UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. Andréa Pruner de Oliveira

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Adréa Pruer de Oliveira CONJUNTOS INFINITOS Floriaópolis 2005

2 Adréa Pruer de Oliveira CONJUNTOS INFINITOS Trabalho de Coclusão de Curso apresetado ao Departameto de Matemática da Uiversidade Federal de Sata Cataria para a obteção do grau de Liceciado em Matemática. Orietador: Gustavo Adolfo Torres Ferades da Costa Área de Cocetração: Matemática Floriaópolis 2005

3 Adréa Pruer de Oliveira CONJUNTOS INFINITOS Trabalho de Coclusão de Curso apresetado ao Departameto de Matemática da Uiversidade Federal de Sata Cataria para a obteção do grau de Liceciado em Matemática. Área de Cocetração: Matemática Esta moografia foi julgada adequada como Trabalho de Coclusão de Curso o curso de Matemática Habilitação Liceciatura, e aprovada em sua forma fial pela baca examiadora desigada pela Portaria. 01/SCG/05. Baca Examiadora Profa. Ms. Carmem Suzae Comitre Gimeez Professora da disciplia UFSC Prof. Dr. Gustavo Adolfo Torres Ferades da Costa Orietador UFSC Prof. Dr. Eliezer Batista UFSC Prof. Ms. José Luiz Rosas Piho UFSC

4 DEDICATÓRIA Dedico esta moografia ao meu orietador e amigo Gustavo Adolfo Torres Ferades da Costa, por ser vital à realização desta, e a todos que, de alguma forma, se beeficiem deste coteúdo.

5 AGRADECIMENTOS Ao professor Gustavo, pela orietação, empeho, compreesão e paciêcia. Aos professores Eliezer e Piho, por terem aceitado o covite para participar da Baca Examiadora. À Carmem, por todo o apoio coferido. Em especial, ao meu amorado Walter, pelo apoio de todas as horas. À miha família, amigos e todos aqueles que cotribuíram para esta realização. A todos, muito obrigada!

6 EPÍGRAFE Aquele que recebe de mim uma idéia tem aumetada a sua istrução sem que eu teha dimiuída a miha. Que as idéias passem livremete de us aos outros o plaeta, para a istrução moral e mútua dos homes. Thomas Jefferso

7 SUMÁRIO INTRODUÇÃO NOÇÕES GERAIS SOBRE CONJUNTOS CONJUNTOS FINITOS CONJUNTOS INFINITOS CONJUNTOS ENUMERÁVEIS E NÃO ENUMERÁVEIS CARDINALIDADE CONCLUSÃO REFERÊNCIAS APÊNDICE A Resultados básicos... 55

8 Georg Ferdiad Ludwig Philipp Cator ( ) Crédito: Marti-Luther Uiversität, Halle-Witteberg. UA Halle: Rep. 40 C11

9 8 INTRODUÇÃO Os cojutos com uma ifiidade de elemetos, também chamados de cojutos ifiitos, têm propriedades que muito itrigaram e surpreederam os matemáticos ao logo da história. Num primeiro exame, essas propriedades parecem cotra ituitivas. Mas, esse caso, a ituição, em geral, é aquela formada a partir da experiêcia com os cojutos fiitos. As cotribuições defiitivas ao estudo dos cojutos ifiitos são devidas a Georg Ferdiad Ludwig Philipp Cator, a seguda metade do século XIX. Georg F. L. P. Cator asce a Rússia, a cidade de São Petersburgo, em 3 de março de 1845, de pais diamarqueses. Em 1856, aos 11 aos de idade, muda-se com sua família para Frakfurt, a Alemaha. Em 1862, igressa o Istituto Politécico de Zurique, para estudar matemática, trasferido-se logo depois para a Uiversidade de Berlim. Nessa uiversidade é aluo de matemáticos importates como Erst Kummer ( ), Karl Weierstrass ( ) e Leopold Kroecker ( ). Em 1867, obtém o grau de doutor com uma tese sobre a teoria dos úmeros, após o qual assume a posição de privatdozet a Uiversidade de Halle. Nas uiversidades alemãs, o privatdozet, que uma tradução literal sigifica professor particular, é um professor iiciate idicado e associado a uma uiversidade, porém pago diretamete pelos estudates. No período etre 1867 e 1871, Cator publica vários trabalhos em teoria dos úmeros. Em seguida, iicia ivestigações sobre séries trigoométricas. É de 1874 seu primeiro trabalho sobre os cojutos ifiitos. Nesse trabalho Cator itroduz a oção de cardialidade etre cojutos quaisquer e a emprega para provar que os úmeros algébricos podem ser colocados uma relação biuívoca com os úmeros aturais. Também prova que ão é possível estabelecer a mesma relação etre os aturais e qualquer itervalo de úmeros reais. Em seguida, dá uma ova prova do Teorema de Liouville, segudo o qual existe um cojuto ifiito de úmeros trascedetes em qualquer itervalo. Em 1878, Cator ivestiga e prova a existêcia de uma relação biuívoca etre cojutos de dimesões distitas, como o plao e a reta, um resultado à primeira vista surpreedete.

10 9 Previamete aos trabalhos de Cator, os cojutos ifiitos, pelo fato de terem uma ifiidade de elemetos, são cosiderados todos idistiguíveis e, desse poto de vista, equivaletes. Cator estabelece em seus trabalhos que esse ão é o caso. Cator morre em Halle, Alemaha, em 6 de jaeiro de 1918, vítima de um ataque do coração. Os trabalhos de Cator são a origem da teoria axiomática dos cojutos e, por essa razão, ele é cohecido como o pai da teoria dos cojutos. Uma excelete biografia de Cator que discute de forma muito clara e iteressate a origem e coseqüêcias dos seus resultados, do poto de vista histórico e filosófico, é a referêcia [1]. O objetivo do presete trabalho é o de apresetar as defiições e oções pertietes para se eteder os cojutos ifiitos, suas propriedades e trabalhar exemplos importates desses cojutos. O trabalho está orgaizado em cico capítulos e um apêdice. No capítulo 1, a oção de cojuto é dada de forma ituitiva e são defiidas as relações de pertiêcia, iclusão, uião e iterseção. Muito embora sejam bem cohecidas, optou-se por icluí-las para torar a apresetação a mais auto-suficiete possível. É também defiida a oção de fução e, em especial, a de fução bijetora, muito importate o estudo dos cojutos. O capítulo 2 trata dos cojutos fiitos. Apesar de o objetivo pricipal aqui ser o de cosiderar os cojutos ifiitos, é importate primeiro estabelecer a defiição e algus resultados sobre os cojutos fiitos. No capítulo 3, defie-se o que é um cojuto ifiito e várias propriedades desses cojutos são discutidas e provadas, e vários exemplos são trabalhados. No capítulo 4, as oções de eumerabilidade e ão eumerabilidade são apresetadas e, também, vários exemplos importates são dados. No capítulo 5, discute-se a oção de cardialidade etre cojutos. No apêdice são reuidos, sem demostração, algus resultados básicos que serão utilizados ao logo do texto.

11 10 1 NOÇÕES GERAIS SOBRE CONJUNTOS Nesse capítulo, é itroduzida a oção de cojuto e são defiidas as relações de pertiêcia, iclusão, uião, iterseção e fução, importate para o estudo dos cojutos. As referêcias básicas seguidas aqui são [10] e [13]. A oção de cojuto, em matemática, é cosiderada primitiva, ou seja, ão se defie o que seja um cojuto. Ituitivamete, um cojuto é uma coleção, ou grupo, ou lista de elemetos que tem uma ou mais propriedades em comum. Admite-se, cotudo, que há um cojuto especial que ão possui elemeto algum, chamado de cojuto vazio. Neste trabalho, os cojutos são apresetados por letras maiúsculas A, B, C,... e seus elemetos com letras miúsculas a, b, x, y,... Em especial, os símbolos φ, IN, Z, Q, IR - Q, e IR, já de uso comum, represetam, respectivamete, o cojuto vazio, os cojutos cujos elemetos são os úmeros aturais, os iteiros, os racioais, os irracioais e os reais. Cojutos podem ser colocados em relação us com os outros de várias maeiras, e a relação estabelecida etre eles é idicada por símbolos especiais que são defiidos em seguida. Defiição 1.1. A relação de pertiêcia é aquela que permite dizer que um determiado elemeto x pertece ou ão pertece a um cojuto A. Idica-se e lê-se x pertece a A ou, a sua egação, e lê-se x ão pertece a A. x A (1.1) x A (1.2) Dizemos também, iformalmete, que x está em A, ou que x é um elemeto de A. Um cojuto A fica determiado, ou caracterizado, quado se estabelece uma regra que permita dizer se x A ou x A. Neste setido, diz-se que A está bem defiido.

