Independência e espaços produtos

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1 Capítulo 3 Idepedêcia e espaços produtos 3.1 Idepedêcia Nossa ituição os diz que quado jogamos duas moedas, o resultado de cada uma delas ão deve depeder um do outro. Dessa forma, a probabilidade de obtermos um determiado resultado (como por exemplo duas caras) deve ser um quarto, ou seja meio vezes meio. Em geral, defiimos dois evetos como idepedetes da seguite forma. Defiição Dizemos que dois evetos A, B F, são idepedetes se P(A B) = P(A)P(B). (3.1) Exemplo Se Ω = {1,..., 6} é dotada da σ-álgebra das partes e e P(A) = #A/6, etão os evetos A = [ω é impar] e B = [ω 5] satisfazem P(A B) = P({5}) = 1/6 = (1/2)(1/3) = P(A)P(B). (3.2) Logo tais evetos são idepedetes. Exercício Seja Ω = {0, 1} com P(A) = #A/2 e X i (ω 1,..., ω ) = ω i para i = 1,...,. Mostre que para qualquer i = j P[X i = a ; X j = b] = P[X i = a]p[x j = b], (3.3) ode [A ; B] deota a iterseção [A] [B]. 27

2 CAPÍTULO 3. INDEPENDÊNCIA E ESPAÇOS PRODUTOS Coleções de evetos Defiição Sejam A 1, A 2,..., A k evetos. Dizemos que eles formam uma coleção idepedete se para todo I {1,..., k} ão vazio P ( ) i I A i = P(A i ). (3.4) i I Vale observar que idepedêcia dois a dois ão implica idepedêcia. Mais precisamete Exemplo Seja Ω = {1, 2, 3, 4} com P(A) = #A/4 e sejam os seguites evetos: A 1 = {1, 2}, A 2 = {2, 3} e A 3 = {1, 3}. Nesse caso, a) P(A i ) = 1/2 para i = 1, 2, 3, b) P(A i A j ) = 1/4 para todo i = j mas c) P(A 1 A 2 A 3 ) = 0 = 1/8 = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ). Exemplo Sejam patos e m caçadores. Cada caçador escolhe um pato aleatoriamete e uiformemete e atira (abatedo-o com probabilidade p). Seja X = #{patos vivos}, que pode ter uma distribuição complicada de calcular, mas Observe que ( ) E(X) = E 1 [pato i vive] = P[pato i vive] ( m ) = P[pato 1 vive] = P [caçador j ão mata pato 1] j=1 ( = P[caçador j ão mata pato 1] m = 1 p ). a) acima obtivemos uma igualdade e b) [pato i vive], i = 1,..., ão são idepedetes. Fialmete estimamos (digamos para par) P[patos para o jatar < /2] = P[X /2] E(X) /2 = 2 ( 1 p ) m pm 2 exp{ }. (3.5) (3.6) Defiição Dizemos que uma coleção ifiita de evetos (A ) 1 é idepedete se toda sub-coleção fiita de tais evetos forem idepedetes. Lema Se (A ) 1 forma uma sequecia de evetos idepedetes, etão ( ) P A i = 28 P(A i ). (3.7)

3 3.1. INDEPENDÊNCIA Demostração. De fato, ( ) ( ) P A i = lim P A i = lim P(A i ) = P(A i ). Exercício Mostre que se A F, etão {B F : B é idepedete de A} é um λ-sistema. Mostre que este cojuto ão e ecessariamete uma σ-álgebra. Exercício Mostre que se B é idepedete de A para todo B em B, com B um π-sistema, etão B é idepedete de A para todo B em σ(b) Idepedêcia de elemetos aleatórios Vamos começar com a oção de σ-álgebras idepedetes Defiição Dado um espaço de probabilidade (Ω, P, F) Dizemos que as σ-álgebra F 1,..., F F são idepedetes se A 1 F 1,..., A F, P( A i) = Nessa defiição podemos cosiderar uma coleção ifiita eumerável. P(A i ). (3.8) Exercício Seja A 1,... A uma coleção de evetos. Mostrar que as σ-álgebras F 1,... F defiidas for F i := {, A i, A i, Ω} são idepedetes se e só se os evetos A 1,... A o são. Podemos esteder esse coceito a elemetos aleatórios, ou seja: Defiição Sejam X 1,..., X k elemetos aleatórios defiidos respetivamete os espaços (E i, A i ) para i = 1,..., k. Dizemos que X 1,..., X k são idepedetes se as respectivas σ-álgebras σ(x 1 ),..., σ(x k ) o forem. De jeito equivalete as variáveis são idepedete se A 1 A 1,..., A k A k, P([X 1 A 1 ] [X k A k ]) = k P[X i A i ]. Nessa defiição podemos cosiderar também uma coleção ifiita eumerável. (3.9) Quado X 1,..., X k são elemetos aleatórios idepedetes e com a mesma distribuição, escrevemos que X i são i.i.d. (idepedetes e ideticamete distribuídos). Exemplo Cosideramos Ω = R 2, e P com desidade com respeito a Lebesgue ρ 1 (ω 1 )ρ 2 (ω 2 ). Etão as variáveis coordeadas X 1 e X 2 são idepedetes com distribuições respectivas P i (dx) = ρ i (x)dx. 29

