Marília Brasil Xavier REITORA. Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

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3 Marília Brasil Xavier REITORA Prof. Rubes Vilhea Foseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

4 MATERIAL DIDÁTICO EDITORAÇÃO ELETRONICA Odivaldo Teieira Lopes ARTE FINAL DA CAPA Odivaldo Teieira Lopes REALIZAÇÃO BELÉM PARÁ BRASIL - 0 -

5 APRESENTAÇÃO. A Aálise Real é uma das disciplias Matemáticas que teve seu desevolvimeto mais formal estabelecido como coseqüêcia da tetativa de estabelecer bases sólidas para o calculo diferecial e itegral que teve seu grade desevolvimeto os séculos XVII até o iicio do século XIX. A aálise é uma visão aprofudada do cálculo diferecial ode algus dos resultados estudados as disciplias de cálculo são revisto sob uma óptica mais rigorosa a fim de garatir uma maior visão das possibilidades e ites das técicas do cálculo diferecial e itegral. Como uma das tarefas de um professor de Matemática é euciar e demostrar proposições matemáticas, aa liceciatura o papel da aálise é o de praticar demostrações. Portato, esta disciplia o efoque a ser dado será o de praticar demostrações de resultados sem, o etato ser deiado de lado a aplicação de algus resultados em situações mais ligadas as ações do cotidiao.

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7 SUMÁRIO CONJUNTOS... 9 RELAÇÃO DE INCLUSÃO RELAÇÃO DE IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS SUBCONJUNTOS... 0 QUESTÕES... 0 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.... INTERSEÇÃO.... QUESTÕES... 3 UNIÃO... 3 QUESTÕES... 4 LIMITES O CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE CONCEITO FORMAL LIMITES INFINITOS FUNÇÕES CONTÍNUAS... 3 QUESTÕES DERIVADAS QUESTÕES SEQUENCIAS E SÉRIES IGUALDADE DE SEQUENCIAS TIPOS DE SEQUENCIAS OPERAÇÕES COM SEQUENCIAS SEQUENCIAS CONVERGENTES QUESTÕES... 4 SERIES QUESTÕES BIBLIOGRAFIA... 49

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9 Uiversidade Estadual do Pará Cetro de Ciêcias Sociais e Educação CONJUNTOS INTRODUÇÃO Neste mometo ão faremos uma abordagem formal da teoria dos cojutos por motivos diversos etre eles os objetivos do osso curso e o tempo dispoível para o mesmo. Nossos objetivos são apresetar as operações com cojutos de uma forma um pouco mais rigorosa que as apresetações realizadas a maioria dos livros didáticos do esio médio com a fialidade de fudametar a prática pedagógica evolvedo tal assuto que é um dos compoetes curriculares do atual esio médio e praticar a resolução de questões evolvedo o referido assuto. Noções Básicas. A teoria dos cojutos, assim como a Geometria Euclidiaa, é uma teoria aiomática, ou seja, se baseia em oções que ão demostradas, que são seus aiomas. Os aiomas da Teoria dos Cojutos são os seguites: ) A oção de cojuto; ) A oção de elemeto de um cojuto; 3) A relação de pertiêcia etre elemeto e cojuto. Normalmete os cojutos são represetados por letras maiúsculas e seus elemetos por letras miúsculas de osso alfabeto. NOTAÇÕES: Para idicar que um elemeto pertece a um cojuto A usamos a seguite otação: A. Para idicar que um elemeto ão pertece a um cojuto A usamos a seguite otação: A. RELAÇÃO DE INCLUSÃO. Defiição : Quado todos os elemetos de um cojuto A são elemetos de um cojuto B dizemos que o cojuto A está cotido o cojuto B. Para idicar que o cojuto A está cotido o cojuto B usamos a seguite otação A B. Para idicar que o cojuto A ão está cotido o cojuto B usamos a seguite otação A B. Para se demostrar que um cojuto A está cotido em cojuto B basta mostrar que todo elemeto de A pertece a B. Durate o desevolvimeto desta uidade esta técica será muitas vezes utilizada. Propriedades da iclusão de cojutos. ) Todo cojuto está cotido si mesmo. Esta é a propriedade refleiva da de cojutos. A propriedade refleiva da iclusão de cojutos é epressa simbolicamete por A, A A. 9

10 Departameto de Matemática, Estatística e Iformática Liceciatura em Matemática Modalidade a Distâcia ) Se um cojuto A está cotido em um cojuto B e o cojuto B está cotido em um cojuto C, etão o cojuto A está cotido o cojuto C. Esta é a propriedade trasitiva da iclusão de cojutos. A propriedade trasitiva da iclusão de cojutos é epressa simbolicamete por A, B, C, A B, B C A C. RELAÇÃO DE IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS. Defiição : Dois cojutos A e B são ditos iguais se e somete se todos os elemetos de A são elemetos de B e todos os elemetos B são elemetos de A, ou seja, A = B se e somete se A B e B A. A igualdade de cojutos é epressa simbolicamete por A, B, A = B A B e B A. Para se demostrar que um cojuto A é igual a um cojuto B basta mostrar que todo elemeto de A pertece a B e que todo elemeto de B pertece a A. Durate o desevolvimeto desta uidade esta técica será muitas vezes utilizada. Propriedades da igualdade de cojutos. ) Todo cojuto é igual a si mesmo. Esta é a propriedade refleiva da igualdade de cojutos. A propriedade refleiva da igualdade de cojutos é epressa simbolicamete por A, A = A. ) Se um cojuto A é igual a um cojuto B, etão o cojuto B é igual ao cojuto A. Esta é a propriedade simétrica da igualdade de cojutos. A propriedade simétrica da igualdade de cojutos é epressa simbolicamete por A, B, A=B B = A. 3) Se um cojuto A é igual a um cojuto B e o cojuto B é igual a um cojuto C, etão o cojuto A é igual ao cojuto C. Esta é a propriedade trasitiva da igualdade de cojutos. A propriedade trasitiva da igualdade de cojutos é epressa simbolicamete por A, B, C, A= B, B = C A= C. SUBCONJUNTOS. Defiição 3: Todo cojuto A que está cotido um cojuto B é um subcojuto ou uma parte de B. QUESTÕES - Demostre que todo cojuto está cotido si mesmo. - Demostre que se um cojuto A está cotido em um cojuto B e o cojuto B está cotido em um cojuto C, etão o cojuto A está cotido o cojuto C. 3- Demostre que todo cojuto é igual a si mesmo. 4- Demostre que se um cojuto A é igual a um cojuto B, etão o cojuto B é igual ao cojuto A. 0