12 11 Exemplo 1.1. Seja A o cojuto dos segmetos de reta de comprimeto igual a 2 cm. Esse cojuto está bem defiido, pois x A quado x é um segmeto de reta e seu comprimeto é 2 cm. Se x A, ou x ão é um segmeto de reta ou, se é, seu comprimeto ão é 2 cm. Pode-se represetar um cojuto idicado-se A = {a, b, c,...} (1.3) ode a, b, c, deota algus de seus elemetos e o potilhado idica que há outros. Ou através de uma propriedade comum de seus elemetos. Nesse caso, idica-se A = {x x tem P} (1.4) e lê-se A é o cojuto dos elemetos x tal que tem a propriedade P. A liha vertical lê-se tal que. Exemplo 1.2. Os cojutos IN, Z, Q, IR - Q, IR podem ser idicados como IN = {1, 2, 3,...,,...} (1.5) Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} (1.6) Q = m Z, m IN (1.7) IR - Q = {x x ão é racioal} (1.8) IR = {x x Q ou x (IR - Q)} (1.9) Defiição 1.2. Diz-se que A é um subcojuto próprio de B quado todo elemeto de A é também elemeto de B, mas B possui elemetos que ão estão em A e, idica-se A B (1.10)

13 12 e lê-se A está estritamete cotido em B ou A está propriamete cotido em B, ou, simplesmete, A é subcojuto próprio de B. A relação (1.10) é chamada de relação de iclusão. Idica-se A B (1.11) e lê-se A ão está cotido em B quado A tem pelo meos um elemeto que ão pertece a B. Diz-se que A é igual a B e, idica-se A = B (1.12) quado A e B são formados pelos mesmos elemetos. Idica-se A B (1.13) e lê-se A está cotido em B ou, simplesmete, A é subcojuto de B quado todo elemeto de A é também elemeto de B e há a possibilidade de ocorrer A = B. Exemplo 1.3. Os cojutos IN, Z, Q, IR - Q e IR (ver Exemplo 1.2) satisfazem IN Z Q IR e IR - Q IR (1.14) Exemplo 1.4. O cojuto dos quadrados é subcojuto próprio do cojuto dos retâgulos. Exemplo 1.5. Seja A qualquer cojuto. Etão A A. Teorema 1.1. Sejam A e B dois cojutos. Supoha A B e B A. Etão A = B. Prova: Se A B etão todo elemeto de A está em B. Da mesma forma, se B A, etão todo elemeto de B está em A. Portato, todo elemeto de A e de B está tato em A como em B, logo, A e B são formados pelos mesmos elemetos e, por isso, A = B.

14 13 Exemplo 1.6. Seja B um cojuto qualquer. Pela Defiição 1.2, um cojuto A ão está cotido em B, quado A tem pelo meos um elemeto x tal que x B. O cojuto φ ão tem elemetos, e, por isso, ão se pode dizer que φ teha elemetos ão pertecetes a B. Logo, φ B. Etão, o cojuto vazio é subcojuto de qualquer cojuto. Defiição 1.3. Sejam A e B dois cojutos quaisquer. A uião de A com B é o cojuto formado pelos elemetos que estão em A ou em B e, idica-se A U B = {x x A ou x B} (1.15) Dizer x A ou x B sigifica que pelo meos uma dessas duas alterativas é verdadeira, mas ão está excluída a possibilidade de que x A e x B. Exemplo 1.7. Para A = {a, b, c, d} e B = {a, b, e, f, g} tem-se A U B = {a, b, c, d, e, f, g}. Exemplo 1.8. O cojuto IR dos úmeros reais é a uião do cojuto Q dos úmeros racioais e do cojuto IR - Q dos úmeros irracioais. IR = Q U (IR - Q) (1.16) Defiição 1.4. Sejam A e B dois cojutos quaisquer. A iterseção dos cojutos A e B é o cojuto formado pelos elemetos que estão em A e em B e, idica-se A B = {x x A e x B} (1.17) Exemplo 1.9. Para os cojutos A e B do Exemplo 1.7, A B = {a, b}. Defiição 1.5. Sejam A e B dois cojutos quaisquer. A difereça etre os cojutos A e B é o cojuto cujos elemetos estão em A, mas ão estão em B e, idica-se A - B = {x x A e x B} (1.18)

15 14 No caso particular em que B A, o cojuto A B é chamado de complemetar de B em relação a A. Defiição 1.6. O cojuto P (A) das partes de um cojuto A dado, é o cojuto de todos os subcojutos de A e, idica-se P (A) = {X X A} (1.19) Exemplo Seja A = {a, b, c}. Etão P (A) = {φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {c, b}, A} (1.20) Note que os cojutos φ e A são elemetos de P (A); logo, P (A) é sempre ão vazio para qualquer A. No que segue, é itroduzida a oção de fução, a qual é de grade importâcia para o estudo dos cojutos. Defiição 1.7. Dados dois cojutos A e B, ão vazios, uma relação f de A em B é chamada de fução quado ela associa a cada x A um só y B e idica-se a lei de correspodêcia como y = f (x). O cojuto A é chamado domíio de f, B é chamado cotradomíio de f e o cojuto dos elemetos de B associados aos elemetos de A, pela f, é chamado de imagem. Uma fução f de A em B com a lei de correspodêcia y = f (x), é também idicada como f : A B x y = f (x) (1.21) Defiição 1.8. Uma fução f : A B é sobrejetora quado para todo y B existe algum x A tal que f (x) = y. Em outras palavras, a fução é sobrejetora quado o cojuto imagem é o próprio cotradomíio. Exemplo A fução f : A B ode A = {a, b, c} e B = {d, e} defiida como f (a) = f (b) = d e f (c) = e é sobrejetora, pois todo elemeto de B é imagem, pela f, de algum elemeto de A.

16 15 A f B a c b d e Figura 1 Defiição 1.9. Uma fução f : A B é ijetora quado, dados x 1, x 2 A, x 1 x 2, tem-se f (x 1 ) f (x 2 ) ou, se f (x 1 ) = f (x 2 ), tem-se que x 1 = x 2. Exemplo A fução do Exemplo 1.11 ão é ijetora, visto que f (a) = f (b) e a b. Exemplo A fução f : A B ode A = {a, b} e B = {d, e, g} defiida como f (a) = d, f (b) = e é ijetora mas ão é sobrejetora, pois g ão é imagem, pela f, de ehum elemeto de A. A f B a b d e g Figura 2 Defiição Uma fução f : A B é bijetora quado f é sobrejetora e ijetora. Em outras palavras, uma fução f : A B é bijetora quado um úico x A é associado a um úico y B, e todo elemeto de B está associado a algum elemeto de A. Por isso, a fução bijetora também é chamada de uma relação biuívoca, ou aida, uma relação um a um de A sobre B. Exemplo As fuções os Exemplos 1.11 e 1.13 ão são bijetoras. No Exemplo 1.11, mais de um elemeto de A é associado a um mesmo elemeto de B. No Exemplo 1.13, há um elemeto de B que ão é imagem de ehum elemeto de A.

