1. Resolução da lista 1. Primeiro apresentaremos uma integral importante, obtida a partir da distribuição gama generalizada.

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1 1. Resolução da lista 1. Primeiro apresetaremos uma itegral importate, obtida a partir da distribuição gama geeralizada. 1) J x a 1 e bxc dx Γa/c), a, b, c >. cba/c Demostração: fazedo a substituição y bx c em J temos ) y a 1)/c ) ) J e y y c 1)/c 1 ) y a 1)/c ) bc dy bc) 1 e y y 1/c 1 dy b b b b ) y a/c 1 bc) 1 e y dy cb a/c) 1 b y a/c 1 e y dy Γa/c), a, b, c >. cba/c 1) Seja fx) e x θ), x θ. Defiido Y X θ, temos Gy) P Y y) P X θ y) P X y + θ) F y + θ), logo gy) [F y + θ) fy + θ) e y+θ θ) e y I, ) y) e portato Y Exp1) e X Y + θ, θ >. Cosiderado Y 1,..., Y Exp1) vemos que a distrisbuição do míimo, Y 1), é dada por! [ g Y1) y) ) 1 e y 1 e y e y I, ) y), 1)! isto é, Y 1) Exp). Calcularemos a esperaça e a variâcia de Y 1) utilizado o resultado 1). E [ Y r 1) etão y r e y dy y r+1) 1 e y Γr + 1) dy r+1 Γr + 1) r E [ 1 Y 1) e Var ) 1 Y 1). 2 Etão Y 1) coverge para uma variável degeerada o poto zero, pois lim E [ 1 Y 1) lim e lim Var ) 1 Y 1) lim. 2 Devido ao fato supracitado, temos, Y 1) P. 1

2 2 Agora provaremos que Y 1) coverge quase certamete para zero. Basta mostrar que P Y 1) > ɛ ifiitas vezes), para ɛ > fixado e usar o lema de Borel-Catelli. P Y 1) > ɛ) e ɛ ) e ɛ e ɛ < +, e ɛ ote que e ɛ < 1 ɛ >, portato P Y 1) > ɛ ifiitas vezes) por Borel-Catelli. Como o resultado vale para qualquer ɛ etão o eveto [Y 1) > ocorre um úmero fiito de vezes acarretado que ocorre Y 1) um úmero ifiito de vezes e portato Y 1). Etão, respodedo a questão: mi {X 1,..., X } θ mi {Y 1 + θ,..., Y + θ} θ mi {Y 1,..., Y } + θ θ Y 1) + θ θ Y 1) que coverge em probabilidade para zero. mi {X 1,..., X } mi {Y 1 + θ,..., Y + θ} mi {Y 1,..., Y } + θ Y 1) + θ que coverge para +θ θ pois uma fução cotíua de uma V.A. que coverge quase certamete também coverge quase certamete, este caso a fução é Y 1) + θ). 2) X é uma V.A. absolutamete cotíua e Y [1 F M ). G y) P Y y) P [1 F M ) y) P 1 F M ) y ) P F M ) 1 y ) P M F 1 1 y )) 1 P M F 1 1 y )) 1 F F 1 1 y ))) o último passo se deve ao fato de que os X i são idepedetes e ideticamete distribuídos. Também supomos que a iversa da fução de distribuição, F 1 ), existe, obtedo: G y) 1 1 y ) I,) + I, + 1I [, ). Fialmete, lim G y) 1 e y I, ) + I,,

3 caracterizado a fução de distribuição de uma expoecial com parâmetro 1. 3) Queremos provar que lim P X c > ɛ), ɛ > e temos lim E [X c e lim Var X ). Pelos axiomas de Kolmogorov, P X c > ɛ) 1, para qualquer e usado a desigualdade de Tchebychev e fixado um ɛ >, temos P X c > ɛ) Var X ) ɛ 2 Aplicado o limite as iequações, obtemos lim P X c > ɛ) lim Var X ) ɛ 2 lim P X c > ɛ) ɛ 2 e pelo teorema do saduiche para limites de fuções reais vemos que lim P X c > ɛ) e assim provamos que a sequêcia X ) 1 coverge em probabilidade para c. 4) X i U, θ) e X i θy i, em que Y i U, 1). Estamos iteressados a distribuição do máximo dos Y i, Y ), que é dada por! g Y) y) 1)! y 1 I,1) y) y 1 I,1) y), logo Y ) Beta, 1). etão E [ Y) r 1 1 y r y 1 dy Beta, 1) E [ Y ) + 1 Betar +, 1) Beta, 1) 1 1 y r+ 1 dy Beta, 1) r + e E [ Y 2 ) + 2 3

4 4 Var ) ) 2 Y ) ) ) )2 + ) )2 + ). Etão Y ) coverge para uma variável degeerada o poto um pois lim E [ Y ) lim e lim Var ) Y ) lim )2 + ). Devido ao fato supracitado, Y ) P 1. Agora ote que θx ) max {X 1,..., X } max {θy 1,..., θy } θ max {Y 1,..., Y } θy ), assim obtemos que X P ) θpois uma fução cotíua de uma V.A. que coverge em probabilidade também coverge em probabilidade, este caso a fução é θy ) e Y P ) 1). Logo max {X 1,..., X } P θ. 5) P X 1) 1/ e P X ) 1 1/, logo, E [X 1/ e E [X 2 1/, cosequetemete, Var X ) 1/ 1/) Etão X coverge em probabilidade para zero, pois lim E [X 1 lim e lim Var X 1 1 ) lim. Agora mostraremos que X. Note que 1 P X 1) i1 i1 +, pois trata-se de uma série harmôica de grau 1. Como os X são idepedetes, pelo lema de Borel-Catelli o eveto [X 1 ocorre ifiitas vezes com probabilidade um. Formalmete, seja A [X 1. Se ω [A ifiitas vezes, etão X 1 para um úmero ifiito de s, logo X ão coverge para zero. Como provamos P X 1 ifiitas vezes ) 1, temos P Y ) 1. 6) P X 2 ) 1/ 2 e P X ) 1 1/ 2. Agora mostraremos que X. Fixado ɛ >, P X > ɛ) P X 2 1 ) i1 i1 i1 π2 2 6 < +, pois trata-se de uma série harmôica de grau 2. Pelo lema de Borel- Catelli o eveto [X > ɛ ocorre ifiitas vezes com probabilidade zero. Formalmete, seja A [X > ɛ. Se ω [A ifiitas vezes, etão X > ɛ para um úmero fiito de s, logo X coverge para zero.

5 Como provamos P X > ɛ ifiitas vezes ), temos P X ) 1. A seguda parte do problema é demostrar que lim E [ X k E [ X k E [ k. 5 logo E [ X k 2k 2 2k 1), k 1, 2, 3,..., e lim E [X 1 lim E [ X k lim 2k 1) +, k 2, 3,... address: bueo@@ime.usp.br Departameto de Estatística, Istituto de Matemática e Estatística, Uiversidade de São Paulo, Caixa Postal 66281, CEP , São Paulo, Brazil