4 CAPÍTULO 3. INDEPENDÊNCIA E ESPAÇOS PRODUTOS Se Ω 1 e Ω 2 são espaços eumeráveis e P 1 P 2 são probabilidades. Podemos defiir P a probabilidade em Ω = Ω 1 Ω 2 por p (ω1,ω 2 ) = P 1 ({ω 1 })P 2 ({ω 2 }). Com essa defiição as variáveis X i : Ω Ω i defiidas por X i (ω) = ω i são idepedetes. Do Exercício 3.1.7, podemos deduzir que se A 1,..., A são evetos idepedetes, as fuções idicadoras associadas são idepedetes (e reciprocamete). Exercício Com a otação do exercício aterior, mostre que as fuções X i : Ω 1 Ω 2 Ω i dadas por são elemetos aleatórios e são idepedetes. X 1 (x, y) = x e X 2 (x, y) = y, (3.10) Exercício Mostre que as coordeadas caôicas do exercício aterior o caso X i : R 2 R ão são idepedetes segudo a medida U S 1. Mas o são segudo U [0,1] 2 (que é a medida de Lebesgue em R 2 restrita a [0, 1] 2 ). Exercício Seja Ω = {0, 1} com P(A) = #A/2 e X i (ω 1,..., ω ) = ω i para i = 1,...,. Mostre que os X i são idepedetes. Exercício Sejam (X i ) i 1 elemetos aleatórios idepedetes tomado valores em espaços (E i ) i 1, respectivamete. Mostre que para fuções mesuráveis ( f i ) i 1, as variaveis ( f i (X i )) i 1 são idepedetes. Exercício Mostre que se X, Y são elemetos aleatórios e se X é costate quase certamete etão X e Y são idepedetes. Exercício Seja X 1,..., X uma colecção de variaveis idepedetes e k 1, 1: etão os vetores Y 1 = (X 1,..., X k ), e Y 2 = (X k+1,..., X ) são idepedetes. Exercício Sejam X e Y variáveis aleatórias idepedetes com distribuição Exp(1), calcule a distribuição de a) mi{x, Y} e b) X + Y. Exercício Sejam X, Y variáveis aleatórias tais que { 0 if x < 0, P[X x, Y y] = ) (1 e )( x 12 + π 1 ta 1 y, if x 0. (3.11) a) Mostre que a distribuição cojuta µ (X,Y) é absolutamete cotíua com relação à medida de Lebesgue em R 2. 30

5 3.1. INDEPENDÊNCIA b) Mostre que X e Y são idepedetes. Lema (Borel-Catelli - seguda parte). Se A 1, A 2, F são idepedetes e p i = P(A i ) satisfazem i p i =, etão P[lim sup A i ] = P[ Demostração. Queremos mostrar que Temos ( ) ( P A i = P 0 i 0 i 1 i A i ] = 1. (3.12) ( ) P A i = 0. (3.13) 0 i ) A i lim P ( i ) A i, (3.14) ode usamos que a uião cosiderada e crescete. Logo basta mostrar que a probabilidade à direita é zero para todo. Mas ( ) P A i = i= P(A i ) = (1 p i ) i= i= i= Termiado a prova do lemma. exp{ p i } = exp { Esperaça e idepedêcia i= p i } = 0. (3.15) Provamos agora uma propriedade fudametal de variáveis aleatórias idepedetes. Proposição Sejam X e Y variáveis aleatórias idepedetes e itegráveis, etão XY e itegrável e E(XY) = E(X)E(Y). (3.16) Demostração. Começamos para verificar o resultado para fuções simples. Se α 1,..., α e β 1,..., β m são os possíveis valores de X e Y temos E[XY] := m j=1 = α i β j P[X = α i, Y = β j ] = ( α i β j P[X = α i ] ) ( m j=1 m j=1 α i β j P[X = α i ]P[Y = β j ] β j P[Y = β j ] ) = E[X]E[Y], (3.17) 31

6 CAPÍTULO 3. INDEPENDÊNCIA E ESPAÇOS PRODUTOS ode tehamos usado idepedêcia de X e Y a seguda igualdade. Para variáveis positivas usamos Exercício para ver que X = mi(2 2 X, ), e Y = mi(2 2 Y, ) são variáveis simples idepedetes e covergem mootoamete para X e Y. Por Covergêcia Moótoa (usado duas vezes) temos E[XY] = lim E[X Y ] = lim E[X ]E[Y ] = E[X]E[Y]. (3.18) Em particular XY e itegrável se X e Y o são. Fialmete, para X e Y itegráveis decompomos X = X + X e Y = Y + Y. Temos XY = X + Y + X + Y X Y + + X Y Pelo Exercício , são quatro produtos de variáveis idepedetes. em cosequêcia XY e itegrável e podemos cocluir por liearidade. Observação Obviamete a recíproca ão vale. Se X e uma variável com distribuição U[ 1, 1] e Y = X, etão E[XY] = 0 mas P[X [ 1/2, 1/2] ; Y > 1/2] = 0 = P(X [ 1/2, 1/2])P(Y > 1/2) = 1/4. Corolário Sejam X 1,..., X variáveis aleatórias idepedetes e itegráveis, etão X i e itegrável e E [ X ] = E [X i ]. (3.19) Demostração. Vamos prosseguir por idução. O resultado já foi provado para = 1 e = 2. Supodo o resultado para 2, vamos provar ele para + 1. Sabemos que o vector (X 1,..., X ) e idepedete de X +1??. Em cosequêcia Z := X e idepedete de X +1 (Exercício ). Sabemos que Z e itegrável pela hipótese de recorrêcia e temos usado o resultado para = 2 que e de ovo a hipótese de recorrêcia, cocluímos que +1 X i e itegrável e que +1 E[ X i ] = E[Z ]E[X +1 ] = ( E[X i ] ) E[X +1 ]. (3.20) 3.2 Espaços produto fiito Dados espaços Ω 1,..., Ω com suas respectivas σ-álgebras F 1,..., F, podemos defiir o espaço mesurável produto (Ω, F) da seguite forma Ω = ( ) Ω i e F = σ {A 1 A : i {1,..., }, A i F i }. (3.21) 32