17 16 Exemplo A fução f : A B ode A = {1, 2, 3} e B = {1, 4, 9}, defiida como f () = 2 é bijetora, pois elemetos distitos de A têm images distitas em B, e todo elemeto de B é imagem de algum elemeto de A. A f B Figura 3 É possível provar (Teorema A.3 do Apêdice) que se há uma fução bijetora de A sobre B, esta ão é úica. No Exemplo 1.15, a fução g defiida como g (1) = 9, g (2) = 4 e g (3) = 1 é outra fução bijetora.

18 17 2 CONJUNTOS FINITOS Coforme já explicado a itrodução, o estudo dos cojutos ifiitos é o pricipal objetivo deste trabalho. Cotudo, algumas defiições e oções a eles pertietes, são extesões de defiições e oções oriudas do estudo dos cojutos fiitos. Por essa razão, é importate dissertar um pouco sobre estes últimos. As referêcias aqui utilizadas são [11 13]. Defiição 2.1. Um cojuto X é chamado de fiito quado é vazio ou quado existe uma fução bijetora ϕ : I X (2.1) ode I = {1, 2,..., } para algum IN. Diz-se, etão, que X tem elemetos. Exemplo 2.1. Dado k IN, o cojuto X = {2, 3,..., k + 1} é fiito. A fução ϕ : I k X defiida como ϕ () = + 1, = 1,..., k, é ijetora pois, dados 1, 2 I k, 1 < 2, para ϕ ( 1 ) = ϕ ( 2 ) tem-se ϕ ( 1 ) = e ϕ ( 2 ) = 2 + 1, assim, = e, portato, 1 = 2. É também sobrejetora, pois para todo X, existe = - 1 I k, tal que ϕ ( ) =. Portato, ϕ é bijetora. Em diagramas, I k ϕ k k+1 X Figura 4 Exemplo 2.2. Os quartos de um hotel estão todos umerados, sedo que para umerá-los são empregados os úmeros aturais de 1 até um certo N. Etão, o cojuto dos quartos é da forma X = {1, 2,..., N}. A fução ϕ : I N X defiida como ϕ () =, é ijetora, pois dados 1, 2 I N, 1 < 2, para ϕ ( 1 ) = ϕ ( 2 ), tem-se ϕ ( 1 ) = 1 e ϕ ( 2 ) = 2, assim, 1 = 2. É

19 18 também sobrejetora, pois dado α X, existe = α I N tal que ϕ () = α. Portato, ϕ é bijetora. Teorema 2.1. Se X tem elemetos etão P (X), o cojuto das partes de X, tem 2 elemetos. Prova: Usado idução, supoha, primeiramete, que X = {x}. Nesse caso, P (X) = {φ, {x}} (2.2) e P (X) tem 2 elemetos. Supoha agora, que X tem elemetos, P (X) tem 2 elemetos e seja Y = X U {a} (2.3) Supoha que a X. Etão, P (Y) é formado pelos 2 elemetos de P (X), e pelas uiões de cada elemeto de P (X) com {a}. Portato, P (Y) tem = elemetos. Para ilustrar, cosidere o seguite exemplo: sejam os cojutos X = {b, c} e Y = X U {a} = {a, b, c}. Etão e Note que P (X) = {φ, {b, c}, {b}, {c}} (2.4) P (Y) = {φ, {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}} (2.5) P (Y) = {φ, {b, c}, {b}, {c}} U {{a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {a}} (2.6) e o cojuto P (Y) = P (X) U {{a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {a}} (2.7) { { a, b, c}, { a, b}, { a, c}, { a} } ( S { a} ) = (2.8) S P ( X ) tem o mesmo úmero de elemetos que o cojuto P (X). Outra prova do Teorema 2.1 utilizado a defiição de cojuto fiito, é a seguite.

20 19 Supoha, como hipótese de idução, que P (X) é fiito e tem 2 elemetos. Deote seus elemetos por S N, N = 1, 2,..., 2. Como P (X) é fiito, etão existe uma fução bijetora f : I k P (X) N f (N) = S N (2.9) ode k 2. Cosidere, agora, o cojuto com a X, e a fução defiida como Y = X U {a} (2.10) ϕ : I 2k P (Y) l ϕ ( l ) (2.11) ϕ ( l) = f f ( l), ( l 2 ) { a}, se l {1, 2,..., 2 } se l {2 + 1,..., } (2.12) A fução ϕ é ijetora. Para prová-lo, sejam l 1, l 2 I 2k e cosidere os seguites casos: a) l 1, l 2 {1, 2,..., 2 }. Nesse caso, ϕ (l 1 ) = f (l 1 ) e ϕ (l 2 ) = f (l 2 ). Como f é uma fução ijetora, f (l 1 ) = f (l 2 ), ϕ (l 1 ) = ϕ (l 2 ) e, assim l 1 = l 2. b) l 1 {1, 2,..., 2 }e l 2 {2 + 1,..., }. Nesse caso, ϕ (l 1 ) = f (l 1 ) e ϕ (l 2 ) = f (l 2 2 ) U {a}. Pode ocorrer que l 1 = l 2 2, apesar de l 1 l 2, ou l 1 l 2 2, mas f (l 1 ) f (l 2 2 ) U {a} pois a X. Etão, ϕ (l 1 ) ϕ (l 2 ). c) l 1, l 2 {2 + 1,..., }. Nesse caso, ϕ (l 1 ) = f (l 1 2 ) U {a} e ϕ (l 2 ) = f (l 2 2 ) U {a}. Como f é fução ijetora, f (l 1 2 ) = f (l 2 2 ), ϕ (l 1 ) = ϕ (l 2 ) e, assim, l 1 = l 2. Os casos a), b) e c) implicam que ϕ é uma fução ijetora. Para provar que ϕ é sobrejetora, seja ϕ 0 um elemeto qualquer de P (Y) e verifica-se que existe l I 2k tal que ϕ (l) = ϕ 0. Pela defiição de ϕ, tem-se que ϕ 0 = f 0 ou ϕ 0 = f 0 U {a} para

21 20 algum f 0 P (X). Como f é uma fução sobrejetora, existe l 0 {1, 2,..., 2 } tal que f 0 = f (l 0 ). No caso ϕ 0 = f 0, etão ϕ 0 = f 0 = f (l 0 ) = ϕ (l 0 ). No caso ϕ 0 = f 0 U {a}, como f 0 = f (l 0 ) para l 0 {1, 2,..., 2 }, etão l 0 = l - 2, para algum l {2 + 1,..., }, e ϕ 0 = f 0 U {a} = f (l - 2 ) U {a} = ϕ (l ). Etão, existe l I 2k tal que ϕ (l) = ϕ 0. Portato, ϕ é bijetora e P (Y) é fiito e tem elemetos. Teorema 2.2. Dados os cojutos X e Y e uma fução bijetora f : X Y, um desses cojutos é fiito se, e somete se, o outro também é. Prova: Supoha que X é fiito e f : X Y é uma fução bijetora. Como X é fiito, existe uma fução bijetora ϕ : I X. Tem-se, assim, o seguite esquema: A fução I f ϕ X Y (2.13) f ϕ : I Y (2.14) é uma fução bijetora, pois f e ϕ o são, pelo Teorema A.1 do Apêdice. Portato, Y é fiito. Supoha, agora, que Y é fiito. Etão, existe uma fução bijetora ϕ : I Y. Como f é bijetora, existe f -1 : Y X e se chega ao seguite esquema A fução I 1 f ϕ Y X (2.15) f -1 ϕ : I X (2.16) é bijetora, pois f -1 e ϕ o são, pelo Teorema A.1. Portato, X é fiito. Teorema 2.3. Se Y é um cojuto fiito etão todo subcojuto próprio X Y é fiito. Prova: A prova é por idução o úmero de elemetos do cojuto Y. Seja a Y. Etão Y {a} é fiito. De fato, como Y é fiito existe uma fução bijetora f : I Y, para algum IN. Sem perda de geeralidade, supoha que f () = a. No caso

