Quarta aula. Ifusp, agosto de 2016

Transcrição

1 Diâmica Estocástica Quarta aula Ifusp, agosto de 06 Bibliografia básica. va Kape, Stochastic processes i physics ad chemistry, North-Hollad, 990, Capítulo 4. Tomé e de Oliveira, Diâmica estocástica e irreversibilidade, Edusp, 04, Capítulo. Gardier, Stochastic processes, Spriger, 009, Capítulo 3 Tâia Tomé - Di Estoc - 06

2 A aciet but still istructive example is the discrete-time radom walk. va Kapem The Radom Walk i oe Dimesio: this is a very famous problem, which is ow cosidered classical. Gardier Tâia Tomé - Di Estoc - 06

3 Uma pessoa camiha sobre uma liha ou uma partícula se movimeta sobre uma reta 0 x A cada istate de tempo ela dá: um passo para a direita com probabilidade p ou Se p=q=/: etão a probabilidade de dar um passo para a esquerda é igual à probabilidade de dar um passo para a direita. um passo para a esquerda com probabilidade q p+q= Tâia Tomé - Di Estoc

4 Perguta - obetivo Depois de passos qual será a probabilidade de ela estar a posição? Tâia Tomé - Di Estoc

5 Variável aleatória tal que: se o passo é para a esquerda se o passo é para a direita Tâia Tomé - Di Estoc

6 Exemplo: passos Variável aleatória tal que: Se, por exemplo, forem dados dois passos: o primeiro para a direita e o segudo para a esquerda: 0 x Posição depois desses dois passos: 0 Tâia Tomé - Di Estoc

7 Depois de passos a posição dela será:... Variável aleatória se o passo tal que: é para a esquerda se o passo é para a direita Tâia Tomé - Di Estoc

8 Depois de passos a posição dela será:... Todos os passos são idepedetes etão a variável é tal que: é uma soma de variáveis aleatórias idepedetes vimos propriedades de somas de variáveis aleatórias idepedetes a última aula Tâia Tomé - Di Estoc

9 Exemplo passos Todas as possibilidades º passo º passo Posição depois de = passos 0 0 Tâia Tomé - Di Estoc

10 Valor médio da posição depois de passos... ou... 3 Mas, p 4 O que leva à expressão: p p 5 Tâia Tomé - Di Estoc

11 p p valor médio da variável 5 Vamos cosiderar, p p / caso em que há igual probabilidade para a direita e para a esquerda 6 Portato, Tâia Tomé - Di Estoc - 06

12 0 7 Como todas as variáveis,,,..., são idêticas têm a mesma distribuição de probabilidades temos: Portato, Tâia Tomé - Di Estoc - 06

13 valor médio da variável ao quadrado distâcia quadrática média : 0 Pois demostração, Tâia Tomé - Di Estoc

14 Mas, Pois, são variáveis aleatórias idepedetes., 3 Ou sea,, i, / i Pois,, são variáveis aleatórias idepedetes i. i i i 0 Mas,, como á vimos Eqs. 7 e 8. Portato, E etão demostramos que: como esperado 5 Tâia Tomé - Di Estoc

15 5 Tâia Tomé - Di Estoc - 06 p Defiição: Portato, p 6 7 valor médio da variável ao quadrado

16 Distâcia quadrática média: 8 Tâia Tomé - Di Estoc

17 Variâcia Mas, á vimos que: 0 Portato, variâcia de é proporcioal ao úmero de passos 9 Tâia Tomé - Di Estoc

18 P Probabilidade de a partícula estar em depois de passos variável aleatória = pois... Fução característica ik G k exp ik e P 0 Tâia Tomé - Di Estoc

19 ik Fução característica G k exp ik e P G k exp ik... Mas Etão:... é uma soma de variáveis aleatórias idepedetes G k g k g k... g k g k exp ik,,..., Tâia Tomé - Di Estoc

20 g k exp ik 3 g k exp ik p p exp ik p exp ik Mas, p p / g k exp ik exp ik g k {exp ik exp ik} 4 Tâia Tomé - Di Estoc

21 As variáveis aleatórias,,,..., são idêticas, isto é, têm a mesma distribuição de probabilidades As variáveis aleatórias,,,..., têm a mesma fução característica: g k g k... g k Como, g k {exp ik exp ik} g k {exp ik exp ik},,..., 5 Tâia Tomé - Di Estoc - 06

22 G k g k g k... g k g k {exp ik exp ik},,..., 5 Portato, G k { exp ik exp ik} 6 Tâia Tomé - Di Estoc - 06

23 G k { exp ik exp ik} 6 Levado em cota que: a b 0 a b expasão biomial 6 Idetificado cada termo etre chaves a expressão 6 e ficamos com a seguite expressão para Gk : G k 0 exp ik exp ik 7 Tâia Tomé - Di Estoc

24 4 exp 0 ik k G Tâia Tomé - Di Estoc - 06 Portato, ik ik k G 0 exp exp fução característica associada à soma das variáveis aleatórias!!! 7 8

25 5!!! Tâia Tomé - Di Estoc - 06 exp 0 ik k G!!! exp / ik k G

26 G k exp ikm m / 30 Mas, G k P exp ik Portato, se compararmos as expressões acima ecotraremos a distribuição de probabilidades: P!!! 3 Tâia Tomé - Di Estoc

27 Exercício: comportameto para l P l!!! 3 Fórmula de Stirlig: l m! ml m m m * 33 Utilizado a expressão 33 a expressão 3 fica: l P l l l l 34 * Ver dedução o livro: Fudametals of statistical ad thermal physics, F. Reif, McGraw-Hill Tâia Tomé - Di Estoc

28 Comportameto para Tâia Tomé - Di Estoc l l l l l P l l l l l P l l l l l P 35 34

29 Comportameto para l P l l l l 35 l l l l 36 l l l l 37 Utilizado e l l x x x x x x / / o x o x Tâia Tomé - DiEstoc

30 Comportameto para Tâia Tomé - Di Estoc l l l l l l 40 / l x x x

31 Comportameto para l l l l l P l l l l 4 l P P e 4 Tâia Tomé - Di Estoc

32 Comportameto para Para ecotrarmos uma expressão fial para precisa: P devemos usar a fórmula de Stirlig em uma forma mais l m! ml m m lm, m * 44 para avaliar: para. l P! l!! * Ver dedução da fórmula de Stirlig o livro: Fudametals of statistical ad thermal physics, F. Reif, McGraw-Hill 3 Tâia Tomé - Di Estoc

33 Comportameto para Utilizado a expressão 44 e l x x x / o x a avaliação de: l e l l l l EXERCÍCIO: fazer as passages P e Gaussiaa 46 desidade de probabilidade Tâia Tomé - Di Estoc

34 Camiho aleatório & Teorema cetral do limite Tâia Tomé - Di Estoc

35 Teorema cetral do limite Se x é tal que: x 0 e x,,..., N 47 Z x x x 3 N... x N 48 Etão para N temos: Z exp Z / 49 Distribuição de probabilidades associada a Z é uma gaussiaa. Tâia Tomé - Di Estoc

36 Limite para Utilizado o teorema cetral do limite 0 Z... 3 X 50 Z exp Z / 5 Para grade podemos mostrar que: EXERCÍCIO X exp X / 5 Tâia Tomé - Di Estoc

37 FIM Tâia Tomé - Di Estoc