7 3.2. ESPAÇOS PRODUTO FINITO Essa σ-álgebra e chamada de σ-álgebra produto e deotaremos ela por F i, o F 1 F 2 quado = 2. Proposição Se (Ω 1, F 1, P 1 ),..., (Ω, F, P ) são espaços de probabilidade, etão existe uma úica probabilidade P o espaço mesurável (Ω, F) tal que para todos A i F i, i. P(A 1 A ) = Essa probabilidade é chamada probabilidade produto. Demostração. Teoria da Medida. Notação Usaremos a otação P i o P 1 P 2 P. P i (A i ), (3.22) Note que a uicidade do produto pode ser cocluída por exemplo usado a Proposição Proposição Se Ω := Ω i e P := P i etão os elemetos aleatórios X i defiidos pelas projeções sob as coordeadas X i (ω) = ω i são idepedetes de distribuição respectivas P i Demostração. Exercício. Provideciamos agora um exemplo que da uma aplicação da desigualdade de Markov, Teorema Em vários exemplos importates, podemos ter dificuldade de calcular probabilidades explicitamete. Nesses casos, poderíamos gastar ossas eergias tetado calculá-las a qualquer custo, ou podemos os cotetar em obter cotas superiores e iferiores para as probabilidades as quais estamos iteressados. Em vários casos, a seguda estratégia tem uma grade vatagem sobre a primeira, por possibilitar que estudemos problemas mais complexos (e cosequetemete mais importates/iteressates) e muitas vezes sem os afastarmos da realidade (em vários exemplos as cotas superiores e iferiores são próximas o suficiete para que ão os preocupemos). Exemplo Sejam patos e m caçadores. Cada caçador escolhe um pato aleatoriamete e uiformemete e atira (abatedo-o com probabilidade p). Seja X = #{patos vivos}, que pode ter uma distribuição complicada de calcular, mas ( ) E(X) = E 1 [pato i vive] = P[pato i vive] ( m ) = P[pato 1 vive] = P [caçador j ão mata pato 1] j=1 ( = P[caçador j ão mata pato 1] m = 1 p ). (3.23) Observe que 33

8 CAPÍTULO 3. INDEPENDÊNCIA E ESPAÇOS PRODUTOS a) acima obtivemos uma igualdade e b) [pato i vive], i = 1,..., ão são idepedetes. Fialmete estimamos (digamos para par) P[patos para o jatar < /2] = P[X /2] E(X) /2 = 2 ( 1 p ) m pm 2 exp{ }. (3.24) Exercício Mostre que o produto de cópias de ({0, 1}, P({0, 1}), Ber(1/2)) é a distribuição uiforme em {0, 1}. Exercício Em um espaço produto (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2, P 1 P 2 ), podemos defiir F 1 = {A Ω 2 : A F 1 }, F 2 = {Ω 1 B : B F 2 }. (3.25) Mostre que essas σ-álgebras são idepedetes. Exercício Seja um espaço produto de medidas (Ω 1 Ω 2, F 1 F 2, µ 1 µ 2 ) e defia a probabilidade P atravéz de dp = ρ(x, y) d(µ 1 µ 2 ). (3.26) Mostre esse caso que as coordeadas caôicas X 1 e X 2 são idepedetes se e somete se existem ρ 1 e ρ 2 em Ω 1 e Ω 2 respectivamete, tais que ρ(x, y) = ρ 1 (x)ρ 2 (y) quase certamete com respeito a µ 1 µ 2. Exercício Mostre que se X, Y são variáveis aleatórias idepedetes com distribuições X d ρ X (x) dx e Y d ρ Y (y) dy, etão X + Y tem distribuição absolutamete cotíua com respeito a Lebesgue e a desidade associada vale ρ X+Y (z) = ρ Y (z x)ρ X (x) dx. (3.27) Exercício Sejam (X i ) i 1 elemetos aleatórios idepedetes. Defiimos Y i := (X 2i 1, X 2i ). Mostrar que os elemetos (Y i ) i 1 são idepedetes Exercício Sedo X 1,..., X variáveis de Beroulli idepedetes, dar a distribuição de Z = X i. 34

