de razão q. O valor de r q a) [0, /[ b) [/,[ c) [,[ d) [,[ pertece ao itervalo. ) (AFA 0) Sejam as fuções f : e g : defiidas por úmeros A e B tais que A f f f 50 B g g Se o produto de A por B tede para o úmero, etão é a) ímpar múltiplo de 9 b) par divisor de 0000 c) par múltiplo de 5 d) ímpar múltiplo de 5 x f x e gx x. Cosidere os. (AFA ) De um dos lados de uma aveida retilíea, estão dispostos algus postes os potos P, P,, P, i. i Do outro lado dessa mesma aveida, estão dispostos algumas árvores os potos A, A,, Aj, j. Sabe-se que: i) PP dam ii) PP i 6dam iii) P P, P P, é uma progressão aritmética fiita de razão iv) AA j PP i v),, vi) i = j A A A A é uma progressão geométrica fiita de razão 8

19 Com base essas iformações, e correto afirmar que a maior distâcia etre duas árvores cosecutivas é, em dam, igual a a) 6 b) c) 8 d) 6 4. (AFA ) Sejam, a, a, a 4 e, b, b, b 4 uma progressão aritmética e uma progressão geométrica, respectivamete, ambas com a mesma soma dos termos e ambas crescetes. Se a razão r da progressão aritmética é o dobro da razão q da progressão geométrica, etão o produto rq é igual a: a) 5 b) 8 c) d) 4 5. (AFA ) A sequêcia 8 x,6, y, y é tal que os três primeiros termos formam uma progressão aritmética e os três últimos formam uma progressão geométrica. Sedo essa sequêcia crescete, a soma de seus termos é a) 9/ b) 89/ c) 86/ d) 8/ 6. (EFOMM ) Num quadrado de lado a, iscreve-se um círculo; esse círculo, iscreve-se um ovo quadrado e ele um ovo círculo. Repetido a operação idefiidamete, tem-se que a soma dos raios de todos os círculos é: a a) b) a a c) d) a e) a 9

20 7. (EFOMM 0) Se a sequêcia de iteiros positivos (, x, y) é uma progressão geométrica e (x+, y, ) é uma progressão aritmética, etão o valor de x + y é: a) b) c) d) 4 e) 5 8. (EN 4) Cosidere a sequêcia x 4, x, x, x4, O valor de x é: a) b) c) d) e) 9. (EN 4) O quito termo da progressão aritmética x, x, 9 x, x real, é a) 7 b) 0 c) d) 4 e) 8 0. (EN ) Três úmeros iteiros estão em PG. A soma destes úmeros vale e a soma de seus quadrados vale 9. Chamado de o termo do meio desta PG, quatas comissões de elemetos a Escola Naval pode formar com 8 professores do Cetro Técico Cietífico? a) 76 b) 76 c) 76 d) 9656 e)

21 GABARITO. RESPOSTA: B Temos que a a a a a. Elevado ao quadrado, segue que a a aa a 0 0. Logo a 5 ou a. Não podemos ter a =, pois seão teríamos 9, o que ão é verdade. Assim, a = - 5 e a PA é 6, 5, 4. O quarto termo portato é.. RESPOSTA: A Temos a e r. Assim, S Logo aa.. RESPOSTA: C Queremos formar uma PA de 9 termos com a 0 e a9 98. O valor pedido é a 5. Veja que a5 a a9 a5 08 a RESPOSTA: D A sequêcia (800, 8450, 8600,...) é uma P.A. ode a = 800g é o peso iicial da criaça, a = 8450g o peso da criaça ao térmio da ª semaa de tratameto, a = 8600g o peso ao térmio da ª semaa e, assim por diate. Assim, o termo a 6 represeta o peso da criaça ao térmio da 5ª semaa: a = 800 r = 50 a 6 =? a = a + ( ). r a 6 = a + 5.r a 6 = a 6 = = 0550

