Equações Diferenciais com Retardamento

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1 Uiversidade Federal de São Carlos Cetro de Ciêcias Exatas e de Tecologia Departameto de Matemática Equações Difereciais com Retardameto Autor: Máyra Garcia Alves Orietadora: Profa. Dra. Vera Lúcia Carboe Disciplia: Trabalho de Coclusão de Curso Curso: Liceciatura em Matemática Professores Resposáveis: Profa. Dra. Karia Schiabel Silva Prof. Dr. Sadao Massago Profa. Dra. Vera Lúcia Carboe São Carlos, 20 de agosto de 2013.

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3 Equações Difereciais com Retardameto Autor: Máyra Garcia Alves Orietadora: Profa. Vera Lúcia Carboe Disciplia: Trabalho de Coclusão de Curso Curso: Liceciatura em Matemática Professores Resposáveis: Profa. Dra. Karia Schiabel Silva Prof. Dr. Sadao Massago Profa. Dra. Vera Lúcia Carboe Istituição: Uiversidade Federal de São Carlos Cetro de Ciêcias Exatas e de Tecologia Departameto de Matemática São Carlos, 20 de agosto de 2013.

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5 Á miha mãe, Aa, e meu irmão, Gabriel.

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7 Agradecimetos À Deus por ter colocado pessoas especiais em meu camiho, sem as quais eu ão teria chegado à mais esta etapa do curso e realizado este trabalho. À miha mãe Aa, pela dedicação, cariho e reúcias para me dar tudo que sempre precisei. Ao meu irmão Gabriel, pelo cariho, icetivo e colaboração os mometos críticos. À miha gata Kika, pelos mometos sileciosos de ateção, quado a melhor palavra era aquela ão dita. Aos meus poucos e siceros amigos que estiveram comigo os maus e bos mometos. A todos os professores que cotribuíram para a miha formação, com destaque ao Professor Gerso Petroilho, por me abrilhatar a Matemática e desta forma cotribuir para que eu ão desistisse de exergá-la até aqui. Em especial, à Professora Vera que se dispôs a me orietar e, ao logo de ossos ecotros mostrou-se diga de miha admiração, diate da sua dedicação, orgaização e compreesão em quaisquer problemas à serem solucioados, ão só relacioados à Matemática. Agradeço pela amizade, dispoibilidade, paciêcia, ateção e icetivo durate praticamete todo o semestre.

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9 Resumo Este trabalho é cocerete ao estudo de existêcia e uicidade de equações com retardameto: ẋ(t) = f (t,x t ), t [t 0,t 0 + A] (0.1) x t0 (θ) = ψ(θ), θ [ h,0] ode ψ é a fução iicial. Sob certa codição sobre f, é possível assegurar a existêcia e uicidade de solução de (0.1) bem como a cotiuidade da solução com relação a fução iicial ψ.

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11 ix Sumário Itrodução xi 1 Noções Topológicas Métricas Espaços Topológicos Fuções Cotíuas Sequêcias Covergêcia e topologia Espaços Métricos Completos Cojutos Compactos Espaços Normados e de Baach Espaços Normados Espaços de Baach Equação Diferecial com Retardameto Itrodução ao Problema Existêcia e Uicidade de Soluções Extesão de soluções Cotiuidade com relação à ϕ

12 x Sumário

13 xi Itrodução Nos últimos aos, as equações difereciais fucioais com retardameto tem sido objeto de estudos por serem equações que modelam diversos feômeos que ocorrem as mais diversas áreas do cohecimeto como diâmica populacioal, química e ecoomia. As equações difereciais ordiárias e parciais estão cosolidadas como eficazes modelos matemáticos de umerosos feômeos reais e represetam processos de evolução os quais a taxa de variação do estado do processo em cada istate t depede do estado do processo esse istate. Etretato, existe uma grade quatidade de feômeos reais em que a taxa de variação do estado em cada istate depede, ão somete, do estado do processo esse istate, mas também do histórico de estados do feômeo, este cotexto as Equações Difereciais Ordiárias e as Equações Difereciais Parciais ão se apresetam como os modelos mais apropriados e faz-se ecessário a utilização de outras ferrametas que descrevam tais feômeos, este caso as Equações Difereciais Retardadas. Para ambietarmos o problema que trataremos utilizamos os espaços de Baach, fudametais o estudo de equações difereciais de um modo geral. O trabalho está dividido em três capítulos, descreveremos a seguir os assutos tratados em cada um destes capítulos. O Capítulo 1 é destiado ao estudo dos espaços métricos e suas pricipais propriedades. São abordadas algumas oções topológicas e coceitos que serão ecessários o desevolvimeto do Capítulo 3, detre eles destacamos: defiição de supremo, espaços métricos completos e cojutos compactos. Reservamos o Capítulo 2 para itroduzirmos os espaços das fuções cotíuas C([a,b],R ) e provarmos que este espaço é de Baach, esta iformação será relevate o cotexto da demostração do pricipal resultado do trabalho. No último capítulo defiimos as equações difereciais com retardameto, provamos o Teorema do Poto Fixo de Baach, pricipal ferrameta a demostração do Teorema de Existêcia e Uicidade de solução da equação com retardo ẋ = f (t,x t ), com fução iicial ψ. Fializamos o capítulo obtedo cotiuidade da solução com relação a fução iicial.

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15 1 Capítulo 1 Noções Topológicas Este capítulo tem a iteção de apresetar algus coceitos básicos do Cálculo que cotribuirão ao logo do desevolvimeto deste trabalho. Serão estudadas as oções de métrica, cojutos abertos e fechados, fuções cotíuas e sequêcias, assim como algumas de suas propriedades. A sequêcia do texto segue as referêcias [2] e [3]. 1.1 Métricas Defiição 1.1. Seja M /0 um cojuto. Uma métrica em M é uma fução d : M M R que associa a cada par ordeado de elemetos x,y M um úmero real d(x,y), chamado distâcia de x até y, de modo que as seguites codições se verificam para quaisquer x,y,z M: M 1 ) d(x,x) = 0; M 2 ) x y d(x,y) > 0; M 3 ) d(x,y) = d(y,x); M 4 ) d(x,z) d(x,y) + d(y,z). Um espaço métrico é um par (M,d), em que M é um cojuto ão-vazio e d é uma métrica em M. Observação 1.2. As propriedades M 1 ) e M 2 ) dizem que d(x,y) 0 e que d(x,y) = 0 se, e somete se, x = y. A propriedade M 3 ) sigifica que a distâcia d(x,y) é uma fução simétrica as variáveis x,y. A codição M 4 ) chama-se desigualdade triagular, ispirada o fato de que, o plao euclidiao, o comprimeto de um dos lados de um triâgulo ão excede a soma dos outros dois. Exemplo 1.3. Qualquer cojuto M pode torar-se um espaço métrico com a métrica: d : M M R 0, se x = y (x,y) 1, se x y (1.1)