9 TÓPICO: LEI DOS PEQUENOS NÚMEROS Tópico: Lei dos pequeos úmeros Nessa seção estudaremos como se comportam limites de algumas variáveis aleatórias bastate importates, mas primeiramete, uma breve ituição. Apesar de que descreveremos a ossa motivação a partir desse exemplo do estudo de um material radioativo, podemos ecotrar aplicações com justificativas bastate semelhates para outros problemas, como: chegada de carros em um sial de trâsito, úmero de mutações em um gee, úmero de mortes por ao em uma faixa etária... Digamos que estamos observado um material radioativo que esporadicamete emite fótos que podemos detectar atravéz de um aparelho. A razão dessas emissões pode ser aproximada pelo seguite modelo. Na amostra temos um úmero grade de átomos istáveis ( ) e em um determiado tempo de observação, cada um deles tem probabilidade muito baixa de decair emitido um fóto (digamos p ). Nesse caso, supodo que todos decidam emitir de maeira idepedete, temos para p [0, 1], Ω = {0, 1}, F = P(Ω) e P p = Ber(p). (3.28) Dessa forma, o úmero total de emissões observadas para ω = (ω 1,..., ω ) Ω é X (ω) = ω i. (3.29) E gostaríamos de eteder como se comporta essa distribuição, que ada mais é que Bi(, p). Uma primeira tetativa seria modelar esse processo dizedo que o úmero de átomos é tão grade, que somete estamos iteressados o comportameto assimtótico quado vai para ifiito. Mas para mater o úmero de emissões sob cotrole, também gostaríamos que p = p, que coverge a zero. Poderíamos por exemplo escolher p = λ. (3.30) Mas a discussão que se segue é muito mais geral que essa escolha específica. Como estaremos iteressados em um regime assitótico da distribuição de X p (lembre que apesar do espaço amostral de X variar com, sua distribuição é sempre uma probabilidade em N). Mas para falar de regimes assitóticos, precisamos de defiir uma oção de distâcia etre duas distribuições em N. Defiição Dadas duas distribuições µ 1 e µ 2 em (Ω, A), defiimos µ 1 µ 2 VT = sup µ 1 (A) µ 2 (A), (3.31) A A chamada de distâcia em variação total etre µ 1 e µ 2. No osso caso, Ω é eumerável. Vamos ver que esse caso é possível reescrever a defiição acima de modo a ver mais facilmete que se trata de uma distâcia o espaço de probabilidades em Ω. 35

10 CAPÍTULO 3. INDEPENDÊNCIA E ESPAÇOS PRODUTOS Lema Se Ω for fiito o eumerável, etão podemos escrever µ 1 µ 2 VT = 1 2 µ 1 (x) µ 2 (x). (3.32) x Ω Demostração. Para mostrar que o lado esquerdo é maior ou igual ao direito, escolhemos A = {x Ω : µ 2 (x) µ 1 (x)}. Assim dode µ 1 (x) µ 2 (x) = µ 1 (A) µ 2 (A) x A = µ 1 (A c ) µ 2 (A c ) = µ 2 (x) µ 1 (x), x A c (3.33) µ 1 µ 2 VT µ 1 (A) µ 2 (A) = 1 2 i µ 1 (x i ) µ 2 (x i ). (3.34) Na outra direção, observe que para todo B em Ω, µ 1 (x i ) µ 2 (x i ) µ 1 (x) µ 2 (x) + µ 1 (x) µ 2 (x) i x B x B c = µ 1 (B) µ 2 (B) + (1 µ 2 (B)) (1 µ 1 (B)) = 2(µ 1 (B) µ 2 (B)). O que termia a prova do lema. (3.35) Fica agora claro que µ 1 µ 2 VT determia uma distâcia. Exercício Mostre um lema aálogo ao aterior para (Ω, A) qualquer, desde que µ 1 e µ 2 sejam absolutamete cotíuas com relação à uma medida fixa esse espaço mesurável. Nesse caso utilizaremos as derivadas de Rado Nikodym. Como estaremos iteressados em variáveis idepedetes, precisamos de um resultado que relacioe a distâcia em variação total com produtos de medida. Isso é parte do seguite Lema Sejam µ 1, µ 2 distribuições em Ω e ν 1, ν 2 distribuições em y ambos eumeráveis. Etão µ 1 ν 1 µ 2 ν 2 VT µ 1 µ 2 VT + ν 1 ν 2 VT. (3.36) Demostração. Basta expadir 2 µ 1 ν 1 µ 2 ν 2 VT = x Ω,y Ω µ 1 (x)ν 1 (y) µ 2 (x)ν 2 (y) x Ω,y Ω µ 1 (x)ν 1 (y) µ 1 (x)ν 2 (y) + µ 1 (x)ν 2 (y) µ 2 (x)ν 2 (y) 2 µ 1 µ 2 VT + 2 ν 1 ν 2 VT. (3.37) Ode acima ós usamos que µ 1 e ν 2 são probabilidades. Isso termia a prova do lema. 36

11 TÓPICO: LEI DOS PEQUENOS NÚMEROS Fialmete, gostaríamos de eteder como a distâcia de variação total se comporta com respeito à soma de variáveis idepedetes. Isso estará ligado à covolução de distribuições: Defiição Dadas, µ e ν distribuições em Z, defiimos a distribuição (µ ν)(x) := µ(x y)ν(y). (3.38) y Z Essa defiição se relacioa com a soma de variáveis idepedetes graças ao seguite Exercício Se X d µ e Y d ν são variáveis aleatórias iteiras e idepedetes, etão X + Y d µ ν. Dica: particioe o espaço amostral os evetos [X = j], para j Z, como a prova do Lema abaixo. Corolário Se µ e ν são distribuições em Z, etão µ ν = ν µ. Como prometido, obtemos a seguite relação etre a covolução e a distâcia de variação total. Lema Sejam µ, ν duas medidas em Ω eumerável e X : (Ω, P(Ω)) (E, A) um elemeto aleatório X µ X ν VT µ ν VT. (3.39) Em particular se µ 1, µ 2, ν 1, ν 2 são distribuições em Z, etão µ 1 ν 1 µ 2 ν 2 VT µ 1 ν 1 µ 2 ν 2 VT (3.40) Demostração. O segudo poto segue do primeiro aplicado ao caso Ω = Z 2, E = Z e X : (x, y) (x + y). Pelo primeiro, observamos 2 X µ X ν VT = µ(x(ω) = x) ν(x(ω) = x) x E = µ(ω) ν(ω) x E {ω Ω : X(ω)=x} µ(ω) ν(ω) ω Ω = 2 µ ν VT. (3.41) Para euciar o resultado pricipal dessa seção, vamos apresetar uma distribuição em N bastate importate, que em particular se comporta muito bem com respeito a somas de variáveis idepedetes, como veremos. 37