11 Uiversidade Estadual do Pará Cetro de Ciêcias Sociais e Educação 5- Demostre que se um cojuto A é igual a um cojuto B e o cojuto B é igual a um cojuto C, etão o cojuto A é igual ao cojuto C. 6- Demostre que todo cojuto é subcojuto de si mesmo. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS. Ates de iiciarmos a ossa apresetação é importate que façamos algus cometários acerca da iserção dosa cojutos a Matemática. Com o adveto da Teoria dos Cojutos muitos coceitos foram firmados, questões atigas sobre o ifiito foram dirimidas e muitos resultados em diversos campos da Matemática foram reiterpretados a luz da ova teoria. Como coseqüêcia de todo esse movimeto hoje é coseso etre a maioria dos matemáticos que em matemática tudo é cojuto, ou seja a estrutura ou os objetos mais gerais da Matemática são os cojutos. Desse modo temos que sempre que realizamos uma operação etre dois cojutos o resultado é sempre um cojuto. Agora vejamos as operações básicas etre cojutos. INTERSEÇÃO. Defiição 4: Dados dois cojutos A e B chama-se de cojuto iterseção de A com B ao cojuto formado pelos elemetos comus etre o elemetos do cojuto A e do cojuto B. A iterseção ete dois cojutos A e B é idicada por A B. Simbolicamete temos que A B = { A e B}. Assim podemos afirmar que A B é equivalete a A e B. Eemplo. Sejam os cojutos A = {,,3,4} e B = { 3,4,5,6}. A iterseção de A com B é A B = {3,4}, pois 3 e 4 são os elemetos comus etre os cojutos A e B. Eemplo. Sejam os cojutos A = {3,5,4} e B = {3,6,,8, 9}. Da comparação etre os elemetos dos cojutos A e B podemos cocluir que o úico elemeto comum etre os dois cojutos é 3. Como sempre que realizamos uma operação etre dois cojutos o resultado é sempre um cojuto. Nesta situação temos um cojuto que possui apeas um elemeto. Este cojuto é deomiado cojuto uitário e é defiido como segue. Defiição 5: Chama-se de cojuto uitário a todo cojuto que possui apeas um elemeto.

12 Departameto de Matemática, Estatística e Iformática Liceciatura em Matemática Modalidade a Distâcia Desse modo podemos afirmar que a iterseção dos cojutos A = {3,5,4} e B ={3,6,,8, 9} é um cojuto uitário e o caso A B ={3}. A defiição de cojuto uitário amplia a oção de cojuto. Eemplo 3. Sejam os cojutos A = {3,5,4} e B = {6,,8, 9}. Da comparação etre os elemetos dos cojutos A e B podemos cocluir que ão elemetos comus etre os dois cojutos. Como sempre que realizamos uma operação etre dois cojutos o resultado é sempre um cojuto. Nesta situação temos um cojuto que ão possui elemetos. Este cojuto é deomiado cojuto vazio e defiido como segue. Defiição 6: Chama-se de cojuto vazio ao cojuto que ão possui elemetos. O cojuto vazio é idicado por ou por { }. Desse modo podemos afirmar que a iterseção dos cojutos A = {3,5,4} e B = {6,,8, 9} é o cojuto vazio, ou seja, A B =. Um equívoco comum é se represetar o cojuto vazio por { }, que a verdade é um cojuto uitário. A defiição de cojuto vazio amplia mais aida a oção de cojuto. O cojuto vazio a Teoria dos Cojutos tem papel aálogo ao zero a Aritmética. Um resultado iteressate evolvedo cojuto vazio é o seguite: O cojuto vazio está cotido em todo cojuto. Vejamos agora a defiição de um outro cojuto um tato especial, o cojuto uiverso. Defiição 7: Chama-se de cojuto uiverso de uma teoria o cojuto de todos os etes que são cosiderados como elemetos essa teoria. Normalmete o cojuto uiverso é idicado pela letra U. Na Aritmética o cojuto uiverso é cojuto de todos os úmeros iteiros. Na Geometria o cojuto uiverso é o cojuto de todos os potos do espaço em estudo. Vejamos agora algumas propriedades da iterseção de cojutos. ) A iterseção de um cojuto cosigo mesmo é o próprio cojuto. ) A iterseção de cojutos é comutativa. 3) A iterseção de cojutos é associativa. 4) A iterseção de dois cojutos está cotida em cada um dos cojutos. 5) Um cojuto está cotido em outro se e somete se a iterseção de ambos coicide com o primeiro cojuto. 6) Um cojuto está cotido em dois outros cojutos se e somete se está cotido a iterseção de ambos. 7) Se um cojuto está cotido um outro, etão a iterseção do primeiro com um terceiro cojuto está cotida a iterseção do segudo com o terceiro cojuto.

13 Uiversidade Estadual do Pará Cetro de Ciêcias Sociais e Educação 8) A iterseção de qualquer cojuto com o cojuto vazio é o cojuto vazio. 9) A iterseção de qualquer cojuto com o cojuto uiverso é o cojuto. QUESTÕES - Demostre que o cojuto vazio está cotido em todo cojuto. - Demostre que a iterseção de um cojuto cosigo mesmo é o próprio cojuto. 3- Demostre que a iterseção de cojutos é associativa. 4- Demostre que a iterseção de dois cojutos está cotida em cada um dos cojutos. 5- Demostre que um cojuto está cotido em outro se e somete se a iterseção de ambos coicide com o primeiro cojuto. 6- Demostre que um cojuto está cotido em dois outros cojutos se e somete se está cotido a iterseção de ambos. 7- Demostre que se um cojuto está cotido um outro, etão a iterseção do primeiro com um terceiro cojuto está cotida a iterseção do segudo com o terceiro cojuto. 8- Demostre que a iterseção de qualquer cojuto com o cojuto vazio é o cojuto vazio. 9- Demostre que a iterseção de qualquer cojuto com o cojuto uiverso é o cojuto uiverso. 0- Demostre que se A B e C D, etão A C B D. UNIÃO. Defiição 8: Dados dois cojutos A e B chama-se de cojuto uião ou reuião de A com B ao cojuto formado pelos elemetos que pertecem ao do cojuto A ou pertecem ao cojuto B. A uião etre dois cojutos A e B é idicada por A B. Simbolicamete temos que A B = { A ou B}. Assim podemos afirmar que A B é equivalete a A ou B. Eemplo 4. Sejam os cojutos A = {,,3,4} e B = { 3,4,5,6}. A uião de A com B é A B = {,,3,4,5,6}, pois os elemetos,,3, e 4 pertecem ao cojuto A e os elemetos 3,4,5 e 6 pertecem ao cojuto B. Vejamos agora algumas propriedades da uião de cojutos. ) A uião de um cojuto cosigo mesmo é o próprio cojuto. ) A uião de cojutos é comutativa. 3) A uião de cojutos é associativa. 4) A uião de dois cojutos cotem cada um dos cojutos. 3

14 Departameto de Matemática, Estatística e Iformática Liceciatura em Matemática Modalidade a Distâcia 5) Um cojuto está cotido um outro cojuto se e somete se a uião de ambos coicide com o segudo cojuto. 6) Dois cojutos estão cotidos um terceiro se e somete se a uião dos dois primeiros estiver cotida o terceiro. 7) A uião de qualquer cojuto com o cojuto vazio é o cojuto. 8) A uião de qualquer cojuto com o cojuto uiverso é o cojuto uiverso. 9) A uião de cojutos é distributiva em relação à iterseção. 0) A iterseção de cojutos é distributiva em relação à uião de cojutos. ) Se um cojuto está cotido um outro, etão a uião do primeiro com o terceiro cojuto está cotida a reuião do segudo com o terceiro. QUESTÕES ) Demostre que a uião de um cojuto cosigo mesmo é o próprio cojuto. ) Demostre que a uião de cojutos é comutativa. 3) Demostre que a uião de cojutos é associativa. 4) Demostre que a uião de dois cojutos cotém cada um dos cojutos. 5) Demostre que um cojuto está cotido um outro cojuto se e somete se a uião de ambos coicide com o segudo cojuto. 6) Demostre que dois cojutos estão cotidos um terceiro se e somete se a uião dos dois primeiros estiver cotida o terceiro. 7) Demostre que a uião de qualquer cojuto com o cojuto vazio é o cojuto. 8) Demostre que a uião de qualquer cojuto com o cojuto uiverso é o cojuto uiverso. 9) Demostre que a uião de cojutos é distributiva em relação à iterseção. ) Demostre que a iterseção de cojutos é distributiva em relação à uião de cojutos. 3) Demostre que se um cojuto está cotido um outro, etão a uião do primeiro com o terceiro cojuto está cotida a reuião do segudo com o terceiro. DIFERENÇA DE CONJUNTOS. Defiição 9: Dados dois cojutos A e B chama-se de cojuto difereça etre A e B ao cojuto formado pelos elemetos que pertecem ao do cojuto A e ão pertecem ao cojuto B. A difereça etre os cojutos A e B é idicada por A - B. Simbolicamete temos que A - B = { A e B}. Assim podemos afirmar que A - B é equivalete a A e B. Da defiição de difereça etre cojutos é fácil otar que A- B é diferete de B- A. 4

