TATIANE TAMBARUSSI MONOGRAFIA DE ESPECIALIZAÇÃO

Transcrição

1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA TATIANE TAMBARUSSI UM ESTUDO DE ANÁLISE REAL ATRAVÉS DE RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS. MONOGRAFIA DE ESPECIALIZAÇÃO CAMPO MOURÃO 2011

2 TATIANE TAMBARUSSI UM ESTUDO DE ANÁLISE REAL ATRAVÉS DE RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS. Moografia apresetada ao Programa de Pósgraduação em Matemática da Uiversidade Tecológica Federal do Paraá como requisito parcial para obteção do título de Especialista em Ciêcias Área de Cocetração: Matemática. Orietador: Adiladri Mércio Lobeiro Co-orietador: Jua Amadeo Soriao Palomio CAMPO MOURÃO 2011

3 TERMO DE APROVAÇÃO Tatiae Tambarussi Um estudo de Aálise Real através de resolução de exercícios. Moografia apresetada ao Programa de Pós-graduação em Matemática da Uiversidade Tecológica Federal do Paraá como requisito parcial para obteção do título de Especialista em Ciêcias Área de Cocetração: Matemática. Orietador: Prof. Msc. Adiladri Mércio Lobeiro Prof. PhD. Jua Amadeo Soriao Palomio Prof. Msc. Nayee Michele Pitta Paião Campo Mourão, 2011

4 Dedico este trabalho a Deus e a miha família, porque Quem a Deus tem, ada lhe falta. Só Deus basta. (Sata Teresa de Ávila)

5 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus por tudo que me proporcioastes, pelas pessoas maravilhosas que colocastes em meu camiho, fazedo com que o camiho fosse muito mais florido. Obrigada pela graça de viver em sua graça. Agradeço a miha família, que protamete respeitou mihas decisões de mudaças, que me apoiou os mometos mais difíceis e que me oportuizou com sua compreesão, a experiêcia de estudar e estudar. Agradeço aos amigos, Vaessa, Marco, Roey, Alex, Maichel, Patrícia, Hissay, Brill, Willia, Reata, Keyla, Valéria, Luciaa, Jéssica, Elieger, Simoe, Ferado, Clícia, Joyce, Izoei, que os cativaram, os alegraram que fizeram com que vir para faculdade aos sábados e aos domigos fosse de verdade uma alegria, a matemática fica mais doce e agradável desta maeira. É preciso agradecer a uma amiga em especial, ela que passou a fazer parte da miha família, por ter estado sempre do meu lado, parado seus estudos, tirado mihas dúvidas, fazedo eu rir até egasgar (rsrs), agradeço a Cristiae Beder por ter assumido juto comigo o compromisso de estudar para realizar o soho de etrar o mestrado, sem a sua preseça teho certeza que teria ficado o meio do camiho. Especialmete agradeço ao Professor Adiladri, que poderia ter sido simplesmete osso professor e coordeador do curso, mas abraçou a causa juto coosco colocado metas quase que iatígeis fazedo com que o soho dele se torasse o osso soho, muitas vezes osso pesadelo, mas o grade marco de ossos estudos. Obrigada professor por ter os impulsioado, sempre, o sehor marcou várias págias do livro de ossas vidas. Volto a agradecer a Deus, por todas essas pessoas que estiveram diretamete ligadas e colaborado com miha produção. Sehor abeçoe e guarde-as. Obrigada, obrigada, muitíssimo obrigada Sehor!!! Não teho palavras para descrever a alegria desta realização. Mas sei que coheces meu coração e lá traduzirás miha gratidão.

6 RESUMO TAMBARUSSI, Tatiae. Um estudo de Aálise Real através de resolução de exercícios f. Moografia Programa de Pós-graduação em Matemática, Uiversidade Tecológica Federal do Paraá. Campo Mourão, Este trabalho cosiste em estudar Aálise real através da resolução de exercícios, com o objetivo de apreder Aálise real. Esta moografia ão é apeas uma pesquisa bibliográfica, trata-se de um estudo, uma produção voltada à esta disciplia que pela dificuldade e pelos tatos prérequisitos é cosiderada uma das mais difíceis. Diate disto procuramos resolver os exercícios de maeira clara e diversificada, buscado maeiras de colaborar com o crescimeto do leitor e com o osso crescimeto como estudate. O presete trabalho iclui breves defiições e resoluções de exercícios dos seguites temas: Cojutos Fiitos e Ifiitos, Números Reais, Sequêcias de Números Reais, Séries Numéricas, Algumas Noções Topológicas, Limites de Fuções e Fuções Cotíuas. Palavras-chave: Aálise real, resolução, exercícios, produção.

7 ABSTRACT TAMBARUSSI, Tatiae. A study of Real Aalysis by solvig exercises. 107 f. Moografia Programa de Pós-graduação em Matemática, Uiversidade Tecológica Federal do Paraá. Campo Mourão, This paper aims to study real Aalysis by solvig exercises, i order to lear real Aalysis. This moography does ot fit ito bibliographical research, because it was a study, a great productio directed to the real Aalysis, this subject due to the difficulty ad so may prerequisites is cosidered oe of the most difficult subjects. Facig this we solved the exercises i a clear ad diversified way, lookig for ways to help developmet of the reader ad our ow developmet as studet. This preset paper icludes brief defiitios ad resolutios of exercises the followig themes: Fiite ad Ifiite Sets, Real Numbers, Sequeces of Real Numbers, Numerical Series, Some Topological Notios, Fuctios ad Limits of Cotiuous Fuctios. Keywords: Real aalysis, resolutio, exercises, productio.

8 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS NÚMEROS NATURAIS CONJUNTOS FINITOS CONJUNTOS INFINITOS CONJUNTOS ENUMERÁVEIS EXERCÍCIOS Seção 1: Números Naturais Seção 2: Cojutos Fiitos Seção 3: Cojutos Ifiitos Seção 4: Cojutos Eumeráveis NÚMEROS REAIS IR É UM CORPO IR É UM CORPO ORDENADO IR É UM CORPO ORDENADO COMPLETO EXERCÍCIOS Seção 1: IR é um corpo Seção 2: IR é um Corpo Ordeado Seção 3: IR é um Corpo Ordeado Completo SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA LIMITES E DESIGUALDADES OPERAÇÕES COM LIMITES LIMITES INFINITOS EXERCÍCIOS Seção 1: Limite de uma Sequêcia Seção 2: Limites e desigualdades Seção 3: Operações com Limites Seção 4: Limites Ifiitos SÉRIES NUMÉRICAS SÉRIES CONVERGENTES SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES TESTES DE CONVERGÊNCIA EXERCÍCIOS Seção 1: Séries Covergetes Seção 2: Séries absolutamete covergetes Seção 3: Testes de covergêcia ALGUMAS NOÇÕES TOPOLÓGICAS CONJUNTOS ABERTOS CONJUNTOS FECHADOS PONTOS DE ACUMULAÇÃO

9 6.4 CONJUNTOS COMPACTOS EXERCÍCIOS Seção 1: Cojutos Abertos Seção 2: Cojutos Fechados Seção 3: Potos de Acumulação Seção 4: Cojutos Compactos LIMITES DE FUNÇÕES DEFINIÇÃO E PRIMEIRAS PROPRIEDADES LIMITES LATERAIS LIMITES NO INFINITO, LIMITES INFINITOS EXERCÍCIOS Seção 1: Defiição e Primeiras propriedades Seção 2: Limites Laterais Seção 3: Limites o ifiito, limites ifiitos FUNÇÕES CONTÍNUAS DEFINIÇÃO E PRIMEIRAS PROPRIEDADES FUNÇÕES CONTÍNUAS NUM INTERVALO FUNÇÕES CONTÍNUAS EM CONJUNTOS COMPACTOS CONTINUIDADE UNIFORME EXERCÍCIOS Seção 1: Defiição e primeiras propriedades Seção 2: Fuções cotíuas um itervalo Seção 3: Fuções cotíuas em cojutos compactos Seção 4: Cotiuidade uiforme CONCLUSÃO REFERÊNCIAS