16 2 1. Noções Topológicas A métrica d é chamada de métrica zero-um. Vamos verificar as propriedades M 1 ) a M 4 ) da Defiição 1.1: M 1 ) d(x,x) = 0; M 2 ) se x y etão d(x,y) = 1 > 0; M 3 ) se x y etão d(x,y) = 1 = d(y,x); se x = y etão d(x,y) = 0 = d(y,x); M 4 ) se x = z e y x etão d(x,z) = = d(x,y) + d(y,z); se x z etão x y ou z y e d(x,z) = 1 d(x,y)+d(y,z), pois d(x,y) = 1 ou d(y,z) = 1. Podemos observar que, qualquer cojuto M /0 pode se torar um espaço métrico defiido-se uma métrica d : M M R com d(x,y) = 0 se x = y e d(x,y) = k, se x y e k R +. Exemplo 1.4. Se (M, d) é um espaço métrico, todo subcojuto S M pode ser cosiderado um espaço métrico: basta cosiderar a restrição de d a S S, ou seja, usar etre os elemetos de S a mesma distâcia que eles possuíam como elemetos de M. Neste caso, S chama-se um subespaço de M e a métrica de S é dita iduzida pela de M. Exemplo 1.5. No cojuto R dos úmeros reais, a métrica d que reflete a distâcia etre dois potos x,y quaisquer é dada por: d : R R R (x,y) d(x,y) = x y (1.2) Esta fução é chamada métrica usual da reta. Mostremos que as codições M 1 ) a M 4 ) são satisfeitas: M 1 ) d(x,x) = x x = 0 = 0; M 2 ) se x y etão d(x,y) = x y > 0; M 3 ) d(x,y) = x y = (y x) = ( 1)(y x) = 1 y x = y x = d(y,x); M 4 ) d(x,z) = x z = x z + y y x y + y z = d(x,y) + d(y,z). Exemplo 1.6. O cojuto R é formado por todas as -uplas da forma (x 1,...,x ) ode cada x i R. Existem três maeiras aturais de se defiir a distâcia etre dois potos de R. Dados

17 1.1. Métricas 3 x = (x 1,...,x ) e y = (y 1,...,y ), temos: d Euclidiaa (x,y) = [ ] 1 2 (x 1 y 1 ) (x y ) 2 = i y i ) (x 2 ; d Soma (x,y) = x 1 y x y = x i y i ; d Máxima (x,y) = max{ x 1 y 1,..., x y } = max 1 i x i y i. As fuções d Euclidiaa (x,y),d Soma (x,y),d Máxima (x,y) : R R R são métricas. A métrica d Euclidiaa (x,y) é chamada euclidiaa pois se ispira aturalmete a fórmula da distâcia etre dois potos do plao. As métricas d Soma (x,y) e d Máxima (x,y), apesar de ão tão aturais, podem apresetar vatages em relação à maipulação. Quato à verificação de que realmete se tratam de métricas sobre o R, só ão é evidete o caso da métrica d Euclidiaa (x,y) com relação à codição M 4 ). Demostremos etão esta codição. Para fazer esta prova, tomemos cohecimeto da desigualdade de Cauchy-Schwarz o R : Sejam x = (x 1,...,x ) e y = (y 1,...,y ) potos de R, ode x i,y i R com i = 1,..., etão x i.y i [ xi 2 ] 1 [ 2 ] 1 y 2 2 i. Podemos observar que a desigualdade 2rs r 2 + s 2 é verdadeira para r,s R, pois (r s) 2 = r 2 2rs + s 2 0 r 2 + s 2 2rs. Assim, fazedo p = xi x2 e q = y 2 i y2, obtemos r = x i p e s = y i q, e a relação 2 x i y i p q x2 i p 2 + y2 i é verdadeira para i(1 i ). q2 Deste modo, 2 pq x i y i x 2 i y 2 i x x2 y y2 Se aplicarmos a soma em relação ao ídice i, obtemos: Logo, 2 pq 2 pq x i y i x i y i 1 + 1, de modo que obtemos 2 x i y i pq = x 2 i y 2 i x x2 y y2 x i y i 2pq, e assim, xi x2 y y2

18 4 1. Noções Topológicas ou seja, x i y i que é a desigualdade de Cauchy-Schwarz. ( xi 2 ) 1 ( 2 ) 1 y 2 2 i, (1.3) Podemos agora deliear a demostração da propriedade M 4 ) com relação à métrica d Euclidiaa (x,y). Sejam x = (x 1,...,x ),y = (y 1,...,y ) e z = (z 1,...,z ) potos do R. Etão, [d Euclidiaa (x,y)] 2 = = = = = [ [ (x i y i ) 2 ] 2 1 (1.3) = (x i y i ) 2 ] ] 2 (x i z i + z i y i ) 2 [(x i z i ) + (z i y i )] 2 (x i z i ) (x i z i ) (x i z i )(z i y i ) + x i z i z i y i + (z i y i ) 2 (z i y i ) 2 [ ] 1 [ (x i z i ) (x i z i ) 2 2 ] 1 (z i y i ) (z i y i ) 2 [ (x i z i ) 2 + (z i y i ) 2 ] = [d Euclidiaa (x,z) + d Euclidiaa (z,y)] 2. ] 2 Portato, d Euclidiaa (x,y) d Euclidiaa (x,z) + d Euclidiaa (z,y). Proposição 1.7. Sejam d Euclidiaa (x,y),d Soma (x,y) e d Máxima (x,y) as métricas defiidas o Exemplo 1.6 acima. Para quaisquer x,y R, temos que: d Máxima (x,y) d Euclidiaa (x,y) d Soma (x,y) d Máxima (x,y). Demostração. No caso x, y R, temos: d Máxima (x,y) = max x y = x y ; d Euclidiaa (x,y) = (x y) 2 = x y ; d Soma (x,y) = x y.

19 1.1. Métricas 5 Portato, d Máxima (x,y) = d Euclidiaa (x,y) = d Soma (x,y). Sejam x = (x 1,...,x ), y = (y 1,...,y ) R. Existe a {1,...,} tal que d Máxima (x,y) = max 1 i x i y i = x a y a. Note que (x 1 y 1 ) (x a y a ) (x y ) 2 (x a y a ) 2. Uma vez que a fução raiz quadrada z z é crescete, temos: d Euclidiaa (x,y) = (x 1 y 1 ) (x a y a ) (x y ) 2 (x a y a ) 2 = x a y a = d Máxima (x,y). Portato, d Euclidiaa (x,y) d Máxima (x,y), x,y R. Temos também [d Soma (x,y)] 2 = = [ x i y i ] 2 (x i y i ) i j x i y i x j y j (x i y i ) 2 = [d Euclidiaa (x,y)] 2. Assim, d Euclidiaa (x,y) d Soma (x,y), x,y R. temos Fialmete, como d Máxima (x,y) = max 1 i x i y i = x a y a d Soma (x,y) = x i y i = x 1 y x a y a x y x a y a x a y a x a y a = x a y a = d Máxima (x,y). Portato, d Soma (x,y) d Máxima (x,y).

20 6 1. Noções Topológicas 1.2 Espaços Topológicos A seguir serão destacados algus coceitos topológicos básicos como o de bola, cojutos abertos e fechados e distâcia de poto a um cojuto. Defiição 1.8. Sejam (M,d) um espaço métrico e a M um poto arbitrário. Etão: 1. A bola aberta de cetro a e raio r > 0 é o cojuto B(a,r) dos potos de M cuja distâcia ao poto a é meor do que r, ou seja, B(a,r) = {x M;d(x,a) < r}. 2. A bola fechada de cetro a e raio r > 0 é o cojuto B[a,r] formado pelos potos de M que estão a uma distâcia meor do que ou igual a r com relação ao poto a; isto é, B[a,r] = {x M;d(x,a) r}. 3. A esfera de cetro a e raio r > 0 é o cojuto S(a,r) formado pelos potos x M tais que d(x,a) = r. Assim, S(a,r) = {x M : d(x,a) = r}. Evidetemete, podemos observar que B[a, r] = B(a, r) S(a, r). Defiição 1.9. Seja X um subcojuto de um espaço métrico M, dizemos que um poto a X é um poto iterior a X quado é cetro de uma bola aberta cotida em X, ou seja, quado existe r > 0 tal que d(x,a) < r x X. Defiição Seja X um subcojuto de um espaço métrico M. O iterior de X em M é o cojuto itx formado pelos potos iteriores a X. Defiição A froteira de X em M é o cojuto X, formado pelos potos b M tais que toda bola aberta de cetro b cotém pelo meos um poto de X e um poto do complemetar M \ X. Seja X um subcojuto de um espaço métrico M. Dado um poto arbitrário c M, há três possibilidades que se excluem mutuamete: 1. ou existe uma bola aberta de cetro c cotida em X (isto é, c itx), 2. ou existe uma bola aberta de cetro c cotida em M \ X (ou seja, c it(m \ X)), 3. ou toda bola aberta de cetro c cotém potos de X e de M \ X (quer dizer, c X).