15 Uiversidade Estadual do Pará Cetro de Ciêcias Sociais e Educação Eemplo 5. Sejam os cojutos A = {,,3,4} e B = { 3,4,5,6}. A difereça etre A e B é A - B = {,,}, pois os elemetos e pertecem ao cojuto A e ão pertecem ao cojuto B. Eemplo 6. Sejam os cojutos A = {,,3,4} e B = { 3,4,5,6}. A difereça etre A e B é B - A = {5,6}, pois os elemetos 5 e 6 pertecem ao cojuto B e ão pertecem ao cojuto A. Defiição 0: Se A está cotido em B dizemos que B-A é o complemetar de A em relação à B. O complemetar de A em relação à B é idicado por Eemplo 7. Sejam os cojutos A = {3,4} e B = { 3,4,5,6,8}. B O complemetar de A em relação à B é C = B A = {5,6, 8}. A O complemetar de um cojuto A em relação ao cojuto uiverso é idicado por U`. C B A Vejamos agora algumas propriedades da difereça de cojutos. ) A difereça de um cojuto cosigo mesmo é o cojuto vazio. ) A uião de um cojuto com seu complemetar em relação ao cojuto uiverso é o cojuto uiverso. 3) A iterseção de um cojuto e seu complemetar em relação ao cojuto uiverso é o cojuto vazio. 4) O complemetar em relação ao cojuto uiverso da iterseção de dois cojutos é a uião de complemetares de cada cojuto em relação ao cojuto uiverso. 5) O complemetar em relação ao cojuto uiverso da uião de dois cojutos é a iterseção de complemetares de cada cojuto em relação ao cojuto uiverso. 6) Dois cojutos estão cotidos um terceiro se e somete se a uião dos dois primeiros estiver cotida o terceiro. 7) A difereça etre qualquer cojuto com o cojuto vazio é o cojuto. 8) A difereça etre o cojuto vazio e qualquer o cojuto uiverso é o cojuto vazio. 9) A difereça etre um cojuto e o cojuto uiverso é o cojuto vazio. 0) A difereça etre o cojuto uiverso e qualquer cojuto é o complemetar do cojuto em relação ao cojuto uiverso. ) A difereça etre o cojuto qualquer cojuto complemetar desse cojuto em relação ao cojuto uiverso é igual ao próprio cojuto. 5

16 Departameto de Matemática, Estatística e Iformática Liceciatura em Matemática Modalidade a Distâcia QUESTÕES ) Demostre que a difereça de um cojuto cosigo mesmo é o cojuto vazio. ) Demostre que a uião de um cojuto com seu complemetar em relação ao cojuto uiverso é o cojuto uiverso. 3) Demostre que a iterseção de um cojuto e seu complemetar em relação ao cojuto uiverso é o cojuto vazio. 4) Demostre que o complemetar em relação ao cojuto uiverso da iterseção de dois cojutos é a uião de complemetares de cada cojuto em relação ao cojuto uiverso. 5) Demostre que o complemetar em relação ao cojuto uiverso da uião de dois cojutos é a iterseção de complemetares de cada cojuto em relação ao cojuto uiverso. 6) Demostre que dois cojutos estão cotidos um terceiro se e somete se a uião dos dois primeiros estiver cotida o terceiro. 7) Demostre que a difereça etre qualquer cojuto com o cojuto vazio é o cojuto. 8) Demostre que a difereça etre o cojuto vazio e qualquer o cojuto uiverso é o cojuto vazio. 9) Demostre que a difereça etre um cojuto e o cojuto uiverso é o cojuto vazio. 0) Demostre que a difereça etre o cojuto uiverso e qualquer cojuto é o complemetar do cojuto em relação ao cojuto uiverso. ) Demostre que a difereça etre o cojuto qualquer cojuto complemetar desse cojuto em relação ao cojuto uiverso é igual ao próprio cojuto. ) Demostre que (A B)` = A` B. 3) Demostre que A B = B`- A`. DIFERENÇA SIMÉTRICA. Defiição : Dados dois cojutos A e B chama-se de cojuto difereça simétrica etre A e B ao cojuto formado pelos elemetos que pertecem ao do cojuto uião de A com B e ão pertecem ao cojuto iterseção de A com B. A difereça etre os cojutos A e B é idicada por A B. Simbolicamete temos que A B = { A B e A B}. Assim podemos afirmar que A B é equivalete a A B e A B. Eemplo 8. Sejam os cojutos A = {,,3,4} e B = { 3,4,5,6,8}. A difereça simétrica etre A e B é A B = {,,5,6,8}.Pois, A B= {,,3,4,5,6,8}, A B = { 3,4}e (A B) (A B)= {,,5,6,8}. Vejamos agora algumas propriedades da difereça simétrica etre dois cojutos. ) A difereça simétrica etre um cojuto e o cojuto vazio é o próprio cojuto. ) A difereça simétrica etre um cojuto e o cojuto uiverso é o complemetar do cojuto em relação ao cojuto uiverso. 6

17 Uiversidade Estadual do Pará Cetro de Ciêcias Sociais e Educação 3) A difereça simétrica etre um cojuto e o cojuto e o seu complemetar em relação ao cojuto uiverso é igual ao próprio cojuto. 4) A difereça simétrica etre um cojuto e ele próprio é o cojuto vazio. 5) A difereça simétrica é comutativa. 6) A difereça simétrica é associativa. 7) A iterseção é distributiva a difereça simétrica. QUESTÕES COMPLEMENTARES. 0 Uma sala possui 40 aluos, dos quais 30 estudam Álgebra, 3 estudam Biologia e 0 estudam simultaeamete Álgebra e Biologia. Quatos, detre os aluos cosiderados, ão estudam pelo meos uma das duas matérias? 0 Num escritório trabalham 7 secretárias, das quais 0 sabem datilografia, 08 sabem esteografia, sedo que 05 são esteodatilógrafas. Quatas secretárias ão são em datilografas em esteografas? 03 Numa escola com 50 aluos, 60 estudam Matemática, 70 estudam Física, 80 estudam Química, 5 estudam Matemática e Física, 5 Física e Química, 30 Matemática e Química e 0 estudam as três matérias. Quatos aluos ão estudam pelo meos uma das três disciplias? 04 Em uma cidade ode circulam três jorais eistem famílias; 3.00 assiam A Gazeta, 3.00 assiam a Folha, assiam O Diário, equato que.600 assiam A Gazeta e A Folha,.000 assiam O Diário e A Folha,.800 assiam O Diário e A Gazeta, sedo que 850 famílias assiam os três jorais. Perguta-se: a) quatas famílias ão assiam jorais? b) quatas famílias assiam os dois e só dois jorais? c) quatas famílias assiam um e somete um joral? 05 Numa pesquisa aplicada a.400 famílias, em relação à audiêcia de programas de televisão, ecotraramse os seguites resultados: 800 famílias assistem ao programa X 50 famílias assistem ao programa Y 40 famílias assistem ao programa Z 0 famílias assistem aos programas X e Y 40 famílias assistem aos programas Y e Z 8 famílias assistem aos programas X e Z 8 famílias assistem aos programas X, Y e Z a) quatas famílias ão assistem a esses programas? b) quatas assistem a pelo meos um dos programas? c) quatas assistem a um e somete um programa? d) quatas assistem a pelo meos dois programas? e) quatas assistem a dois e só dois programas? 06 Num grupo de motoristas há 8 que dirigem carro, que dirigem moto e 7