22 21 = 1, etão Y {a} = φ e Y é fiito, por defiição. No caso > 1, cosidere a restrição de f a I - 1 e deote-a por g. A fução g : I - 1 Y {a} é bijetora, logo Y {a} é fiito e tem 1 elemetos. Como hipótese de idução, supoha, agora, que a afirmação do Teorema vale para cojutos com elemetos. Sejam Y um cojuto com + 1 elemetos e X um subcojuto próprio de Y. Etão, existe a Y tal que a X e, portato, X Y {a}. Como Y {a} tem elemetos, etão, pela hipótese de idução, X é fiito. Teorema 2.4. Seja X um cojuto fiito e A uma parte própria de X. Não existe uma fução bijetora de A sobre X. Prova: Seja o úmero de elemetos de X e ϕ : I X uma fução bijetora. Supoha, por absurdo, que existe uma fução bijetora f : A X. Etão, existe f -1 : X A e tem-se o esquema A fução I 1 f ϕ X A (2.17) f -1 ϕ : I A (2.18) é uma fução bijetora, pois f -1 e ϕ o são, pelo Teorema A.1 do Apêdice. Portato, A tem o úmero de elemetos igual ao úmero de elemetos do cojuto X, o que cotradiz o fato de que A é parte própria de X. Logo, ão pode existir uma fução bijetora de A em X. Defiição 2.2. Um cojuto, ão vazio, X IN chama-se limitado quado existe p IN tal que p, X. Teorema 2.5. Um subcojuto, ão vazio, X IN é fiito se, e somete se, é limitado. Prova: Como X é ão vazio, é fiito, tomado X = {x 1,..., x } IN (2.19) p = x 1 + x x (2.20)

23 22 tem-se que p x, para todo x X. Logo, X é limitado. Supoha, agora, X IN e X limitado. Etão existe k IN tal que k x, para todo x X. Logo, X I k, para algum k IN. Mas I k é fiito. Como X é subcojuto de I k, X é fiito, pelo Teorema 2.3. Do exposto acima, pode-se afirmar que, o caso de um cojuto fiito qualquer, o cojuto todo é sempre maior que qualquer uma de suas partes próprias.

24 23 3 CONJUNTOS INFINITOS Os cojutos ifiitos, assuto deste capítulo, têm propriedades que surpreedem todos aqueles que os estudam pela primeira vez. Por exemplo, os elemetos de um cojuto ifiito podem ser colocados em relação biuívoca com os elemetos de um de seus subcojutos próprios. Essa é uma propriedade uiversal destes cojutos, a qual pode ser colocada como a própria defiição de cojuto ifiito, em cotraposição aos cojutos fiitos, ode tal relação biuívoca é impossível pelo Teorema 2.4. As cotribuições mais importates ao estudo dos cojutos ifiitos são devidas a Georg Ferdiad Ludwig Philipp Cator ( ), cohecido como o pai da teoria dos cojutos. Vários dos seus resultados são discutidos aqui e os próximos capítulos. As referêcias básicas mais cosultadas foram [1-5], [11-13]. A defiição básica de cojuto ifiito a ser empregada aqui é a seguite: Defiição 3.1. Um cojuto X é ifiito quado ão é vazio e quado, dado IN, qualquer, ão existe uma fução bijetora ϕ : I X (3.1) Exemplo 3.1. O cojuto IN dos úmeros aturais é ifiito. Dado IN, arbitrário, seja ϕ : I IN uma fução qualquer e p := ϕ (1) + ϕ (2) ϕ () (3.2) No caso = 1, se ϕ é ijetora, etão o cojuto imagem de ϕ tem um úico elemeto, logo, ϕ ão pode ser sobrejetora. Se ϕ é sobrejetora, ela ão pode ser ijetora. No caso = 1, etão ϕ ão pode ser bijetora. Supoha agora 2. Como ϕ (i) IN, para todo i I, etão p IN. Além disso, p > ϕ (i), para todo i I. Desse modo, a fução ϕ, qualquer que seja ela, ão é sobrejetora, pois p é atural e ão é imagem de ehum i I. Portato, qualquer que seja ϕ, e qualquer IN, ϕ ão é uma fução bijetora. Pela Defiição 3.1, IN é ifiito.

25 24 Deve-se a Euclides (c a.c.) o exemplo a seguir. Exemplo 3.2. O cojuto dos úmeros primos é ifiito. De fato, seja X = {p 1,..., p k } um cojuto fiito, ão vazio, de úmeros primos. O úmero = (p 1. p 2... p k ) + 1 (3.3) possui um divisor primo q 1 (pois > 1), pois pelo Teorema Fudametal da Aritmética (Teorema A.4 do Apêdice), todo úmero atural pode ser decomposto em fatores primos. No etato, q X, pois, do cotrário, q seria divisor de e do produto p 1. p 2... p k (3.4) e, também, da difereça - p 1. p 2... p k (3.5) que é igual a 1. Sedo assim, q dividiria 1, o que é impossível. Logo, podemos cocluir que um cojuto fiito ão pode coter todos os úmeros primos e, portato, podemos cocluir que ão existe uma fução bijetora de I sobre o cojuto dos úmeros primos, qualquer que seja. Às vezes, pode ser difícil provar que um cojuto é ifiito a partir da Defiição 3.1. É importate, etão, desevolver outros critérios que facilitem a tarefa. Por exemplo, pelo Teorema 2.5, um cojuto X IN é fiito se, e somete se, é limitado. Portato, se provarmos que um cojuto Y IN ão é limitado, etão ão pode ser fiito. Usado essa mesma idéia, é possível uma outra prova de que o cojuto IN é ifiito. Não existe p IN tal que p, para todo IN. Portato, IN ão é limitado; logo, ão é fiito. Etão, IN é ifiito. Essa observação vale apeas para subcojutos de IN. Há exemplos de cojutos ifiitos que são limitados, mas eles certamete ão são subcojutos de IN.

26 25 Outro critério é o seguite: Teorema 3.1. Se um cojuto tem um subcojuto ifiito, etão ele também é um cojuto ifiito. Prova: Seja W = X U Y e supoha que X é um cojuto ifiito. Supoha, por absurdo, que W é um cojuto fiito. Etão, pelo Teorema 2.3, todo subcojuto de W é fiito, o que cotradiz a hipótese de que X é ifiito. Logo, W ão pode ser fiito. Segue imediatamete do Teorema 3.1, que a uião de um cojuto ifiito com um cojuto fiito e, a uião de cojutos ifiitos, são todas cojutos ifiitos. Se for retirado um úmero fiito de elemetos de um cojuto ifiito, aida se obtém um cojuto ifiito. De fato, seja A um cojuto ifiito e X um cojuto fiito. Como A = (A X) U X (3.6) A X é um cojuto ifiito, pois do cotrário A também seria fiito, o que cotradiz a hipótese. Exemplo 3.3. O cojuto Z dos úmeros iteiros, Q dos úmeros racioais, IR dos úmeros reais são cojutos ifiitos, pelo Teorema 3.1, pois IN Z Q IR (3.7) e IN é ifiito pelo Exemplo 3.1. Teorema 3.2. Dados os cojutos X e Y e uma fução bijetora f : X Y, um desses cojutos é ifiito se, e somete se, o outro também é. Prova: Supoha X ifiito e, por absurdo, que Y é fiito. Pelo Teorema 2.2, etão X também é fiito, cotradizedo a hipótese. Supoha que Y é ifiito e, por absurdo, que X é fiito. Pelo Teorema 2.2, Y é fiito, cotradizedo a hipótese.