21 1.2. Espaços Topológicos 7 Portato, o espaço M é decomposto como reuião de três subcojutos dois a dois disjutos, determiados pelo cojuto X: M = itx X it(m \ X). Um ou dois dos três subcojutos acima podem ser vazios. Esta decomposição ilustra o fato de que X = (M \ X). Defiição Um subcojuto A de um espaço métrico M é chamado aberto em M quado todos os seus potos são iteriores, isto é, ita = A. Logo, A M é aberto se, e somete se, A A = /0. Para provar que um cojuto A M é aberto em M devemos obter para cada x A, um raio r > 0 tal que B(x,r) A. Defiição Um cojuto X R é dito limitado superiormete quado existe algum b R tal que x b para todo x X. Neste caso, b é uma cota superior de X. Aalogamete, diz-se que o cojuto X R é limitado iferiormete quado existe a R tal que a x para todo x X e, a é cota iferior de X. Defiição Seja X R limitado superiormete e ão-vazio. Um úmero b R é o supremo do cojuto X quado é a meor das cotas superiores de X, ou seja, valem as seguites codições: 1. Para todo x X, tem-se x b; 2. Se c R é tal que x c para todo x X etão b c. O item 2. permite a reformulação 3.: 3. Se c < b etão existe x X com c < x. Será utilizado como otação b = supx para idicar que b é o supremo do cojuto X. Observação Naturalmete, 3. pode ser expresso como: para todo ε > 0 existe x X tal que b ε < x. Defiição Seja X R um cojuto ão-vazio e limitado iferiormete. Um úmero a R é o ífimo do cojuto X, a = i f X, quado é a maior das cotas iferiores de X, o que equivale a dizer que: 1. Para todo x X, tem-se a x; 2. Se c x para todo x X etão c a. Aalogamete, o item 2. pode ser substituído por 3.: 3. Se a < c etão existe x X tal que x < c.

22 8 1. Noções Topológicas Observação pode ser expresso como: para todo ε > 0 existe x X tal que x < a + ε. Defiição Sejam a um poto e X um subcojuto ão-vazio de um espaço métrico M. Defiimos a distâcia do poto a ao cojuto X como sedo o úmero real d(a,x) = if x X d(a,x). Naturalmete, a X d(a,x) = 0 ; X Y d(a,y ) d(a,x) e d(a,x) = 0 ε > 0 existe x X com d(a,x) < ε. Exemplo Cosideremos sobre R a métrica usual. Se p = 0 e A = {1, 12, 13 },..., etão ( d(p,a) = 0. De fato, dado ε > 0, sempre existe N {0} de maeira que d 0, 1 ) = 1 0 = 1 ( {d < ε. Logo d(0,a) = if 0, 1 ) = 1r } r,r N {0} = 0, isto é d(0,a) = 0. O exemplo acima mostra que é possível se ter d(p,a) = 0 e p A. Por outro lado, se p A, etão d(p,a) = 0, pelo fato de que o úmero 0, este caso, pertece ao cojuto dos d(p,x), com x A. Defiição Um poto a é dito aderete a um subcojuto X de um espaço métrico M quado d(a,x) = 0. Isto sigifica que existem potos de X arbitrariamete próximos de a, ou seja, para cada ε > 0, podemos ecotrar x X tal que d(a,x) < ε. Outras maeiras de dizer que a é aderete a X são: 1. para todo ε > 0, tem-se B(a,ε) X /0; 2. para todo aberto A cotedo a, tem-se A X /0; 3. toda vizihaça de a tem potos em comum com X. Exemplo Todo poto a X é aderete a X. Além disso, os potos da froteira X também são aderetes a X. Por exemplo, se X = {(x,y) R 2 : 1 < x < 2,1 < y < 2} etão os potos de X = {(1,y) : y [1,2]} {(2,y) : y [1,2]} {(x,1) : x [1,2]} {(x,2) : x [1,2]} são aderetes a X. Defiição O fecho (ou aderêcia) de um cojuto X um espaço métrico M é o cojuto X dos potos de M que são aderetes a X. Portato, escrever a X é o mesmo que afirmar que o poto a é aderete a X em M, ou seja, a X d(a,x) = 0. Para que a ão seja aderete a X é ecessário e suficiete que exista uma bola aberta de cetro a, a qual ão há potos de X. Ou seja, a / X a it(m \ X). Portato temos: (X) C = M \ X = it(m \ X) = it(x C ). Como M = (itx) X it(m \ X), cocluímos que X = (itx) X.

23 1.3. Fuções Cotíuas 9 y x Figura 1.1: Quadrado Exemplo Naturalmete, /0 = /0, M = M e X X para todo X M. Adicioalmete, se X Y etão X Y. Com efeito, seja x X, como X Y B(x,ε) X /0 B(x,ε) Y /0 x Y. Defiição Dizemos que um cojuto F M é fechado o espaço métrico M quado seu complemetar M \ F é aberto em M. Negar que um subcojuto X M seja fechado sigifica admitir a existêcia de algum poto a / X que seja aderete a X. Ou seja, a / X mas para cada ε > 0 tem-se B(a,ε) X /0. Um tal poto pertece à froteira de X. Logo, X é fechado X X. Defiição Um subcojuto X M é deso em M quado (it(x) X) = X = M, ou seja, quado toda bola aberta em M cotém algum poto de X, ou aida, para cada aberto ão-vazio A em M, tem-se A X /0. Exemplo O cojuto Q dos úmeros racioais é deso em R. Também o cojuto R \ Q, dos úmeros irracioais, é deso em R. De fato, todo itervalo aberto cotém úmeros racioais e úmeros irracioais. 1.3 Fuções Cotíuas Serão apresetadas esta seção as defiições de fução cotíua e homeomorfismo. Além disso será feita uma caracterização de fuções cotíuas através de imagem iversa de cojutos abertos, que será útil as provas de algus resultados que serão abordados posteriormete. Defiição Sejam M, N espaços métricos. Dizemos que a aplicação f : M N é cotíua o poto a M quado, para todo ε > 0 dado, é possível obter δ > 0 tal que d(x,a) < δ d( f (x), f (a)) < ε. Assim, f : M N é cotíua o poto a M quado, dada qualquer bola B = B( f (a),ε) de cetro f (a), é possível ecotrar uma bola B = B(a,δ), de cetro a tal que f (B) B.