12 CAPÍTULO 3. INDEPENDÊNCIA E ESPAÇOS PRODUTOS Defiição Uma variável aleatória X é dita ter distribuição de Poisso com parâmetro λ, se P[X = k] = λk e λ, para k 0 iteiro. (3.42) k! Deotamos isso por X d Poisso(λ). A distribuição de Poisso se comporta bem com respeito a somas idepedetes, como mostra o seguite Lema Sejam X d Poisso(λ 1 ) e Y d Poisso(λ 2 ) idepedetes, etão X + Y d Poisso(λ 1 + λ 2 ). Demostração. Basta calcular P[X + Y = k] = k k λ j 1 P[X = j, Y = k j] = e λ 1λ k j 2 e λ 2 j!(k j)! j=0 j=0 = e (λ 1+λ 2 ) 1 k! k j=0 k! j!(k j)! λj 1 λk j 2 = e(λ 1+λ 2 ) (λ 1 + λ 2 ) k, k! (3.43) mostrado o resultado. Nossa próxima tarefa é estimar a distâcia etre uma variável aleatória com distribuição Ber(p) e uma Poisso(p), como segue. Lema Para p [0, 1], seja µ 1 = Ber(p) e µ 2 = Poisso(p), etão, Demostração. Sabemos que µ 1 µ 2 VT p 2. (3.44) µ 1 µ 2 VT = 1 2 x = 1 2 = 1 2 µ 1 (x) µ 2 (x) ( µ 1 (0) µ 2 (0) + µ 1 (1) µ 2 (1) + x 2 ) µ 2 (x) ( ) e p (1 p) + p(1 e p ) + (1 e p pe p ) (3.45) termiado a prova. = 2 2 p(1 e p ) p 2, O teorema pricipal de covergêcia dessa seção cocere a soma de variáveis Beroulli. 38

13 TÓPICO: LEI DOS PEQUENOS NÚMEROS Teorema (Lei dos Pequeos Números). Dado, 1 e p [0, 1], supoha que Ω, F e P p sejam dados como em (3.28). Etão, Demostração. Basta observar que Bi(, p) Poisso(p) VT p 2. (3.46) X P p Poisso(p) VT Lema = Ber(p) Poisso(p) VT Lema Ber(p) Poisso(p) VT Lema Ber(p) Poisso(p) VT Lema p 2, (3.47) provado o teorema. Corolário No mesmo cotexto do teorema acima, se p = λ/, etão temos que coverge a zero com. Bi(, p) Poisso(p) VT λ 2 /, (3.48) Dizemos que a probabilidade Bi(, λ/) coverge em variação total para Poisso(p). Veremos mais tarde que existem outros tipos de covergêcia. Exercício Fixado λ > 0, seja N uma variável aleatória com distribuição Poisso(λ), isto é P[N = k] = λk e λ para k = 0, 1,... (3.49) k! Cosidere o mesmo espaço de probabilidade uma sequêcia de variáveis aleatórias X 1, X 2,... que sejam i.i.d., com distribuição Ber(1/2) e idepedetes de N. a) Calcule a distribuição de Z = N X i. b) Mostre que Z e N Z são idepedetes. 39

14 CAPÍTULO 3. INDEPENDÊNCIA E ESPAÇOS PRODUTOS 3.3 Costrução de espaços produtos ifiitos Jà vimos a secção aterior que para qualquer coleção fiita µ 1,..., µ de probabilidades defiidas em espaços E 1,..., E, podemos costruir um espaço de probabilidade (Ω, F, P), tal que existem elemetos aleatórios X i : Ω E i, i = 1,..., idepedetes, tais que (X i ) P (a escolha caôica sedo de escolher o espaço produto, a medida produto e as coordeadas). Por essa razão, faz setido de falar cosideramos X 1,..., X idepedetes de distribuição respetivas µ i, e o futuro faremos isso sem em sempre cuidar do espaço de probabilidade subjacete. Queremos obter a mesma liberdade para coleções ifiitas de elemetos aleatórios (a utilidade sedo de poder cosiderar, por exemplo limites de somas de variáveis idepedetes). Vamos cosiderar primeiro o caso de variáveis aleatórias, para qual existe uma costrução simples. Primeiro temos que itroduzir o espaço e a σ-álgebra usados a defiição de probabilidade produto. Defiição Dada uma coleção de espaços (E ) 1, defiimos o espaço produto Ω = E := { } ω = (ω ) N : 1, ω E. (3.50) =1 e os mapas X i : Ω E, defiidos para i 1 por X i (ω) = ω i, (3.51) que chamamos de coordeadas caôicas associadas ao produto Ω. Se cada E i é dotado de uma σ-álgebra A i, etão defiimos F := σ((x i ) i 1 ), (3.52) que é a meor σ-álgebra em Ω que deixa as applicações coordeadas mesúraveis. Chamamos F de σ-álgebra caôica (o σ-álgebra produto), pode ser deotada iformalmete como =1 Ω i. Exercício Mostre que em (R N, F) temos que os cojutos a) A = {lim if X / {, }}, b) B = {lim X = 4} e c) C = {lim 1 X existe} são todos mesuráveis (evetos) com respeito a F. Mostre que Y = f (lim if X ) ode f e uma fução cotiua com limite e e é uma variável aleatória em (Ω, F). Exercício Verifique as seguite afirmações 40