10 7 1 INTRODUÇÃO Este trabalho tem o ituito de istigar o aluo a estudar aálise, como feito pelos autores, o título do trabalho é exatamete o que ele sigifica, um estudo de Aálise através de resolução de exercícios, isto mostra a importâcia de ates de lermos este trabalho, estudarmos o coteúdo, saber defiições, e ode podemos aplicar os Teoremas, como parte itegrate do estudo é preciso ser feito os exercícios, para que através da resolução destes, possamos tratar as defiições em suas tatas maeiras, é importate que o aluo pese e repese os exercícios, para cotruir ideias, para exercitar o raciocíio, ão etrado a zoa de coforto. Recomedamos o estudo do livro Aálise Real (LIMA, 2008) e Um curso de aálise (LIMA, 2009), livros base deste trabalho, também foram utilizados (ÁVILA, 2004), (FIGUEIREDO, 1975). Buscamos resolver os exercícios de maeira detalhada, para que o leitor possa compreeder as etrelihas da resolução de cada exercício. O objetivo deste trabalho quado proposto era estudar aálise, diate da grade dificuldade que tíhamos, desta maeira assumimos o compromisso de fazer um estudo dirigido, todas as semaas apresetado exercícios ao osso orietador. Com o objetivo úico de apreder aálise, para chegar os cursos de verão preparadas para igressar o mestrado. O trabalho foi árduo mas a alegria da resolução de exercícios ão dados dicas era cativate, por isso gostaríamos de dizer ao estudate de aálise, ão leia a resolução sem ates pesar em como fazer, pois ao fazer isso estará pulado etapas do processo de apredizagem, buscado maeiras de resolver, estará voltado a ver a teoria, ão se preocupe se ão coseguir fazer, o importate é tetar, persistir. Para que você teha a sesação boa de perceber seu crescimeto como estudate. Este trabalho cotém exercícios alterados, cabe aqui esclarecer, o que talvez vocês já teham percebido que tudo que falei teha sido a 1 a pessoa do plural, (sempre ós) digo isto para esclarecer que o trabalho foi feito juto com a alua do mesmo curso Cristiae Beder, ode seu trabalho de coclusão de curso tem o mesmo coteúdo, porém trás os exercícios ão trazidos este. Ambos abordaram os seguites temas com breves defiições e teoremas: Cojutos

11 8 Fiitos e Ifiitos, Números Reais, Sequêcias de Números Reais, Séries Numéricas, Algumas Noções Topológicas, Limites de Fuções e Fuções Cotíuas.

12 9 2 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS Neste capítulo, será estabelecida a difereça etre cojutos fiitos e cojutos ifiitos. Será feita também a distição etre cojutos eumeráveis e cojuto ão-eumeráveis. O poto de partida é o cojuto dos úmeros aturais. 2.1 NÚMEROS NATURAIS O cojuto IN dos úmeros aturais é caracterizado pelos seguites fatos: 1. Existe uma fução ijetiva s : IN IN. A imagem s() de cada úmero atural IN chama-se o sucessor de. 2. Existe um úico úmero atural 1 IN tal que 1 s() para todo IN. 3. Pricípio da Idução (PI) Se X IN é um subcojuto tal que 1 X e, para todo X tem-se também s() X (s(x) X), etão X = IN. As propriedades (1), (2), (3) acima chamam-se os axiomas de Peao. O Pricípio de Idução sigifica que todo úmero atural pode ser obtido a partir de 1, tomado-se seu sucessor s(1), o sucessor deste, s(s(1)), e assim por diate. No cojuto IN dos úmeros aturais são defiidas duas operações fudametais: Adição: Multiplicação: + : IN IN IN (m,) m+ : IN IN IN (m,) m que são caracterizadas pelas seguites igualdades, que lhes servem de defiição:

13 10 1. m+1 = s(m); 2. m+s() = s(m+); 3. m 1 = m; 4. m (+1) = m +m; Temos as seguites propriedades da adição e da multiplicação: 1. Associatividade: (m+)+ p = m+(+ p); m ( p) = (m ) p 2. Distributividade: m (+ p) = m +m p; 3. Comutatividade: m+ = +m; m = m 4. Lei do corte: m+ = m+ p = p; m = m p = p Abordaremos agora a relação de ordem etre úmeros aturais. Dados os úmeros aturais m,, dizemos que: m é meor do que (m < ) quado existe p IN tal que = m+ p; m sigifica que m < ou m =. Proposição 2.1. (Trasitividade) Se m < e < p etão m < p. Dados m, IN quaisquer, vale uma, e somete uma, das três alterativas: m <, m > ou m = Uma das mais importates propriedades da relação de ordem m < etre os úmeros aturais é o chamado pricípio da boa-ordeação.

14 11 Teorema 2.1 (Pricípio da Boa Ordeação).. Todo subcojuto ão vazio A IN possui um meor elemeto, isto é, um elemeto 0 A tal que 0 para todo A. 2.2 CONJUNTOS FINITOS Idicaremos pelo símbolo I o cojuto {1,,} dos úmeros aturais desde 1 até. Notação: I = {p IN,1 p } Defiição 2.1. Um cojuto X diz-se fiito quado é vazio (X = /0) ou quado existe, para algum IN, uma bijeção ϕ : I X. Escrevedo x 1 = ϕ(1), x 2 = ϕ(2),, x = ϕ() temos etão X = {x 1,x 2,,x }. Observação 2.1. A bijeção ϕ chama-se uma cotagem dos elemetos de X e o úmero chama-se o úmero de elemetos, ou úmero cardial do cojuto fiito X. Notação: Card X =. Se X = /0, diz que o úmero de elemetos de X é zero, ou seja, Card X = 0; Cada cojuto I é fiito e possui elemetos, ou seja, Card I = ; Se f : X Y é uma bijeção, um desses cojutos é fiito se, e somete se, o outro é. Lema 2.1. Se f : X Y é uma bijeção e a X, b Y. Etão existe uma bijeção g : X Y tal que g(a) = b. Teorema 2.2. Se A é um subcojuto próprio de I (A I e A I ). Etão ão existe uma bijeção f : A I. Corolário 2.1. Se existem bijeções f : I X e g : I m X etão m =. Corolário 2.2. Seja X um cojuto fiito. Uma aplicação f : X X é ijetiva se, e somete se, é sobrejetiva. Corolário 2.3. Se Y é subcojuto próprio de X (Y X e Y X) e X é fiito etão ão pode existir uma bijeção f : X Y. Teorema 2.3. Todo subcojuto de um cojuto fiito é fiito. Corolário 2.4. Dada f : X Y 1. Se f é ijetiva e Y é fiito etão X é fiito.

15 12 2. Se f é sobrejetiva e X é fiito etão Y é fiito. Defiição 2.2. Um subcojuto X IN diz-se limitado quado existe p IN tal que x p para todo x X. Corolário 2.5. Um subcojuto X IN é fiito se, e somete se, é limitado. 2.3 CONJUNTOS INFINITOS Defiição 2.3. X é um cojuto ifiito quado X ão é fiito (X /0 e ão existe, seja qual for IN, bijeção f : I X ) Teorema 2.4. Se X é ifiito, etão existe uma aplicação ijetiva f : IN X Corolário 2.6. Um cojuto X é ifiito se, e somete se, existe uma bijeção ϕ : X Y sobre um subcojuto próprio Y X. 2.4 CONJUNTOS ENUMERÁVEIS Defiição 2.4. Um cojuto X é eumerável quado é fiito ou existe uma bijeção f : IN X. Observação 2.2. f : IN X chama-se uma eumeração dos elemetos de X. Escrevedo f(1)=x 1, f(2)=x 2,, f(x )=x, tem-se etão X = {x 1,x 2,,x, }. Se X é um cojuto ifiito etão existe uma f : IN X ijetiva ode f(in) X. Logo f : IN f(in) X é uma bijeção, e portato todo cojuto ifiito possui um subcojuto ifiito eumerável. Teorema 2.5. Todo subcojuto X IN é euumerável. Corolário 2.7. Seja f : X Y ijetiva. Se Y é eumerável etão X também é. Em particular, todo subcojuto de um cojuto eumerável é eumerável. Corolário 2.8. Seja f : X Y sobrejetiva. Se X é eumerável etão Y também é. Corolário 2.9. O produto cartesiao de dois cojutos eumeráveis é um cojuto eumerável. Corolário A reuião de uma família eumerável de cojutos eumeráveis é eumerável.