24 10 1. Noções Topológicas Defiição f : M N é cotíua quado ela é cotíua em todos os potos a M. Defiição Dada f : M N, se existe uma costate c > 0 tal que d( f (x), f (y)) cd(x,y), x,y M, etão f é uma aplicação lipschitziaa. A costate c é chamada de costate de Lipschitz. Exemplo Se a fução f : I R, defiida um itervalo I, é derivável e f (x) c para todo x I, etão, pelo Teorema do Valor Médio, dados x,y I quaisquer, existe um poto z, etre x e y, tal que f (x) f (y) = f (z)(x y) etão f (x) f (y) = f (z) x y c x y. Assim toda fução com derivada limitada um itervalo (limitado ou ilimitado) é Lipschitziaa. Exemplo Toda fução f : M N Lipschitziaa é cotíua (em cada poto a M). De fato, dado ε > 0, tomemos δ = ε/c. Etão d(x,a) < δ d( f (x), f (a)) cd(x,a) < cδ = ε. Defiição Sejam M e N espaços métricos. Um homeomorfismo é uma bijeção f : M N, cotíua, e tal que f 1 : N M é também cotíua. Neste caso, diz-se que M e N são homeomorfos. Proposição Sejam M,N espaço métricos. A fim de que uma aplicação f : M N seja cotíua, é ecessário e suficiete que a imagem iversa f 1 (O) de qualquer subcojuto aberto O N seja um subcojuto aberto de M. Demostração. Supohamos que f seja cotíua e que O N seja aberto. Mostraremos que f 1 (O) é aberto em M. De fato, para cada a f 1 (O), temos f (a) O. Como o cojuto O é aberto, segue da defiição, que existe ε > 0 tal que B( f (a),ε) O. Sedo f cotíua o poto a, a este ε correspode um δ > 0 tal que f (B(a,δ)) B( f (a),ε) O. Isto quer dizer que B(a,δ) f 1 (O). Logo, f 1 (O) é aberto. Reciprocamete, supohamos que a imagem iversa por f de cada aberto em N seja um aberto em M. Seja a M. Mostraremos que f é cotíua o poto a. De fato, dado ε > 0, a bola O = B( f (a),ε) é um aberto em N, cotedo f (a). Logo, sua imagem iversa A = f 1 (O) é um aberto em M, cotedo a. Assim, existe δ > 0 tal que B(a,δ) A, ou seja, f (B(a,δ)) B( f (a),ε). Corolário da demostração. A fim de que f : M N seja cotíua o poto a M, é ecessário e suficiete que, para cada aberto O N com f (a) O, exista um aberto A M, com a A, tal que f (A) O. Proposição Sejam M,N espaços métricos. A fim de que uma aplicação f : M N seja cotíua, é ecessário e suficiete que a imagem iversa f 1 (C) de qualquer subcojuto fechado C N seja um subcojuto fechado de M.

25 1.4. Sequêcias 11 Demostração. Isto resulta da Proposição 1.33, por passagem ao complemetar. Seja f : M N cotíua. Dado C N fechado, (C) C é aberto, dode f 1 ((C) C ) = ( f 1 (C)) C é aberto, isto é, f 1 (C) é fechado. Reciprocamete, se a imagem iversa de todo fechado em N é um fechado em M etão, dado O N aberto, f 1 ((O) C ) = ( f 1 (O)) C é fechado em M, dode f 1 (O) é aberto e, pela Proposição 1.33, f é cotíua. Observação Observamos que f 1 (C C ) = ( f 1 (C)) C pois, se y f 1 (C C ), etão f (y) C C f (y) / C y / f 1 (C) y ( f 1 (C)) C. Reciprocamete se, x ( f 1 (C)) C, etão x / f 1 (C) f (x) / C f (x) C C x f 1 (C C ). 1.4 Sequêcias As três seções seguites serão dedicadas ao estudo de sequêcias os espaços métricos e suas pricipais propriedades. Defiição Seja M um espaço métrico. Uma aplicação x : N M, x é chamada sequêcia de elemetos de M e a otação para se idicar tal sequêcia é (x 1,x 2,...,x,...) ou (x ) N,ou simplesmete, {x } N. Defiição Dada uma sequêcia {x } N o espaço métrico M, se { 1, 2,...} N e 1 < 2 <..., etão a aplicação dada por i x i é idicada por (x 1,x 2,...) ou (x k ) N ou {x k } N e recebe o ome de subsequêcia de {x } N. Defiição Seja {x } N uma sequêcia um espaço métrico M. Dizemos que o poto a M é limite da sequêcia {x } N quado, para todo úmero ε > 0 arbitrário, é possível obter 0 N tal que > 0 d(x,a) < ε. Escreve-se etão a = lim + x ou, aida, x a, quado +. Quado existe a = lim x M, dizemos que a sequêcia de potos x M é covergete + em M, e coverge para a. Se ão existe lim x em M, dizemos que a sequêcia é divergete + em M. Defiição Uma sequêcia {x } N o espaço métrico M chama-se limitada quado o cojuto dos seus termos é limitado, isto é, quado existe k > 0 tal que d(x m,x ) k, para quaisquer m, N. Proposição Toda sequêcia covergete é limitada. Demostração. Seja limx = a um espaço métrico M. Tomado ε = 1, obtemos 0 N tal que > 0 x B(a,1). Portato, {x } {x 1,x 2,...,x 0 } B(a;1), ou seja, o cojuto dos valores da sequêcia está cotido a reuião dos cojutos {x 1,...,x 0 } e B(a;1), que são dois cojutos limitados, logo a sequêcia {x } é limitada. Proposição 1.41 (Uicidade do limite). Se a sequêcia {x } N é covergete o limite é úico.

26 12 1. Noções Topológicas Demostração. Sejam {x } N uma sequêcia o espaço métrico M e a,b M tais que a = lim x e b = lim x. Dado arbitrariamete ε > 0, existe 0 N tal que > 0 d(x,a) < + + ε 2. Existe também 1 N tal que > 1 e ε = ε d(x,b) < ε 2. Dado ε > 0, tomemos N tal que > max{ 0, 1 } e ε = ε. Etão d(a,b) d(a,x ) + d(x,b) < ε 2 + ε = ε. Segue-se 2 que 0 d(a,b) < ε para todo ε > 0. Isto implica d(a,b) = 0 e, portato, a = b. Se em um espaço métrico M tem-se lim + x = a M e x a para todo, etão a sequêcia {x } N é divergete o espaço métrico M \ {a}. De fato, se existisse b M \ {a} tal que lim x = b, etão seria b a e a sequêcia teria dois limites distitos a,b M, o que ão + ocorre pela Proposição Proposição Se lim + x = a, etão toda subsequêcia de {x } N coverge para a. Demostração. Seja N = { 1 < 2 <... < k <...} um subcojuto ifiito de N. Como lim x = a dado qualquer ε > 0, existe 0 N tal que > 0 d(x,a) < ε. Existe também k 0 N tal que k0 > 0. + Logo k > k 0 k > 0 d(x k,a) < ε. Portato lim x k = lim x = a. k N Exemplo Se a sequêcia {x } N possui duas subsequêcias que covergem para limites distitos, etão ela é divergete. De fato, pela Proposição 1.42 acima, se existisse lim + x = a, etão toda subsequêcia de {x } N covergiria para a. Segue etão da Proposição 1.41 que ehuma subsequêcia possuiria um limite b a. Proposição Um poto a, um espaço métrico M, é limite de uma subsequêcia de {x } N se, e somete se, toda bola aberta de cetro a cotém termos x com ídices arbitrariamete grades. Demostração. Seja {x k } N uma subsequêcia de {x } N que coverge para a. Etão, dado ε > 0, existe k 0 N tal que k > k 0 x k B(a;ε). Logo, toda bola B(a,ε) de cetro a cotém termos x com ídices arbitrariamete grades, a saber, todos os ídices k com k > k 0. Reciprocamete, se toda bola aberta de cetro a cotém termos de x com ídices arbitrariamete grades, podemos afirmar que a bola B(a,1) cotém um termo x 1, a bola B(a,1/2) cotém um termo x 2 com ídice 2 > 1, e assim sucessivamete. Logo, para todo k N, podemos ecotrar x k B(a,1/k) com k > k 1 >... > 2 > 1. Isto defie um subcojuto ifiito N = { 1 < 2 <... < k <...} e uma subsequêcia {x k } N tal que d(x k,a) < 1/k. Portato, lim x k = a. k

