Capítulo 1. Fundamentos

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1 Capítulo 1 Fudametos A probabilidade modera se baseia fortemete a Teoria da Medida e supomos durate esse curso que o leitor esteja bem familiarizado com coceitos tais como: Medida de Lebesgue, extesões de medida e teoremas de covergêcia. Iremos agora justificar brevemete a escolha da Teoria da Medida para o estudo de probabilidade. No iício da Teoria da Probabilidade, a maioria dos feômeos estudados apresetava apeas um úmero fiito de resultados possíveis, como por exemplo ao se jogar um dado de seis lados ou sortear uma carta em um baralho. Em tais casos é desecessário o uso de ferrametas sofisticadas pra modelar tais situações. Por exemplo, podemos simplesmete dizer que a probabilidade de se obter cada um dos lados do dado é igual a 1/6. Mas digamos por exemplo que queremos um modelo para estudar o volume de chuva em uma cidade durate um ao. Obviamete, esse volume poderia ser qualquer úmero real positivo e ão podemos simplesmete atribuir valores positivos de probabilidade a cada úmero real (lembramos que somas ão eumeráveis de termos positivos são sempre ifiitas). Mas como podemos cotiuar ossa modelagem se em ao meos podemos dizer qual é a probabilidade de chover um determiado volume esse ao, por exemplo (π/19)mm? A solução para tal dilema, se baseia o fato de que a verdade uca estamos iteressados o exato resultado do osso experimeto. Gostaríamos sim de respoder pergutas do tipo: qual é a probabilidade de que chova etre zero e 37mm? Estamos portato iteressados em atribuir probabilidades ão a valoers exatos do experimeto, mas a certos cojutos de possíveis valores. Chamamos tais cojutos de evetos. Voltado ao caso do dado de seis lados, poderíamos os iteressar por exemplo pela probabilidade dos seguites evetos: o lado sorteado foi ímpar 1

2 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS (P({1, 3, 5}) = 1/2) ou o lado serteado foi dois (P({2}) = 1/6). E percebemos rapidamete que para evetos disjutos a probabilidade de sua uião é a soma de suas probabilidades (o caso acima, P({1, 2, 3, 5}) = 1/2 + 1/6 = 2/3). Esse caráter aditivo da probabilidade certamete os remete aos coceitos básicos de Teoria da Medida. Vamos agora formalizar a discussão acima com mais calma, sob a ótica dessa teoria. 1.1 Espaços mesuráveis Deotaremos sempre por Ω o osso espaço amostral (à pricípio qualquer cojuto). Um poto esse espaço correspode por exemplo a um possível resultado do osso experimeto aleatório. Exemplo Possíveis exemplos de espaço amostral a) Ω 1 = {1, 2,..., 6}, b) Ω 2 = R +, c) Ω 3 = { f : [0, 1] R; f é cotíua}. Os exemplos acima poderiam ser usados em modelar por exemplo: o resultado de um dado, o volume aual de chuva em uma cidade e o comportameto ao logo do dia do preço de uma ação a bolsa de valores. Cosideraremos sempre Ω s equipados com uma σ-álgebra deotada por F. Mais precisamete Defiição Dizemos que F P(Ω) é uma σ-álgebra se a) Ω F, b) A F implica que A F e c) se (A ) 1 F N, etão 1 A F. Nesse caso, dizemos que(ω, F) é um espaço mesurável e os elemetos A F são chamados de evetos. Usaremos a otação A := Ω\ A para deotar o eveto complemetar de A Se G P(Ω) (que chamamos de uma classe ou família), deotamos por σ(g) a σ-álgebra gerada porg, que é a meor σ-álgebra cotedo G (e a iterseção de todas σ-álgebras que cotem G). Um exemplo importate é dado pela σ-álgebra de Borel, gerada pelos abertos de uma topologia em Ω. Dado F ad F duas σ-álgebras, usaremos a otação F F para deotar a σ-álgebras gerada pela uião F F. Exemplo Típicos exemplos de σ-álgebra correspodetes aos espaços amostrais do Exemplo a) F 1 = P(Ω 1 ), 2

3 1.2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE b) F 2 = B([0, 1]) e c) F 3 = B(C[0, 1]). Exemplo Algus evetos de F 1,F 2 e F 3 acima a) {x é ímpar},{1} Ω 1, b) [0, 1/2],{0},(Q [0, 1]) Ω 2, c) { f : [0, 1] R; f(1) > 0} Ω 3, e d) {a 3 = 4},{ a soma dos 4 primeiros dados vale 13} Exercício Mostre que { f : [0, 1] R; f(t) 0 para todo t [0, 1]} Ω 3 é um eveto (ou seja, pertece a F 3 ). Notação Se Q for uma codição qualquer sobre cadidatos ω Ω, escreveremos[ω satisfaz Q] para deotar{ω Ω; ω satisfaz Q}. Por exemplo, { f : [0, 1] R; f(1) > 0} pode ser escrita simplesmete como [ f(1) > 0]. 1.2 Espaços de probabilidade Agora estamos protos para itroduzir o coceito modero do que é uma probabilidade. Defiição Dado(Ω,F) espaço mesurável, dizemos que P : F [0, 1] é uma probabilidade se a) P(Ω) = 1 e b) Seja uma sequecia(a i ) i I fiita o eumerável de evetos disjutos (A i A j = se i = j), temos P ( ) i I A i = P(A i ). (1.1) i I Obviamete, isso ada mais é que uma medida que associa massa um ao espaço todo. Exemplo Probabilidades os espaços do Exemplo a) P 1 (A) = (#A)/6 em (Ω 1,F 1 ). Ou mais geralmete P 1 (A) = i A p i, ode p i 0 e i p i = 1. b) P 2 pode ser a medida de Lebesgue em ([0, 1],B([0, 1])). Mais geralmete também podemos ter P 2 (A) = A ρ(x) dx, ode ρ : [0, 1] R +, e uma fução mesuravel chamada desidade, é tal que [0,1] ρ(x) dx = 1. c) P 3 = δ 0, que atribui o valor um se o eveto cotém a fução ideticamete ula ( f 0) e zero caso cotrário. 3

4 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS Obviamete o terceiro exemplo é bastate artificial (e iútil). Mas futuramete, estaremos protos para itroduzir medidas bem iteressates o espaço (Ω 3,F 3 ). Proposição Valem as afirmativas seguites a) P(A ) = 1 = P(A). b) Se A B etão P(A) P(B). c) A cota da uião: para I fiito o eumerável P ( ) i I A i P(A i ). (1.2) i I d) O que chamamos de pricípio da iclusão e exclusão P ( ) A i = k=1( 1) k 1 P(A i1 A ik ). (1.3) 1 i 1 < <i k Demostração. a) By disjoit uio, temos P(A)+ P(A ) = P(A A ) = 1. b) Como A (B\ A) =, etão P(A (B\ A)) = P(A)+ P(B\ A). (1.4) c) P(A B) = P(A (B\ A)) = P(A)+ P(B\ A) P(A)+ P(B). Deixamos o caso eumerável como exercício abaixo. d) Chamamos A a uião dos A i. Basta mostrar a validade da equação abaixo e depois itegrar com respeito a P. 1 A (ω) = k=1 ( 1) k 1 Para tato, observe que para todo ω Ω, I {1,...,} I =k i I 1 Ai (ω). (1.5) (1 A 1 A1 ) (1 A 1 A )(ω) = 0. (1.6) Logo, expadido o produto acima obtemos que equivale a (1.5). 1 A + k=1 I {1,...,} I =k ( 1) k 1 Ak (ω) = 0, (1.7) Exercício Mostre que P ( i A i ) i P(A i ) o caso eumerável. 4