16 EXERCÍCIOS Seção 1: Números Naturais 1. Usado idução, prove: (a) = (+1) ; 2 Resolução: Para demostrar a idetidade = (+1) 2 Usaremos o Pricípio de Idução, cosideremos a proposição Para = 1, temos P() : = (+1), 1. 2 o que prova que, P(1) é verdadeira. 1 = 1(1+1), 2 Supohamos por hipótese que P() seja válida, para = k, ou seja, P(k) : k = k(k+ 1) 2 (1) é verdadeira. Vamos mostrar que P() é verdadeira para = k+ 1, assim tem-se: P(k+ 1) : k+ k+ 1 = k+ 1[(k+ 1)+1] 2 Adicioado (k+ 1) em ambos os membros da idetidade (1) temos k+ k+ 1 = = = k(k+ 1) +(k+ 1) 2 (k+ 1)(k+ 2) 2 (k+ 1)[(k+ 1)+1] 2 o que mostra, que P(k + 1) é verdadeira. Segue pelo Pricípio de Idução que P() é válida 1. (b) = 2.

17 14 Resolução: Cosideremos a proposição P() : = 2 Usaremos o Pricípio de Idução para demostrar que P() é verdadeira 1. Para = 1, temos { 2 (1) 1 = = 1 o que prova que P(1) é verdadeira. Supohamos por hipótese P() seja verdadeira para = k, ou seja, P(k) : k 1 = k 2 (2) Vamos mostrar que P() é verdadeira para = k+ 1 P(k+ 1) : k 1+2(k+ 1) 1 = (k+ 1) 2 Adicioado 2(k+ 1) 1 em (2) temos k 1+2(k+ 1) 1 = k 2 + 2(k+ 1) 1 = k 2 + 2k+ 2 1 = k 2 + 2k+ 1 = (k+ 1) 2 o que mostra que P(k + 1) é verdadeira. Segue pelo Pricípio de Idução que P() é verdadeira, para todo Dados m, IN com > m, prove que ou é múltiplo de m ou existem q, r IN tais que = mq+r e r < m. Prove que q e r são úicos com esta propriedade. 3. Seja X IN um subcojuto ão vazio tal que m, X m,m+ X. Prove que existe k IN tal que X é o cojuto dos múltiplos de k. Resolução: Como X IN e X /0, pelo prícipio da boa ordeação temos que X possui um meor elemeto. Seja x X tal que k x, x X. Sabemos que dados x,k X IN com x > k, temos duas situações: x é múltiplo de k. x ão é múltiplo de k.

18 15 Se x ão é múltiplo de k temos que existem q,r IN tal que: x = qk+ r, com 0 < r < k Como x X e x = qk+ r,temos que qk+ r X o que implica por hipótese que qk,r X. Como r < k absurdo, pois k é o meor elemeto de X. Portato, todo x X é múltiplo de k. 4. Dado IN, prove que ão existe x IN tal que < x < Prove o pricípio de idução como uma cosequêcia do pricípio da boa ordeação. Resolução: Seja X IN com a seguite propriedade X = {1 X e se X etão +1 X}. Queremos provar que X = IN. Supohamos que IN X, logo IN X /0. Seja Y = IN X /0, daí Y IN e Y /0. Pelo Pricípio da boa ordeação k Y tal que k y, y Y. Como 1 X, temos que k = p+1 Com p < k. Logo p X, pois k é o meor elemeto de Y. Como p+1 = k e k / X etão p+1 / X. Absurdo! Pois se p X temos que p+1 X. Portato X = IN Seção 2: Cojutos Fiitos 1. Idicado com card X o úmero de elemetos do cojuto fiito X, prove. (a) Se X é fiito e Y X etão card Y card X. (b) Se X e Y são fiitos etão X Y é fiito e card (X Y) = card X + card Y card (X Y).

19 16 (c) Se X e Y são fiitos etão X Y é fiito e card (X Y) = card X + card Y card (X Y). 2. Seja P(X) o cojuto cujos elemetos são os subcojutos de X. Prove por idução que se X é fiito etão card P(X) = 2 card X. Resolução: Temos que provar que dado um cojuto X fiito a card P(X) = 2 card X Há duas possibilidades a serem aalisadas: (a) X = /0 Se X = /0, etão P(X) = {/0}, card X = 0 e card P(X) = 1. Logo, card P(X) = 1 = 2 0 = 2 card X. Portato card P(X) = 2 card X. (b) X /0 Seja X /0 e fiito. Vamos provar por idução que card P(X) = 2 card X. Cosideremos X = {x}, etão P(X) = {/0,{x}}, card X = 1 e card P(X) = 2. Segue, card P(X) = 2 = 2 1 = 2 card X. Portato é válido para card X = 1, ou seja, para. Supohamos por hipótese de idução que se dado X = {x 1,x 2,...,x }, ode card X = etão card P(X) = 2 = 2 card X. Vamos mostrar que dado Y = X {a}, a / X ode card Y = card (X {a}) = card X + card {a} = +1 etão card P(Y) = 2 +1 = 2 card Y.

20 17 Logo, card P(Y) = card P(X {a}) = card [P(X) {Z {a},z P(X)}] = card P(X)+card {Z {a},z P(X)} card P(X) {Z {a},z P(X)} = card P(X)+card P(X) = = 2 2 = 2 +1 Portato card P(Y) = 2 card Y. Cocluímos etão que card P(X) = 2 card X, X fiito. 3. Seja F(X;Y) o cojuto das fuções f : X Y. Se card X = m e card Y =, prove que card F(X;Y) = m. 4. Prove que todo cojuto fiito ão-vazio X de úmeros aturais cotém um elemeto máximo (isto é, existe x 0 S tal que x x 0, x X). Resolução: Dado X IN ode X /0 e X é fiito com card X = p. Segue que X é limitado ou seja, qualquer x i X, com i = 1,, p, temos que existe x p IN tal que x p x i x i X. Sabedo que X é fiito e X /0, podemos cosiderar a bijeção: f : I p X ode f(1) = x 1, f(2) = x 2, f(p) = x p, com x 1 < x 2 < < x p. Isto mostra que x p X sedo x p o elemeto máximo de X Seção 3: Cojutos Ifiitos 1. Dada f : X Y, prove: (a) Se X é ifiito e f é ijetiva etão Y é ifiito. (b) Se Y é ifiito e f é sobrejetiva, etão X é ifiito. 2. Sejam X um cojuto fiito e Y um cojuto ifiito. Prove que existe uma fução ijetiva f : X Y.