27 1.5. Covergêcia e topologia 13 Defiição Dizemos que uma sequêcia {x } N de úmeros reais é crescete quado se tem x 1 < x 2 <... < x <..., isto é, x < x +1 para todo N. Quado vale apeas x x +1, a sequêcia é dita ão-decrescete. Aalogamete defiimos sequêcia decrescete se x > x +1 e ão-crescete se x x +1. Uma sequêcia que satisfaz uma destas codições é chamada moótoa. Proposição Toda sequêcia moótoa limitada de úmeros reais é covergete. Demostração. Supohamos x 1 x 2... x x a sequêcia limitada em questão. Seja a = sup{x : N}. Afirmamos que a = lim + x. De fato, dado ε > 0, o úmero a ε, sedo meor do que a, ão pode ser cota superior do cojuto dos valores x. Logo existe 0 N tal que a ε < x 0 a. Assim, como x x +1 para > 0 a ε < x 0 x a + ε a ε < x < a + ε. Portato lim x = a. Corolário Uma sequêcia moótoa de úmeros reais é covergete se, e somete se, possui uma subsequêcia limitada. Demostração. Basta provar que uma sequêcia moótoa {x } N é limitada quado possui uma subsequêcia limitada {x k } N. Supohamos que {x } N seja ão-decrescete. Seja x k c para todo k. Dado qualquer N, podemos obter k tal que < k, etão, x x k c. Logo, x c para todo, o que mostra que a sequêcia {x } N é limitada. 1.5 Covergêcia e topologia Nesta seção trataremos dos coceitos topológicos itroduzidos ateriormete a partir de espaços métricos, de forma a serem expressos através de limites de sequêcias. Proposição Sejam M e N espaços métricos. A fim de que a aplicação f : M N seja cotíua o poto a M é ecessário e suficiete que x a em M implique f (x ) f (a) em N. Demostração. Seja f cotíua o poto a. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que d(x,a) < δ d( f (x), f (a)) < ε. Como x a, 0 : > 0 N d(x,a) < η, η > 0. Tomado η = δ, temos que d(x,a) < δ d( f (x ), f (a)) < ε. Logo, lim f (x ) = f (a). Para demostrar a recíproca supohamos, por absurdo, que f ão seja cotíua o poto a. Etão existe ε > 0 tal que, para cada N, é possível obter x M, com d(x,a) < 1/ e d( f (x ), f (a)) ε. Assim, obtemos uma sequêcia {x } em M, com x a sem que f (x ) covirja para f (a). Corolário Seja f : M N. Se x a implicar que f (x ) covergete em N, etão f é cotíua em a. Demostração. É suficietemete mostrar que x a implica f (x ) f (a). Se x a, a sequêcia {z } N = {x 1,a,x 2,a,...} coverge para a. Logo f (z ) = { f (x 1 ), f (a), f (x 2 ), f (a),...} é covergete, e coverge para f (a), já que a subsequêcia costate { f (a)} N coverge para f (a), o que implica que lim + f (x ) = f (a).

28 14 1. Noções Topológicas Corolário Para que f : M N seja cotíua o poto a, é suficiete que x a implique que f ({x } N ) possui uma subsequêcia covergido para f (a). Demostração. O resultado é uma cosequêcia imediata da demostração, o qual supodo f descotíua o poto a, obtemos uma sequêcia {x } com x a, mas sem que qualquer subsequêcia de f ({x } N ) covirja para f (a). Corolário A aplicação f : M N é cotíua se, e somete se, a imagem f ({x } N ) de toda sequêcia covergete {x } N em M é uma sequêcia covergete em N. No caso afirmativo, tem-se f ( lim + x ) = lim + f (x ). Proposição Seja X um subcojuto de um espaço métrico M. A fim de que se teha a X em M, é ecessário e suficiete que a seja limite de uma sequêcia de potos x X. Demostração. Se a X etão, para cada N podemos obter um poto x B(a,1/) X. Com isto obtemos uma sequêcia de potos {x } N X, com d(x,a) < 1/ e, portato, lim x = a. Reciprocamete, se a = lim x, com x X, etão toda bola aberta de cetro a + + cotém potos x pertecetes a X. Logo a X. Corolário A fim de que o poto a perteça à froteira do cojuto X, é ecessário e suficiete que a seja limite de uma sequêcia {x } N X e de uma sequêcia {y } N M\X. Demostração. Com efeito, a X se, e somete se, a X (M \ X). Assim, o resultado segue da Proposição Corolário Um subcojuto X M é deso o espaço métrico M se, e somete se, todo poto de M é limite de uma sequêcia de potos de X. Demostração. De fato, como X M é deso em M, X = M e o resultado segue da Proposição Defiição Seja X um subcojuto do espaço métrico M. Um poto a M chama-se poto de acumulação de X quado toda bola aberta de cetro a cotém algum poto de X, diferete do poto a. Idicaremos com a otação X o cojuto dos potos de acumulação de X em M. O cojuto X chama-se derivado do cojuto X. Observação Sejam a X e r > 0 dado, etão B(a,r) cotém uma ifiidade de potos de X. De fato, supohamos que exista r > 0 tal que a bola B(a,r) ão coteha uma ifiidade de potos de X, ou seja, (B(a,r)\{a}) X = {x 1,...,x }. Tomado δ = mi{d(a,x 1 ),...,d(a,x )}, temos que B(a,δ) ão cotém ehum poto de X diferete de a, cotrariado a hipótese de que a é um poto de acumulação de X. Proposição Para que a seja poto de acumulação de um cojuto X M é ecessário e suficiete que a seja limite de uma sequêcia de potos distitos {x } N X.

29 1.6. Espaços Métricos Completos 15 Demostração. A codição é evidetemete suficiete. Supohamos agora a X. Para cada N, a bola aberta B(a,1/) cotém uma ifiidade de potos de X. Podemos etão escolher sucessivamete os potos x 1,x 2,...,x,... de tal modo que x X, x B(a,1/), mas x ão é ehum dos potos x 1,...,x 1 escolhidos ateriormete. Etão m x m x e, como d(x,a) 1/, temos lim N x = a. Corolário Se X é um cojuto fiito etão X = /0. Demostração. De fato, se X é fiito, ehuma bola B(a,r) coterá uma ifiidade de potos de X, desta forma, X ão tem potos de acumulação. 1.6 Espaços Métricos Completos Será apresetado a seguir um importate tipo de sequêcia, as sequêcias de Cauchy, bem como suas propriedades, de forma a levar em cosideração as oções topológicas estudadas ateriormete. Defiição Sejam (M,d) um espaço métrico e {x } N uma sequêcia em M. Dizemos que {x } N é uma sequêcia de Cauchy se, e somete se, para todo ε > 0 dado, existe 0 N tal que m, > 0 d(x m,x ) < ε. Equivaletemete, podemos dizer que {x } N é de Cauchy se d(x m,x ) 0 quado m e tedem ao ifiito. Proposição Toda subsequêcia de uma sequêcia de Cauchy é também de Cauchy. Demostração. Sejam {x } N uma sequêcia de Cauchy e {x k } k N uma subsequêcia de {x } N. Para todo ε > 0 dado, existe 0 N tal que Seja k0 0, etão de (1.4) segue que para m, > 0 d(x,x m ) < ε. (1.4) l,k > k 0 l, k > k0 0 d(x k,x l ) < ε. Logo, {x k } k N é de Cauchy. Proposição Se {x } N é uma sequêcia covergete, etão {x } N é de Cauchy. Demostração. Seja {x } N uma sequêcia em um espaço métrico que coverge para um poto a M. Etão, para todo η > 0 dado, existe 0 N tal que > 0 d(x,a) < η. Assim, dado ε > 0, se tomarmos m, > 0 e η = ε 2, teremos: d(x m,x ) d(x m,a) + d(a,x ) < ε 2 + ε 2 = ε.