18 Departameto de Matemática, Estatística e Iformática Liceciatura em Matemática Modalidade a Distâcia 8 que dirigem carros e moto. Quatos motoristas há esse grupo? Quatos só dirigem carro? 07 Numa classe de 36 aluos temos: 9 jogam futebol, 5 jogam vôlei, 3 jogam basquete, jogam futebol e vôlei, 8 jogam vôlei e basquete, 8 jogam futebol e basquete e 4 praticam os três esportes. Determie: a) quatos aluos da classe ão praticam estes esportes? b) quatos praticam eatamete um destes esportes? c) quatos praticam eatamete dois desses esportes? 08 Um cojuto A tem 3 elemetos, A B tem 8 elemetos e A B tem 5 elemetos. Quatos elemetos tem B? 09 Num grupo de aiversários há 8 que cursam Egeharia, 0 que cursam Admiistração e 3 que cursam Egeharia e Admiistração. Quatos ão estão cursado Egeharia em Admiistração? 0 Num avião ecotravam-se passageiros dos quais 96 eram brasileiros, 64 homes, 47 fumates, 5 homes brasileiros, 5 homes fumates, 36 brasileiros fumates e 0 homes brasileiros fumates. Calcule: a) o úmero de mulheres brasileiras fumates; b) úmero de homes fumates ão brasileiros; c) úmero de mulheres fumates. Os 36 aluos de uma classe fizeram uma prova de 3 questões. Sabedo que 4 erraram todas as questões, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só acertaram a seguda, 7 só acertaram a terceira, 9 acertaram a primeira e a seguda, 0 acertaram a primeira e a terceira e 7 acertaram a seguda e a terceira, determie quatos acertaram as três questões. Feito eame de sague em um grupo de 00 pessoas, costatou-se o seguite: 80 delas têm sague com fator Rh egativo, 65 têm sague tipo O e 5 têm sague tipo O com fator Rh egativo. O úmero de pessoas com sague de tipo diferete de O e com fator Rh positivo é: a) 40 b) 65 c) 80 d) 0 e) 35 O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS. Quado os cojutos uméricos são estudados os íveis fudametal e médio temos a impressão que os mesmos foram criados a seguite ordem: aturais, relativos, racioais, irracioais, reais e compleos. Etretato, a realidade é outra. Os úmeros ão foram sedo criados essa ordem e sim foram surgido a medida que o homem buscou resolver situações de cuho cotidiao, comercial ou tecológico. Na idade media já se usava os úmeros compleos e o coceito de úmero real ão eistia. Ifelizmete essa discussão ão é o objetivo dessa disciplia. Os úmeros reais foram costruídos como coseqüêcia do movimeto deomiado Aritmização da Aálise da ecessidade que os matemáticos do século XIX setiram de 8

19 Uiversidade Estadual do Pará Cetro de Ciêcias Sociais e Educação fudametar o calculo diferecial e itegral em bases mais sólidas que a Geometria como até etão havia sido. Como coseqüêcia da Aritmização da Aálise surgiram varias costruções formais do cojuto dos úmeros reais e também o resultado que garate que o referido cojuto é um corpo ordeado completo, ou seja, o cojuto dos úmeros reais satisfaz as seguites propriedades: A) A adição de reais é comutativa, ( a + b = b + a, a, b R) ; A) A adição de reais é associativa, ((a+b) + c = a + (b +c), a, b, c R) ; A3) A adição de reais possui um elemeto eutro, ( 0 + a = a + 0 = a, a R) ; A4) A adição de reais possui elemeto simétrico; M) A multiplicação de reais é comutativa, ( a. b = b.a, a, b R); M) A multiplicação de reais é associativa, ( (a.b).c = a.(b.c), a, b, c R); M3) A multiplicação de reais possui um elemeto eutro, (.a = a. = a, a R); M4) Todo elemeto real diferete de zero possui um iverso multiplicativo; D) A multiplicação de reais é distributiva à adição.(a.(b +c) = a.b + a.c, a, b, c R). Que permitem juto com a relação de ordem atural e o aioma do completameto do cojuto dos úmeros reais fudametar a aalise matemática em bases sólidas. Vejamos agora algus resultados importates acerca do cojuto dos úmeros reais. Defiição : Dado um úmero real chamamos de módulo ou valor absoluto de ao úmero Proposição : Para todo e y pertecete a R vale. a) ; b). y. y; c) Se c 0, etão c se e somete se c c; d) y y e) y y; f) y y. ; 9

20 Departameto de Matemática, Estatística e Iformática Liceciatura em Matemática Modalidade a Distâcia QUESTÕES. Demostre que para todo e y pertecetes a R vale. a) ; b). y. y ; c) Se c 0, etão c se e somete se c d) c; y y e) y y; f) y y. ; 0. Demostre que a raiz quadrada de dois é um umero irracioal.. Demostre que 0, =.. Demostre que 0, aa...araa...ar... = a a...a r r 0 3. Demostre que b,ccc3...cs aa...araa...ar... = bc cc3...c s aa...a r - bcc... r s s 0 0 c s. Sabedo que um cojuto X R é deomiado deso em R quado para todo par de reais a e b com a meor que b é possível ecotrar X tal que a b. Demostre que: O cojuto dos úmeros iteiros ão é deso em R. O cojuto dos úmeros racioais é deso em R. O cojuto dos úmeros irracioais é deso em R. 3. Demostre que a adição de dois úmeros racioais é um umero racioal. 4. Demostre que o produto de dois úmeros racioais é um umero racioal. 5. Demostre que a adição de um úmero racioal com um úmero irracioal é um úmero irracioal. 6. Demostre que o produto de um úmero racioal por um úmero irracioal é um úmero irracioal. 7. Demostre que a adição de dois úmeros irracioais em sempre é um umero irracioal. 8. Demostre que a raiz quadrada de é irracioal. 9. Demostre que o produto de dois úmeros irracioais em sempre é um umero irracioal. 0