22 A criaça pesava ao térmio da 5ª semaa 0550g ou 0,55 kg. 5. RESPOSTA: C Pelo euciado, temos: a 4 a e a9 a4 4. Sedo a a e r a razão, segue que: a 0r 4 a r a r a8r ar 4 r a 4 Logo a a 4 a e assim r =. a a0 0 Queremos calcular S0 a a a0. Temos a e a0 a 9r 59. Logo 59 0 S RESPOSTA: A Ele pediu a uma espectadora que ordeasse as fichas de forma que o úmero de cada uma, excetuado-se a primeira e a última, fosse a média aritmética do úmero da aterior com o da posterior A partir desta iformação, podemos cocluir que a sequêcia dos úmeros as fichas forma uma PA. Foi dado etão que a6 0 e a 58. Devemos calcular a 50. Temos que a a6 5r 5r r 45 r. Logo a50 a 9r RESPOSTA: Seja ar,a r,a,a r,a r a PA. A soma desses termos é 5a 5 a. Como o produto dos termos é zero, temos que r rrr 0. Como a razão é um iteiro positivo, obtemos que r e assim o segudo termo é ar 0.

23 8. RESPOSTA: D No fim do primeiro ciclo, temos badeiras ( azul e vermelha), o fim do segudo ciclo, temos 4 badeiras ( azuis e vermelhas), o fim do terceiro ciclo, temos 6 badeiras ( azuis e vermelhas) e assim por diate. Seja etão o úmero de badeiras o último ciclo completo. Devemos ter assim O maior valor possível de é, portato, 9. Assim, o último ciclo completo possui 9 badeiras azuis e 9 vermelhas. O total de badeiras até o último ciclo é 90. Restam 9 badeiras para serem colocadas, que serão todas vermelhas. Assim, o úmero de badeiras a cor azul é RESPOSTA: Queremos calcular S (I). 4 Multiplicado a soma por, temos S (II). 4 5 Fazedo (II) (I), obtemos: S 4 4. Logo S. 0. RESPOSTA: E Como a, podemos escrever que a PA é r,, r. Como a,a,a formam PG, temos que 5 r,,r os dá r ou r. Como a 0, devemos ter r. formam PG e assim 5 rr, o que. RESPOSTA: Você deve saber as seguites fórmulas:

24 6 4 Utilizado-se estas fórmulas, segue que: RESPOSTA: A Seja a o primeiro termo da PG e seja q sua razão. Temos: a 7 e q a aq a q Substituido a seguda igualdade a primeira, temos: 7 q q, pois a PG é crescete e assim q é positivo. Assim, a 9. 4 Queremos determiar tal que a. Para isso, RESPOSTA: A Temos a e q 0. Logo a 0,a 0,a 0,,a Queremos calcular etão RESPOSTA: B No total, temos úmeros. 4

25 Vamos cotar agora a quatidade de úmeros múltiplos de e descotar este valor do total. Os múltiplos de formam a PA: 55, 66, 77,..., 496, cuja quatidade de termos é Assim, a quatidade de úmeros NÃO múltiplos de o itervalo buscado é 450 = RESPOSTA: B Sejam ar,a r,a,a r,a r os âgulos do petágoo. A soma dos âgulos iteros de um petágoo é 540. Logo 5a 540 a RESPOSTA: B Seja a,a,4a a PG. Pelo euciado, a,4a,7a são os três primeiros termos de uma PA, cuja razão é a. Logo a4 aa 70a e a4 aa 00a. a4 Assim a 4 70 a 0,7. 00 a 7. RESPOSTA: B Temos que x y e y x x. Logo x x x 4 x. Como y é iteiro, segue que y é par e assim x² é par, o que os dá x par. Logo x 4 e y 8. Assim x + y =. 8. RESPOSTA: C Seja a,a,,a a PA. Pelo euciado, temos: a a a a4 a5 a6 a7 a a4 Pela fórmula da soma dos termos de uma PA, a a6 6 a a 6 7. Agora, veja que a a4 a a6 7. Logo a7 7. Sedo r a razão da PA, temos que 5

