CARACTERIZAÇÃO DO CONJUNTO EQUILIBRADOR PARA GRAFOS COM GAP NULO

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1 CARACTERIZAÇÃO DO CONJUNTO EQUILIBRADOR PARA GRAFOS COM GAP NULO Maximiliao Pito Damas Programa de Egeharia de Produção Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro Lilia Markezo Núcleo de Computação Eletrôica Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro Nair Maria Maia de Abreu Programa de Egeharia de Produção Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro RESUMO O coceito de cojuto equilibrador surgiu com o objetivo de auxiliar a mauteção do equilíbrio a distribuição dos graus dos vértices de um grafo, sedo aplicado iicialmete aos grafos periplaares maximais Neste trabalho o coceito é estedido para grafos quaisquer Caracteriza-se o cojuto equilibrador para grafos que possuam grau médio com um valor iteiro Além disso, mostra-se como obter grafos ão-regulares que obedeçam a essa codição, para qualquer úmero de vértices Palavras-Chave: Cojuto equilibrador, grau médio, grafos regulares ABSTRACT The cocept of tuer set was coceived to aid maitaiig the balace of the vertex distributio of a graph It was iitially applied to maximal outerplaar graphs I this work, the cocept is exteded to graphs i geeral A tuer set is characterized for graphs that have iteger average degree Furthemore, it is show how to obtai, for ay umber of vertices, o-regular graphs that satisfies that coditio Keywords: Tuer set, average degree, regular graphs INTRODUÇÃO A idéia de se utilizar uma estratégia de mauteção do equilíbrio a distribuição dos graus pelos vértices de um grafo foi itroduzida por Rodrigues [R97], ode foi defiido o coceito de cojutos equilibrador aplicado aos grafos periplaares maximais (maximal outerplaar graphs ou mops) Já em Moraes, Abreu e Jurkiewicz [MAJ0] a defiição de cojutos equilibrador foi estedida e aplicada aos grafos com desidade homogêea as classes (a,b)-lieares No presete trabalho é apresetado uma defiição de cojutos equilibrador para um grafo qualquer, com base em propriedades especiais decorretes dos graus dos vértices do grafo e uma caracterização de cojuto equilibrador para uma classe de grafos Seja G um grafo simples com vértices e m arestas e, para todo i, i, cosidere d(v i ) o grau do vértice v i em G Coforme Diestel [D00], a média dos graus dos vértices de G, dada por

2 dg ( ) i dv ( ) é chamada grau médio de G Coseqüetemete, 0 d(g) Em geral, d(g) é um úmero real, ão ecessariamete iteiro, o que motivou Rodrigues [R97] a defiir cad (ceillig average degree grau teto médio) de G como o meor iteiro que cotém o grau médio de G, ou seja, cad(g) d(g) Um cojuto equilibrador de um grafo G é um subcojuto de vértices de G cujos respectivos graus são iferiores ao cad(g) e são capazes de compesar a existêcia de vértices cujos graus sejam superiores ao cad(g) Assim, é possível observar as características estruturais de um grafo em relação à distribuição dos graus de seus vértices em toro do grau médio, utilizado-se o valor iteiro dado pelo cad de G Observado a defiição de grau médio e do cad de um grafo, percebe-se que quado d(g) ão for um valor iteiro, a difereça etre d(g) e cad(g) implicará a defiição de gap de G, dada por ( d( G)) Esse valor idica quatos graus são ecessários para se ter dg ( ) cadg ( ), o que equivale a determiar quatas arestas podem ser adicioadas ao grafo G de modo que a codição de igualdade seja satisfeita Um exemplo trivial de grafos que satisfazem essa codição são os grafos regulares Na Figura é apresetado um grafo ão-regular G com 4 vértices e m 4 arestas Aplicado-se a equação (), obtém-se d(g) 2 e como d( G), chega-se a d( G) 2 i () Figura Um grafo G ão-regular com grau médio igual ao cad de G Nas próximas seções uma caracterização de cojutos equilibrador para grafos ode dg ( ) cadg ( ) é apresetada A Seção 2 apreseta um breve cojuto de defiições ecessárias à determiação de cojutos equilibrador de um grafo Na seção seguite é apresetado um teorema de caracterização de cojutos equilibrador para todos os grafos que possuem dg ( ) cadg ( ) Fialmete, a Seção 4, um algoritmo é descrito para costrução de grafos ão-regulares com valores do cad iguais aos respectivos graus médios Na Seção 5 são apresetadas algumas cosiderações fiais e perspectivas de trabalhos futuros 2 CONJUNTO EQUILIBRADOR Sejam Y V(G) e v j Y Dado que para j, tem-se que 0 d(v j ), etão i, 0 i, tal que d(v j ) i Desta forma é possível otar ω Y (i) como o úmero de vértices em Y cujo grau é igual a i Quado Y V(G) usa-se ω(i) ao ivés de ω V(G) (i) Como a soma dos graus dos vértices de G é o dobro do úmero de arestas, etão é possível tomar 2 m i ω( i) O valor total da perda que se tem a soma total dos graus ao se cosiderar a difereça etre o grau médio e o cad de G pode ser traduzido pelo gap de G dado por hg ( ) ( cadg ( ) dg ( )) Assim, de () e (2) chega-se a seguite expressão para o gap de G i (2) 2320