30 16 1. Noções Topológicas Logo, {x } N é uma sequêcia de Cauchy. Segue da Proposição 1.61 que, se M N e {x } N é uma sequêcia em M, etão {x } N é de Cauchy em M se, e somete se, for de Cauchy em N. Exemplo Seja {x } N uma sequêcia de úmeros racioais que coverge para a, com a I. (Por exemplo, x 1 = 1; x 2 = 1,4; x 3 = 1,41; x 4 = 1,414;...; com lim + x = 2). Sedo covergete em R, segue da Proposição 1.61 que x é uma sequêcia de Cauchy o espaço métrico Q dos úmeros racioais. Mas evidetemete {x } N ão é covergete em Q. Assim, este é um exemplo de que em toda sequêcia de Cauchy em Q é covergete em Q. Proposição Toda sequêcia de Cauchy é limitada. Demostração. Seja {x } N uma sequêcia de Cauchy o espaço métrico M. Tomado ε = 1, existe 0 N tal que m, > 0 d(x m,x ) < 1. Assim, o cojuto { x 0+1,x 0+2,... } é limitado e tem diâmetro 1. Também é limitado o cojuto {x 1,...,x 0 }, pois é um cojuto fiito. Segue que é limitado. {x 1,x 2,...,x,...} = {x 1,...,x 0 } { x 0+1,x 0+2,... } Exemplo Seja {x } N uma sequêcia defiida por: 0, se f or ímpar; x = 1, se f or par. Temos que a sequêcia é limitada, porém x x +1 = 1 e, portato, a sequêcia ão é de Cauchy. Assim, em toda sequêcia limitada é de Cauchy. Observação Coclui-se portato que ão valem as recíprocas da Proposição 1.61 e da Proposição 1.63, ou seja, em toda sequêcia de Cauchy é covergete e em toda sequêcia limitada é de Cauchy. Defiição Uma fução f : M R é dita uiformemete cotíua em M quado, para todo ε > 0 dado arbitrariamete, pode-se obter δ > 0 tal que x,y X, y x < δ implicam f (y) f (x) < ε. Exemplo Seja f : R + {0} R, uma fução defiida por f (x) = 1. Sabemos que f é x cotíua, pois lim x = 1, para todo a (0, ). No etato, dado ε > 0, ão é possível ecotrar a um δ tal que, se x a < δ f (x) f (a) < ε. De fato, dado qualquer ε > 0, supohamos x a 1 por um mometo que exista um úmero δ > 0 tal que x a < δ f (x) f (a) < ε. Fixado δ o poto a = δ e escolhedo x tal que 0 < x < δ, portato x a < δ x < δ, pois (δε + 1) 0 < x < δ δ=a x < a x a < 0 x a = (x a) = a x a=δ = δ x x>0 < δ. Mas, 1 x 1 a = 1 x 1 δ (δε + 1) δ 1 δ = ε,

31 1.6. Espaços Métricos Completos 17 o que é uma cotradição. Deste modo, f ão é uiformemete cotíua em (0, ). Observação Uma fução uiformemete cotíua f : X R é cotíua em todos os potos do cojuto X. A recíproca é falsa como pode ser visto o exemplo acima. Defiição Diremos que a sequêcia de aplicações f : X M coverge uiformemete em X para a aplicação f : X M quado, para todo úmero real ε > 0 dado, for possível obter 0 N tal que > 0 d( f (x), f (x)) < ε, qualquer que seja x X. Proposição Sejam M, N espaços métricos. Se uma sequêcia de aplicações f : M N cotíuas o poto a M, coverge uiformemete em M para uma aplicação f : M N etão f é cotíua o poto a. Demostração. Dado ε > 0, seja 0 N tal que d( f (x), f (x)) < ε 3, para todo x X e > 0. Como f é cotíua o poto a, existe δ > 0 tal que d(x,a) < δ d( f (x), f (a)) < ε 3. Etão, para todo x X com d(x,a) < δ, temos: d( f (x), f (a)) d( f (x), f (x)) + d( f (x), f (a)) + d( f (a), f (a)) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Defiição Dizemos que um espaço métrico M é completo se toda sequêcia de Cauchy em M coverge para um poto de M. Exemplo A métrica itroduzida o espaço faz com que este se tore completo ou ão. Todo espaço métrico M muido da métrica zero-um é completo. Seja {x } N uma sequêcia de Cauchy em M. Dado ε = 1, podemos exibir 0 N tal que m, > 0 d(x m,x ) < ε d(x m,x ) < 1 x m = x. Portato, a sequêcia {x } N é uma sequêcia estacioária, isto é, a partir de um 0 N, a sequêcia passa a ser costate. Logo, {x } N é covergete e portato, M é completo. Proposição A reta R é um espaço métrico completo. Demostração. Seja {x } N uma sequêcia de Cauchy em R. Da Proposição 1.63, sabemos que {x } N é limitada, isto é, existe um k > 0 tal que x < k para todo 1. O cojuto dos termos {x m,x m+1,x m+2,...} é etão limitado para qualquer m 1, logo, existe if{x m,x m+1,x m+2,...} para qualquer atural m. Seja {y } N uma sequêcia de R dada por y m = if{x m,x m+1,x m+2,...}. Podemos observar que {x 1,x 2,x 3,...} {x 2,x 3,x 4,...}... {x,x +1,x +2,...}...

32 18 1. Noções Topológicas Portato, if{x 1,x 2,x 3,...} if{x 2,x 3,x 4,...}... if{x,x +1,x +2,...} k, ou seja, y 1 y 2... y y k. Assim, a sequêcia {y } N é ão-decrescete e limitada. Segue da Proposição 1.46 que {y } N coverge para p = sup{y ; N}, isto é, lim y = p. + Provaremos agora que {x } N coverge e lim x = p. Como lim y = p, segue que, + + dado η > 0, existe 1 N tal que > 1 y p < η. Como {x } N é de Cauchy, podemos ecotrar 2 N tal que m, > 2 x m x < η. Seja 0 max{ 1, 2 }, temos y 0 = if { x 0,x 0+1,x 0+2,... }, ou seja, deve existir algum j 0 tal que y 0 x j < y 0 + η, pois se ão existisse, y 0 + η seria o ífimo do cojuto. Assim, x j y 0 < η. Portato, dado ε > 0, para > 0 e η = ε 3, teremos x p x x j + x j y 0 + y 0 p < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Assim, lim N x = p e R é completo. Proposição Um subespaço 1 fechado F de um espaço métrico completo M também é completo. Demostração. Seja {x } N uma sequêcia de Cauchy em F. Sedo F um subespaço de M, {x } N também é uma sequêcia de Cauchy em M. Logo, existe a M tal que lim + x = a. Como F é fechado, segue que F cotém o limite de todas as suas sequêcias que covergem. Portato, a F e {x } N é covergete em F. Logo, F é completo. 1.7 Cojutos Compactos Nesta seção trataremos de resultados importates evolvedo o coceito de compacidade. Teorema Todo subcojuto ifiito limitado X R possui um poto de acumulação. Demostração. Seja A = {a R;X (a,+ ) é ifiito }. Isto é, A é formado pelos potos de a R tais que existem ifiitos potos de X à direita de a. O cojuto A é ão vazio e limitado superiormete: se X [α,β] etão α A e β é cota superior de A. Seja c = supa, etão c é poto de acumulação do cojuto X. De fato, dado qualquer ε > 0, existe a A tal que 1 Seja V um espaço vetorial. Dizemos que W V é um subespaço vetorial de V se forem satisfeitas: (SV1) 0 W; (SV2)se u,v W etão u + w W e (SV3)se u W etão λu W para todo λ R.