27 26 Exemplo 3.4. Todo itervalo I IR, ão degeerado, é um cojuto ifiito. Para ver isso, sejam a, b I, a < b. Defia a + b x1 : =,..., 2 x a + x : = 2 1, IN (3.8) É fácil ver por idução, que a < x < b, IN. Como a < b, etão logo Supoha, agora, que 2 a < a + b < 2b (3.9) a < x 1 < b (3.10) a < x 1 < b (3.11) Aplicado (3.11) a obtém-se que e, portato, Além disso, pois e x x a + x = 2 a x = (3.12) 1 1 a a a x 1 a b a = + < + < + = x1 < b (3.13) a < x < b (3.14) x a + x 2 x < x 1 (3.15) a 1 = x = x 1 1 < x 0 (3.16) 1 > a, IN (3.17) já que x > 1 a, pela (3.11), para todo IN. Aplique (3.8) sucessivas vezes. Chega-se a uma fórmula explícita para x, a saber,

28 27 Usado a fórmula x = 2 1 ( ) 2 a + b (3.18) obtém-se, fialmete A fução x 1 k 2 k = 0 = = 2 ( 1) 1 2 a + b 2 f : IN X (3.19) (3.20) f () = x (3.21) ode X = {x, IN}, é ijetora pois, dados i, j IN, i < j, para f (i) = f (j) tem-se f (i) = x i e f (j) = x j, assim, x i = x j e, portato, pela (3.20), tem-se que i j ( 1) a + b ( 2 1) 2 a + b = i j 2 2 (3.22) do que segue, por cálculo direto, que (2 i - 2 j ) (a - b) = 0. Como a b, etão 2 i - 2 j = 0. Logo, i = j. É também sobrejetora pois, dado x X, existe 0 0 IN, dado por 0 l = ( b a) l ( x a) l 2 0 (3.23) tal que f ( 0 ) = x. Etão, f é uma fução bijetora. 0 Pelo Teorema 3.2, X é um cojuto ifiito. Ademais, X I e, pelo Teorema 3.1, I é ifiito. Pode-se cocluir, do Exemplo 3.4, que qualquer itervalo ão degeerado é um cojuto ifiito. Observe, também, que se I = [a, b], o exemplo aterior ilustra o caso de um cojuto limitado, mas ifiito.

29 28 Exemplo 3.5. O cojuto dos potos do quadrado [0, 1] [0, 1] é ifiito, já que o cojuto [0, 1] {0} que é um cojuto ifiito, é subcojuto dele. y (0, 1) (1, 1) (0, 0) (1, 0) x Figura 5 Os cojutos ifiitos têm uma propriedade iusitada que os caracteriza e os difere dos cojutos fiitos, que é a existêcia de uma fução bijetora do cojuto sobre uma de suas partes próprias. Na verdade, prova-se que um cojuto é ifiito se, e somete se, essa propriedade se verifica. Isso é provado mais adiate. Ates, porém, vários exemplos são trabalhados. Segudo a referêcia [1], deve-se a Galileu Galilei ( ) o exemplo a seguir. Exemplo 3.6. É possível estabelecer uma relação biuívoca etre o cojuto dos úmeros aturais e o cojuto de todos os seus quadrados: Figura 6 De fato, a fução ϕ : IN X = { 2 IN} (3.24)

30 29 defiida como ϕ () = 2, é bijetora. A fução é ijetora, pois dados 1, 2 IN, 1 < 2, para ϕ ( 1 ) = ϕ ( 2 ), tem-se ϕ ( 1 ) = 2 1 e ϕ ( 2 ) = 2 2, assim, 2 1 = 2 2 e, portato, 1 = 2, pois 1, 2 IN. É sobrejetora, pois dado x X, existe IN, = x, tal que x = ϕ (). Apesar de X ser um subcojuto próprio de IN, há tatos elemetos em X como em IN. Exemplo 3.7. O cojuto X { 3, IN } ϕ : IN X, defiida como ( ) = 3 = é um subcojuto próprio de IN. A fução ϕ é ijetora, pois dados i, j IN, i < j, para ϕ (i) = ϕ (j), tem-se ϕ (i) = 3 i e ϕ (j) = 3 j, assim, 3 i = 3 j e, portato, i = j. É também sobrejetora, pois todo elemeto de X é imagem, pela ϕ, de algum IN. Dado ϕ 0 X, existe 0 = log 3 ϕ0 tal que 0 ( 0 ) = 3 ϕ0 ϕ = (3.25) Exemplo 3.8. O cojuto dos úmeros pares P e dos úmeros ímpares I, são subcojutos próprios de IN. As fuções ϕ P : IN P, defiida como ϕ P () = 2 e ϕ I : IN I, defiida como ϕ I () = 2-1 são bijetoras, como é simples verificar. Segudo a referêcia [1], o exemplo a seguir, com a = 2, é devido a Berhard Bolzao ( ). Exemplo 3.9. O cojuto X = [0, 1] é subcojuto próprio de Y = [0, a], a > 1. No etato, a fução f : X Y, defiida como f (x) = ax é bijetora. Portato, pela f, um úico x X é associado a cada y Y. y a f (x) = ax y (0, 0) x 1 x Figura 7

31 30 π π Exemplo O cojuto X =, é subcojuto próprio de IR. No etato, a fução 2 2 f : X IR, defiida como f (x) = tg x, é uma fução bijetora. -π 2 y π 2 x Figura 8 No que segue, prova-se a propriedade dos cojutos ifiitos mecioada ateriormete e ilustrada pelos exemplos. Precisa-se, para tato, do resultado a seguir. Teorema 3.3. Seja X um cojuto ifiito. Existe uma aplicação ijetora f : IN X. Prova: Seja x 1 X, qualquer, e defia f (1) := x 1. Defia, também, f (2) := x 2, x 2 A 2, ode f (3) := x 3, x 3 A 3, ode A 2 := X {x 1 } (3.26) A 3 := X {x 1, x 2 } (3.27) e assim por diate, para cada IN, defia f () := x, x A, ode A := X {x 1, x 2,..., x - 1 } (3.28) Note que, se m <, etão m 1, e, portato, f (m) = x m {x 1, x 2,..., x - 1 } (3.29) Logo, f () f (m) e, portato, f é uma fução ijetora.

32 31 Exemplo Seja I um itervalo, ão degeerado, qualquer e a, b I, a < b. A fução f : IN I defiida como f ():= x, ode x é dado como a (3.8) do Exemplo 3.4, é uma fução ijetora, visto que f () < f ( - 1), para todo IN. Exemplo A fução f : IN IR defiida como f () = é ijetora, pois f () < f ( + 1), para todo IN. Teorema 3.4. Um cojuto X é ifiito se, e somete se, existe uma fução bijetora ϕ : X Y sobre um subcojuto próprio, ão vazio, Y X. Prova: Supoha que X é um cojuto ifiito. Pelo Teorema 3.3, existe uma fução ijetora Cosidere o cojuto próprio de X, e a fução ϕ : X Y defiida como f : IN X f () := x (3.30) Y = X {x 1 } (3.31) ϕ ( x) = x, x +1 se x x (), IN se x = x (), para algum IN (3.32) A fução ϕ é ijetora. Sejam x, y X e supoha ϕ (x) = ϕ (y). Observe que, pela defiição de ϕ, ão é possível ocorrer ϕ (x) = x, com x x, IN, e ϕ (y) = x j + 1, com y = x j, para algum j IN, pois, por hipótese, ϕ (x) = ϕ (y). Etão, dois casos podem ocorrer. Caso 1. ϕ (x) = x e ϕ (y) = y com x, y x, IN. Como ϕ (x) = ϕ (y), segue que x = y. Caso 2. ϕ (x) = x i + 1 = f (i + 1), para algum i IN e x = x i, e ϕ (y) = x j + 1 = f (j + 1), para algum j IN, e y = x j. Pela defiição de ϕ, x = x i = f (i) e y = x j = f (j). Ademais, por hipótese, ϕ (x) = ϕ (y) e ϕ (x) = x i + 1 = f (i + 1) = ϕ (y) = x j + 1 = f (j + 1) (3.33)