5 1.2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE Exercício Mostre que P ( ) m A i k=1( 1) k 1 P(A i1 A ik ) se m é ímpar e 1 i 1 < <i k P ( ) m A i k=1( 1) k 1 P(A i1 A ik ) se m é par. 1 i 1 < <i k Exercício Seja 1 um úmero iteiro e cosidere Ω = {0, 1}, o hipercubo de dimesão (cada ω Ω pode ser visto como uma fução ω : {1,..., } {0, 1}). Para cada i {1,..., }, defiimos o eveto A i = {ω Ω : ω(i) = 1}. Dadas duas probabilidades P e P em (Ω,P(Ω)), mostre que se P(B) = P (B) para todos cojutos B dados por iterseções de A i s, etão P = P. Proposição Toda probabilidade P é cotíua, isto é: a) Se A 1 A 2 F for uma sequêcia crescete de evetos, etão lim P(A ) = P( =1 A ). b) Também, se A 1 A 2 F, temos lim P(A ) = P( =1 A ). Demostração. a) Observe que que são disjutos. Logo A = =1 =1 (A \ ( 1 P ( =1 ) ( A = P A \ ( 1 A ) ) i =1 b) A prova é aáloga à de 1. = lim P( A i ) = lim P(A ). A i ) ), (1.8) (1.9) Lema (Borel-Catelli - primeira parte). Sejam A 1, A 2, F satisfazedo P(A i) <. Etão Demostração. Estimamos P[A i para ifiitos i] := P ( =1 ( i A i ) ) = 0. (1.10) ( ( ) ) P i A i = lim P ( ) =1 i A i lim P(A i ) = 0. (1.11) i O que termia a prova do lemma. Imagie que jogamos todos os dias em uma loteria e que ossa probabilidade de gahar o dia i é p i. Etão se i p i <, sabemos que certamete ão gaharemos ifiitas vezes. 5

6 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 1.3 Sistemas λ-π Uma importate ferrameta para provar fatos teóricos sobre probabilidades é o Teorema de Dyki que apresetaremos essa seção. Ele trata de classes de evetos que ão são ecessariamete σ-álgebras, mas sistemas σ ou π como defiidos abaixo. Defiição Dizemos que uma classe A P(Ω) é um π-sistema se for fechado por iterseções fiitas, isto é: para todos A, B A temos A B A. Defiição Dizemos que A P(Ω) é um λ-sistema, se a) Ω A, b) Sempre que A A temos A A. c) Para A 1, A 2, A disjutos dois a dois, temos i A i A. Exercício Dê um exemplo de λ-sistema que ão seja uma σ-álbebra. Podemos observar que de um certo setido, π-sistema e λ-sistema cotem metade complemetar dos requerimetos para ser uma σ-álgebra. Lema SeA P(Ω) é um π-sistema e um λ-sistema, etãoaéuma σ-álgebra. Demostração. Temos que A e estável por complemetar e cotem Ω para ser um λ-sistema. Sò precisamos que A e estável por uião eumerável (o fiita). Sejà (A ) 1 uma sequêcia de elemetos de A. Por estabilidade por complemetar e itersecção fiita, B defiido por B = A i = ( A i ) pertecia a A. Pelas mesmas razões e também o caso de C = B \ B 1 = B B 1 (B 0 = ). Para cocluir observamos que A = B = C. =1 =1 =1 Os C sedo disjutos, a uião deles pertecia a A por propriedades das λ- álgebras. Vamos ver agora uma versão mais puxada do resultado acima que vai ficar muito utíl para provar uicidade o igualdade etre probabilidades. Defiição Defiimos para A P( W), o meor λ-sistema cotedo A, ou seja λ(a) = B. (1.12) B λ-sistema A B 6

7 1.3. SISTEMAS λ-π Deixamos de Exercício de verificar que λ(a) é sempre um λ-sistema. Teorema (Dyki). Se A é um π-sistema, etão λ(a) = σ(a). Note pelo Exercício que a hipótese de que A é um π-sistema é ecessária em geral. Demostração. Obviamete, basta mostrar é que λ(a) é fechado por uiões ão ecessariamete disjutas. Pelo Lemma 1.3.3é suficiete provar que λ(a) é um π-sistema. (1.13) Para isso é suficiete de verificar a propriedade seguite A 1, A 2 λ(a), A 1 A 2 λ(a), (1.14) pois o caso de iterseções de mais cojutos pode ser deduzido por idução. Vamos primeiramete mostrar que λ(a) é fechado por iterseções com A. Para tato, defiimos B = { B λ(a); B A λ(a) para todo A A) } e provamos que B = λ(a). (1.15) Obviamete, A B, pois A é um π-sistema. Etão basta mostrar que B é um λ-sistema. a) Ω obviamete pertece ab. b) Estabilidade por complemetar: Cosideramos B B. Para A A arbitrário, B A = (A (B A)) A e portato, como B A λ(a) por defiição, por estabilidade de λ(a) por complemetar e uião disjuta temos B A λ(a), o que implica que B B. c) Estabilidade por uião disjuta: Se B 1, B 2, B são disjutos e A A arbitrário, defiido B := =1 B temos B A = ( ) B A = =1 =1 ( B A ) λ(a), (1.16) A uião acima sedo disjuta, temos B A λ(a) e logo =1 B B. Isso termia a prova de (1.15). Agora para cocluir, defiimos B := {A λ(a); B A λ(a), B λ(a)} e mostraremos que B = λ(a), (1.17) 7

8 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS que e equivalete a (1.14). Observe que A B poisb = λ(a) (veja a defiição deb), etão para mostrar (1.17) sò precisamos mostrar que Para tato, verificaremos a) Ω B, que é claro. B é um λ-sistema. (1.18) b) Estabilidade por complemetar: Cosiderado B B. Tomado A λ(a) arbitrário temos B A = ( A (A B) ) e como A B λ(a) por defiição de B, B A λ(a) por propriedades de λ-sistema, o que permite de cocluir que B B. c) Uião disjuta Também o caso de uiões disjutas é bastate aálogo ao feito parab Igualdade de probabilidades Proposição Se P 1 e P 2 são probabilidades em(ω,f), tais que P 1 (A) = P 2 (A) para todo A A e A é um π-sistema, etão P 1 (B) = P 2 (B) para todo B σ(a). Demostração. Seja B = {A F; P 1 (A) = P 2 (A)}. É fácil ver que B é um λ-sistema. Logo B cotém λ(a) que é igual a σ(a) por Dyki. Corolário Se P 1 e P 2 são probabilidades em (Ω 1 Ω 2,F 1 F 2 ), tais que etão P 1 = P 2. P 1 (A 1 A 2 ) = P 2 (A 1 A 2 ), para todos A 1 F 1, A 2 F 2, (1.19) Demostração. Obviamete as caixas do tipo A 1 A 2 formam um π-sistema que geraf 1 F 2 (por defiição). Exemplo Observe portato que é importate que A seja um π-sistema a Proposição Imagie por exemplo que Ω = {0, 1} 2 e P 1 = 1 4 x Ω δ x e P 2 = 1 2 (δ (0,0) + δ (1,1) ). Nesse caso P 1 (A) = P 2 (A) = 1/2 = P 1 (B) = P 2 (B), (1.20) com A = {(0, 0),(0, 1)} e B = {(0, 0),(1, 0)}. Cotudo, P 1 = P 2, mesmo tedo P(Ω) = σ({a, B}). 8