33 1.7. Cojutos Compactos 19 c ε < a c. Logo existem ifiitos potos de X à direita de c ε. Por outro lado, ão há uma ifiidade de potos de X à direita de c + ε. Logo (c ε,c + ε) X é ifiito, o que prova o teorema. Teorema 1.76 (Teorema de Bolzao-Weierstrass). Toda sequêcia limitada de úmeros reais possui uma subsequêcia covergete. Demostração. Seja {x } N uma sequêcia limitada de úmeros reais. Etão existem α,β R tais que α x β, para todo N. Cosidere X = {x,x +1,...}, etão X 1 X 2... X... e X [α,β]. Defia a sequêcia {a } N tal que a = if X. Etão a 1 a 2... a... β. Como {a } N é moótoa e limitada, segue da Proposição 1.46 que {a } N é covergete. Seja a R tal que a = lima. Mostraremos que a é limite de alguma subsequêcia de (x ), ou seja, devemos provar que para quaisquer ε > 0 e 0 N, existe > 0 tal que x (a ε,a+ε). De fato, dados ε > 0 e 0 N, existe 1 > 0 tal que a ε < a 1 a < a + ε, pois a = lima. Como a 1 = if X 1, existe 1 tal que a 1 x < a + ε, pois caso cotrário, 1 tem-se que x > a + ε a + ε seria o ífimo do cojuto X 1. Temos etão > 1 e x ]a ε,a + ε[. Defiição Um espaço métrico M é compacto se toda sequêcia em M possui uma subsequêcia covergete. Um subcojuto N de M é compacto se é compacto como um subespaço de M, ou seja, se toda sequêcia em N possui uma subsequêcia que coverge para um poto de N. Lema Um subcojuto compacto N de um espaço métrico M é fechado e limitado. Demostração. Dado x N, segue da Proposição 1.52 que existe uma sequêcia {x } N N com x x. Como N é compacto, x N. Etão N N, de ode temos N = N e N é fechado. Supohamos agora que N seja ilimitado; etão N cotém uma sequêcia ilimitada {y } N, ode, da Proposição 1.40, d(y,b) > para algum b M. Essa sequêcia ão poderia ter uma subsequêcia covergete, já que toda subsequêcia covergete é limitada, portato N é limitado. Em geral, ão vale a recíproca do Lema Uma codição ecessária e suficiete para que valha a recíproca desse lema é dada pelo Teorema Teorema Sejam M e N espaços métricos e f : M N uma fução cotíua. Etão a imagem de um subcojuto compacto K de M pela f é compacto. Demostração. Pela defiição de compacto é suficiete mostrar que toda sequêcia {y } N a imagem f (K) N cotém uma subsequêcia que coverge em f (K). Como y f (K), temos y = f (x ), para algum x K. Como K é compacto, {x } N possui uma subsequêcia

34 20 1. Noções Topológicas {x k } k N que coverge em K. Segue da Proposição 1.48 que a imagem de {x k } k N é uma subsequêcia de {y } N que coverge em f (K), pois como f é cotíua, f (x k ) coverge em f (K) f (M) e f (x k ) é uma subsequêcia de {y } N que coverge em f (K). Portato, f (K) é compacto. Teorema Seja X R compacto. cotíua. Toda fução cotíua f : X R é uiformemete Demostração. Se f ão fosse uiformemete cotíua, existiriam ε > 0 e duas sequêcias x,y em X satisfazedo lim + (y x ) = 0 e f (y ) f (x ) ε, para todo N. Passado a uma subsequêcia, se ecessário, podemos supor, em virtude da compacidade de X, que lim x = a X. Etão, como y = (y x ) + x, vale também que lim y = a. Sedo + + f cotíua o poto a, temos que lim f (y ) f (x ) = lim f (y ) lim f (x ) = f (a) f (a) = 0, cotradizedo que seja f (y ) f (x ) ε para todo N. Exemplo A fução f : [0,+ ) R, dada por f (x) = x é uiformemete cotíua. De fato, f : [0,1] R é uiformemete cotíua, pois f é cotíua e [0,1] é compacto. Observamos que, se x,y 1, isto é, x,y [1,+ ) x + y 2 y x = ( y x) ( y + x) ( y + x) = y x. Logo, y 1 y x x = 1 y x. y + x y + x 2 Assim, dado η > 0, δ = 2η > 0 tal que se y x < δ y x < η, ou seja, f (x) = x também é uiformemete cotíua em [1, + ). Agora, f : [0, + ) é uiformemete cotíua, pois dado ε > 0, existem δ 1 > 0 e δ 2 > 0 tais que x,y [0,1], y x < δ 1 f (y) f (x) < ε 2 e x,y [1,+ ), y x < δ 2 f (y) f (x) < ε 2. Seja δ = mi{δ 1,δ 2 }. Dados x,y [0,+ ) com y x < δ, se x,y [0,1] ou x,y [1,+ ), temos obviamete f (y) f (x) < ε. Se, digamos, x [0,1] e y [1,+ ) etão y 1 < δ e 1 x < δ logo f (y) f (x) f (y) f (1) + f (1) f (x) < ε 2 + ε 2 = ε.

35 21 Capítulo 2 Espaços Normados e de Baach Algumas equações e problemas da Aálise Fucioal são ambietados em espaços ormados e especialmete os espaços de Baach. Este capítulo é dedicado à defiição destes espaços e de suas propriedades. 2.1 Espaços Normados Nesta seção serão abordadas as defiições de orma, espaço ormado e apresetados algus exemplos. Defiição 2.1. Um cojuto V, muido de uma adição e de uma multiplicação por escalar é um espaço vetorial se para quaisquer u,v,w V e para todo λ,µ R são válidas: (EV 1) u + v = v + u, para todo u,v V ; (EV 2) u + (v + w) = (u + v) + w, para todo u,v,w V ; (EV 3) existe um elemeto 0 V V tal que 0 V + u = u, para todo u V ; (EV 4) para cada u V existe v V tal que u + v = 0; (EV 5) λ(µu) = (λ µ)u, para todo u V e λ,µ R; (EV 6) (λ + µ)u = λu + µu, para todo u V e λ,µ R; (EV 7) λ(u + v) = λu + λv, para todo u,v V e λ R; (EV 8) 1 V.u = u, para todo u V. Defiição 2.2. Seja E um espaço vetorial real. Uma orma em E é uma fução real : E R +, que associa a cada vetor x E o úmero real ão egativo x, chamado a orma de x, tal que, para quaisquer x,y E e λ R, valem as seguites propriedades: N 1 ) se x 0 etão x 0;

36 22 2. Espaços Normados e de Baach N 2 ) λx = λ x ; N 3 ) x + y x + y. Note que se λ = 0 e x = 0, etão 0 = 0 e, se λ = 1, etão x = 1. x = x, x E. Em N 3 ), se tomarmos y = x, temos 0 = x + ( x) x + x = 2 x, com x 0, x E. Segue-se que x > 0 x 0. De N 4 ), temos que x = x y + y x y + y x y x y. y = y x + x y x + x y x y x x y x y. x y x y. (2.1) Defiição 2.3. Um espaço vetorial ormado é um par (E, ), ode E é um espaço vetorial real e é uma orma em E. Quado a orma está subetedida, podemos dizer simplesmete espaço (vetorial) ormado E. Observação 2.4. A desigualdade (2.1) implica uma importate propriedade de orma: a orma é cotíua, ou seja, x x é uma aplicação cotíua de (E, ) em R +. Defiição 2.5. Um subespaço F de um espaço ormado E é um subespaço vetorial de E com a orma obtida pela restrição da orma de E ao subcojuto F. Essa orma em F é dita iduzida pela orma de E. Se F é fechado em E, etão F é chamado de subespaço fechado. Segue abaixo algus exemplos de espaços vetoriais ormados: Exemplo 2.6. Seja (R, Soma ), ode: x Soma = x i, para x = (x 1,...,x ) R. Afirmação: (R, Soma ) é um espaço vetorial ormado. De fato, N 1 ) se x 0 etão existe i 0 {1,...,} tal que x i0 0 e, portato, x Soma = x i x i0 > 0;