21 18 Resolução: Vamos provar que existe uma f : X Y ijetiva. Como X é fiito e X /0 (se X = /0 ada temos que provar) cosideremos ϕ : I X. Sua iversa, ϕ 1 : X I é também uma bijeção. Como por hipótese Y é um cojuto ifiito existe ψ : IN Y ijetiva. Isto os dá codições de defiir uma fução ijetiva f = ψ ϕ 1 : X Y, coforme diagrama, visto que, a composta de fuções ijetivas é ijetiva. Portato, f : X Y é ijetiva. 3. Prove que o cojuto P dos úmeros primos é ifiito. 4. Dê exemplo de uma sequecia decrescete X 1 X 2... X... de cojutos ifiitos cuja itersecção X seja vazia. Resolução: Seja I = {p IN, p }. Cosidere o cojuto X = IN I = {p IN; p > }, desta maeira, temos:

22 19 X 1 = IN I 1 = IN {1} = {2,3,4,5,...} X 2 = IN I 2 = IN {1,2} = {3,4,5,6,...}. X = IN I = IN {1,2,...,} = {+1,+2,...} Segue que X 1 X 2 X 3 X e que 0 X = /0, pois dizer 0 IN e aida dizer X sigifica dizer que 0 é maior que todos os úmeros aturais, o que é um absurdo pois o cojuto dos úmeros aturais é ifiito Seção 4: Cojutos Eumeráveis 1. Defia f : IN IN IN podo f(1,) = 2 1 e f(m+1,) = 2 m (2 1). Prove que f é uma bijeção. 2. Prove que existe g: IN IN sobrejetiva tal que g 1 () é ifiito, para cada N. Resolução: Sabemos que IN é um cojuto ifiito e eumerável. Como o produto cartesiao de dois cojutos eumeráveis é eumerável, temos que IN IN é eumerável. Logo existe uma bijeção ϕ : IN IN IN defiida por ϕ() = (m,). Cosidere π : IN IN IN defiida por π(m,) =, uma bijeção. Logo, g = π ϕ é uma bijeção. Como g : IN IN sedo g() = é uma bijeção, temos que a imagem iversa de g, ou seja, g 1 () é ifiito. 3. Exprima IN = IN 1 IN 2... IN... como uião ifiita de subcojutos ifiitos, dois a dois disjutos.

23 20 4. Para cada IN, seja P = {X IN; card X = }. Prove que P é eumerável. Coclua que o cojuto P f dos subcojutos fiitos de IN é eumerável. Resolução: Dado P = {X IN, card X = }, defiimos: f : P IN X f(x) = (m 1,m 2,,m ), ode X = {m 1 < m 2 < < m }. Como IN é eumerável pois é um produto cartesiao fiito de cojutos eumeráveis. Temos que P é eumerável, visto que f é ijetiva. Como P f é o cojuto de todos os subcojutos fiitos de IN temos que P f = P é eumerável, pois é reuião de uma família eumerável de subcojutos eumeráveis (X IN é eumerável). 5. Prove que o cojuto (N) de todos os subcojutos de N ão é eumerável.

24 21 3 NÚMEROS REAIS 3.1 IR É UM CORPO Isto sigifica que estão defiidas em IR duas operações (IR, +, ) chamadas adição e multiplicação, que cumprem certas codições + : IR IR IR (x,y) x+y e que satisfazem os axiomas: : IR IR IR (x,y) x y 1. Associatividade: para quaisquer x, y, z IR tem-se x+(y+z) = (x+y)+z x.(y.z) = (x.y).z 2. Comutatividade: para quaisquer x, y IR tem-se x+y x.y = y+x = y.x 3. Existêcia do elemeto eutro: para qualquer x IR, 0 IR ; x+0 = x 1 IR ; x.1 = x 4. Existêcia do elemeto iverso: Dado x IR; ( x) IR tal que x+( x) = 0 Dado x IR; x 0, x 1 IR tal que x.x 1 = 1

25 22 5. Distributividade: para x,y,z IR quaisquer, tem-se x (y+z) = x y+x z Dos axiomas acima resultam todas as regras de maipulação com os úmeros reais. A título de exemplo, estabeleceremos algumas delas. a) da Comutatividade (i) 0+x = x. (ii) ( x)+(x) = 0. (iii) 1.x = x. (iv) x 1.x = 1. b) da Distributividade (i) x.0 = 0, x IR. (ii) x.y = 0 = x = 0 ou y = 0. (iii) Regra de siais (a) x.( y) = ( x).y = (xy); (b) ( x)( y) = xy. (iv) x 2 = y 2 = x = ±y. 3.2 IR É UM CORPO ORDENADO Isto sigifica que existe um subcojuto IR + IR, chamado o cojuto dos úmeros reais positivos, que cumpre as seguites codições: (P 1 ) Seja x,y IR + etão x+y IR + e x y IR + (P 2 ) Dado x IR tem-se uma das três alterativas: x IR + ou ( x) IR + ou x = 0. Se idicarmos com IR o cojuto dos úmeros ( x) ode x IR +, a codição P 2 diz que IR = IR + IR {0} e os cojutos, IR +, IR e {0} são dois a dois disjutos. Os úmeros y IR chama-se egativos. Proposição 3.1. x 0 tem-se x 2 IR +.

26 23 Defiição 3.1. Diz-se que x é meor do que y e escreve-se x < y quado y x IR +, isto é, y = x+z ode z IR +. Neste caso, escreve-se também y > x e diz-se que y é maior do que x. Em particular, x > 0 sigifica x IR +, isto é, x é positivo; x < 0 sigifica que x IR +, ou seja, x é egativo. A relação de ordem x < y em IR satisfaz as seguites propriedades: 1. Trasitividade: se x < y e y < z etão x < z. 2. Tricotomia: Dados x,y IR tem-se uma das três alterativas. x = y, x < y ou y < x. 3. Mootoicidade da adição: se x < y etão x+z < y+z, z IR. { z > 0 x z < y z 4. Mootoicidade da multiplicação: se x < y etão z < 0 x z > y z Mais geralmete, x,y,x,y IR (i) x < y e x < y = x+x < y+y (ii) 0 < x < y e 0 < x < y = x.x < y.y (iii) 0 < x < y = y 1 < x 1 Como 1 IR é positivo, segue que 1 < < podemos etão cosiderar IN IR. Segue que ZZ IR pois 0 IR e IR IR. Além disso, se m, ZZ com 0 etão o que os permite cocluir que IQ IR. Assim m = m. 1 IR IN ZZ IQ IR

27 24 Proposição 3.2. (Desigualdade de Beroulli) Para todo úmero real x 1 e todo IN, tem-se (1+x) 1+x (1) Defiição 3.2. (Módulo) Dado x IR, defiimos o módulo de x por x se x > 0 x = 0 se x = 0 x se x < 0 ou aida x = max{ x,x} é o maior dos úmeros reais x e x. Observação x x x, x IR. 2. x é o úico úmero ão egativo cujo quadrado é x 2, ou seja, x 2 = x 2. Proposição 3.3. Se x, y IR etão (i) x+y x + y (ii) x.y = x. y Teorema 3.1. Sejam x,a IR. As seguites afirmações são equivaletes. (i) a x a (ii) x a e x a (iii) x a Corolário 3.1. Dados a,x,b IR, tem-se x a b se, e somete se, a b x a+b. Usaremos as seguites otações para represetar tipos especiais de cojutos de úmeros reais, chamados itervalos: Itervalos limitados com extremos a,b. fechado: [a,b] = {x IR;a x b} aberto: (a,b) = {x IR;a < x < b} fechado à esquerda: [a,b) = {x IR;a x < b}