33 32 Como f é uma fução ijetora, etão para f (i) = f (j) tem-se i = j e, portato, x i = x j, dode x = y. Para provar que ϕ é sobrejetora, seja y Y. Se y Im f, etão, pela defiição de ϕ, existe y X tal que ϕ (y) = y. Se y Im f, etão y = f (m), para algum m IN e, pela defiição de ϕ, f (m) = ϕ (f (m 1)) (3.34) Portato, existe x = f (m 1) X tal que ϕ (x) = y. Assim, todo y Y é imagem de algum x X e, coclui-se que ϕ é sobrejetora e, por ser também ijetora, é bijetora. Supoha, agora, que existe uma fução bijetora ϕ : X Y ode Y é um subcojuto próprio de X. Pelo Teorema 2.4, ão pode existir uma fução bijetora etre um cojuto fiito e uma parte própria do mesmo. Logo, X é ifiito. Note o leitor que, em virtude do teorema aterior, o caso dos cojutos ifiitos ão é verdade que o cojuto todo é maior que qualquer de suas partes próprias. O seguite exemplo, formulado por Cator ( ), é completamete cotra ituitivo. Para ser formulado, precisa-se do seguite resultado sobre a represetação decimal dos úmeros reais (ver também Teorema A.6 do Apêdice). Seja X = {0, 1, 2,..., 9} e D o cojuto de todos os úmeros da forma 0, a 1 a 2 a 3... a i..., a i X (3.35) Cosidere agora, o cojuto D* que se obtém de D, elimiado-se todos aqueles elemetos ode a i = 9, para todo i i 0, para algum i 0 1. Etão, existe uma fução bijetora f : D* [0, 1] d f (d) (3.36) O úmero d D* é chamado de represetação decimal do úmero real f (d) e, a represetação de um úmero real x [0, 1], pela f, é úica. Note, o leitor, que essa represetação ão é úica se a fução f estiver defiida em D, o lugar de D*. Por exemplo,

34 33 1 = 1, e 1 = 0, (3.37) No exemplo que segue, a represetação decimal é aquela defiida pela f : D* [0, 1]. Exemplo Já foi verificado ateriormete que o itervalo I = [0, 1] é um cojuto ifiito e, portato, o cojuto A = {0} [0, 1] também é. Da mesma forma, o quadrado Q = [0, 1] [0, 1] é ifiito, pois A Q. Seja (x, y) Q. Pelo Teorema da Represetação Decimal, x e y podem ser represetados uicamete (ver observação após o Teorema 3.4) como x = 0, a 1 a 2 a 3... (3.38) y = 0, b 1 b 2 b 3... (3.39) Seja ϕ : Q I, a fução defiida como ϕ (x, y) = 0, a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3... (3.40) Pelo Teorema da Represetação Decimal, existe um úico z I tal que z = ϕ (x, y). Assim, a fução ϕ é bijetora, e pode-se cocluir que há tatos potos em Q quato em I. O exemplo 3.13 mostra que há tatos potos o lado de um quadrado quatos são os potos o quadrado todo. O mesmo resultado vale para a reta e o plao. Em outras palavras, o plao pode ser mapeado por uma fução bijetora sobre a reta. Desta forma, dimesão ão é em geral preservada através de aplicações bijetoras [2]. Segudo relatos históricos, este resultado causou muita discussão etre os matemáticos da época por ser cotra ituitivo.

35 34 4 CONJUNTOS ENUMERÁVEIS E NÃO ENUMERÁVEIS Neste capítulo, defiem-se as oções de cojuto ifiito eumerável e de cojuto ão eumerável. Ituitivamete, um cojuto ifiito é eumerável quado é possível idexar os seus elemetos com os úmeros aturais. Quado isso ão é possível, diz-se que o cojuto é ão eumerável. As defiições precisas são as que veremos a seguir. As referêcias cosultadas são [2], [4-5], [9], [11-15]. Defiição 4.1. Um cojuto X diz-se eumerável quado é fiito ou quado existe uma fução bijetora f : IN X. Nesse último caso, X é também chamado de um cojuto ifiito eumerável. Quado existe a fução bijetora f : IN X, ela se costitui uma eumeração ou idexação dos elemetos de X, e pode-se represetar X como ode x := f (). X = {x 1, x 2,..., x,...} (4.1) Exemplo 4.1. O cojuto IN dos úmeros aturais é um cojuto ifiito eumerável. A fução f : IN IN defiida como f () = é bijetora. Nesse caso, IN = {x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3,...} (4.2) Exemplo 4.2. O cojuto Z dos úmeros iteiros é ifiito eumerável, pois a fução f : IN Z, defiida como é bijetora. f ( ) 1, = 2, 2 ímpar par (4.3)

36 35 Observe que, pela f, os úmeros aturais ímpares são associados aos úmeros iteiros ão egativos; e os úmeros aturais pares, aos iteiros egativos Figura 9 Teorema 4.1. Todo cojuto ifiito tem um subcojuto eumerável. Prova: Seja X um cojuto ifiito qualquer. Pelo Teorema 3.3, existe uma fução ijetora f : IN X. O cojuto X = {x 1, x 2,..., x,...} (4.4) ode x := f () é eumerável. Logo, um cojuto ifiito tem sempre um subcojuto eumerável. Exemplo 4.3. Seja k IN, H = { k + i i = 1, 2,...} (4.5) e a fução bijetora f : IN H defiida como f () = + k. O cojuto H é, etão, um cojuto ifiito eumerável. Exemplo 4.4. A seguite aedota baseia-se a fução do Exemplo 4.3. Um hotel possui um cojuto ifiito eumerável de quartos. Certo dia, um grupo de k pessoas em excursão, chega ao hotel e solicita quartos para todos do grupo. O gerete, desculpado-se, diz que todos os quartos já estão ocupados. O chefe do grupo, etão, explica ao gerete que como o hotel tem ifiitos quartos, basta, por exemplo, que o ocupate do quarto úmero 1 vá para o quarto de úmero k + 1, o ocupate do quarto úmero 2 vá para o quarto de úmero k + 2, o ocupate do quarto k 1 vá para o quarto de úmero 2k 1, o cupate do quarto k vai para o quarto 2k, e assim por diate. Ficarão k quartos livres que podem ser, etão, ocupados pelos elemetos do grupo.

37 k 1 k k+1 k+2 k+3 2k-1 2k Figura 10 O hotel da aedota é cohecido pelo ome de Hotel Hilbert, pois de acordo com a referêcia [1], o matemático David Hilbert ( ) gostava de cotá-la. Teorema 4.2. Seja X um subcojuto qualquer de IN. Etão, X é eumerável. Prova: Se X é fiito, etão, por defiição, ele é eumerável. Supoha X ifiito. Chame x 1 o meor elemeto de X. Defia x 2 como sedo o meor elemeto do cojuto A 2 = X {x 1 } (4.6) A existêcia deste elemeto míimo é garatida pelo Teorema A.7 do Apêdice. Em seguida, defia x 3 como sedo o meor elemeto do cojuto A 3 = X {x 1, x 2 } (4.7) e, assim por diate, defia x como sedo o meor elemeto do cojuto A = X {x 1, x 2,..., x - 1 } (4.8) Note que x 1 < x 2 < x 3 <... < x - 1 (4.9) Cotiuado este processo, obtém-se o cojuto ifiito eumerável

38 37 X = {x 1, x 2, x 3,..., x,...} X (4.10) Prova-se, em seguida, que também X X. Supoha, por absurdo, que existe x X tal que x X. Nesse caso, x A, IN e, por isso, x > x i, x i X, o que implica que X é limitado; logo, ão é ifiito, cotradizedo o resultado aterior de que X é ifiito. Portato, ão pode haver x X tal que x X. Etão, X X. Como ateriormete já foi provado que X X, segue que X = X, pelo Teorema 1.1. Etão, todo subcojuto X IN é eumerável. Corolário 1. Seja f : X Y uma fução ijetora. Supoha que Y é eumerável. Etão, i) X também é eumerável; ii) Todo subcojuto de um cojuto eumerável é eumerável. Prova de i): Sedo Y eumerável, existe uma fução bijetora g : IN Y; logo, existe g -1 : Y IN que também é bijetora. Cosidere o esquema f 1 g X Y IN (4.11) Como f pode ão ser sobrejetora, tem-se que a fução h = g -1 f : IN IN (4.12) é uma fução bijetora de X em algum subcojuto IN IN. Logo, existe h -1 : IN X. Pelo Teorema 4.2, IN é eumerável e, portato, existe uma fução bijetora w : IN IN, e o esquema A fução w 1 h IN IN X (4.13) h -1 w : IN X (4.14) é uma fução bijetora, pois é a composição de fuções bijetoras. Etão, X é eumerável.