15 3.3. CONSTRUÇÃO DE ESPAÇOS PRODUTOS INFINITOS a) F = σ ( A 1 A k E k+1 E k+2... : k 1, A i A i, i k ), os chamados evetos retagulares. b) F = σ ( A E k+1 E k+2... : k 1, A A i A k ), cohecidos como evetos cilídricos. Com essa oção de σ-álgebra podemos itroduzir a oção de medida produto Defiição Dada uma coleção de espaços de probabilidade (E, A, µ ) 1, e sedo (Ω, F) o espaço produto associado. Chamamos de probabilidade produto dos (µ ) 1 em Ω uma probabilidade P que satisfaz N, A 1 A 1,..., A A, P(ω 1 A 1,..., ω A ) = µ i (A i ). (3.53) Isso e equivalete a dizer que as variáveis coordeadas X i (ω) são idepedetes e ideticamete distribuídas. Escrevemos P = 1 µ i. Essa probabilidade sempre existe e é úica. A prova da existêcia exige um trabalho cosiderável e deixamos ela para mais tarde. Observe que a uicidade implica que a frase X, 1 e uma sequecia de variáveis idepedetes com distribuição respectivas µ, 1 descreve totalmete a distribuição imagem de sequêcia aleatória (X ) 1. Demostração. Sabemos que F e gerada pelos evetos cilídricos que formam um π-sistema. Como, por defiição, duas probabilidade produtos tem que coicidir este π-sistema, podemos cocluir usado o Teorema π-λ. Exercício Sejam (X,m ) 1,m 1 uma sequêcia dupla de elemetos aleatórios idepedetes em E. Mostrar que sequêcia (Y ) 1 defiida por Y := (X,m ) m 1 é uma sequêcia de elemetos aleatorios em E N Costrução de uma sequêcia de variáveis Ber(1/2) idepedetes Cosideramos Ω = [0, 1] e P = U [0,1]. Para ω [0, 1], defiimos (X ) 1 a sequecia de {0, 1} N tal que ω := X (ω)2. (3.54) =1 Se tiver mais que uma, escolhemos a maior pela ordem lexicográfica. Proposição As variáveis (X ) 1 são idepedetes, com distribuição Ber(1/2). 41

16 CAPÍTULO 3. INDEPENDÊNCIA E ESPAÇOS PRODUTOS Demostração. Verificamos que para qualquer q N e ε = (ε 1,..., ε q ) {0, 1} q, temos P[X 1 = ε 1 ;... ; X q = ε q ] = 2 q. (3.55) Podemos mesmo verificar que dado uma família de evetos A i {0, 1}, somado probabilidade usado uião disjuta (3.55) tem como cosequêcia P[X 1 A 1 ;... ; X q A q ] = 2 q q #A q, (3.56) o que permite idetificar as distribuições margiais e provar idepedêcia. Para mostrar (3.55) observamos que {ω X 1 = ε 1 ;... ; X q = ε q } = [x(q, ε), x(q, ε) + 2 q ), ode x(q, ε) := q =1 ε 2, pois a defiição da medida de Lebesgue permite de cocluir Costrução de uma sequêcia de variáveis idepedetes com distribuições margiais qualquer Seja (µ ) 1 uma sequêcia de medida de probabilidade em R (com a σ álgebra de Borel). Queremos costruir um espaço de probabilidade e uma sequêcia de variáveis idepedetes X (ω) tal que que para todo N (X ) P = µ. Defiimos Ω := {0, 1} N e P sedo a medida defiida a secção aterior para qual as coordeadas Y (ω), 1 são Beroulli idepedetes de parâmetro 1/2. Cosideramos m : N N 2 a bijecção defiida por m(p, q) := (p+q)2 e defiimos Z := q=1 2 Y m(,q) 2 + p q 2. Lema As variáveis aleatórias (Z ) 1 são idepedetes, de distribuição U[0, 1]. Demostração. Para idetificar a distribuição de Z, observamos que por uicidade da probabilidade produto em {0, 1} N, Z tem que ter a mesma distribuição que ω em (3.54). Segudo, observamos que pelo Exercício as sequêcias W := (Y m(,q) ) q 1 são idepedetes. Pelo Exercício , os Z o são também como. Para cocluir, F sedo a a fução de distribuição associada a µ e defiimos X := F (Z ). S (u) := sup{ x : F (x) < u} Proposição As variáveis (X ) 1 são idepedetes e para cada, (X ) P = µ. 42