9 1.4. ELEMENTOS ALEATÓRIOS 1.4 Elemetos aleatórios Muitas vezes ão estamos iteressados o resultado exato do osso experimeto aleatório, mas sim em uma determiada medição ou fução de ω Ω. Por exemplo, o caso do Exemplo c), talvez ão os iteresse toda a fução f, mas apeas o seu valor o fim do dia f(1). Essas medições são ditas elemetos aleatórios que defiimos à seguir. Seja(E,A) um espaço mesurável. Nesse caso, se X : Ω E é uma fução (F,A)-mesurável, dizemos que X é um elemeto aleatório em(ω,f) tomado valores em E, ou um E-elemeto aleatório. Exemplo Cosideramos os casos a) X : Ω R mesurável é dita variável aleatória. b) X : Ω R d mesurável é dito vetor aleatório (d-dimesioal). c) X : Ω C[0, 1] mesurável é dita fução aleatória. Seguido a motivação do Exemplo c), poderia ser que, por exemplo, estivéssemos iteressados apeas a variável aleatória X : Ω 3 R dada por X( f) = f(1). Exercício Mostre que X : Ω 3 R dada por X( f) = f(1) é uma variável aleatória. Citado Kigma em seu livro Poisso Processes: a radom elephat is a fuctio from Ω ito a suitable space of elephats. Relembrado a ossa otação: P[X A] = P({ω Ω; X(ω) A}). Proposição Seja X : Ω E ode (E,A) é um espaço mesurável com A = σ(g). Etão para verificar que X é um elemeto aleatório, basta provar que X 1 (G) F para todo G G. Demostração. Teoria da Medida. Exemplo Se Ω e E são espaços topológicos dotados das correspodetes σ- álgebras de Borel, etão toda fução cotíua é um E-elemeto aleatório. Como vamos ver ao lugo deste curso, a oção de σ-algebra tem a teoria das probabilidade pode ter outro papel do que só defiir os evetos mesúraveis. Um primeiro exemple e a itrodução de σ-álgebra associada a um elemeo aleatorio que cotem todos evetos que podem ser descritos em termo de X. Defiição Seja X : (Ω, F) (E, A) um elemeto aleatorio. A σ-álgebra associada a X (o gerada por X) e defiida por For defiição σ(x) G. σ(x) := {X 1 (A) : A E}. Exercício Cosideramos Ω = R 2 com a σ-álgebra de Borel, e defiimos a varíável aleatoria X(ω 1, ω 2 ) = max(ω 1, ω 2 ). Descrever σ(x). 9

10 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS Distribuição de elemetos aleatórios Defiição Se X : Ω E é um elemeto aleatório e Ω é dotado de uma probabilidade P, etão deotamos por X P, a chamada distribuição de X, a medida de probabilidade o espaço mesurável (E,A). X P(A) := P ( {ω Ω : X(ω) A} ) = P[X A]. (1.21) Observação Essa defiição correspode com a de medida imagem vista o curso de itegração que tem um papel aida mais importate em probabilidade. Fica como exercício verificar que X P é de fato uma probabilidade em E. Exercício Seja X : [0, 1] {0, 1} dada por X(ω) = 1 A (ω). Nesse caso, mostre que X P = Ber(p) para algum p [0, 1]. Calcule o valor de p. Duas otações importates esse cotexto são: a) Sejam(Ω,F, P) e(ω,f, P ) dois espaços de probabilidade e X et Y dois elemetos aleatórios. Dizemos que X d = Y, quado X P = Y P. Note que X e Y em ao meos precisam pertecer ao mesmo espaço de probabilidade para dizermos que são igualmete distribuídos, mas precisam ser elemetos aleatórios de mesmo tipo (ou seja, possuir o mesmo cotradomíio). b) Escrevemos X d µ, que lê-se X é distribuída como µ, ode µ é uma probabilidade em E, caso X P = µ. Exercício Sejam X e Y variáveis aleatórias tais que X é ula quase certamete. Mostre que X+ Y tem a mesma distribuição de Y. O exercício acima é bastate simples, mas o usaremos para fazer uma importate observação sobre como são euciados tipicamete os resultados de probabilidade. Raramete ecotramos teoremas que explicitam qual é o espaço de probabilidades Ω em questão. Como o exercício acima, o cotexto de um teorema frequetemete é dado apeas em termos de elemetos aleatórios em Ω e de suas distribuições. Dessa forma, podemos utilizar o resultado em vários cotextos diferetes, desde que possamos ecotrar elemetos aleatórios que satisfaçam as hipóteses. Com o tempo, passamos até mesmo a cosiderar meos relevate a escolha específica do espaço amostral, focado cada vez mais a distribuição de seus elemetos aleatórios. 10

11 Capítulo 2 Costrução de espaços de probabilidade básicos Nessa seção descreveremos diversas maeiras diferetes de costruir um espaço de probabilidade, dado diversos exemplos de como elas podem ser usadas a modelagem de diferetes processos reais. 2.1 Caso eumerável Quado Ω é fiito ou eumerável, tipicamete defiimos sobre Ω a σ-álgebra das partes, ou seja F = P(Ω) = σ({ω} ω Ω ). Além disso podemos defiir probabilidades sobre(ω,f) de maeira simples tomado (p ω ) ω Ω tais que a) p ω 0 para todo ω Ω e b) ω Ω p ω = 1. De fato, esse caso defiimos P(A) = ω A p ω que claramete defie uma probabilidade. Exercício Mostre que se Ω é fiito ou eumerável, toda probabilidade sobre (Ω,P(Ω)) é dada como a descrição acima. Exemplo a) Dado p [0, 1], defiimos a medida Ber(p) (em homeagem a Beroulli) em {0, 1} com p 1 = p, p 0 = 1 p. 11

12 CAPÍTULO 2. CONSTRUÇÃO DE ESPAÇOS DE PROBABILIDADE BÁSICOS b) Dados 1 e p [0, 1], defiimos a medida Bi(, p) (biomial) em Ω = {0, 1,..., } com ( ) p i = p i (1 p) i, para i Ω. (2.1) i c) Dado p (0, 1], em Ω = {0, 1,...} defiimos a medida Geo(p) (geométrica) em Ω iduzida pelos pesos p i = (1 p) i p, para i 1. (2.2) Exercício Seja Ω = {0, 1} e p ω = 1 2 para todo ω Ω (ou seja a probabilidade uiforme). Cosidere X : Ω {0, 1,..., } dada por X(ω 1,..., ω ) = ω i. Obteha a distribuição P X. Dê um exemplo de medida em ω para a qual a distribuição de X seja Bi(, p). 12

13 TÓPICO: MÉTODO PROBABILÍSTICO Tópico: Método Probabilístico Uma importate ferrameta em várias áreas da matemática, tais como Teoria dos Números, Combiatória e Teoria da Computação é o que chamamos de Método Probabilístico. Em várias situações, ós precisamos de mostrar a existêcia de objetos satisfazedo determiadas propriedades, mas ão temos iformação suficiete ou capacidade para costruí-los explicitamete. Nesse caso, podemos recorrer ao Método Probabilístico, que simplesmete os sugere tomar um objeto aleatório de uma maeira esperta e mostrar que com probabilidade positiva as propriedades desejadas serão satisfeitas. Esse método, apesar de muito igêuo, é muito eficiete e em diversos casos provê os melhores exemplos cohecidos de certos objetos (para embaraço da comuidade cietífica). Nessa seção daremos um exemplo em Teoria dos Números provido primeiramete por Erdõs 1. Teorema (Erdös). Para todo cojuto fiito A N, existe um sub-cojuto B A satisfazedo a) #B #A 3 e tal que b) ão existem x, y e z B com x+y = z. A propriedade b) acima é o que chamamos de um cojuto ser livre de somas. Certamete ão temos muita iformação sobre A, etão vamos usar o método probabilístico para a prova desse teorema. Demostração. Fixamos p um úmero primo maior que três vezes o maior elemeto de A e cosidere o espaço Z p dos iteiros módulo p. Seja X um elemeto aleatório de Z p com distribuição uiforma, isto é U {0,...,p 1}. Exercício Mostre que para todo a A, a multiplicação por a é uma bijeção em Z p, ou seja Z p a = Z p. (2.3) ode o produto Z p a é etedido elemeto a elemeto. Coclua que Defiimos o cojuto aleatório [ P X a [ p 3, 2p ) ] p. (2.4) B = {x A X a [ p 3, 2p 3 )}, Esse cojuto e livre de soma: se X = 0 o cojuto e vazio e os outros casos se x, y B (x+y) [ 2p 3, 4p 3 ) 1 Somos gratos a Robert Morris por sugerir esse teorema como exemplo do Método Probabilístico. 13

14 CAPÍTULO 2. CONSTRUÇÃO DE ESPAÇOS DE PROBABILIDADE BÁSICOS que e o complemetario de[ p 3, 2p 3 ) em Z p. Basta portato mostrar que com probabilidade positiva #B #A 3, que segue do seguite argumeto. #B dp = 1 [ dp X a [p/3,2p/3)] a A [ = P X a [ p 3, 2p 3 a A ) ] #A 3 #A p > #A 1, 3 mas para qualquer variável aleatória, P[X X dp] > 0. Nesse caso, isso implica P[X #A #A 1 3 ] = P[X > 3 ] > 0. 14