28 25 fechado à direita: (a,b] = {x IR;a < x b} Itervalos ilimitados Semi-reta esquerda fechada de origem b: (, b] = {x IR; x b} Semi-reta esquerda aberta de origem b: (, b) = {x IR; x < b} Semi-reta direita fechada de origem a: [a, ) = {x IR; x a} Semi-reta direita aberta de origem a: (a, ) = {x IR; x > a} Reta: (,) = IR Teorema 3.2. Num corpo ordeado K, as seguites afirmações são equivaletes: (i) IN K é ilimitado superiormete. (ii) dados a,b K, com a > 0, existe IN tal que a > b. (iii) dado qualquer a > 0 em K, existe IN tal que 0 < 1 < a. Defiição 3.3. Um corpo ordeado K chama-se arquimediao quado ele é válida qualquer das três codições equivaletes citadas o teoerema 3.2. Observação 3.2. O corpo IQ dos úmeros racioais é arquimediao. 3.3 IR É UM CORPO ORDENADO COMPLETO Nada do que foi dito até agora permite distiguir IR de IQ pois os úmeros racioais também costituem um corpo ordeado. Acabaremos agora ossa caracterização de IR, descrevedo-o como um corpo ordeado completo, propriedade que IQ ão tem. Defiição 3.4. Seja X IR. Dizemos que X é limitado superiormete quado existe k IR tal que x k, x X e todo k com esta proriedade é deomiado uma cota superior de X. Defiição 3.5. Seja X IR limitado superiormete e ão vazio. Dizemos que b é supremo de X. Se b é a meor das cotas superiores b = supx

29 26 Equivaletemete, b é supremo de X se, e somete se: (i) x b, x X (ii) Se c é uma cota superior de X, etão b c. (iii) ε > 0, existe x X tal que b ε < x. Defiição 3.6. Seja X IR dizemos que X é limitado iferiormete quado existe m IR tal que m x, x X e todo m com esta propriedade é deomiado uma cota iferior de X Defiição 3.7. Seja X IR limitado iferiormete e ão vazio. Dizemos que a é o ífimo de X se a é a maior das cotas iferiores a = ifx Equivaletemete, a é o ífimo de X se, e somete se: (i) a x, x X (ii) Se c é uma cota iferior de X etão c a. (iii) ε > 0, existe x X tal que x < a+ε. Defiição 3.8. Um úmero b X é o maior elemeto (elemeto máximo) do cojuto X quado b x x X Isto quer dizer que b = supx que pertece a X. Exemplo: b é o elemeto máximo do [a,b] o [a, b) ão possui elemeto máximo mas b = sup[a, b) Defiição 3.9. Um úmero a X é o meor elemeto (elemeto míimo) do cojuto X quado

30 27 a x x X Isto quer dizer que a = ifx que pertece a X. Exemplo: a é o elemeto míimo do [a,b] o (a, b] ão possui elemeto míimo mas a = if(a, b] Defiição Se X é limitado superiormete e iferiormete, diz-se que X é um cojuto limitado. Isto sigifica que X esta cotido em algum itervalo limitado [a, b] ou que existe k > 0 tal que se x X etão x k. Exemplo 3.1. Seja Y = { } 1 ; IN IQ 2 etão ify = 0 e supy = 1 2. A isuficiêcia mais grave dos úmeros racioais, para efeitos da aálise matemática, é o fato de algus cojutos limitados de úmeros racioais ão possuem supremo (ou ífimo). Este fato está ligado à iexistêcia de raízes quadradas racioais de certos úmeros iteiros, mas é uma dificuldade que vai muito além dessa falta. Pitágoras e seus discípulos descobriram o seguite, Lema 3.1. Não existe um úmero racioal cujo quadrado seja igual a 2. Proposição 3.4. Sejam e X = {x IQ;x 0 e x 2 < 2} IQ Y = {y IQ;y > 0 e y 2 > 2} IQ etão ão existem supx em ify em IQ. Observação 3.3. Com base a proposição (3.4), observamos que se existir um corpo ordeado o qual todo cojuto ão-vazio, limitado superiormete, possua supremo, existirá, esse dito corpo, um elemeto a > 0 cujo quadrado é 2. Com efeito, tal corpo, sedo ordeado cotém IQ, logo cotém o cojuto X e ele existirá a = supx, cujo quadrado, ão podedo ser meor em maior do que 2, deverá ser igual a 2. Escreve-se a = 2.

31 28 Defiição 3.11 (Corpo Ordeado Completo). Um corpo ordeado K chama-se completo quado todo subcojuto ão vazio, limitado superiormete, X K, possui supremo em K. Resulta da defiição que, um corpo ordeado completo, todo cojuto ão-vazio, limitado iferiormete, Y K, possui um ífimo. Adotaremos, a partir de agora, o axioma fudametal da Aálise Matemática. Axioma 3.1 (Axioma Fudametal da Aálise Matemática). Existe um corpo ordeado completo, IR, chamado o corpo dos úmeros reais. Como foi observado, existe em IR um úmero positivo a tal que a 2 = 2. Este úmero é represetado pelo símbolo 2 o qual ão é úmero racioal. Aos elemetos do cojuto IR IQ, isto é, aos úmeros que ão são racioais, chamaremos de úmeros irracioais. Assim 2 é um úmero irracioal. Proposição 3.5. Dados m, IN, se m IN etão m (IR IQ). Mostraremos agora que os úmeros irracioais se acham espalhados por toda parte etre os úmeros reais e que há mais úmeros irracioais do que racioais. Para explicar precisamete o que sigifica espalhados por toda parte, começaremos com uma defiição. Defiição 3.12 (Deso). Um cojuto X IR chama-se deso em IR quado todo itervalo aberto (a,b) cotém algum poto de X. Em outras palavras, diremos que o cojuto X de úmeros reais é deso em IR quado, dados arbitrariamete a < b em IR, for possível ecotrar x X tal que a < x < b. Teorema 3.3. O cojuto IQ dos úmeros racioais e o cojuto IR IQ dos úmeros irracioais são ambos desos em IR. Teorema 3.4 (Itervalos Ecaixados). Seja I 1 I 2 I uma sequêcia decrescete de itervalos limitados e fechados I = [a,b ] etão I ão é vazia. Teorema 3.5. O cojuto dos úmeros reais ão é eumerável. Corolário 3.2. Todo itervalo ão-degeerado de úmeros reais é ão-eumerável. Corolário 3.3. O cojuto dos úmeros irracioais ão é eumerável.

32 EXERCÍCIOS Seção 1: IR é um corpo 1. Prove as seguites uicidades: (a) Se x+θ = x para algum x IR etão θ = 0; (b) Se x u = x para todo x IR etão u = 1; (c) Se x+y = 0 etão y = x; (d) Se x.y = 1 etão y = x Dados a,b,c,d IR, se b 0 e d 0 prove que a b + c d Resolução: (i) a b + c (ad + bc) =. d bd Como a = a temos a d = a d a d + b c = a d + b c, = (ad + bc) bd ( a )( c e b d) = ac bd Sedo b 0 e d 0 úmeros reais segue que existem iversos multiplicativos b 1,d 1 IR tais que b b 1 = 1 e d d 1 = 1, pois IR é um corpo. Vamos provar que: a(b b 1 )d + b(d d 1 )c = a d + b c a d + b c = a d + b c (a b 1 + c d 1 )(bd) = (a d + b c)(bd 1 )(bd) a b 1 + c d 1 = (a d + b c)(bd) 1 a b + c (ad + bc) =. d bd ( a )( c (ii) = b d) ac bd Visto que a = a, segue que: a c = a d a(b 1 b)c = a c ab 1 bc = a c ab 1 cb = a c ab 1 c(d 1 d)b = a c (ab 1 ) (cd 1 )(db)(bd) 1 = a c(bd) 1 ab 1 cd 1 = a c(bd) ( 1 a )( c = b d) ac bd.