21 Uiversidade Estadual do Pará Cetro de Ciêcias Sociais e Educação FUNÇÕES REAIS. O coceito de fução sofreu muitas modificações ao logo do tempo. Hoje ele é um coceito cetral o edifício do cohecimeto matemático. Agora veremos algus coceitos e resultados importates acerca das fuções defiidas o cojuto dos úmeros reais. Defiição: Uma fução f é dita real se seu domíio é o cojuto dos úmeros reais ou um subcojuto dele e seu cotradomíio é o cojuto dos úmeros reais. Eemplo : A fução f : R Eemplo : A fução f : N Eemplo 3: A fução f : R + Eemplo 4: A fução f : R R com f() = + é uma fução real. R com f() = + é uma fução real. R com f() = + + é uma fução real. R com f() = e é uma fução real. FUNÇÕES ESPECIAIS. FUNÇÃO CONSTANTE. Defiição : Sejam A e B dois cojutos e b a toda fução f:a B tal que f() = b, A. B. Chamamos de fução costate de A em B IDENTIDADE. Defiição 3: Seja a um cojuto. Chamamos de fução idetidade de A à fução f:a B tal que f() =, A. FUNÇÃO ESCADA. Defiição 4: Chamamos de fução escada a toda fução f:a R em que o domíio A é a reuião de itervalos sedo f em cada itervalo costate. FUNÇÃO CARACTERÍSTICA. Defiição 5: Sejam A um cojuto e X um subcojuto de A. Chamamos fução característica de X em A a fução K X : A { 0,} dada por FUNÇÃO SINAL. Defiição 6: Chamamos de fução sial a fução sg: R Z defiida por

22 Departameto de Matemática, Estatística e Iformática Liceciatura em Matemática Modalidade a Distâcia TIPOS DE FUNÇÕES. FUNÇÃO INJETORA. Defiição 7: Uma fução f é dita ijetora se e somete se para todo vale f ( ) f ( ) Para demostrar que uma fução f é ijetora costuma -se mostrar que se f (a) = f (b) etão a = b. Eemplo: A fução f : R R com f() = + é ijetora pois, se f(a) = f(b) etão a += b +. Logo, a = b. O que garate a ijetividade de f. FUNÇÃO SOBREJETORA. Defiição 8: Uma fução f é dita sobrejetora se e somete se para todo y pertecete a R eiste um tal que f() = y. Ou seja, uma fução f é sobrejetora quado o seu cojuto imagem coicide com seu cotradomíio. Para demostrar que uma fução é sobrejetora costuma-se mostrar que dado y pertecete aos reais eiste um pertecete aos reais tal que y é imagem de pela fução. Eemplo: f : R R com f() = 3 4 é sobrejetora pois, para todo y R a equação 3-4 = y tem como solução = y 4 R e f () = y. 3 FUNÇÃO BIJETORA. Defiição 9: Uma fução f é dita sobrejetora se e somete se f é ijetora e sobrejetora. Eemplo: A fução f : R R com f() = 3 5 é ijetora. De fato, se f(a) = f(b) etão 3a 5 = 3b 5 o que implica em a =b. Logo, f é ijetora. Seja y R, etão a equação 3 5 = y tem como solução = sobrejetora. Portato, f é bijetora. y 5 e f() = y.logo, f é 3 FUNÇÃO PERIÓDICA. Defiição 0: Uma fução real f é dita periódica se e somete se eistir um úmero real positivo p tal que f() = f( + p) para todo R.

23 Uiversidade Estadual do Pará Cetro de Ciêcias Sociais e Educação Eemplo: A fução f :R R com f() = se é periódica pois se = se( + ) para todo R. FUNÇÃO PAR. Defiição : Uma fução real f é dita par se e somete se f() = f( -) para todo R. Eemplo: A fução f :R R dada por f() = é par pois, f(-)= FUNÇÃO IMPAR. ( )( ) ( )( ) = =f() Defiição : Uma fução real f é dita par se e somete se f(-) = -f( ) para todo R. Eemplo: A fução f :R * R dada por f() = ( f(-) = ( ) ) = - f(). é impar pois, FUNÇÕES MONÓTONAS. Defiição 3: Seja f uma fução real e I um itervalo de R cotido o domio de f. dizemos que f é uma fução moótoa em I se a mesma preserva o seu comportameto em I. Uma fução moótoa pode ser a) crescete em I se e somete se:, I, se etão f( ) f( ). b) decrescete em I se e somete se:, I, se etão f( ) f( ). c) estritamete crescete em I se e somete se:, I, se etão f( ) f( ). d) estritamete decrescete em I se e somete se:, I, se etão f( ) f( ). e) costate em I se e somete se:, I, f( ) = f( ). OPERAÇÕES COM FUNÇÕES. ADIÇÃO DE FUNÇÕES: Defiição4: Dadas duas fuções f: A R e G: A R com A R chamamos de adição de f e g a fução f+g: R R dada por (f+g)() = f() + g(). Proposição: A adição de fuções é comutativa. Proposição: A adição de fuções é associativa. MULTIPLICAÇÃO DE FUNÇÃO POR UM ESCALAR: Defiição 5: Dada uma fução f: A R e R com A R chamamos de multiplicação de f por a fução ( f): R R dada por ( f)() = f(). 3

24 Departameto de Matemática, Estatística e Iformática Liceciatura em Matemática Modalidade a Distâcia Proposição 3: Seja f uma fução real,, R etão ( + )f= ( f)+( f). Proposição 4: Seja f uma fução real,, R etão (. )f= ( ( f)). PRODUTO DE FUNÇÕES: Defiição 6: Dadas duas fuções f: A R e G: A R com A R chamamos de produto de f e g a fução (f.g): R R dada por (f.g)() = f(). g(). Proposição 5: O produto de fuções é comutativo. Proposição 6: O produto de fuções é associativo. Proposição 7: O produto de fuções é distributivo a adição de fuções. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES: Defiição 7: Dadas duas fuções f: A R e G: R R chamamos de composição de f com g a fução (g f): A R dada por (g f)() = g[f()]. Proposição 8: A composição de fuções é associativa. Proposição 9: A composição de fuções sobrejetoras é sobrejetora. Proposição0: A composição de fuções ijetoras é ijetora. Proposição: A composição de fuções bijetoras é bijetora. FUNÇÕES INVERSÍVEIS. Defiição8: Uma fução f: A R com A R é dita iversível se eistir uma fução g: R A tal que (g f)() = e (f g)() =. A fução g é idicada por f. As fuções f e f são ditas iversas. Proposição: Uma fução f: A B é iversivel se e somete se f é bijetora. Proposição 3: Se as fuções f: A B e g: B C são iversíveis etão g f:a C também é iversivel e (g f) - = f - g -. CONJUNTOS EQUIPOTENTES. Defiição9: Dois cojutos A e B tem a mesma potêcia se eistir uma bijeção etre eles. A otação para idicar que o cojuto A é equipotete ao cojuto B é a seguite: A ~ B. Com base a defiição de potecia de cojutos é fácil mostrar que a relação de equipotecia tem as seguites propriedades: - Para todo cojuto A, A ~A (propriedade refleiva); - Se A~B, etão B ~ A (propriedade simétrica); 3- Se A~ B e B ~ C, etão A ~ C (propriedade trasitiva). Defiição 0: Dizemos que todo cojuto equipotete ao cojuto dos úmeros aturais é um cojuto eumerável. Vejamos algus eemplos de cojutos eumeráveis. 4