15 2.2. CASO ABSOLUTAMENTE CONTÍNUO 2.2 Caso absolutamete cotíuo Uma outra maeira simples de defiir um espaço de probabilidade, é partido de um espaço de medida. Seja (Ω,F, µ) um espaço de medida e ρ : Ω R + uma fução mesurável com ρ(x)µ(dx) = 1. Etão podemos defiir a probabilidade iduzida P(A) = ρ(x)µ(dx). (2.5) A Nesse caso, chamamos ρ de a desidade de P com respeito a µ. Uma outra possível otação para a equação acima é dp = ρ(x) dµ (lembrado a derivada de Rado-Nikodim). Observe que o caso discreto pode ser defiido em termos de uma desidade, ode ρ(ω) = p ω e µ é a medida da cotagem em Ω. Exemplo Vários exemplos podem ser obtidos via (2.5) se tomamos Ω R e µ a medida de Lebesgue restrita a Ω. Nesses casos, escrevemos P = ρ(x) dx em Ω. Algus exemplos importates são: a) Para a < b R, defiimos a medida U[a, b] usado ρ(x) = 1 b a 1 [a,b](x). b) Para λ > 0, defiimos a medida Exp(λ) (chamada expoecial de parâmetro λ) por meio da desidade ρ(x) = λ exp{ λx} em [0, ). Podemos também usar a distribuição de um elemeto aleatório para costruir outras probabilidades, como mostra o seguite exemplo. Exemplo Cosidere por exemplo X : [0, 2π] C dada por X(t) = exp{ it}. A distribuição imagem X U [0,2π] é o que chamamos de distribuição uiforme em S 1, também deotada por U S 1. Exercício Mostre que U S 1 ão é absolutamete cotíua com respeito à medida de Lebesgue em C R 2. Exercício Mostre que U S 1 é ivariate por rotações rígidas de C, isto é, se T : C C é uma isometria liear, T U S 1 = U S 1. Exercício Costrua uma probabilidade em S 2 ivariate por rotações. 15

16 CAPÍTULO 2. CONSTRUÇÃO DE ESPAÇOS DE PROBABILIDADE BÁSICOS Tópico: Distribução margial de um vector aleatório Cosidermos P uma probabilidade defiida sobre o espaço Ω = R d, os elemetos de Ω sedo deotado por x := (ω 1,..., ω d ). deotamos por X i : Ω R a projecção a i-esima coordeada defiida por X i (ω) = ω i. A variável X i se chama i-esima margial do vector aleatório ω. A distribuição P i = (X i ) P se chama de distribução margial. No caso de vector aleatorio com desidade, as desidade das distribuções margiais pode ser idetificada usado o resultado seguite. Proposição Sejà P a probabilidade cuja desidade, respeito a medidida de Lebesgue em R d, é dada por ρ : R d R +. A probabilidade P i e absolutamete cotiua com respeito a Lebesgue, com desidade ρ i defiida por ρ i (x) := ρ(ω 1,..., ω i 1, x, ω i+1,..., ω ) dω i. R d 1 j =i Demostração. Para qualquer cojuto boreliao A temos usado Fubii d P i (X i (ω) A) = P(ω i A) = ρ(ω 1,..., ω ) dω i R i 1 A R d i 1 = dx dω i. = A o que termia a demostração. R d 1 ρ(ω 1,..., ω i 1, x, ω i+1,..., ω ) j =i ρ i (x)dx A Observação Sabemos que a distribuição de um vector aleatório determia as distribuições margiais. E importate observar que o cotrario e valso. Por exemple se ρ e uma desidade de probabilidade em R e que P e a probabilidade em R 2 defiida por P(ω) = ρ(ω 1 )ρ(ω 2 ) dω etão os vetores X(ω) = (ω 1, ω 2 ) e Y(ω) = (ω 1, ω 1 ) tem as mesmas distribuições margiais mas ão tem distribuições diferetes. 16

17 2.3. UM CASO IMPORTANTE: Ω = R 2.3 Um caso importate: Ω = R Fuções acumuladas de distribuição Um caso muito importate de espaço amostral é Ω = R, pricipalmete por os ajudar a eteder distribuições de variáveis aleatórias. Para tato, precisaremos de uma boa ferrameta para descrever probabilidades em R. Defiição Dada P em R, defiimos F P : R [0, 1] por F P (x) = P ( (, x] ). Essa fução é chamada a fução de distribuição acumulada de P. Notação Se X : Ω R é uma variável aleatória um espaço (Ω,F, P), deotamos por F X a fução de distribuição acumulada correspodete à distribuição X P. Lembramos que uma probabilidade em R é uma fução P : B(R) [0, 1] e o domíio dessa fução é bastate complicado. Por exemplo se quisermos represetar uma distribuição de uma variável aleatória o computador atravéz dessa fução P, teríamos problemas. Cotudo, a fução F P (ou F X ) é muito mais simples de ser compreedida ou represetada, por seu domíio ser R. Exemplo Não é difícil verificar que { 0 se x < x F δx0 = 0, (2.6) 1 se x x 0 e que 0 se x 0, F U[0,1] = x se x [0, 1] e 1 se x 1. (2.7) Exercício Calcule F Exp(λ). Proposição F P (e obviamete F X ) satisfazem: a) lim F(x) = 0, lim F(x) = 1, x x b) F é moótoa ão-decrescete e c) F é cotíua à direita e possui limite à esquerda (càdlàg, do fracês). Demostração. a) Se x mootoamete, etão A = (, x ] são ecaixados e de iterseção vazia. Logo, pela Proposição 1.2.3, temos P(A ) 0. O outro caso é aálogo. b) Se x x etão(, x] (, x ], dode F(x) F(x ). c) Cotiuidade à direita (càd) - Se x x mootoamete, etão A = (, x ] (, x] (eles são ecaixados). Logo F(x ) F(x). Limite à esquerda (làg) - Segue do fato de F ser moótoa e limitada. 17

18 CAPÍTULO 2. CONSTRUÇÃO DE ESPAÇOS DE PROBABILIDADE BÁSICOS u S(u) u S(u) Figura 2.1: Ilustração da defiição de S(u). Teorema Se F satisfaz as três propriedades listadas a Proposição 2.3.3, etão existe uma úica P em (R,B(R)) tal que F = F P. Poderíamos usar o Teorema da Extesão de Caratheodory para provar tal resultado, de maeira similar ao que foi feito o caso da Medida de Lebesgue. Mas escolhemos abaixo um método mais simples, que parte da existêcia de U [0,1]. Demostração. A uicidade de tal P segue da Proposição (cosequêcia do Teorema de Dyki), pois se P e P são tais que F P = F P, etão temos que P ( (, x] ) = P ( (, x] ). Mas a classe de itervalos semi-ifiitos da forma (, x] forma um π-sistema que gera a σ-álgebra dos boreliaos, logo P = P. Para costruir uma P tal que F P = F, defiiremos S : (0, 1) R, a iversa geeralizada de F, por S(u) = sup{x R : F(x) < u}. (2.8) Seja P = S U [0,1], isto é P(A) = U [0,1] (S 1 (A)) e mostraremos que F P = F. Para tato, basta ver que {u [0, 1] : S(u) x} = {u [0, 1] : u F(x)}, para todo x R. (2.9) Pois isso implicaria que F P (x) = U [0,1] [S(u) x] = U [0,1] [u F(x)] = F(x). Vamos agora checar (2.9) observado que: a) Se u F(x) etão todo x tal que F(x ) < u é meor que x. Logo S(u) x. b) Por outro lado, se x S(u) etão tudo x > x satisfaz F(x ) > u. Pois por cotiuidade a direita F(x) u. Isos prova (2.9), termiado a prova da proposição. Exercício Mostre o resultado acima usado o Teorema de Extesão de Caratheodory. 18