33 30 ( a ) 1 3. Se a 0 e b 0 em IR, prove que (a b) 1 = a 1 b 1 b e coclua que = b a. 4. Prove que (1 x+1 ) = 1+x+...+x para todo x 1. (1 x) Resolução: Seja P() : (1 x+1 ) = 1+x+...+x (1 x) Vamos mostrar pelo Pricípio de Idução que P() é verdadeira, 1. Se = 1, temos do primeiro membro de P() que 1 x x = 1 x2 1 x = (1 x)(1+x) (1 x) = 1+x, e do segudo membro que 1+x 1 = 1+x Portato P(1) é verdadeira. Supohamos por hipótese que P() seja válida para = k, ou seja é verdadeira. Vamos provar que P(k) : (1 xk+1 ) (1 x) P(k+ 1) : (1 x(k+1)+1 ) (1 x) = 1+x+...+x = 1+x+...+x k + x k+1 é válida. Adicioado x k+1 a ambos os membros de P(k), obtemos: (1 x (k+1) ) + x (1 x) = 1+x+...+x k + x k+1 (1 x k+1 )+(1 x)x k+1 1 x = 1+x+...+x k + x k+1 (1 x (k+1)+1 ) 1 x = 1+x+...+x k + x k+1 logo P(k+ 1) é verdadeira. Portato pelo PI P() é verdadeira para todo Seção 2: IR é um Corpo Ordeado 1. Para quaisquer x,y,z IR, prove que x z x y + y z. 2. Prove que x y x y para quaisquer x,y IR. Resolução: Vamos mostrar que x y x y x, y IR, que é equivalete a x y x y x y.

34 31 Temos x = x y+y x x y + y x y x y (2) e y = y x+x y (y+x) + x y x y+x x y x y x y x y (3) De (2) e (3), obtemos: Portato, x y x y x y. x y x y. 3. Dados x,y IR, se x 2 + y 2 = 0 prove que x = y = 0. [ ] ( 1) 4. Prove por idução que (1+x) 1+x+ x 2 se x 0 2 Resolução: Cosidere a proposição [ ] ( 1) P() : (1+x) 1+x+ x 2. 2 Vamos provar pelo Pricípio de Idução que P() é verdadeira 1, ode x 0. Para = 1, temos que [ ] 1(1 1) P(1) : (1+x) 1 1+x+ x 2 = 1+x+0. 2 é verdadeira. Supohamos que P() é verdadeira para = k, [ ] k(k 1) P(k) : (1+x) k 1+kx+ x 2. 2

35 32 Vamos mostrar que [ ] (k+ 1)[(k+ 1) 1)] P(k+ 1) : (1+x) k+1 1+(k+ 1)x+ x 2. 2 Multiplicado (1+x) a ambos os membros de P(k) temos: [ [ ] k(k 1) (1+x) k (1+x) 1+kx+ ]x 2 (1+x) [ [ 2 ] k(k 1) = 1+kx+ ]x 2 (1+x) 2 [ k(k 1) = (1+x)+kx(1+x)+ 2 (1+x)+kx+kx 2 k(k 1) + x 2 2 = 1+(1+k)x+kx 2 k(k 1) + x 2 2 = 1+(1+k)x+ 2kx2 + k(k 1)x 2 Segue que 2 k(2+k 1)x2 = 1+(1+k)x+ 2 k(k+ 1)x2 = 1+(1+k)x+ 2 1+(1+k)x+ (k+ 1)[(k+ 1) 1]x2 2 ] x 2 [ k(k 1) 2 [ ] (k+ 1)[(k+ 1) 1)] (1+x) k+1 1+(k+ 1)x+ x 2 2 Portato P(k+ 1) é verdadeira x > 0. Cocluímos pelo Pricípio de Idução que P() é verdadeira para. ] x 3 5. Para todo x 0 em IR, prove que (1+x) 2 > 1+2x, Prove que a b < ε a < b +ε. Resolução: Como estamos tratado de elemetos arbitrários de um corpo ordeado IR vale seguite relação: a b < a b e a b < a b Segue das desigualdades acima a b < a b < a b

36 33 ou aida, a b < a b < ε, logo a b < ε. Portato, a < b +ε. 7. Use o fato de que triômio do segudo grau f(λ) = para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz ( ) 2 x i y i i=1 ( xi 2 i=1 i=1 )( y 2 i i=1 (x i +λy i ) 2 é 0 para todo λ IR ). Prove aida que vale a igualdade se, e somete se, existe λ tal que x i = λy i para todo i = 1,,, ou y 1 = = y = Se a 1,..., a pertecem a um itervalo (α,β) e b 1,...,b são positivos, prove que b 1 b (a a ) (b b ) pertece a (α,β). Nas mesmas codições, se t 1,...,t IR + prove que (t 1 a t a ) também pertece ao itervalo (α,β). (t 1 b t b ) Resolução: Sejam a i b i (α,β), b i tal que i = 1,2,,, ou seja, α < a i b i < β Multiplicado a desigualdade por b i, temos i,i = 1,, ou seja, b i α < a i < βb i b 1 α < a 1 < βb 1 b 2 α < a 2 < βb 2. (4) b α < a < βb Somado as desigualdades acima, obtemos i=1 b i α < i=1 a i < i=1 b i β

37 34 ou aida α i=1 b i < i=1 a i < β b i i=1 dividido por b i i=1 α < a i i=1 i=1 b i < β, Cocluímos que α < a 1 + a a b 1 + b b < β Nas mesmas codições queremos provar que α < t 1a 1 +t 2 a t a t 1 b 1 +t 2 b t b < β (α,β) com t i IR + Multiplicado (4) por t i IR +,i = 1,2,,, respectivamete obtemos: Somado as desigualdades acima, temos ou melhor i=1 α (αb 1 )t 1 < a 1 t 1 < (βb 1 )t 1 (αb 2 )t 2 < a 2 t 2 < (βb 2 )t 2. (αb )t < a t < (βb )t α(b i t i ) < i=1 dividido por i=1 (b it i ) obtemos equivalete a (b i t i ) < i=1 i=1 a i t i < a i t i < β i=1 α < i=1 a it i i=1 b it i < β β(b i t i ) i=1 (b i t i ) α < a 1t 1 + a 2 t a t b 1 t 1 + b 2 t b t < β

38 35 Cocluimos que t 1 a 1 +t 2 a t a t 1 b 1 +t 2 b t b (α,β), t i IR Seção 3: IR é um Corpo Ordeado Completo 1. Diz-se que uma fução f : X IR é limitada superiormete quado sua imagem f(x) = { f(x);x X} é um cojuto limitado superiormete. Etão põe-se sup f = sup{ f(x),x X}. Prove que se f, g : X IR são limitadas superiormete o mesmo ocorre com a soma f + g : X IR e tem-se sup( f + g) sup f + supg. Dê um exemplo de sup( f + g) < sup f + supg. Eucie e prove um resultado aálogo para if. 2. Dadas as fuções f, g : X IR + limitadas superiormete, prove que o produto f g : X IR + é uma fução limitada (superior e iferiormete) com sup( f g) sup f supg e if( f g) if f ifg. Dê exemplos ode se teha < e ão =. Resolução: Sejam f, g : X IR + limitadas superiormete. Logo, f(x) = { f(x),x X} M e g(x) = {g(x),x X} N ode M,N IR +. Queremos provar que f.g é limitada. ( f g)(x) = {( f g)(x);x X} = {( f)(x) (g)(x);x X} Por hipótese 0 f(x) M 0 g(x) M x X, logo 0 f(x) g(x) M x X, ou seja, f g é limitada, x X. Resta provar que:

39 36 (a) sup ( f g) (sup f) (sup g) Temos sup ( f g) = sup f(x) g(x), x X e também sup ( f) = sup f(x), x X f(x), x X. sup (g) = sup g(x), x X g(x), x X. logo 0 f(x) sup f, x X 0 g(x) sup g, x X etão f(x) g(x) (sup f)(sup g), x X ou seja, sup f sup g é cota superior do cojuto { f(x) g(x), x X} dode sup ( f g) sup f sup g (b) if ( f g) (if f) (if g) Temos if ( f g) = if f(x) g(x), x X e também if ( f) = if f(x), x X f(x), x X. if (g) = if g(x), x X g(x), x X. logo 0 if f f(x), x X 0 if g g(x), x X

40 37 etão (if f)(if g) f(x) g(x), x X ou seja, if f if g é cota iferior do cojuto dode Exemplo: Sejam e fuções limitadas. Temos que { f(x) g(x), x X} if ( f g) if f if g f : [1, 2] [1, 4] x f(x) = x 2 g : [1, 2] [4, 16] x g(x) = 16 x 2 f g : [1,2] IR f g(x) = f(x) g(x) = x 2 16 x 2 = 16 x IR, ou seja, f g é uma fução costate. Observe que: 1. sup f = 4, sup g = 16 e sup ( f g) = 16 < 16 4 = sup f sup g. Portato, sup ( f g) < sup f sup g 2. if f = 1, if g = 4 e if ( f g) = 16 < 1 4 = if f if g.