37 2.1. Espaços Normados 23 N 2 ) λx Soma = N 3 ) x + y Soma = λx i = x i + y i ( λ x i ) = λ ( x i + y i ) = x i = λ x Soma ; x i + y i = x Soma + y Soma. Exemplo 2.7. R também é um espaço vetorial ormado, quado muido de Máxima, ode De fato, x Máxima = max 1 i x i, para x = (x 1,...,x ) R. N 1 ) se x 0 etão existe i 0 {1,...,} tal que x i0 0, e assim, x Máxima = max 1 i x i x i0 > 0; N 2 ) λx Máxima = max 1 i λx i = max 1 i { λ x i } = λ max 1 i x i = λ x Máxima ; N 3 ) x + y Máxima = max x i + y i max { x i + y i } 1 i 1 i x Máxima + y Máxima. ( ) ( ) max x i + max y i = 1 i 1 i Proposição 2.8. Todo espaço vetorial ormado (E, ) iduz uma métrica atural d : E E R sobre E, defiida por d(x,y) = x y, pois satisfaz: M 1 ) d(x,x) = x x = 0 = 0; M 2 ) se x y etão d(x,y) = x y > 0; M 3 ) d(x,y) = x y = ( 1)(y x) = 1 y x = y x = d(y,x) e M 4 ) d(x,y) = x y = x z + z y N 3 x z + z y = d(x,z) + d(z,y). Lema 2.9. Sejam E um espaço métrico vetorial ormado, x,y,a E e α R. Uma métrica d iduzida por uma orma em E satisfaz: (a) d(x + a,y + a) = d(x,y); (b) d(αx,αy) = α d(x,y). Demostração. Temos d(x + a,y + a) = x + a (y + a) = x + a y a = x y = d(x,y), e d(αx,αy) = αx αy = α(x y) = α x y = α d(x,y). Observação Naturalmete, em um espaço vetorial ormado, tem-se x = d(x,0 E ), ou seja, a orma de um vetor x é a distâcia de x à origem.

38 24 2. Espaços Normados e de Baach Exemplo Seja C([a,b],R) = { f : [a,b] R : f é cotíua}. O espaço C([a,b],R) é um espaço métrico quado muido da aplicação d : C([a,b],R) C([a,b],R) R + (x,y) d(x,y) = max x(t) y(t) = max (x y)(t), para x,y C([a,b],R). (2.2) t [a,b] t [a,b] Assim, C([a,b],R) é um espaço ormado com a orma defiida por : C([a,b],R) C([a,b],R) R + x x = max t [a,b] x(t). Observação Todos os resultados euciados para espaços métricos toram-se válidos para espaços ormados cosiderado-se a correspodêcia d(x, y) = x y, exibida pela Proposição 2.8. Podemos exprimir o coceito de sequêcia covergete da seguite forma: Uma sequêcia {x } N em um espaço ormado E é covergete se existe x E tal que lim x x = 0. Etão escrevemos x x e chamamos x de limite de {x } N. Defiição Sejam 1 e 2 ormas o mesmo espaço vetorial E. Escrevamos E 1 = (E, 1 ), E 2 = (E, 2 ) e idiquemos com i 12 : E 1 E 2 a aplicação idetidade. Dizemos que 1 e 2 são ormas equivaletes quado i 12 é uma aplicação cotíua com iversa também cotíua. O resultado seguite pode ser facilmete obtido a partir da defiição aterior. Proposição Duas ormas 1 e 2 um espaço vetorial E são equivaletes se, e somete se, existem costates α > 0 e β > 0 tais que α x 1 x 2 β x 1, para todo x E. Observação Procededo da mesma forma como a demostração da Proposição 1.7, podemos afirmar que as ormas Euclidiaa, Soma e Máxima itroduzidas, respectivamete, os Exemplos 2.6 e 2.7 são equivaletes em R. Lema Seja {x 1,...,x } um cojuto de vetores liearmete idepedetes em um espaço ormado X. Etão existe um úmero c > 0 tal que para toda escolha de escalares α 1,...,α R temos α 1 x α x c( α α ). (2.3) Demostração. Seja s = α α. Se s = 0, todos os valores α j são zero e portato (2.3) vale para qualquer c. Se s > 0, dividido ambos os lados por s de (2.3) temos:

39 2.1. Espaços Normados 25 β 1 x β x c, ode β j = α j s e β j = 1. (2.4) j=1 Logo é suficiete provar que existe c > 0 tal que (2.4) vale para toda -upla de escalares β 1,...,β, com β j = 1. j=1 Supohamos que isto ão ocorra. Etão existe uma sequêcia de vetores {y m } m N, tal que y m 0 quado m +. y m = β (m) 1 x β (m) x, ode β (m) j = 1 j=1 Ou seja, ão existe c > 0 tal que y m c, para todo m. Como β (m) j 1. Etão para cada j fixado obtemos a sequêcia {β (m) j } j N = (β (1) j,β (2) j,...) j=1 β (m) j = 1, temos que é limitada. Pelo Teorema 1.76 de Bolzao-Weierstrass, existe uma subsequêcia covergete {γ (m) 1 } de {β (m) 1 }. Seja β 1 o limite desta sequêcia. Obtemos etão uma subsequêcia {y 1,m } de {y m } dada por y 1,m = γ (m) 1 x 1 + β (m) 2 x β (m), ode γ (m) 1 β 1 quado m. Os termos β (m) 2 de (y 1,m ) também formam uma sequêcia limitada e, pelo Teorema de Bolzao-Weierstrass, existe uma subsequêcia covergete de β (m) 2. Seja β 2 o limite desta sequêcia. Obtemos assim a subsequêcia {y 2,m } de {y 1,m }. Cotiuado com esse raciocíio, após vezes obteremos uma subsequêcia (y,m ) de (y m ) dada por ode γ (m) j j=1 y,m = j=1 γ (m) j x j = γ (m) 1 x 1 + γ (m) 2 x γ (m) x, = 1, já que esta é uma subsequêcia de β (m). Estes escalares aida satisfazem Portato, para m, temos γ (m) j β j quado m. j Como y,m y = β 1 x β x. β j = 1, segue que em todos os ídices β j são ulos. Sedo o cojuto {x 1,...,x } liearmete idepedete e em todos os ídices b j ulos, temos y 0. Porém, como y,m

40 26 2. Espaços Normados e de Baach y, segue que y,m y e, por hipótese, y m 0, logo y,m 0 y = 0, que é uma cotradição, pois y 0. Logo, ão podemos afirmar que y m 0, o que demostra a proposição. Teorema Em um espaço ormado M de dimesão fiita, um subcojuto N M é compacto se, e somete se, N é fechado e limitado. Demostração. Segue do Teorema 1.78 que compacto implica fechado e limitado. Quato a recíproca, temos: Seja N fechado e limitado. Supohamos que dimm = e seja {e 1,...,e } uma base de M. Cosideremos uma sequêcia {x m } m N em N. Cada x m tem uma represetação x m = α1 m e α m e. Como N é limitado, temos x m k, m N. Pelo Lema 2.16, existe c > 0 tal que k x m = j=1 α m Lema 2.16 j e j c α m j j=1 α m j k para cada j. j=1 c Assim, para cada j fixado, α m m j α m j k j=1 c. Portato, a sequêcia de úmeros {α m j } m N é limitada para j fixado e, pelo Teorema de Bolzao-Weierstrass, existe um poto de acumulação α j, com 1 j. Como a demostração do Lema 2.16, cocluímos que {x m } m N possui uma subsequêcia {z m } m N que coverge para z = α j e j. Como N é fechado, z N. Isto mostra que uma sequêcia arbitrária {x m } m N em N possui uma subsequêcia covergete em N. Portato N é compacto. 2.2 Espaços de Baach Nesta seção defiiremos os espaços de Baach. Este coceito será de fudametal importâcia para o próximo capítulo, ode serão abordadas as equações difereciais com retardameto. Neste estudo destacamos o espaço das fuções cotíuas C([a,b],R ), o qual veremos ser um espaço de Baach. Defiição Dizemos que um espaço vetorial X é um espaço de Baach se X for ormado e completo segudo essa orma. Observação Dizer que o espaço X é completo segudo uma orma sigifica que, dado ε > 0 existem x X e N N tais que, se {x } N é uma sequêcia de Cauchy em X e > N, etão x x < ε, ou seja, lim x = x. + Exemplo R é um espaço de Baach. Segudo à Observação 2.15 podemos, sem perda de geeralidade, cosiderar em R a orma dada por x = x i, ode x = (x 1,...,x )