19 2.3. UM CASO IMPORTANTE: Ω = R Defiição e propriedade básicas da esperaça Uma oção cetral relacioada a distribuições em R e a de esperaça. Defiição Se X é uma variável aleatória com Ω X P(dω) <, dizemos que X é itegrável e defiimos E(X) = X(ω)P(dω), (2.10) a chamada esperaça de X. Nesse caso também dizemos que X L 1 (P). Ω Dizemos que um vector aleatório X = (X 1,..., X d ) é itegrável se todas coordeadas dele são itegráveis e defiimos a esperaça de X por E(X) = (E(X 1 ),..., E(X d )). (2.11) Quado X 0, também podemos supor que E(X) está bem defiida, mesmo que possivelmete tomado valor ifiito. Não demostraremos algumas propriedades cohecidas de medida e itegração que lembramos aqui. Proposição A esperaça tem as seguites propriedades: a) Liearidade: para qualquer α R, X e Y variável aleatórias temos (se estiverem bem defiidas), E(X+ αy) = E(X)+αE(Y) b) (Teorema de covergêcia domiada) se (X ) 1 for uma sequecia de variáveis aleatórias tal que para todo ω X (ω) Z(ω) ode Z(ω) e itegrável, e tal que lim X (ω) = X(ω). Etão X e itegrável e lim E[X ] = E[X]. c) (Troca soma/esperaça)se (X ) 1 e uma família de variáveis aleatórias tal que 1 E[ X ] <, etão Z := 1 E[X ] e itegrável d) (Lema de Fatou) se(x ) 1 for uma sequecia de variáveis aleatórias itegráveis positivas ( 0), temos E[lim if X ] lim if E[X ]. e) (Covergêcia Moótoa) se (X ) 1 for uma sequecia de variáveis aleatórias itegráveis tal que para quase todos ω a sequecia (X (ω)) 0 etão X = lim X (ω), e itegrável se E[X] coverge e lim E[X ] = E[X]. f) (Desigualdade de Hölder) Se X e Y fossem tal que X p e Y q são itegráveis com p, q > 0 tais que p 1 + q 1 = 1 etão XY e itegrável e E[XY] E[ X p ] 1/p E[ X q ] 1/q 19

20 CAPÍTULO 2. CONSTRUÇÃO DE ESPAÇOS DE PROBABILIDADE BÁSICOS Observação Se X e uma variável tal que E[ X p ] <, para p (1, ) falamos que X L p (P). Observamos que o cojuto L 2 (P) tem uma estrutura atural de espaço de Hilbert (após da operação de ter reduzido as classes de equivalêcia de variáveis iguais quase certamete) com produto escalar defiido por X Y = E[XY]. Exercício Mostre que se X L 1 e P[X > x] = 0, etão E(X) x. Lema A esperaça de uma variável aleatória X L 1 depede somete de sua distribuição. Mais precisamete E(X) = x P X (dx). (2.12) Demostração. Vamos mostrar que E ( f(x) ) = f(x)p X (dx), (2.13) para toda f : R R mesurável tal que f(x) L 1. Para f =1 A, temos E ( f(x) ) = P[X A] = P X (A), (2.14) por defiição de P X. Agora podemos exteder o teorema para fuções f simples por liearidade, depois para fuções positivas usado o Teorema da Covergêcia Moótoa e fialmete escrevemos x = x1 [0, ) ( x)1 (,0). Vamos mostrar uma fórmula bastate simples de itegração de variáveis tomado valores em um cojuto eumerável. Se X {x i } i I ( I fiito o eumerável) P-quase certamete, etão E(X) = XP(dω) = 1 [X=xi ] XP(dω)+ X1 [X R\{xi } i I ] P(dω) Ω = i I Ω i I [X=x i ] x ip(dω)+0 = i I x i P[X = x i ]. Ω (2.15) Para os acostumar à otação de probabilidade, vamos agora mostrar o mesmo resultado da seguite forma ( ) E(X) = E X1 [X=xi ] + E(X1 R\{xi } i I ) i I (2.16) = E[X ; X = x i ]+0 = x i P[X = x i ], i i I que é certamete muito útil quado os habituamos a ela. Observe que acima usamos a otação E[X;Q] = E(X1 [Q] ). Também utilizaremos E[X;Q 1,Q 2,...] = E(X1 [Q1,Q 2,...]) 20

21 2.3. UM CASO IMPORTANTE: Ω = R Exemplo Se X d Ber(p), etão E(X) = 0 P[X = 0]+1P[X = 1] = 0+ p = p. Exemplo Seja X d Bi(, p), E(X) = k=0 ( ) [ kp k (1 p) k = p x k k=0 ( ] )x k (1 p) k k x=p = p x [(1 p+x) ] x=p = p. (2.17) Exemplo Se P X (dx) = ρ(x) dx (com ρ 0 e ρ(x) dx = 1), etão E(X) = xp X (dx) = xρ(x) dx. (2.18) Exemplo Se X d U [0,1], etão sua desidade com respeito a Lebesgue é dada por P X (dx) =1 [0,1] dx, dode E(X) = 1 0 x dx = 1/2. Proposição Se X 0 P-q.c., etão E(X) = 0 P[X > x] dx = 0 [1 F(x)] dx. (2.19) Se g e difereciável e tal que E[ g (X) ] < etão E[ f(x)] = g (x)[1 F(x)] dx. (2.20) Demostração. ( X E(X) = E Fubii = 0 ( X E[ f(x)] = E Fubii = R 0 R ) 1 dx = E ( 0 E(1 [x<x] ) dx = ) ( f (t)dt = E f (t)e(1 [X>t] ) dt = R ) 1 [x<x] dx R 0 P[x < X] dx. ) f (t)1 [X>t] dx f (t)p[x > t] dt. (2.21) (2.22) Exemplo Se X d Exp(λ), etão dode P[X x] = E(X) = x 0 λe λt dt = e λx, (2.23) e λx dx = 1 λ. (2.24) 21

22 CAPÍTULO 2. CONSTRUÇÃO DE ESPAÇOS DE PROBABILIDADE BÁSICOS Exercício Se X L 1 e P[X x] = P[X x] para todo x 0, etão E(X) = 0. Fialmete vamos acabar essa secção estudado variáveis do tipo ϕ(x) ode X e uma variável o um vector aleatório. Proposição (Desigualdade de Jese). Seja ϕ : R R uma fução covexa e X uma variável aleatória tal que X e ϕ(x) são itegráveis. Temos E[ϕ(X)] ϕ(e[x]). (2.25) Do mesmo jeito, se ϕ : R R d e covexa e X e um vector aleatório, sob hipóteses adequadas de itegrabilidade temos E[ϕ(X)] ϕ(e[x]). (2.26) Observação No caso ode P X tem suporte em {a, b} o resultado e simplesmete a defiição da covexidade. No caso ϕ(x) = x p, p > 1, o resultado pode ser cosiderado e uma cosequêcia imediata da desigualdade de Hölder. No caso ϕ(x) = x, o resultado da a desigualdade triagular geeralizada (que e valida para itegrais com respeito a medidas positivas). Demostração. Defiimos m = E[X]. Sabemos por covexidade que ϕ(x) ϕ(m)+a(x m), para qualquer a [ϕ (m), ϕ + (m)] (as derivas a esquerda e direita de φ). O resultado segue cosiderado a esperaça os dois lados. (O caso vectorial fica de exercício) Um exemplo de experimeto probabilístico: o paradoxo de Bertrad Vamos estudar um problema que põe em valor a importacia do jeito de escolher o espaço amostral e a distribuição de probabilidade. Queremos calcular a probabilidade que uma corda uiformemete distribuída de um círculo seja maior do que o lado do triagulo equilateral iscrito esse círculo (o caso do círculo do raio uidade, o comprimeto desse lado vale 3). O Bertrad propus dois métodos para fazer esse cálculo. a) Escolher as duas extremidades da corda uiformemete o círculo. b) Escolher o cetro da corda uiformemete o iterior do disco. No caso a) se pode uma vez que uma estremidade fica fixada, a corda fica maior do que 3 somete se o segudo poto fica um sector agular de comprimeto 2π/3. Etão a probabilidade vale(2π/3)/(2π) = 1/3. 22