41 38 De ode cocluímos que if ( f g) > if f if g 3. Nas codições do exercício aterior mostre que sup( f 2 ) = (sup f) 2 e if( f 2 ) = (if f) Dados a,b IR + com a 2 < 2 < b 2, tome x,y IR + tai que x < 1,x < (2 a2 ) 2a 1 e y < (b2 2) 2b. Prove que (a+x) 2 < 2 < (b y) 2 e b y > 0. Em seguida, cosidere o cojuto limitado X = a IR + ;a 2 < 2 e coclua que o úmero real c = sup X cumpre c 2 = 2. Resolução: Sejam a,b IR + tal que a 2 < 2 < b 2, tomemos aida x,y IR + com x < 1 (5) x De (5) temos < 2 a2 2a+1 y > 0 y < b (6) y < b2 2 2b x < 2 a2 2a 1 (2a+1)x < 2 a 2 2ax+x < 2 a 2 a 2 + 2ax+x < 2. Como x < 1 etão x 2 < x logo segue, De (6) temos a 2 + 2ax+x < a 2 + 2ax+x 2 = (a+x) 2, (a+x) 2 < 2 (7) b 2 + 2by y < b2 2 2b 2by < b 2 2 b 2 2by > 2 < 2 ( 1)

42 39 Adicioado y 2 a ambos os membros da desigualdade temos b 2 2by+y 2 = (b y) 2 > 2+y 2 > 2 (b y) 2 > 2 De (5) e (6) temos (a+x) 2 < 2 < (b y) 2 (8) Cosiderado X = { a IR +,a 2 < 2 } e Y = { b IR +,b 2 > 2 } para cocluirmos que c = supx temos 2 casos a examiar: (a) O cojuto X ão possui elemetos máximo, de fato para todo a X existe por hipótese x < 1, por (8) a+x X. (b) O cojuto Y ão possui elemeto miímo, também de (8) temos que dado y < b obtemos b y Y. E aida se a X e b Y, etão a < b e por hipótese a 2 < 2 < b 2 logo x 2 < y 2. Das afirmações acima as seguites cosiderações podem ser feitas: Seja c = supx, logo c > 0. Não poderia ser c 2 < 2 porque isso obrigaria c X e aida seria o elemeto máximo de X que de (5) sabemos que ão existe. Tampouco poderia ser c 2 > 2, porque isto faria c Y e por coseguite existiria um k Y, e teríamos k < c e cocluiríamos a < k < c, a X. Portato c = supx implica c 2 = 2 5. Prove que o cojuto dos poliômios com coeficietes iteiros é eumerável. Um úmero real chama-se algébrico quado é raiz de um poliômio com coeficietes iteiros. Prove que o cojuto dos úmeros algébricos é eumerável. Um úmero real chama-se trascedete quado ão é algébrico. Prove que existem úmeros trascedetes. 6. Prove que um cojuto I IR é um itervalo se, somete se, a < x < b,a,b I x I. Resolução: Vamos provar que se I IR é um itervalo etão a < x < b e se a,b I etão x I. ( ) Sejam α = if I e β = sup I, covecioado que α = (respectivamete, β = ), se I for ilimitado iferiormete (respectivamete, superiormete) basta provar que (α,β) I

43 40 De fato, se x (α,β) etão α < x < β pois α e β são ífimo e supremo. Pela defiição de sup e if existem a,b I tal que α < a < x < b < β e portato, x I. ( ) Se a < x < b, ode a,b I implica x I temos por defiição que I IR é um itervalo.

44 41 4 SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS Neste capítulo estudaremos o coceito de sequêcias e apresetaremos um dos coceitos mais importates da aálise matemática, em sua forma mais simples, o limite de uma sequêcia. A partir daqui, todos os coceitos importates da Aálise, de uma forma ou de outra, reduzirse-ão a algum tipo de limite. 4.1 LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA Defiição 4.1. Deomiamos sequêcia de úmeros reais a toda fução x : IN IR x() = x que associa a cada úmero atural um real x, chamado o -ésimo termo da sequêcia. x. Escreve-se (x 1,x 2,,x, ) ou (x ) IN, ou simplesmete (x ), para idicar a sequêcia Defiição 4.2. Dizemos que uma sequêcia de úmeros reais (x ) é limitada superiormete quado existe c IR tal que x c, IN. Defiição 4.3. Dizemos que uma sequêcia de úmeros reais (x ) é limitada iferiormete quado existe c IR tal que x c, IN. Defiição 4.4. Dizemos que uma sequêcia de úmeros reais (x ) é limitada se (x ) é limitada iferiormete e superiormete. Ou seja, existem úmeros reais a, b tais que a x b, IN, ou aida, existe k IR tal que x k, IN.

45 42 Exemplo 4.1. Se a > 1 etão a sequêcia (a,a 2,a 3,,a ) é limitada iferiormete mas ão é limitada superiormete. Defiição 4.5. Seja x = (x ) IN uma sequêcia de úmeros reais. Dado IN IN com IN ifiito, isto é, ilimitado, ou aida, 0 IN existe k IN tal que 0 < k etão a restrição da sequêcia (x ) IN ao cojuto IN é deomiada uma subsequêcia da sequêcia (x ) IN. Deota-se (x ) IN ou (x k ) k IN. Defiição 4.6. Dizemos que uma sequêcia (x ) IN tem limite a IR quado para todo ε > 0 dado arbitrariamete, pode-se obter um úmero atural 0 IN tal que todos os termos x, com ídice > 0 cumprem a codição x a < ε e escreve lim x = a ou x a ε > 0, 0 IN tal que se > 0 etão x a < ε Uma sequêcia que possui limite é covergete caso cotrário diz-se divergete. Teorema 4.1 (Uicidade do Limite). O limite de uma sequêcia (x ) IN é úico. Teorema 4.2. Se (x ) IN coverge para a etão toda subsequêcia de (x ) também coverge para a. Observação 4.1. Temos pela cotrapositiva do teorema (4.2) que se existe uma subsequêcia de (x ) IN que ão coverge para a etão (x ) IN ão coverge para a, basta observar o exemplo (4.2). Exemplo 4.2. A sequêcia (2,0,2,0,2,0, ) cujo -ésimo termo é x = 1+( 1) +1 é limitada mas ão é covergete. A sequêcia (2,0,2,0,2,0, ) possui duas subsequêcias costates (2,2,2, ) e (0,0,0, ) covergido para 2 e 0 respectivamete pelo teorema (4.1) o limite é úico, logo esta sequecia é divergete. Teorema 4.3. Toda sequêcia covergete é limitada. Observação 4.2. Temos pela cotrapositiva do teorema (4.3) que se (x ) IN é ilimitada etão (x ) IN ão é covergete, basta observar o exemplo a seguir.