17 3.4. LEI {0, 1} DE KOLMOGOROV Demostração. Idepedêcia vem do Exercício A distribuição das margiais segue da prova to Teorema Exercício Marcelo colecioa figurihas de futebol. O álbum completo coterá N figurihas. No i-ésimo dia, ele compra uma ova carta X i {1,..., N}. A coleção (X i ) i 0 é distribuída de maeira i.i.d. e uiforme as figurihas. a) Para j = 1,..., N, seja T j o tempo passado até a aquisição da j-ésima ova figuriha, i.e. T 1 = 1 e T j+1 = if{i T j + 1 : X i / {X k : k T j }}. (3.57) Mostre que T j é fiito quase certamete, para todo j N. b) Calcule a distribuição cojuta de (T 1, T 2 T 1,..., T N T N 1 ). c) Calcule a esperaça de T N (o dia em que Marcelo completa seu álbum). Exercício Sejam X 1, X 2,... variáveis aleatórias i.i.d. e defia o primeiro tempo de recorde como R = if{i 2 : X i X 1 }. (3.58) Supodo que P[X i = x] = 0 para todo x R, ecotre E(R). 3.4 Lei {0, 1} de Kolmogorov Ao estudarmos o Lema de Borel-Catelli, vimos que se os evetos (A i ) i 1 são idepedetes etão a probabilidade de [A i ifiitas vezes] somete pode assumir os valores zero ou um (depededo da somabilidade de P(A i )). Nessa seção iremos estudar outros tipos de eveto que assumem apeas esses dois valores. Esperamos que esse feômeo se tore ituitivo ao fial dessa discussão. No que se segue, cosideraremos um espaço mesurável Ω = E, com a σ-álgebra caôica F, isto é a σ-álgebra gerada pelas coordeadas caõicas (X i ). Defiição Dizemos que um eveto A F é caudal se A σ ( X i : i ), para todo 1. (3.59) Também itroduzimos a classe F de tais evetos, que claramete é uma σ-álgebra, pois pode ser escrita como F = Chamamos F de σ-álgebra caudal. 1 σ ( X i : i ). (3.60) 43

18 CAPÍTULO 3. INDEPENDÊNCIA E ESPAÇOS PRODUTOS Vejamos que, dados A i σ(x i ), i 1, temos que [A i ifiitas vezes] é caudal. Para tato, basta observar que para todo 1, temos que [A i ifiitas vezes] = [ #{i 1 : ω A i } = ] = [ #{i : ω A i } = ], que obviamete pertece a σ(x i : i ) para todo 1. Exercício Mostre que em Ω = R, são caudais os seguites evetos a) [X i coverge], b) [ 1 X i coverge ] e c) [#{i 1 : X i > 0} < ]. Podemos agora euciar o pricipal teorema dessa seção Teorema (Lei {0, 1} de Kolmogorov). Se Ω = E N, ode E é um espaço caôico, for provido de uma lei produto P = P i, etão todo eveto caudal tem probabilidade 0 ou 1 sob P. Quado uma σ-álgebra F satisfaz P(A) {0, 1} para todo A F, dizemos que F é trivial. Uma outra maeira de euciar a coclusão do teorema acima é dizer que a σ-álgebra caudal F é trivial. Demostração. A idéia da prova, apesar de soar um pouco estraha, é mostrar que se A F, etão A é idepedete de si mesmo. Em outras palavras, P(A) = P(A A) = P(A) 2, dode P(A) {0, 1}. Mas vamos com calma. Fixe k 1, A F e B σ(x 1,..., X k ). Nesse caso, como o eveto A pertece a σ(x k+1, X k+2,... ), temos que A e B são idepedetes. Fixe agora A F e cosidere a classe B A = {B F : B é idepedete de A}. (3.61) Já sabemos que σ(x 1,..., X k ) B A para todo k 1. Obviamete Ω é idepedete de A, assim como B c B A sempre que B B A. Além disso, supoha que (B i ) i I (fiito o eumerável) i B A são disjutos, etão, P ( ( B i ) A ) = P ( ) disj. (B i A) = i I i I i I P(B i A) idep. = P(A)P( Logo B A é um λ-sistema. Lembrado que B A cotém o π-sistema k σ(x 1,..., X k ), isto é dos evetos cilídricos, temos que todos evetos são idepetes de A, iclusive o próprio A. Isso termia a prova do teorema. Exercício Dizemos que uma probabilidade P o espaço produto Ω = E N (com a σ-álgebra caôica) é fortemete misturadora se, para todo k 1, temos lim sup{ P(A B) P(A)P(B) : A σ(x 1,..., X k ), B σ(x, X +1,... )} = 0. Mostre que esse caso, a σ-álgebra dos evetos caudais é trivial. i I B i ). (3.62) 44