39 38 Prova de ii): Basta tomar X Y e f : X X Y, defiida como f (x) = x. Como f é ijetora, pelo resultado i), segue que X é eumerável. Corolário 2. Seja f : X Y uma fução sobrejetora e supoha X um cojuto eumerável. Etão, Y também é. Prova: Como f é sobrejetora, todo y Y é imagem, pela f, de algum x X. Como f pode ão ser ijetora, é possível que mais de um elemeto x X seja associado a um úico y Y. Nesse caso, defia a fução g : Y X da seguite forma: se y Y e é imagem, pela f, de um úico x X, defia g (y) := x. Se y Y e é imagem, pela f, de dois ou mais elemetos de X, por exemplo x 1, x 2,..., x, escolha um deles, por exemplo x 2, e defia g (y) := x 2. Dessa forma obtemos uma aplicação que associa a cada y Y um úico x X, com a propriedade de que f ( g (y)) = y (4.15) para todo y Y. A fução g é ijetora, por costrução. Por i), do Corolário 1, Y é também eumerável. Teorema 4.3. O cojuto IN IN é eumerável. Prova: A fução ψ : IN IN IN defiida como ψ (m, ) = 2 m. 3 é ijetora, pois dados i, j, k, l IN, ψ (i, j) = 2 i 3 j = 2 k 3 l = ψ (k, l). Pelo Teorema Fudametal da Aritmética (Teorema A.4 do Apêdice) i = k e j = l. Assim, tem-se que (i, j) = (k, l). O Corolário 1, etão, implica que IN IN é eumerável, pois IN é eumerável. Corolário 3. (do Teorema 4.2) Dados dois cojutos eumeráveis X e Y, o produto cartesiao X Y é eumerável. Prova: Como X e Y são eumeráveis, existem fuções bijetoras f : IN X e g : IN Y. A fução h : IN IN X Y (4.16) defiida como

40 39 h (m, ) = ( f (m), g () ) (4.17) também é bijetora e, portato, é sobrejetora. Como IN IN é eumerável pelo Teorema 4.3, etão, pelo Corolário 2, X Y é eumerável. Corolário 4. (do Teorema 4.2) Seja {X 1, X 2,..., X,...} um cojuto eumerável de cojutos eumeráveis. Etão, o cojuto é eumerável. X = X = 1 (4.18) Prova: Como X i, i = 1, 2,... são cojutos eumeráveis, existe, para cada i, uma fução bijetora f i : IN X i. Portato, as fuções f i também são sobrejetoras. A fução f : IN IN X, defiida como f (m, i) = f i (m), é sobrejetora. O Corolário 2 garate que X é eumerável. Sejam X 1,..., X N cojutos eumeráveis. Como N X j j = 1 = 1 X (4.19) ode X X N, N, etão pelo Corolário 4, a uião fiita de cojutos eumeráveis também é eumerável. Teorema 4.4. (Cator) O cojuto dos úmeros racioais Q = p q p Z e q IN (4.20) é um cojuto ifiito eumerável. Prova: Seja + Q o cojuto dos úmeros racioais positivos, racioais egativos e, para cada IN, Q o cojuto dos úmeros

41 40 Q = p q Q + p + q = (4.21) Por exemplo, 1 = { 0 } Q, 1 Q 2 =, Q 3 =,, 2 1 Q 4 1 =, 3 2, (4.22) Note que Q é fiito, pois o cojuto das partições de um úmero IN, fixo, em duas partes, é limitado, e, portato, Q é eumerável, para todo IN. Além disso, Q + = Q = 1 (4.23) e, portato, + Q é a uião eumerável de cojutos eumeráveis. Logo, Corolário 4. De forma aáloga, prova-se que Q é eumerável. Como + Q é eumerável pelo = Q + Q Q (4.24) Q é um cojuto ifiito eumerável. Cator ( ) descobriu que existem cojutos que ão são eumeráveis. Dito de outra forma, há cojutos cujos elemetos ão podem ser idexados com os úmeros aturais. Teorema 4.5. (Cator) O cojuto dos úmeros reais ão é eumerável. Prova: Sem perda de geeralidade, cosidere o itervalo [0, 1]. Pelo Teorema da Represetação Decimal (Teorema A.6 do Apêdice), cada r [0, 1] tem uma úica represetação decimal da forma r = 0, a b c... (4.25) Supoha, por absurdo, que o cojuto [0, 1] é eumerável. Seus elemetos podem, etão, ser eumerados como

42 41 Cosidere agora o úmero r 1 = 0, a 1 b 1 c 1... r 2 = 0, a 2 b 2 c 2... r 3 = 0, a 3 b 3 c 3... (4.26) 0, α 1 α 2 α 3... (4.27) ode α 1 a 1, α 2 b 2, α 3 c 3,... Há ove possibilidades para cada dígito em (4.27). Obtém-se, assim, um cojuto de úmeros todos distitos de r 1, pois α 1 a 1 ; e todos distitos de r 2, pois α 2 b 2 ; e assim por diate. Os úmeros reais da forma (4.27) ão pertecem à lista (4.26), o que cotradiz a hipótese da eumerabilidade e de que (4.26) seja a lista completa dos úmeros reais em [0, 1]. Portato, essa hipótese ão pode ser matida. Coclui-se, etão, que o cojuto dos úmeros reais ão é eumerável. Teorema 4.6. (Cator) O cojuto IR - Q dos úmeros irracioais é um cojuto ifiito ão eumerável. Prova: De fato, como IR ão é eumerável e Q é eumerável, e IR = Q U (IR - Q), etão IR - Q ão pode ser eumerável, pois do cotrário, IR seria eumerável, pelo Corolário 4. Outros exemplos de cojutos ão eumeráveis são os seguites. Exemplo 4.5. Seja S o cojuto de todas as fuções da forma por exemplo, a fução s dada como ou aida, s : IN {0, 1} s () (4.28) s ( ) = ( ) (4.29) s () = 0, IN (4.30)

43 42 s () = 1, IN (4.31) s ( ) = ( 1) (4.32) Cada uma das fuções s acima determia uma seqüêcia da forma s = ( s (1), s (2),..., s (),...) (4.33) cujos elemetos são 0 ou 1. No caso da seqüêcia defiida pela (4.29), s = ( 0, 1, 0, 1, 0, 1,...) (4.34) e, o caso da seqüêcia (4.32) temos s = ( 1, 0, 1, 0, 1, 0,...) (4.35) O cojuto S ão é eumerável. Para provar isso, supoha por absurdo, que S é eumerável. Nesse caso, pode-se listar os elemetos de S: s = ( s s,, , 12 s13 s = ( s s,, , 22 s23 ) ) s = ( s s,,...) (4.36) 3 31, 32 s33 Defia, agora, a seqüêcia α, ode α = ( α (1), α (2),..., α (),...) (4.37) e α (1) s 11, α (2) s 22, α (3) s 33 e, assim por diate, α () s. A seqüêcia α ão está a lista (4.36). Podemos cocluir que um cojuto S eumerável ão pode coter todas as seqüêcias possíveis. Assim, a hipótese de que S é eumerável ão pode ser matida. Logo, S ão é eumerável.