25 Uiversidade Estadual do Pará Cetro de Ciêcias Sociais e Educação Eemplo : O cojuto dos úmeros pares é eumerável. Pois, a fução f: N Pares, dada por f()= é bijetora. Eemplo : O cojuto Z dos úmeros relativos é eumerável. De fato, a fução f: N Z dada por, se é ímpar, se é par é bijetora. O que mostra que N e Z são equipotetes. Defiição : Dois cojutos A e B são eqüipoletes se e somete se eiste uma fução f bijetora etre A e B. Proposição 4: Todo itervalo [ a, b] com b a é eqüipolete ao itervalo [0, ]. Demostração: Para mostrar que [0, ] é equipotete ao itervalo [a, b] é ecessário eibir uma fução bijetora etre os dois itervalos. Como a fução f : [0, ] [ a, b],dada por f() = a + ( b a ) é uma fução do primeiro grau,para todo a,b R e toda fução do primeiro grau é bijetora. Logo, podemos afirmar que [0,] é equipotete a qualquer itervalo [a, b] com a b. Proposição 5: Todo itervalo [ a, b[ com b a é eqüipolete ao itervalo [0, [. Proposição 6: Todo itervalo ] a, b] com b a é eqüipolete ao itervalo ]0, ]. Proposição 7: Todo itervalo ] a, b[ com b a é eqüipolete ao itervalo ]0, [. Prosposição 8: Os itervalos [0,] e ] 0, [ são equipotetes. Demostração: Seja o cojuto A = [0,] {0,, ½, /3,...},etão podemos cocluir que: [0,] = {0,, ½, /3,...} A. Como o cojuto A também pode ser defiido como sedo A = ]0,[ -{½, /3, ¼,...}, etão podemos cocluir que: ]0,[ = {½, /3, ¼,...} A. Agora cosideremos a seguite fução f :[0,] ]0,[ defiida pelo seguite diagrama. {0,, ½, /3,...} A {½, /3, ¼, /5...} A i A Aalisado o diagrama acima podemos epressar a fução f da seguite maeira: f: [0,] ]0,[ 5

26 Departameto de Matemática, Estatística e Iformática Liceciatura em Matemática Modalidade a Distâcia Como f é uma fução bijetora de [0,] em ]0,[, podemos cocluir que os itervalos [0,] e ]0,[ são equipotetes. Proposição 9 Os itervalos [0,] e [0,[são equipotetes. Proposição 0 Os itervalos [0,] e ]0,] são equipotetes. Proposição Todos os itervalos são equipotetes. Demostração: Como: [0,] ~ [a, b] pela proposição 4; [0,[ ~ [a, b[ pela proposição 5; ]0,[ ~ ]a, b[ pela proposição 6; ]0,] ~ ]a, b[ pela proposição 7; [0,] ~ [0, [ ~ ]0, [ ~ ]0, ] pelas proposições 8, 9 e 0 e pela trasitividade da relação de equipotecia. Etão, pela trasitividade da equipotecia podemos afirmar que [a, b] ~ [a, b[~ ]a, b[~ ]a, b[ para todo a b. Logo, todos os itervalos são equipotetes. Proposição Todo itervalo é equipotete ao cojuto dos úmeros reais. Demostração: Como todos os itervalos são equipotetes, para mostrar que todo que todo itervalo é equipotete ao cojuto R dos úmeros reais basta que seja eibida uma bijeção etre R e um itervalo. Como a fução f: R ], [ dada por f() = arctg, cujo gráfico que está esboçado abaio deia claro que a fução é uma bijeção de R em ],[, etão R é equipotete ao itervalo ],[. Teorema (Teorema de Cator): O cojuto dos úmeros reais é ão-eumerável. Demostração: Como R ~ [0, ], mostraremos que [0, ] ão é eumerável. Supohamos que [0, ] seja eumerável. Etão, [0, ] pode ser escrito da seguite forma: [0, ] = {,, 3,......}. Escrevedo,,...,,... sob a forma decimal, com um úmero iitado de algarismos, obtemos a seguite tabela: = 0,a a a 3... a... = 0, a a a 3... a... 3 = 0,a 3 a 3 a a = 0,a a a 3... a, ode a ij {0,,,..., 9}. 6

27 Uiversidade Estadual do Pará Cetro de Ciêcias Sociais e Educação Agora seja y [0, ] dado por y = 0,b b b 3... b..., ode É fácil otar que y ão costa da tabela acima. Logo [0,] é ão eumerável. Como [0, ] é equipotete a R, temos que R é ão eumerável. QUESTÕES - Demostre que duas circuferêcias de raios distitos tem a mesma quatidade de potos. - Demostre que os itervalos [0,] e [0,[são equipotetes. 7- A fução umérica f : [-, ] é par. Mostrar que f ão é bijetora. 8- Mostrar que a fução f : R R + tal que f() = + é sobrejetora 9- Mostrar que a fução f : Z + Z + assim 3- Demostre que os itervalos [0,] e ]0,] são equipotetes. defiida: sobrejetora e ão é ijetora. é 4- Sejam A e B cojutos fiitos com m e elemetos, respectivamete. Demostrar: () Se f : A B é um fução ijetora, etão m. () Se f: A B é uma fução sobrejetora, etão m. (3) Se f : A B é uma fução bijetora, etão m =. 0- Mostrar que a fução f : Z N defiida por f() = + ão é ijetora em sobrejetora. - Seja a fução f : Z + Z + Z + defiida por f(, y) = + y + 3. Determiar se a fução f é : (a) ijetora ; (b) sobrejetora. 5- A fução umérica f, defiida em R, é crescete em R. Mostrar que a fução umérica g defiida por g() = f( 3) é crescete em R. - Seja a fução f :Z R defiida por f() = Determiar se a fução f é: (a) ijetora ; (b) sobrejetora. 6- Seja f uma fução umérica periódica a de período. Mostrar que a fução umérica g defiida por g() = f( 3 ) é periódica. 3- Mostrar que a fução f : R {} R {} defiida por f() = /( ) é bijetora. 4- Mostrar que a fução f : ], [ R defiida por f () =. - 7

28 Departameto de Matemática, Estatística e Iformática Liceciatura em Matemática Modalidade a Distâcia LIMITES. A idéia de ite de uma fução pode ser cosiderada de maeira ituitiva e de maeira formal, ambas são importates para a compreesão desse coceito. Iiciaremos pelo coceito ituitivo e em seguida apresetaremos o coceito formal. O CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE. O gráfico abaio represeta uma fução. Observe-o um pouco. A observação do gráfico acima permite afirmar que: Quado tomamos valores de bem próimos de pela direita a imagem da fução tem valores bem próimos de 3; Quado tomamos valores de bem próimos de pela esquerda a imagem da fução tem valores bem próimos de 3; Quado tomamos valores de próimos bem de 4 pela direita a imagem da fução tem valores bem próimos de - ; Quado tomamos valores de próimos bem de 4 pela esquerda a imagem da fução tem valores bem próimos de 4; Quado tomamos valores de bem próimos de 5 pela direita a imagem da fução tem valores bem próimos de 3,5; Quado tomamos valores de próimos bem de 5 pela esquerda a imagem da fução tem valores próimos bem de -; Quado tomamos valores de próimos bem de 0 pela direita a imagem da fução decresce ifiitamete; Quado tomamos valores de próimos bem de 0 pela esquerda a imagem da cresce idefiidamete; 8

