Probabilidades num jogo aos dados

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1 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e Eg. Biomédica 007/08 Capítulo VIII Distribuição Biomial Probabilidades um jogo aos dados Defiição de uma Distribuição Biomial Propriedades da Distribuição Biomial Aproximação Gaussiaa de uma Distribuição Biomial 145 Probabilidades um jogo aos dados Jogamos dados e registamos o º de vezes que sai o úmero 1 a jogada. Os resultados possíveis são 0, 1, ou. Se repetirmos a experiêcia um úmero imeso de vezes, ecotraremos a distribuição limite, que os dará a probabilidade de, uma qualquer jogada dos dados, obtermos 0, 1, ou vezes o º 1. Como a experiêcia é muito simples, podemos calcular facilmete a probabilidade de cada um dos 4 resultados possíveis. Havedo 6 úmeros possíveis em cada dado, a probabilidade de sair o úmero 1 uma jogada de cada dado é 1/6. A probabilidade de sair o úmero 1 os dados é, etão: x x % A probabilidade de saírem só dois úmeros 1 é um pouco mais complicada pois há diferetes modos disso acotecer: (1, 1, ão-1), (ão-1, 1, 1) ou (1, ão-1, 1). Por exemplo, a probabilidade de sair a série (1,1,ão-1) é: Prob (1,1,ão -1) 146 Dep. Física, FCTUC 75

2 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e Eg. Biomédica 007/08 Prob (sair vezes o úmero 1 uma jogada de dados) 6. 9% 5 Prob (sair 1 vezes o úmero 1 uma jogada de dados) 4. 7% 6 Prob (ão sair ehum úmero1 uma jogada de dados) 57.9% Exemplo de uma Distribuição Biomial 147 Defiição de uma distribuição biomial Termiologia: - tetativas (em vez de jogadas) - sucesso ou tetativa bem sucedida (em vez de sair o º 1) - p probabilidade de sucesso uma tetativa - isucesso (ão sair o º 1) - q 1 p probabilidade de isucesso A probabilidade de obtermos ν sucessos em tetativas é dada pela distribuição biomial Prob (ν sucessos em tetativas) B,p ( -1)... ( ν 1) ν ν 1... ν O ome distribuição biomial vem da cohecida expasão biomial e do respectivo coeficiete biomial ( -1)... ( ν 1)! 1... ν ν! ( ν)! p q 148 Dep. Física, FCTUC 76

3 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e Eg. Biomédica 007/08 Ode se itroduziu a otação factorial:! 1 x x x... x. Por coveção, 0! 1, de ode 1. 0 O coeficiete biomial aparece a expasão biomial: ( p + q) p + p 1 ν p q ν 0 q q que é válida para dois quaisquer úmeros p e q e qualquer iteiro. Na forma compacta a distribuição biomial vem, etão: ν Prob (ν sucessos em tetativas) B ν ν p, p q ode p represeta a probabilidade de um sucesso e q 1 - p O coeficiete dá o º de combiações diferetes possíveis em que se podem obter ν sucessos em tetativas. 149 Propriedades da distribuição Biomial A distribuição biomial B,p (ν) dá a probabilidade de se ter ν sucessos em tetativas, quado p é a probabilidade de sucesso uma úica tetativa. Se repetirmos toda a experiêcia de tetativas muitas vezes, é etão atural pergutar qual seria o úmero médio de sucessos, ν. Para ecotrar este valor médio somamos todos os valores possíveis de ν, cada um multiplicado pela sua probabilidade. Ou seja: ν ν 0 ν B,p que pode ser avaliado como ν p o que costitui o resultado esperado: se repetirmos a ossa série de tetativas muitas vezes, o º médio de sucessos será a probabilidade de sucesso uma tetativa vezes. Também podemos calcular o desvio padrão σ ν associado ao osso º de sucessos. O resultado é: p 1 p σ ν 150 Dep. Física, FCTUC 77

4 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e Eg. Biomédica 007/08 Quado p ½ (como uma experiêcia de moeda ao ar ), o º médio de sucessos á exactamete /. Além disso, é fácil provar que para p ½: B ( ν) B,1/,1/ ou seja, a distribuição biomial com p ½ é simétrica em toro do valor médio /. Em geral, quado p 1, a distribuição biomial B,p ν ão é simétrica. É iteressate comparar a distribuição biomial B,p ν com a distribuição Gaussiaa G X,σ (x). Talvez a maior difereça seja o facto de a experiêcia descrita pela fução biomial ter resultados discretos ν 0, 1,,,, equato os resultados da distribuição Gaussiaa são valores cotíuos de uma quatidade medida x. Além disso, a distribuição Gaussiaa é simétrica em toro de um pico cetrado o valor médio x X, o que sigifica que o valor médio X é também o valor mais provável (para o qual G X,σ (x) é máximo). A distribuição biomial, como vimos, só é simétrica quado p ½ e, em geral, o valor médio ão coicide com o valor mais provável. 151 Aproximação Gaussiaa de uma distribuição Biomial Apesar das difereças, as distribuições de Gauss e biomial têm uma importate ligação. Se cosiderarmos a distribuição biomial B,p (ν) para qualquer valor fixo de p, etão, quado é grade B,p (ν) é aproximadamete igual a uma distribuição de Gauss G X,σ (x), com a mesma média e o mesmo desvio padrão. Ou seja, B,p G X, com X p e σ (para grade) σ p(1- p). As curvas sobrepostas são fuções de Gauss com a mesma média e desvio padrão 15 Dep. Física, FCTUC 78

5 Técicas Laboratoriais de Física Lic. Física e Eg. Biomédica 007/08 A aproximação da distribuição biomial pela distribuição ormal quado é grade é muito útil a prática. O cálculo da fução biomial quado é igual ou maior a 0 é aborrecido e leva tempo, equato o cálculo da distribuição ormal é sempre simples, quaisquer que sejam X e σ. Exemplo: Qual a probabilidade de obtermos caras em 6 laçametos de uma moeda, atededo a que a probabilidade de uma cara uma tetativa é ½? Prob ( caras em 6 moedas ao ar) B 6,1/ () 6!! 1! 6.6% Por outro lado, como a média da distribuição é p 18 e o desvio padrão é σ p(1 - p) podemos aproximar a distribuição biomial pela fução G 18, () e um cálculo simples dá: Prob ( caras em 6 moedas ao ar) G18, ().%. 15 A utilidade da aproximação Gaussiaa é aida mais óbvia se quisermos a probabilidade de vários resultados. Exemplo: Qual a probabilidade de obter ou mais caras em 6 laçametos de uma moeda? Prob ( caras ou mais em 6 laçametos) Prob ( caras) + Prob (4 caras) Prob (6 caras) Como o cálculo das probabilidades Gaussiaas trata ν como uma variável cotíua, a probabilidade de ν, 4, é melhor calculada como Prob Gauss (ν.5). ν.5 é 1.5 desvios padrão acima do valor médio, 18. (Lembremos que σ, logo σ.) A probabilidade de obtermos um resultado maior do que 1.5σ acima da média, iguala a área sob a fução Gaussiaa mostrada a figura. É facilmete calculada com a ajuda da tabela do Itegral de Erro Normal. 154 Dep. Física, FCTUC 79