44 43 Defiição 4.2. Um úmero real α é chamado de algébrico se é raiz de algum poliômio com coeficietes iteiros. Exemplo 4.6. Qualquer úmero racioal equação q x p = 0. p α = é um úmero algébrico, pois é raiz da q 2 Exemplo 4.7. O úmero irracioal α = 2 é algébrico, pois é raiz da equação x 2 = 0. Defiição 4.3. Um úmero real que ão seja algébrico é chamado de um úmero trascedete. Teorema 4.7. (Cator) O cojuto de todos os úmeros algébricos é eumerável. Prova: Cosidere o poliômio p ( x) a x a1 x a0 = (4.38) + cujos coeficietes a, a,..., a 1 0 sedo o úmero são úmeros iteiros. Defia a altura de p ( x) p : como = a a + a (4.39) Pelo Teorema Fudametal da Álgebra (Teorema A.5. do Apêdice), a equação p ( x) = 0 tem raízes complexas. Observe que para p fixado, o úmero de poliômios com esta mesma altura é fiita; por exemplo, para p = 3, há 4 poliômios, a saber, 2x, x + 1, x 1 e x 2 (4.40) Portato, o cojuto de todas as raízes dos poliômios com uma mesma altura, é um cojuto fiito, que é um cojuto eumerável. Etão, o cojuto de todas as raízes de todos os poliômios de todas as alturas é a uião eumerável de cojutos eumeráveis, que pelo Corolário 4, é eumerável.

45 44 Teorema 4.8. O cojuto dos úmeros trascedetes é ão vazio e ão eumerável. Deote por A e T os cojutos de todos os úmeros algébricos e trascedetes, respectivamete. Prova: Pelo Teorema 4.7, o cojuto A é eumerável. Também, pelo Teorema 4.5, o cojuto IR dos úmeros reais ão é eumerável. Como IR = AUTetão o cojuto T é ão vazio e, também, ão eumerável pois, do cotrário, IR seria eumerável. Exemplo 4.8. Os úmeros e, base dos logaritmos aturais, π, log 2, trascedetes. A prova disso pode ser ecotrada as referêcias [14-15]. 2 2, e e π são úmeros

46 45 5 CARDINALIDADE A oção de cardialidade etre dois cojutos quaisquer, é devida a Cator ( ) que a empregou com o objetivo de classificar os cojutos ifiitos e mostrar que dois cojutos ifiitos podem ão ser equivaletes. A defiição de cardialidade etre cojutos é a seguite: Defiição 5.1. Sejam A e B dois cojutos quaisquer. i) Diz-se que A e B têm a mesma cardialidade quado existe uma fução bijetora de A sobre B e, esse caso, idica-se Card (A) = Card (B) (5.1) ii) Idica-se Card (A) Card (B) (5.2) quado existe uma fução bijetora de A sobre um subcojuto de B. iii) Idica-se Card (A) < Card (B) (5.3) quado existe uma fução bijetora de A sobre um subcojuto próprio de B. Defiição 5.2. Diz-se que dois cojutos A e B quaisquer são equivaletes quado Card (A) = Card (B) (5.4) Defiição 5.3. Uma classe de equivalêcia é um cojuto de cojutos todos com a mesma cardialidade.

47 46 Teorema 5.1. Sejam A e B dois cojutos fiitos. Etão, Card (A) = Card (B) (5.5) se, e somete se, A e B têm o mesmo úmero de elemetos. Prova: Supoha, primeiramete, que vale a (5.5). Etão, existe uma fução bijetora f : A B. Como A e B são fiitos, existem fuções bijetoras e g : I A (5.6) h : I m B (5.7) para algum, m IN. Como h tem iversa, tem-se o seguite esquema I 1 g f h A B Im (5.8) A fução h - 1 f g : I I m (5.9) por ser composição de fuções bijetoras, também é bijetora. Pelo Teorema 2.4, I ão pode ser parte própria de I m. Da mesma forma, I m ão pode ser parte própria de I ; logo m =. Supoha, agora, que A e B têm o mesmo úmero de elemetos. Como A e B são fiitos, existem as fuções bijetoras e f : I A (5.10) g : I B (5.11) Portato, tem-se o seguite esquema B g 1 f I A (5.12)

48 47 A fução f g - 1 : B A (5.13) é bijetora, pois é composição de fuções bijetoras; logo, A e B têm a mesma cardialidade. Com base o Teorema 5.1, pode-se defiir cardialidade de um cojuto fiito, qualquer, como sedo o úmero de seus elemetos. Assim, os cojutos fiitos podem ser classificados de acordo com o úmero ou quatidade de elemetos que eles cotêm. As classes de equivalêcia, esse caso, são idexadas com os úmeros 0, 1, 2,...,,..., ode represeta a classe de equivalêcia cujos elemetos são todos os cojutos com elemetos. Em particular, o 0 (zero) simboliza a classe de equivalêcia cujo úico elemeto é o cojuto vazio. Teorema 5.2. Dois cojutos ifiitos eumeráveis quaisquer, A e B, têm a mesma cardialidade. Prova: Como A e B são eumeráveis, existem fuções bijetoras e que permitem o seguite esquema A fução f : IN A (5.14) g : IN B (5.15) g 1 f B IN A (5.16) f g - 1 : B A (5.17) é bijetora, pois f e g - 1 o são. Etão, Card (A) = Card (B) (5.18) Coclui-se que todos os cojutos ifiitos eumeráveis são equivaletes etre si e estão uma mesma classe de equivalêcia. Por exemplo, os cojutos IN, Z, Q. A classe dos cojutos eumeráveis é simbolizada por 0 e lê-se alef zero.

49 48 Teorema 5.3. Não é possível um cojuto ifiito A tal que Card (A) < Card (IN) (5.19) Prova: Supoha que A é um cojuto ifiito e que existe uma fução bijetora sobre um subcojuto próprio B de IN. B é eumerável, pois pelo Teorema 4.1, qualquer subcojuto de IN é eumerável e, por isso, A é eumerável também; logo, Card (A) = Card (IN) (5.20) A coclusão a que se chega, portato, é a de que os cojutos ifiitos eumeráveis são os meores cojutos ifiitos possíveis. No capítulo aterior foi provado que o cojuto dos úmeros reais é ão eumerável. Pode-se cocluir, etão, que o cojuto IR dos úmeros reais ão pertece à classe dos cojutos eumeráveis e Card (IN) < Card (IR) (5.21) Defiição 5.4. Diz-se que um cojuto A pertece à classe do cotíuo quado Card (A) = Card (IR) (5.22) Essa classe é, geralmete, simbolizada pela letra c. Cator ( ) provou o seguite teorema. Teorema 5.4. Seja B = P (A) o cojuto das partes de um cojuto A qualquer. Etão, Card (A) < Card (B) (5.23) Prova: Cada elemeto s A pode ser colocado em correspodêcia biuívoca com o elemeto {s} B, pela fução ϕ : A B defiida como ϕ (s) = {s}. Todo elemeto s A

50 49 tem uma imagem em B, pela ϕ, mas em todo b B é imagem de algum s A, por exemplo, b = A. Pela iii) da Defiição 5.1, segue o resultado. Observe o leitor que o caso de cojutos fiitos, já se provou o capítulo 2 que, se A tem elemetos, P (A) tem 2 elemetos. Pelo Teorema 5.4, é possível costruir toda uma hierarquia de cojutos ifiitos. Dado um cojuto ifiito, qualquer, A, os cojutos P(A), P(P(A)),..., são cojutos ifiitos de cardialidade cada vez maior. que Um problema famoso e aida sem solução é o de saber se existe algum cojuto X tal Card (IN) < Card (X) < Card (IR) (5.24) Chama-se A Hipótese do Cotíuo a cojectura de que ão existe ehum cojuto X cuja cardialidade satisfaça a desigualdade (5.24). Exemplo 5.1. Os itervalos (a, b) e (c, d) com a < b, c < d, a c e b d têm a mesma cardialidade. A fução f : (a, b) (c, d) (5.25) defiida como f d c b a ( x) = ( x a) + c (5.26) é uma fução bijetora de (a, b) sobre (c, d). Exemplo 5.2. Cada um dos itervalos seguites tem a mesma cardialidade que o cojuto IR: [a, b], [a, b), (a, b), (a, b] (5.27) ode a < b. Para verificar, ote primeiramete que as fuções