23 2.3. UM CASO IMPORTANTE: Ω = R No caso b), pra corda ficar maior do que 3, o cetro dela deve ficar o circulo iscrito do triagulo equilateral, cujo raio e 1/2. Etão a probabilidade vale o ratio das áreas que é 1/4. Obtemos etão duas respostas diferete para essa perguta simples, o que e ada surpreedete: a) e b) correspodem a dois experimeto diferetes com espaços amostrais diferetes. Exercício ) Descreve o espaço amostral e as lei de probabilidade associadas para os experimetos a) e b) 2) Calcule esperaça do comprimeto da corda em cada caso. Cocluir. 3) Estude o caso seguite: escolhe um raio uiforme do disco, pois escolhe uiformemete o raio o poto médio da corda Desigualdade de Markov Um objectivo de muitos problemas a probabilidade e de dar cotas para probabilidade de certos evetos. Usado a oção e esperaça, obtemos um jeito muito simples de obter tais cotas. Teorema Se X 0 P-q.c., etão para todo x > 0, Demostração. Sabemos que X x1 [X x], logo que termia a prova. P[X x] E(X). (2.27) x E(X) xe(1 [X x] ) = xp[x x], (2.28) O próximo exemplo serve muito bem para mostrar porque estamos iteressados em desigualdades como a do Teorema acima. Em vários exemplos importates, podemos ter dificuldade de calcular probabilidades explicitamete. Nesses casos, poderíamos gastar ossas eergias tetado calculá-las a qualquer custo, ou podemos os cotetar em obter cotas superiores e iferiores para as probabilidades as quais estamos iteressados. Em vários casos, a seguda estratégia tem uma grade vatagem sobre a primeira, por possibilitar que estudemos problemas mais complexos (e cosequetemete mais importates/iteressates) e muitas vezes sem os afastarmos da realidade (em vários exemplos as cotas superiores e iferiores são próximas o suficiete para que ão os preocupemos). 23

24 CAPÍTULO 2. CONSTRUÇÃO DE ESPAÇOS DE PROBABILIDADE BÁSICOS 24

25 Capítulo 3 Idepedêcia e espaços produtos 3.1 Idepedêcia Nossa ituição os diz que quado jogamos duas moedas, o resultado de cada uma delas ão deve depeder um do outro. Dessa forma, a probabilidade de obtermos um determiado resultado (como por exemplo duas caras) deve ser um quarto, ou seja meio vezes meio. Em geral, defiimos dois evetos como idepedetes da seguite forma. Defiição Dizemos que dois evetos A, B F, são idepedetes se P(A B) = P(A)P(B). (3.1) Exemplo Se Ω = {1,..., 6} é dotada da σ-álgebra das partes e e P(A) = #A/6, etão os evetos A = [ω é impar] e B = [ω 5] satisfazem P(A B) = P({5}) = 1/6 = (1/2)(1/3) = P(A)P(B). (3.2) Logo tais evetos são idepedetes. Exercício Seja Ω = {0, 1} com P(A) = #A/2 e X i (ω 1,..., ω ) = ω i para i = 1,...,. Mostre que para qualquer i = j P[X i = a ; X j = b] = P[X i = a]p[x j = b], (3.3) ode[a ; B] deota a iterseção [A] [B]. 25

26 CAPÍTULO 3. INDEPENDÊNCIA E ESPAÇOS PRODUTOS Coleções de evetos Defiição Sejam A 1, A 2,..., A k evetos. Dizemos que eles formam uma coleção idepedete se para todo I {1,..., k} ão vazio P ( ) i I A i = P(A i ). (3.4) i I Vale observar que idepedêcia dois a dois ão implica idepedêcia. Mais precisamete Exemplo Seja Ω = {1, 2, 3, 4} com P(A) = #A/4 e sejam os seguites evetos: A 1 = {1, 2}, A 2 = {2, 3} e A 3 = {1, 3}. Nesse caso, a) P(A i ) = 1/2 para i = 1, 2, 3, b) P(A i A j ) = 1/4 para todo i = j mas c) P(A 1 A 2 A 3 ) = 0 = 1/8 = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ). Exemplo Sejam patos e m caçadores. Cada caçador escolhe um pato aleatoriamete e uiformemete e atira (abatedo-o com probabilidade p). Seja X = #{patos vivos}, que pode ter uma distribuição complicada de calcular, mas Observe que ( ) E(X) = E [pato i vive] = 1 P[pato i vive] ( m ) = P[pato 1 vive] = P [caçador j ão mata pato 1] j=1 ( = P[caçador j ão mata pato 1] m = 1 p ). a) acima obtivemos uma igualdade e b) [pato i vive], i = 1,..., ão são idepedetes. Fialmete estimamos (digamos para par) P[patos para o jatar < /2] = P[X /2] E(X) /2 = 2 ( 1 p ) m pm 2 exp{ }. (3.5) (3.6) Defiição Dizemos que uma coleção ifiita de evetos (A ) 1 é idepedete se toda sub-coleção fiita de tais evetos forem idepedetes. Lema Se (A ) 1 forma uma sequecia de evetos idepedetes, etão ( ) P A i = 26 P(A i ). (3.7)

27 3.1. INDEPENDÊNCIA Demostração. De fato, ( ) ( ) P A i = lim P A i = lim P(A i ) = P(A i ). Exercício Mostre que se A F, etão {B F : B é idepedete de A} é um λ-sistema. Mostre que este cojuto ão e ecessariamete uma σ-álgebra. Exercício Mostre que se B é idepedete de A para todo B B, com B um π-sistema, etão B é idepedete de A para todo B σ(b) Idepedêcia de elemetos aleatórios Vamos começar com a oção de σ-álgebras idepedetes Defiição Dado um espaço de probabilidade (Ω, P,F) Dizemos que as σ- álgebra F 1,...,F F são idepedetes se A 1 F 1,..., A F, P( A i) = Nessa defiição podemos cosiderar uma coleção ifiita eumerável. P(A i ). (3.8) Exercício Seja A 1,... A uma coleção de evetos. Mostrar que as σ-álgebras F 1,...F defiidas for F i := {, A i, A i, Ω} são idepedetes se e só se os evetos A 1,... A o são. Podemos esteder esse coceito a elemetos aleatórios, ou seja: Defiição Sejam X 1,..., X k elemetos aleatórios defiidos respetivamete os espaços (E i,a i ) para i = 1,..., k. Dizemos que X 1,..., X k são idepedetes se as respectivas σ-álgebras σ(x 1 ),..., σ(x k ) o forem. De jeito equivalete as variáveis são idepedete se A 1 A 1,..., A k A k, P([X 1 A 1 ] [X k A k ]) = k P[X i A i ]. Nessa defiição podemos cosiderar também uma coleção ifiita eumerável. (3.9) Quado X 1,..., X k são elemetos aleatórios idepedetes e com a mesma distribuição, escrevemos que X i são i.i.d. (idepedetes e ideticamete distribuídos). Exemplo Cosideramos Ω = R 2, e P com desidade com respeito a Lebesgue ρ 1 (ω 1 )ρ 2 (ω 2 ). Etão as variáveis coordeadas X 1 e X 2 são idepedetes com distribuições respectivas P i (dx) = ρ i (x)dx. 27