46 43 Exemplo 4.3. A sequêcia (1,2,3, ) com x = ão é covergete. Defiição 4.7 (Sequêcia Moótoa). Para todo IN, i) se x x +1 dizemos que (x ) IN é ão-decrescete. ii) se x x +1 dizemos que (x ) IN é ão-crescete. iii) se x < x +1 dizemos que (x ) IN é crescete. iv) se x > x +1 dizemos que (x ) IN é decrescete. Teorema 4.4. Toda sequêcia moótoa limitada é covergete. Teorema 4.5 (Teorema de Bolzao Weierstrass). Toda sequêcia limitada de úmeros reais possui uma subsequêcia covergete. 4.2 LIMITES E DESIGUALDADES Dizemos que (x ) IN satisfaz uma propriedade P para suficietemete grade quado existe um ídice 0 IN tal que P se verifica > 0. Teorema 4.6. Seja a = lim x. Se b < a etão para suficietemete grade tem-se b < x. Aalogamete, se a < b etão para todo suficietemete grade tem-se x < b, IN. Corolário 4.1. Seja a = lim x. Se 0 < a etão para suficietemete grade tem-se 0 < x. Aalogamete, se a < 0 etão para todo suficietemete grade tem-se x < 0, IN. Corolário 4.2. Seja a = lim x e b = lim y. Se x y para todo suficietemete grade etão a b. Em particular, se x b para suficietemete grade etão lim x b. Teorema 4.7 (Teorema do Saduíche). Se lim x = lim y = a e x z y para suficietemete grade, etão lim z = a. 4.3 OPERAÇÕES COM LIMITES Teorema 4.8. Se lim x = 0 e (y ) IN é uma sequêcia limitada (covergete ou ão) etão lim (x y ) = 0

47 44 ( ) si() Exemplo 4.4. A sequêcia IN coverge para zero quado tede a ifiito. Cosiderado (x ) IN = 1 e (y ) IN = si() segue que limite de (x ) IN coverge para zero quado tede ao ifiito e (y )( IN ão) coverge mas como (y ) IN é limitada, ou seja, si() 1 y 1, tem-se lim x y = lim = 0 Teorema 4.9. Se lim x = a e lim y = b, etão: 1. lim (x ± y ) = a ± b; 2. lim (x y ) = a b; x 3. lim = a se b 0. y b Defie-se o úmero e como sedo o limite da sequêcia a = lim a = e. ( 1+ 1 ) 4.4 LIMITES INFINITOS Etre as sequêcias divergetes, destacaremos um tipo que se comporta com certa regularidade, a saber, aquelas cujos valores se toram e matêm arbitrariamete grades positivamete ou arbitrariamete grades egativamete. Defiição 4.8. Dizemos que lim x = se A > 0, 0 IN tal que se > 0 etão x > A. Exemplo 4.5. lim 2 =. Defiição 4.9. Dizemos que lim x = se A > 0, 0 IN tal que se > 0 etão x < A. Exemplo 4.6. lim 3 =. Observação e ão são úmeros; 2. Se lim x = e lim y = as sequêcias (x ) IN e (y ) IN ão covergem; 3. lim (x ) = lim ( x ) = ; 4. Se lim x = etão a sequêcia (x ) IN ão é limitada superiormete. A recíproca é falsa, ou seja, se a sequêcia ão é limitada (é ilimitada) superiormete etão ão ecessariamete lim (x ) =. Basta observar a sequêcia (x ) IN = (+( 1) ) IN.

48 45 5. Se (x ) IN é ão-decrescete e (x ) IN é ilimitada superiormete temos que lim x =. Como exemplo basta observar o exemplo (4.1). Teorema Se lim x = e (y ) IN é limitada iferiormete etão lim (x + y ) =. 2. Se lim x = e existe c > 0 tal que y > c para todo IN etão lim (x y ) =. 3. Se x > c > 0, y > 0 para todo IN e lim y = 0 etão 4. Se (x ) IN é limitada e lim y = etão x lim =. y x lim = 0. y Observação 4.4. As hipóteses feitas as diversas partes do teorema aterior tem por objetivo evitar algumas das chamadas expressões idetermiadas. idetermiações. Segue abaixo algumas 1. ; 2. 0 (); e ; 4. 0 ; 5. 1 ;

49 EXERCÍCIOS Seção 1: Limite de uma Sequêcia 1. Uma sequêcia (x ) diz-se periódica quado existe p IN tal que x + p = x para todo IN. Prove que toda sequêcia periódica covergete é costate. 2. Dadas as sequêcias (x ) e (y ), defia (z ) podo z 2 1 = x e z 2 = y. Se limx = limy = a, prove que limz = a. Resolução: Cosiderado as sequêcias (x ) IN e (y ) IN, defiimos (z ) IN como (z 2 1 ) IN = (x ) IN e (z 2 ) IN = (y ) IN, IN. Ou seja, (x ) IN = (z 1,z 3,z 5,z 7, z 9, ) e (y ) IN = (z 2,z 4,z 6,z 8, ). Temos que (x ) IN e (y ) IN são subsequêcias de (z ) IN. Vamos provar que se limx = limy = a etão limz = a. Segue da defiição de limite que dado ε > 0 existem 1, 2 IN tais que > 1 x a < ε e > 2 y a < ε. Cosiderado 0 = máx {2 1,2 2 }, temos: Se > 0, ode = 2k 1 obtemos: 2k 1 > 0 2k 1 > k > 1. Como k > 1 temos que x k a < ε, ou seja, z a = z 2k 1 a = x k a < ε Isto implica que z a < ε, = 2k 1 tal que k IN. Se > 0, ode = 2k obtemos: 2k > 0 2k > 2 2 k > 2. Como k > 2 temos que y k a < ε, ou seja, z a = z 2k a = y k a < ε Isto implica que z a < ε, = 2k tal que k IN.

50 47 Portato, se > 0 etão z a < ε, IN. Cocluímos que limz = a. 3. Se limx = a, prove que lim x = a. 4. Se uma sequêcia moótoa tem uma subsequêcia covergete, prove que a sequêcia é, ela própria, covergete. Resolução: Seja (x ) IN uma sequêcia moótoa que possui uma subsequêcia (x i ) i IN covergete. Vamos mostrar que (x ) IN é covergete. Como (x i ) i IN é uma subsequêcia limitada da sequêcia moótoa (x ) IN temos que (x ) IN é limitada. De fato, cosidere sem perda de geeralidade, x 1 x 2 x i b uma subsequêcia da sequêcia ão decrescete (x ) IN. Etão para qualquer IN, existe um i > e, portato, x x i b, isto é, x b para todo. Como (x ) IN é moótoa e limitada, cocluímos que (x ) IN é covergete. 5. Um úmero a chama-se valor de aderêcia da sequêcia (x ) quado é limite de uma subsequêcia de (x ). Para cada um dos cojutos A, B e C abaixo, ache uma sequêcia que o teha como cojuto dos seus valores de aderêcia. A = {1,2,3}, B = IN, C = [0,1]. 6. A fim de que o úmero real a seja valor de aderêcia de (x ) é ecessário e suficiete que, para todo o ε > 0 e todo k IN dados, exista > k tal que x a < ε. Resolução: Para que a seja valor de aderêcia de (x ) IN a codição ecessária é que a = lim k (x k ) sedo (x k ) uma susequêcia de (x ). Etão para cada ε > 0 existe k 0 IN tal que k > k 0 implica x k (a ε,a+ε) como existe uma ifiidade de ídices k > k 0, segue que existem ifiitos k IN tais que x k (a ε,a + ε), ou aida, x a < ε, k > k 0. Reciprocamete supohamos que para cada ε > 0 o cojuto { IN,x (a ε,a+ε)} seja ifiito. Tomado sucessivamete ε = 1, 1 2, 1 3,, 1, vamos obter um cojuto. k IN = { 1 < 2 < < k < } tal que a = lim x. Com efeito, seja 1 IN tal que x 1 IN tal que x 1 IN(a 1,a + 1). Supodo por idução, que 1 < 2 < < k. Podemos defiir x 2 IN(a 1 2,a { ), x 3 IN(a ( 1 3,a ),, x k IN(a 1 k,a + 1 k ), observarmos que o cojuto IN,x a 1 k+ 1,a+ 1 )} é ifiito logo k+ 1 cotém algum iteiro k+1, maior do que 1, 2,, k.