29 Uiversidade Estadual do Pará Cetro de Ciêcias Sociais e Educação Quado tomamos valores de bem próimos de - pela direita a imagem da fução tem valores bem próimos de -3; Quado tomamos valores de bem próimos de - pela esquerda a imagem da fução tem valores bem próimos de -3. Quado tomamos valores de bem próimos de pela direita e a fução toma valores bem próimos de 3. Dizemos que tede a pela direita e que a imagem fução tede a 3. Desse modo podemos afirmar que para a fução represetada pelo gráfico acima podemos afirmar que: Quado tede a pela direita a imagem da fução tede a 3. Quado tede a pela esquerda a imagem da fução tede a 3. Quado tede a - pela direita a imagem da fução tede a -3. Quado tede a - pela esquerda a imagem da fução tede a -3. Quado tede a 5 pela direita a imagem da fução tede a 3,5. Quado tede a 5 pela esquerda a imagem da fução tede a -. Quado tede a 4 pela direita a imagem da fução tede a -. Quado tede a 4 pela esquerda a imagem da fução tede a 4. Em liguagem mais formalizada a afirmação de que Quado tede a pela direita a imagem da fução tede a 3. É equivalete a afirmar que: O ite da fução quado tede a pela direita é 3. Assim, podemos afirmar que para a fução represetada pelo gráfico acima podemos afirmar que: O ite da fução quado tede a - pela direita é -3. O ite da fução quado tede a - pela esquerda é -3. O ite da fução quado tede a 5 pela direita é 3,5. O ite da fução quado tede a 5 pela esquerda é -. O ite da fução quado tede a 4 pela direita é -. O ite da fução quado tede a 4 pela direita é 4. O ite da fução quado tede a -5 pela direita é 0. O ite da fução quado tede a -5 pela direita é 0. Quado os ites de uma fução à direita e a esquerda de um poto são iguais dizemos que o ite da fução o poto eiste e é o valor para o qual o valor da fução tede. Quado os ites de uma fução à direita e a esquerda de um poto são diferetes dizemos que o ite da fução o poto ão eiste. Desse modo, temos que: O ite da fução represetada pelo gráfico o poto = é 3; O ite de fução represetada pelo gráfico o poto = -5 é 0; O ite da fução represetada pelo gráfico o poto = é 3; O ite da fução represetada pelo gráfico o poto = 4 ão eiste; O ite da fução represetada pelo gráfico o poto = 5 é ão eiste. 9

30 Departameto de Matemática, Estatística e Iformática Liceciatura em Matemática Modalidade a Distâcia Em liguagem simbólica a afirmação: O ite da fução f() quado tede a pela direita é 3. É represetada por: f() = 3. Em liguagem simbólica a afirmação: O ite da fução f() quado tede a pela é -3. É represetada por: f() = 3. Assim, temos que: f() = f()= 0. f() ão eiste. f() ão eiste. Como acabamos de ver, por meio do gráfico de uma fução é possível determiar o ite da mesma um 0 dado poto por observação do comportameto da imagem fução à direita e a esquerda de 0. Isso pode levar a idéia de que o coceito ituitivo de ite de uma fução é suficiete. Etretato, com o coceito ituitivo de ite ão é possível se perceber resultados muito importates acerca dos ites que são possíveis por meio de seu coceito mais formal. CONCEITO FORMAL. O coceito de ite é apresetado mais formalmete da seguite forma. Defiição: O ite de uma fução f() quado tede a 0 é L se e somete se para todo > 0 eistir um > 0 tal que, para todo, se 0 < 0 <, etão f() L <. Em símbolos temos: 0 f ( ) L > 0 eistir um > 0 tal que,, se 0 < 0 <, etão f() L <. Vejamos algumas propriedades do ite de uma fução. Proposição: Se f é uma fução defiida por f() = c etão f ( ) c, 0. Proposição: Se c e f ( ) L Proposição3: Se Proposição 4: Se f ( ) 0 f ( ) 0 L L e 0 etão g( ) M e g( ) 0 0 M 0 etão etão 0 c. f ( ) c. ( 0 ( 0 f 0 g)( ) f. g)( ) f ( ) c. L L M. L. M.. 30

31 Uiversidade Estadual do Pará Cetro de Ciêcias Sociais e Educação Proposição5: Se f ( ) 0 L e g( ) 0 M com M 0 etão 0 f g ( ) L M Teorema : O ite de uma fução poliomial f() = a 0 + a +a a quado tede a 0 é o valor de f() quado = 0, ou seja, f( 0 ). Teorema : ( Teorema do cofroto) Se f ) g( ) b e g()< h()< f() para todo etão h( ) 0 b. 0 ( 0 LIMITES INFINITOS. Defiição: Seja f uma fução, se quado tede a 0, f() cresce iitadamete dizemos que o ite de f() quado tede a 0 é + e represetamos por f ( ). Defiição: Seja f uma fução, se quado tede a 0, f() decresce iitadamete dizemos que o ite de f() quado tede a 0 é - e represetamos por f ( ). Defiição: Seja f uma fução defiida em [ a, + ) e L e quado cresce iitadamete a imagem de f se aproima de L, dizemos que o ite de f() quado tede a + é L e represetamos por f ( ) L. Defiição: Seja f uma fução defiida em (-, a] e L e quado decresce iitadamete a imagem de f se aproima de L, dizemos que o ite de f() quado tede a - é L e represetamos por f ( ) L. Defiição: Seja f uma fução defiida em e quado cresce iitadamete a imagem de f também cresce idefiidamete, dizemos que o ite de f() quado tede a + é + e represetamos por f ( ). Defiição: Seja f uma fução defiida em e quado decresce iitadamete a imagem de f também decresce idefiidamete, dizemos que o ite de f() quado tede a - é - e represetamos por f ( ). Defiição: Seja f uma fução defiida em e quado decresce iitadamete a imagem de f cresce idefiidamete, dizemos que o ite de f() quado tede a - é + e represetamos por f ( ). Defiição: Seja f uma fução defiida em e quado cresce iitadamete a imagem de f também decresce idefiidamete, dizemos que o ite de f() quado tede a + é - e represetamos por f ( ). Teorema: Se é um iteiro positivo, etão: i) 0; ii)

32 Departameto de Matemática, Estatística e Iformática Liceciatura em Matemática Modalidade a Distâcia Teorema: O ite de uma fução poliomial f() = a 0 + a +a a, com a 0, quado tede a + é igual ao valor do ite a ) e quado tede a - é igual ( ao valor do ite a ). ( Defiição: Chamamos de e ao ite da fução f() = tede a +, ou seja = e. defiida em N*, quado O úmero e é irracioal, trascedete, tem valor aproimado a, e muitos modelos de feômeos aturais o evolve-o. Teorema: Seja a fução f() = = e. Teorema: Seja a fução f() = = e. Teorema: Seja a fução f() = = e. 0 Teorema: (Do ite trigoométrico fudametal) defiida em { < -ou > 0}, etão defiida em { < -ou > 0}, etão defiida em { -< 0}, etão 0 se =. FUNÇÕES CONTÍNUAS. Defiição: Dizemos que uma fução f é cotíua em = 0 se, e somete se, caso cotrário dizemos que f é descotíua em = 0. 0 f ( ) f ( ) 0 Proposição: Se f e g são fuções cotíuas em = 0 etão a fução f + g é cotíua. Proposição: Se f e g são fuções cotíuas em = 0 etão a fução f - g é cotíua. Proposição: Se f e g são fuções cotíuas em = 0 etão a fução f.g é cotíua. Proposição: Se f e g são fuções cotíuas em = 0 com g( 0 ) cotíua. 0 etão a fução f/g é 3

33 Uiversidade Estadual do Pará Cetro de Ciêcias Sociais e Educação Proposição: Se a fução g é cotíua em 0 e a fução f é cotíua em g( 0 ) etão a fução composta fog é cotíua em 0. Teorema: Se f ( ) = L ode L 0 e N* ou L < 0 e é atural ímpar etão 0 0 f ( ) f ( ) 0 L. QUESTÕES Calcule os ites. ( -7+5) = ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) 0 0 ( ) = ( ) = ( ) = se5 se = 7 3 = = 3 5 se.se3.se5 3 = = = ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0 se se 4 0 se( se( se3 = 3 3 ( ) = 3 ( ) = 4) ( ) = = = ) = se5 = = 33