28 CAPÍTULO 3. INDEPENDÊNCIA E ESPAÇOS PRODUTOS Se Ω 1 e Ω 2 são espaços eumeráveis e P 1 P 2 são probabilidades. Podemos defiir P a probabilidade em Ω = Ω 1 Ω 2 por p (ω1,ω 2 ) = P 1 ({ω 1 })P 2 ({ω 2 }). Com essa defiição as variáveis X i : Ω Ω i defiidas por X i (ω) = ω i são idepedetes. Do Exercício 3.1.7, podemos deduzir que se A 1,..., A são evetos idepedetes, as fuções idicadoras associadas são idepedetes (e reciprocamete). Exercício Com a otação do exercício aterior, mostre que as fuções X i : Ω 1 Ω 2 Ω i dadas por X 1 (x, y) = x e X 2 (x, y) = y, (3.10) são elemetos aleatórios e são idepedetes. Exercício Mostre que as coordeadas caôicas do exercício aterior o caso X i : R 2 R ão são idepedetes segudo a medida U S 1. Mas o são segudo U [0,1] 2 (que é a medida de Lebesgue em R 2 restrita a[0, 1] 2 ). Exercício Seja Ω = {0, 1} com P(A) = #A/2 e X i (ω 1,..., ω ) = ω i para i = 1,...,. Mostre que os X i são idepedetes. Exercício Sejam (X i ) i 1 elemetos aleatórios idepedetes tomado valores em espaços (E i ) i 1, respectivamete. Mostre que para fuções mesuráveis ( f i ) i 1 temos que ( f i (X i )) i 1 são idepedetes. Exercício Mostre que se X, Y são elemetos aleatórios e se X é costate quase certamete etão X e Y são idepedetes. Exercício Sejam X e Y variáveis aleatórias idepedetes com distribuição Exp(1), calcule a distribuição de a) mi{x, Y} e b) X+ Y. Exercício Sejam X, Y variáveis aleatórias tais que { 0 if x < 0, P[X x, Y y] = ) (1 e )( x 12 + π 1 ta 1 y, if x 0. (3.11) a) Mostre que a distribuição cojuta µ (X,Y) é absolutamete cotíua com relação à medida de Lebesgue em R 2. b) Mostre que X e Y são idepedetes. 28

29 3.1. INDEPENDÊNCIA Exercício Mostre que se X, Y são variáveis aleatórias idepedetes com distribuições X d f X (x) dx e Y d f Y (y) dy, etão X+ Y tem distribuição absolutamete cotíua com respeito a Lebesgue e f X+Y (z) = f Y (z x) f X (x) dx. (3.12) Lema (Borel-Catelli - seguda parte). Se A 1, A 2, F são idepedetes e p i = P(A i ) satisfazem i p i =, etão Demostração. Queremos mostrar que mas ( ( P i= P[A i ifiitas vezes] = 1. (3.13) ( ( P i= ) ) ( c A i = P A i ) c ) = 0, (3.14) A c i i= ) ( ) P A c i. (3.15) i= Logo basta mostrar que a probabilidade à direita é zero para todo. Mas ( ) P A c i = i= P(A c i ) = (1 p i ) i= i= i= Termiado a prova do lemma. exp{ p i } = exp { Esperaça e idepedêcia i= p i } = 0. (3.16) Provamos agora uma propriedade fudametal de variáveis aleatórias idepedetes. Proposição Sejam X e Y variáveis aleatórias idepedetes e itegráveis, etão XY e itegrável e E(XY) = E(X)E(Y). (3.17) Demostração. Começamos para verificar o resultado para fuções simples. Se α 1,..., α e β 1,..., β m são os possíveis valores de X e Y temos E[XY] := m j=1 = α i β j P[X = α i, Y = β j ] = ( α i β j P[X = α i ] m j=1 )( m gb j P[Y = β j ] j=1 α i β j P[X = α i ]P[Y = β j ] ) = E[X]E[Y], (3.18) 29

30 CAPÍTULO 3. INDEPENDÊNCIA E ESPAÇOS PRODUTOS ode tehamos usado idepedêcia de X e Y a seguda igualdade. Para fuções positivas usamos Exercício para ver que X = 2 2 X, e Y = 2 2 Y são fuções simples idepedetes e covergem mootoicamete para X e Y. Por Covergêcia Moótoa (usado duas vezes)temos E[XY] = lim E[X Y ] = lim E[X ]E[Y ] = E[X]E[Y]. (3.19) Em particular XY e itegrável se X e Y o são. Fialmete, para X e Y itegráveis decompomos X = X + X e Y = Y + Y. Temos XY = X + Y + X + Y X Y + + X Y Pelo Exercício , são quatro produtos de variáveis idepedetes. em cosequêcia XY e itegrável e podemos cocluir por liearidade. Observação Obviamete a recíproca ão vale. Se X e uma variável com distribuição U[ 1, 1] e Y = X, etão E[XY] = 0 mas P[X [ 1/2, 1/2] ; Y > 1/2] = 0 = P(X [ 1/2, 1/2])P(Y > 1/2) = 1/4. Corolário Sejam X 1,..., X variáveis aleatórias idepedetes e itegráveis, etão X i e itegrável e E[ X ] = E[X i ]. (3.20) Demostração. Vamos prosseguir por idução. O resultado já foi provado para = 1 e = 2. Supodo o resultado para 2, vamos provar ele para +1. Sabemos que o vector(x 1,..., X ) e idepedete de X +1??. Em cosequêcia Z := X e idepedete de X +1 (Exercício ). Sabemos que Z e itegrável pela hipótese de recorrêcia e temos usado o resultado para = 2 que e de ovo a hipótese de recorrêcia, cocluímos que +1 X i e itegrável e que +1 E[ X i ] = E[Z ]E[X +1 ] = ( E[X i ] ) E[X +1 ]. (3.21) 3.2 Espaços produto fiito Dados espaços Ω 1,..., Ω com suas respectivas σ-álgebras F 1,...,F, podemos defiir o espaço mesurável produto (Ω,F) da seguite forma Ω = ( ) Ω i e F = σ {A 1 A : i {1,..., }, A i F i }. (3.22) 30

31 3.2. ESPAÇOS PRODUTO FINITO Essa σ-álgebra e chamada de σ-álgebra produto e deotaremos ela por F i, o F 1 F 2 quado = 2. Proposição Se(Ω 1,F 1, P 1 ),...,(Ω,F, P ) são espaços de probabilidade, etão existe uma úica probabilidade P o espaço mesurável (Ω,F) tal que P(A 1 A ) = Essa probabilidade é chamada probabilidade produto. Demostração. Teoria da Medida. P i (A i ), para todos A i F i, i. (3.23) Notação Usaremos a otação P i o P 1 P 2 P. Note que a uicidade do produto pode ser cocluída por exemplo usado o Corolário Proposição Se Ω := Ω i e P := P i etão os elemetos aleatórios X i defiidos pelas projeções sob as coordeadas X i (ω) = ω i são idepedetes de distribuição respectivas P i Demostração. Exercício. Provideciamos agora um exemplo que da uma aplicação da desigualdade de Markov, Teorema Em vários exemplos importates, podemos ter dificuldade de calcular probabilidades explicitamete. Nesses casos, poderíamos gastar ossas eergias tetado calculá-las a qualquer custo, ou podemos os cotetar em obter cotas superiores e iferiores para as probabilidades as quais estamos iteressados. Em vários casos, a seguda estratégia tem uma grade vatagem sobre a primeira, por possibilitar que estudemos problemas mais complexos (e cosequetemete mais importates/iteressates) e muitas vezes sem os afastarmos da realidade (em vários exemplos as cotas superiores e iferiores são próximas o suficiete para que ão os preocupemos). Exemplo Sejam patos e m caçadores. Cada caçador escolhe um pato aleatoriamete e uiformemete e atira (abatedo-o com probabilidade p). Seja X = #{patos vivos}, que pode ter uma distribuição complicada de calcular, mas Observe que ( ) E(X) = E [pato i vive] = 1 P[pato i vive] ( m ) = P[pato 1 vive] = P [caçador j ão mata pato 1] j=1 ( = P[caçador j ão mata pato 1] m = 1 p ). 31 (3.24)