19 TÓPICO: PERCOLAÇÃO Tópico: Percolação Imagie que gostaríamos de modelar o movimeto de um líquido em um meio poroso, como uma rocha ou uma espoja. A primeira tarefa esse estudo seria modelar esse meio poroso de maeira matematicamete rigorosa, que é o que faremos a seguir. Fixamos uma dimesão d 1 e cosideramos o seguite grafo (Z d, E), ode a rede quadrada Z d é o cojuto de vértices e o cojuto de elos é dado por E = { {x, y} Z d : x y = 1}, ode represeta a distâcia euclideaa em R d. No osso modelo, esse grafo pode ser etedido como um cristal periódico ode cada vértice represeta uma cavidade do material poroso e os elos são poteciais coexões etre poros vizihos. Até agora osso grafo é apeas uma rede periódica, mas as coisas começam a ficar iteressates à partir de agora. Imagiamos que osso material poroso está sujeito a variações durate sua formação. Isso se reflete o fato que algus elos de E podem estar abertos ou ão aleatoriamete. Para o osso modelos, o espaço amostral vai ser Ω := {0, 1} E cosiderado com a σ-algebra produto. Fixamos um p [0, 1] e defiimos uma coleção de variáveis aleatórias ω e, para e E, que sejam i.i.d. e com distribuição Ber(p). Chamamos P p a probabilidade corespodete. Essas variáveis aleatórias iduzem um grafo aleatorio G(ω) = (Z d, E(ω)), subgrafo do grafo origial, que correspode a icluir apeas os elos e com ω e = 1. Mais precisamete E(ω) = { e E : ω e = 1 }. (3.63) Podemos ver a Figura 3.1 algumas simulações desse grafo aleatório. Figura 3.1: Três simulações do grafo aleatório (Z d, E), para valores de p = 0, 4 (esquerda), p = 0, 5 (cetro) e p = 0, 6 (direita). Tete imagiar como seria camihar esse grafo como se ele fosse um labirito. Agora que temos um modelo de meio poroso bem defiido, precisamos pesar em quais pergutas os iteressam sobre G = (Z d, E). Sedo esse um modelo por a passagem de fluido, as primeiras pergutas que faremos cocere a coectividade de G. 45

20 CAPÍTULO 3. INDEPENDÊNCIA E ESPAÇOS PRODUTOS Exercício Mostre que quase certamete G(ω) é descoexo. Mais precisamete, mostre que existem quase certamete ifiitos vértices isolados em G(ω). Como ão podemos esperar que G(ω) seja coexo, podemos os pergutar algo mais fraco, como por exemplo se a compoete coexa da origem 0 Z d em G(ω) é ifiita. Voltado à Figura 3.1 vemos que, depededo do valor de p [0, 1], pode ser bem difícil ou bem fácil ecotrar um camiho logo à partir da origem. Isso é uo que estudaremos em mais detalhes o que segue. Mais precisamete estamos iteressados em: A = { ω Ω : a compoete coexa de 0 Z d em G(ω) é ifiita }. (3.64) Para estudar A, vamos fazer uma aproximação de A por evetos mais simples A = { ω Ω : a compoete coexa de 0 sai da caixa [, ] d }, (3.65) para 1. Exercício Mostre que A = =1 A e cosequetemete que A é de fato mesurável e P(A) = lim P(A ). Defiimos portato a fução θ : [0, 1] [0, 1] por θ(p) = P p (A), (3.66) ode P p deota a probabilidade correspodete ao valor escolhido de p [0, 1]. Exercício Mostre que θ(p) 1 (1 p) 2d. Nosso objetivo é eteder algumas das propriedades de θ. A ossa ituição diz que quato maior o valor de p, mais elos serão abertos em G e portato maior será o valor de θ, ou em outras palavras, θ deve ser moótoa ão decrescete. Exercício Costruiremos osso modelo de uma maeira alterativa um espaço de probabilidade maior. Defiimos Ω 0 := [0, 1] E (com a σ-álgebra produto correspodete), e (U e ) e E uma coleção de variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição U[0, 1], e P a probabilidade corespodete. Defiimos para cada p [0, 1], X p : Ω 0 Ω do jeito seguite X p e = 1 [ωe p]. (3.67) Mostre que para todo p [0, 1] (X p ) P = P p. Use isso para cocluir que θ é moótoa ão decrescete. Iremos agora mostrar a existêcia de um regime para o qual a compoete coexa da origem ão é ifiita. Teorema Para p < 1/(2d), temos que θ(p) = 0. Ates da prova, algus exercícios. 46

21 TÓPICO: PERCOLAÇÃO Exercício Defiimos um camiho como sedo uma sequêcia x 1,..., x k (k N), tal que {x i, x i+1 } E para todo i = 1,..., k 1. Tal camiho é dito aberto se ω {xi,x i+1 } = 1 para todo i k 1. E dizemos que ele é auto-evitate se x i = x j para todo 1 i < j < k. Mostre que A = {ω Ω : existe um camiho aberto (x i ) k com x 1 = 0 e x k [, ] d} A = { ω Ω : existe um camiho auto-evitate como acima }. Demostração. Dado p < 1/(2d) e N, lembramos que [ existe k N e um camiho auto-evitate (xi ) θ(p) P p (A ) = P k ] p aberto e com x 1 = 0 e x k [, ] d k k P p [(x i ) k aberto] = (x i ) k auto-evit. k P p [(x i ) k aberto] = (x i ) k camiho k (x i ) k auto-evit. p k (2d) k p k. Como p < 1/(2d), a soma acima é fiita e coverge a zero quado diverge, provado o teorema. Notas - O teorema acima ajuda a compreeder o comportameto que observamos o lado esquerdo da Figura 3.1. Mais precisamete, ele os diz que para valores de p baixos (a verdade 0, 4 ão é baixo o suficiete para podermos aplicar esse teorema) é difícil ecotrar um camiho aberto do cetro à borda da caixa. Na verdade, é possível mostrar que para d = 2, θ(p) = 0 para todo p 1/2 e θ(p) > 0 para todo p > 1/2, (3.68) como foi mostrado por Harris e Keste, veja por exemplo [Gri99] e [BR06]. De fato, algo bastate iteressate está acotecedo esse modelo para p = 1/2, como os mostrou o trabalho de grades matemáticos, como: Oded Schramm, Wedeli Werer, Staislav Smirov, etre outros. 47