34 Departameto de Matemática, Estatística e Iformática Liceciatura em Matemática Modalidade a Distâcia 0) 5 ( 4) = 34

35 Uiversidade Estadual do Pará Cetro de Ciêcias Sociais e Educação DERIVADAS. O calculo diferecial tem sua origem a busca da solução de dois problemas: A determiação da reta tagete a uma curva; A determiação da variação istatâea de uma gradeza. Esses problemas foram resolvidos de maeira idepedete por Newto e Leibiz o século XVII. Vejamos a defiição de derivada de uma fução real um poto. Defiição: Seja f uma fução real defiida um itervalo I, chamamos de derivada de f o poto 0 ao ite fiito de f ( ) f ( ) 0 quado tede a 0. 0 df A derivada de uma fução o poto 0 é comumete idicada por f`( 0 ) ou ( 0 ) d Em símbolos a derivada de uma fução o poto 0 é dada por f`( 0 ) = Lim 0 f ( ) f ( 0 0 ) Fazedo 0 = h podemos reescrever a derivada de uma fução o poto 0 como f`( 0 ) = Lim f ( h) f ( ) 0 0. h 0 h Defiição: Uma fução f: I de f o poto. R é dita derivável em I para todo poto de I eiste a derivada A derivação tem uma relação muito iteressate com a cotiuidade que é epressa por meio do seguite teorema. Teorema: Toda fução derivável um poto é cotiua esse poto. Defiição: Seja f uma fução real defiida um itervalo I, chamamos de fução derivada de f a fução f `() dada por f ( h) f ( ) Lim. Ou seja, h 0 h f `() = Lim f ( h) f ( ) h 0 h Teorema: ( Derivada de soma)a derivada de uma soma é a soma das derivadas. 35

36 Departameto de Matemática, Estatística e Iformática Liceciatura em Matemática Modalidade a Distâcia Teorema: ( Derivada de uma fução multiplicada por uma costate)a derivada de uma fução multiplicada por uma costate ão ula é igual a costate multiplicada pela derivada da fução. Teorema: (Derivada de costate) A derivada de uma fução costate é zero. Teorema: (Derivada do produto) A derivada do produto de duas é igual ao produto da derivada da primeira fução pela seguda fução adicioado com o produto da primeira fução pela derivada da seguda fução. Teorema: (Derivada do quociete) A derivada do quociete de duas fuções é igual ao quociete etre a difereça da derivada de primeira fução multiplicada pela seguda fução com a primeira fução multiplicada pela derivada de seguda fução e o quadrado da seguda fução. Teorema: (Derivada da fução iversa) Seja y = f() uma fução derivável um itervalo I, com f`() sempre positiva ou sempre egativa etão a fução f - () iversa de f() é derivável e a derivada de fução f - () é dada por [f - ()]`= / f `(). Teorema: ( Derivada de fução composta ou regra da cadeia) Sejam f: I R e g: J R com f(i) J e f (c) um poto de J. Se f é derivável em c e g derivável e f(c) etão a fução composta gof : I R é derivável em c e sua derivada (gof)` é dada por (gof)` = g`(f(c)).f `( c). Teorema: ( Teorema de Fermat) Seja f: I R uma fução que é derivável em I. Se eistir um máimo local ou um míimo local de f em c I, etão f`(c)= 0. Teorema: ( Teorema de Rolle) Seja f: [a,b] R uma fução cotíua em [a,b]. supoha que f seja derivável em (a,b) e que f(a) = f(b), etão eiste um c (a,b) tal que f `(c) = 0. Teorema: ( Teorema do valor médio) Seja f: [a,b] supoha que f seja derivável em (a,b), etão eiste um c R uma fução cotíua em [a,b]. (a,b) tal que f `(c) = f ( b) f ( a). b a Teorema: ( Teorema de Rolle) Seja f: I = 0 I, etão f é costate em I. R uma fução cotíua o itervalo I tal que f`() Teorema: Seja f: (a,b) R uma fução derivável em (a,b), etão ) Se f `() > 0 para todo (a, b) etão f é crescete em (a, b); ) Se f `() < 0 para todo (a, b) etão f é decrescete em (a, b). Defiição: Seja f uma fução cotiua o itervalo [a,b] e derivável o poto c [a,b]. Dizemos que o gráfico de f tem cocavidade positiva em c se, e somete se, eiste um itervalo V cotedo c tal que, para todo V, os potos do gráfico de f estão acima da reta tagete á curva o poto c. 36

37 Uiversidade Estadual do Pará Cetro de Ciêcias Sociais e Educação Geometricamete quado o gráfico de uma fução tem a cocavidade positiva um itervalo sigifica que o gráfico está voltado para cima. Defiição: Seja f uma fução cotiua o itervalo [a,b] e derivável o poto c [a,b]. Dizemos que o gráfico de f tem cocavidade egativa em c se, e somete se, eiste um itervalo V cotedo c tal que, para todo V, os potos do gráfico de f estão abaio da reta tagete á curva o poto c. Geometricamete quado o gráfico de uma fução tem a cocavidade egativa um itervalo sigifica que o gráfico está voltado para baio. Teorema: Seja f uma fução derivável até a seguda ordem o itervalo (a,b). ) Se f ``()>0 para todo (a,b) etão f tem a cocavidade positiva em todo (a,b); ) Se f ``()<0 para todo (a,b) etão f tem a cocavidade egativa em todo (a,b). QUESTÕES ) Demostre que se f() = com - etão f `() = -. ) Demostre que se f() = a etão f `() = a la. 3) Demostre que se f() = e etão f `() = e. 4) Demostre que se f() = l etão f`() = /. 5) Demostre que se f() = cos etão f`() = - se. 6) Demostre que se f() = se etão f`() = cos. 7) Demostre que se f() = etão f`() =. 8) Demostre que o poto de máimo da fução f() = a + b +c é dado por = -b/a e y = - /4a ; 9) Demostre que se a > 0 etão a cocavidade da fução f() = a + b + c é voltada para cima. 0) Demostre que se a < 0 etão a cocavidade da fução f() = a + b + c é voltada para baio. ) Uma pedra é laçada verticalmete para cima. Sua altura h (metros) em relação ao solo, é dada por h = t 3 3t 9t +, ode t idica o úmero de segudos decorridos após o laçameto. Em que istate a pedra atigirá sua altura máima? ) Um móvel desloca-se sobre um eio de modo que sua abscissa s o istate t é dada por s = a. cos (y + l), sedo a,, l costates dadas. Determiar: a) istates e posições em que é máima a velocidade do móvel; b) istates e posições em que é míima a aceleração do móvel. 3) Um triagulo está iscrito uma semicircuferêcia de raio R. Seus lados medem a, b e R. Calcular a e b quado a área do triagulo é máima. 4) Um retâgulo de dimesões e y tem perímetros ª ( a é costate dada ). Determiar e y para que sua área seja máima. 5) Calcular o perímetro máimo de um trapézio que está iscrito uma semi-circuferêcia de raio R. 6) Calcular o raio da base e a altura do cilidro de volume máimo que pode ser iscrito uma esfera de raio R. 7) Calcular o raio da base e a altura do coe de área lateral máima que é iscritível uma esfera de raio R. 37