26 a a 6r 6r 7 a a r r 6 7 Logo a a6 4 7r 7 r 5. Com isso, obtemos que a RESPOSTA: C Seja q a razão da progressão geométrica. Logo aq aq 9 aq q 9. Logo crescete. aq q a q b aq,c aq, d aq aaq a q e. Daí 9 q 9 q, pois q é positivo, uma vez que a razão da PA também é q e a PA é Assim, temos que a PA é x, x +, x + 6, x + 9. A soma é 4x 8 0 x. Logo y = x + = e w = x + 9 = 7 e assim yw = RESPOSTA: D Sejam a,a r,a r os primeiros termos da PA e termos, obtemos a sequêcia a, arq, a r q. Logo a, a rq Assim, obtemos que e Com isso, segue que ar q. q qr r q r q r r r egativo e assim r, forecedo assim q. 5 Com isso, a PA é,,,,., o que os dá r ou e a PG é,,9, 7,8. Assim, a sequêcia obtida é,,, 7,5, cuja soma é.,q,q os primeiros termos da PG. Multiplicado-se os r. Como a PG é alterate, q deve ser 6

27 . RESPOSTA: C Temos: x y y 4x Logo x 4x 4x x 9 4x x 0 x. Assim, y 6 e etão r 9 q 8 Com isso,, 9 r y x e y q 4. x. RESPOSTA: D Temos que A. Também temos que B. Logo AB 75, que é um ímpar múltiplo de 5.. RESPOSTA: B Temos para os potos P s a seguite PA: (, 6, 9,..., +(i-)) = (, 6, 9,..., i-). Como PP i 6, segue que 69 i 6 i i i 4 i 7. Logo j = 7 e sedo AA d, temos que (d, d, 4d, 8d, 6d, d) forma a PG do outro lado da rua. Assim dd 4d8d 6d d 6 d. Assim, a maior distâcia etre duas árvores cosecutivas é dam. 4. RESPOSTA: B e a PG é A PA é, q, 4q, 6q,q,q,q. Como possuem a mesma soma dos termos, temos: 4 q q q q q q q 0 q q 4q 0 7

28 Como as sequêcias são crescetes, segue que q e assim r = 6, o que os dá rq = RESPOSTA: C Usaremos os seguites fatos descritos o PROBIZU: i) Em uma PA de três termos, o do meio é a média aritmética dos outros dois ii) Em uma PG de três termos, o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos outros dois. Com isso, temos: x y 8 y 6y Resolvedo o sistema, obtemos y = - e x = 4 ou y = 8 e x = 4. No primeiro caso, a sequêcia ão é crescete. Desta forma, obtemos y = 8 e x = 4, o que os dá a sequêcia (4, 6, 8, /), cuja soma dos termos é 86/. 6. RESPOSTA: C O primeiro raio é igual a a. O quadrado iscrito o primeiro círculo tem diagoal a e assim seu lado é igual a a a. Com isso, o círculo iscrito este quadrado possui raio. Cotiuado este procedimeto, temos 4 a que os raios dos círculos formam uma PG de razão 4. Logo a soma dos raios pedida é a a a a a. 8

29 7. RESPOSTA: Esta questão é idêtica à questão 7. Coloquei ela o material duas vezes para ressaltar a importâcia de trabalharmos com questões de cocursos ateriores. Esta questão caiu a AFA em 999 para depois cair a EFOMM em 00. Fique ateto! 8. RESPOSTA: D Temos que x 9. RESPOSTA: C Temos que x x 9 x x 9 x. Elevado ao quadrado, temos: x 6x 9 9x x 7x 0. Logo x 0 ou x 7. Testado a equação origial, vemos que x 7 e assim a PA é 0, 7, 4,, -. Logo o quito termo é RESPOSTA: C Sejam a,aq,aq os três iteiros que estão em PG. Pelo euciado, temos: a q a aq aq q a a q a q 9 a q q 9 a q, 9 q a q q ode a última passagem usamos a fórmula da soma da PG. Dividido a seguda equação pelo quadrado da primeira, obtemos: 6 a q q 7 q q q 7 q a q q q q 9

30 Simplificado, obtemos: q q 7 q q Utilizado soma e difereça de cubos, esta última é equivalete a: q q 7 q q q 0q 0 Logo q = ou q = /. Se q =, a = e etão a sequêcia é (,, 9). Se q = /, a = 9 e etão a sequêcia é (9,,). Em ambos os casos, = e o pedido é C8 76. OBS: Se q =, ão obteríamos soluções e assim podemos usar a soma da PG. 0