32 CAPÍTULO 3. INDEPENDÊNCIA E ESPAÇOS PRODUTOS a) acima obtivemos uma igualdade e b) [pato i vive], i = 1,..., ão são idepedetes. Fialmete estimamos (digamos para par) P[patos para o jatar < /2] = P[X /2] E(X) /2 = 2 ( 1 p ) m pm 2 exp{ }. (3.25) Observação No caso ode P X tem suporte em{a, b} o resultado e simplesmete a defiição da covexidade. No caso ϕ(x) = x p, p > 1, o resultado pode ser cosiderado e uma cosequêcia imediata da desigualdade de Hölder. No caso φ(x) = x, o resultado da a desigualdade triagular geeralizada (que e valida para itegrais com respeito a medidas positivas). Exercício Mostre que o produto de cópias de ({0, 1},P({0, 1}), Ber(1/2)) é a distribuição uiforme em{0, 1}. Exercício Em um espaço produto(ω 1 Ω 2,F 1 F 2, P 1 P 2 ), podemos defiir F 1 = {A Ω 2 : A F 1 }, F 2 = {Ω 1 B : B F 2 }. (3.26) Mostre que essas σ-álgebras são idepedetes. Exercício Seja um espaço produto de medidas(ω 1 Ω 2,F 1 F 2, µ 1 µ 2 ) e defia a probabilidade P atravéz de dp = ρ(x, y) d(µ 1 µ 2 ). (3.27) Mostre esse caso que as coordeadas caôicas X 1 e X 2 são idepedetes se e somete se existem ρ 1 e ρ 2 em Ω 1 e Ω 2 respectivamete, tais que ρ(x, y) = ρ 1 (x)ρ 2 (y) quase certamete com respeito a µ 1 µ 2. Exercício Sejam (X i ) i 1 elemetos aleatórios idepedetes. Defiimos Y i := (X 2i 1, X 2i. Mostrar que os elemetos (Y i ) i 1 são idepedetes Exercício Sedo X 1,..., X variáveis de Beroulli idepedetes, dar a distribuição de Z = X i. 32

33 TÓPICO: LEI DOS PEQUENOS NÚMEROS Tópico: Lei dos pequeos úmeros Nessa seção estudaremos como se comportam limites de algumas variáveis aleatórias bastate importates, mas primeiramete, uma breve ituição. Apesar de que descreveremos a ossa motivação a partir desse exemplo do estudo de um material radioativo, podemos ecotrar aplicações com justificativas bastate semelhates para outros problemas, como: chegada de carros em um sial de trâsito, úmero de mutações em um gee, úmero de mortes por ao em uma faixa etária... Digamos que estamos observado um material radioativo que esporadicamete emite fótos que podemos detectar atravéz de um aparelho. A razão dessas emissões pode ser aproximada pelo seguite modelo. Na amostra temos um úmero grade de átomos istáveis ( ) e em um determiado tempo de observação, cada um deles tem probabilidade muito baixa de decair emitido um fóto (digamos p ). Nesse caso, supodo que todos decidam emitir de maeira idepedete, temos para p [0, 1], Ω = {0, 1}, F = P(Ω) e P p = Ber(p). (3.28) Dessa forma, o úmero total de emissões observadas para ω = (ω 1,..., ω ) Ω é X (ω) = ω i. (3.29) E gostaríamos de eteder como se comporta essa distribuição, que ada mais é que Bi(, p). Uma primeira tetativa seria modelar esse processo dizedo que o úmero de átomos é tão grade, que somete estamos iteressados o comportameto assimtótico quado vai para ifiito. Mas para mater o úmero de emissões sob cotrole, também gostaríamos que p = p, que coverge a zero. Poderíamos por exemplo escolher p = λ. (3.30) Mas a discussão que se segue é muito mais geral que essa escolha específica. Como estaremos iteressados em um regime assitótico da distribuição de X p (lembre que apesar do espaço amostral de X variar com, sua distribuição é sempre uma probabilidade em N). Mas para falar de regimes assitóticos, precisamos de defiir uma oção de distâcia etre duas distribuições em N. Defiição Dadas duas distribuições µ 1 e µ 2 em (Ω,A), defiimos µ 1 µ 2 VT = sup µ 1 (A) µ 2 (A), (3.31) A A chamada de distâcia em variação total etre µ 1 e µ 2. 33

34 CAPÍTULO 3. INDEPENDÊNCIA E ESPAÇOS PRODUTOS No osso caso, Ω é eumerável. Vamos ver que esse caso é possível reescrever a defiição acima de modo a ver mais facilmete que se trata de uma distâcia o espaço de probabilidades em Ω. Lema Se Ω for fiito o eumerável, etão podemos escrever µ 1 µ 2 VT = 1 2 µ 1 (x) µ 2 (x). (3.32) x Ω Demostração. Para mostrar que o lado esquerdo é maior ou igual ao direito, escolhemos A = {x Ω : µ 2 (x) µ 1 (x)}. Assim dode µ 1 (x) µ 2 (x) = µ 1 (A) µ 2 (A) x A = µ 1 (A c ) µ 2 (A c ) = µ 2 (x) µ 1 (x), x A c (3.33) µ 1 µ 2 VT µ 1 (A) µ 2 (A) = 1 2 i µ 1 (x i ) µ 2 (x i ). (3.34) Na outra direção, observe que para todo B Ω, µ 1 (x i ) µ 2 (x i ) µ 1 (x) µ 2 (x)+ µ 1 (x) µ 2 (x) i x B x B c = µ 1 (B) µ 2 (B)+(1 µ 2 (B)) (1 µ 1 (B)) = 2(µ 1 (B) µ 2 (B)). O que termia a prova do lema. Fica agora claro que µ 1 µ 2 VT determia uma distâcia. (3.35) Exercício Mostre um lema aálogo ao aterior para(ω, A) qualquer, desde que µ 1 e µ 2 sejam absolutamete cotíuas com relação à uma medida fixa esse espaço mesurável. Nesse caso utilizaremos as derivadas de Rado Nikodym. Como estaremos iteressados em variáveis idepedetes, precisamos de um resultado que relacioe a distâcia em variação total com produtos de medida. Isso é parte do seguite Lema Sejam µ 1, µ 2 distribuições em Ω e ν 1, ν 2 distribuições em y ambos eumeráveis. Etão µ 1 ν 1 µ 2 ν 2 VT µ 1 µ 2 VT + ν 1 ν 2 VT. (3.36) Demostração. Basta expadir 2 µ 1 ν 1 µ 2 ν 2 VT = µ 1 (x)ν 1 (y) µ 2 (x)ν 2 (y) x Ω,y Ω µ 1 (x)ν 1 (y) µ 1 (x)ν 2 (y) + µ 1 (x)ν 2 (y) µ 2 (x)ν 2 (y) x Ω,y Ω 2 µ 1 µ 2 VT + 2 ν 1 ν 2 VT. 34 (3.37)

35 TÓPICO: LEI DOS PEQUENOS NÚMEROS Ode acima ós usamos que µ 1 e ν 2 são probabilidades. Isso termia a prova do lema. Fialmete, gostaríamos de eteder como a distâcia de variação total se comporta com respeito à soma de variáveis idepedetes. Isso estará ligado à covolução de distribuições: Defiição Dadas, µ e ν distribuições em Z, defiimos a distribuição (µ ν)(x) := µ(x y)ν(y). (3.38) y Z Essa defiição se relacioa com a soma de variáveis idepedetes graças ao seguite Exercício Se X d µ e Y d ν são variáveis aleatórias iteiras e idepedetes, etão X + Y d µ ν. Dica: particioe o espaço amostral os evetos [X = j], para j Z, como a prova do Lema abaixo. Corolário Se µ e ν são distribuições em Z, etão µ ν = ν µ. Como prometido, obtemos a seguite relação etre a covolução e a distâcia de variação total. Lema Sejam µ, ν duas medidas em Ω eumerável e X : (Ω, P(Ω)) (E, A) um elemeto aleatório X µ X ν VT µ ν VT. (3.39) Em particular se µ 1, µ 2, ν 1, ν 2 são distribuições em Z, etão µ 1 ν 1 µ 2 ν 2 VT µ 1 ν 1 µ 2 ν 2 VT (3.40) Demostração. O segudo poto segue do primeiro aplicado ao caso Ω = Z 2, E = Z e X : (x, y) (x+y). Pelo primeiro, observamos 2 X µ X ν VT = µ(x(ω) = x) ν(x(ω) = x) x E = µ(ω) ν(ω) x E {ω Ω : X(ω)=x} (3.41) µ(ω) ν(ω) ω Ω = 2 µ ν VT. Para euciar o resultado pricipal dessa seção, vamos apresetar uma distribuição em N bastate importate, que em particular se comporta muito bem com respeito a somas de variáveis idepedetes, como veremos. 35