3 hg ( ) cadg ( ) i ω( i) Dado que, o cad de G e o subtraedo em (22) são úmeros iteiros, tem-se que o gap de G é também iteiro Na Figura 2, o grafo G com 7 vértices e m 9 arestas tem grau médio d(g) 2,57 e o cad(g) 3 Utilizado-se (22), chega-se ao gap de G igual a h(g)3 i (22) Figura 2 Um grafo G com cad(g)3 e h(g)3 Para algumas famílias de grafos os valores de cad(g) e de h(g) são cohecidos Por exemplo, as árvores com úmero de vértices > 2, cad(g) 2 e h(g) 2; os grafos periplaares maximais com > 6 vértices, cad(g) 4 e h(g) 6 e, os grafos plaares maximais com > 2 vértices, cad(g) 6 e h(g) 2 Um vértice x é ajustado em G quado seu grau d(x) é igual ao cad de G, ou seja, d(x) cad(g) O cojuto desses vértices, A {v V(G) d(v) cad(g)}, é chamado cojuto dos vértices ajustados de G, equato U {v V(G) d(v) > cad(g)} é o cojuto dos vértices superiores de G e L {v V(G) d(v) < cad(g)} é o cojuto dos vértices iferiores de G Coseqüetemete, U + A + L Além disso, se U, A e L são simultaeamete ão vazios, esses cojutos determiam uma partição de V(G) G é um grafo ão-ajustado quado U, caso cotrário G é um grafo ajustado Os grafos regulares são exemplos triviais de grafos ajustados Nesse caso, além de U, tem-se L No etato, há grafos ajustados que são ão-regulares como se pode ver a Figura 22, que mostra um grafo ajustado e ão-regular com U e L Um outro exemplo de grafos ajustados e ãoregulares são os camihos, ode os vértices das extremidades compõem o cojuto dos vértices iferiores equato os demais vértices são todos ajustados Figura 22 Grafo ajustado ão-regular Seja U V(G) o cojuto ão-vazio dos vértices superiores de G e L, o cojuto dos vértices iferiores de G Se existir B, B L, tal que a seguite equação se verifique: du ( ) + db ( ) b B, (23) U + B 232

4 diz-se que G possui um cojuto equilibrador B ou que U determia um cojuto equilibrador B em G Um cojuto equilibrador B é de ordem k se B k e tem-se que k L ; quado B L, B é o cojuto equilibrador trivial de G Um grafo qualquer pode ter mais de um cojuto equilibrador e, mais que isto, há distitos cojutos equilibrador com a mesma ordem Um cojuto de vértices B que satisfaça à equação (23) e que esteja estritamete cotido em L, ou seja, B L, é chamado cojuto equilibrador ão-trivial ou próprio de G Para ilustrar isso, retore ao grafo da Figura 2 Esse grafo tem cad(g) 3, o que determia os respectivos cojutos dos vértices superiores, ajustados e iferiores, U {v 5 }, A {v 7 } e L {v, v 2, v 3, v 4, v 6 } A partir de (23) e do subcojuto de vértices B {v, v 3 }, é possível verificar que B é um cojuto equilibrador de G Para isso é suficiete costatar que o somatório dos graus dos vértices de B é igual a 3 e aplicar (23) para obter as implicações: Há outros subcojutos de vértices de L que também podem ser cojuto equilibrador Todavia, em todo subcojuto de L é um cojuto equilibrador de G Por exemplo, procededo-se de maeira aáloga ao caso aterior, prova-se que B 2 {v 2, v 4, v 6 } também é um cojuto equilibrador de G, equato B 3 {v, v 3, v 6 } ão o é Nem todo grafo possui cojuto equilibrador Esse é o caso do grafo da Figura 23 cujo valor do cad de G é igual a 4 Os cojutos dos vértices superiores, ajustados e iferiores são, respectivamete, os seguites: U {v 5 }, A {v, v 2, v 3, v 4 } e L {v 6, v 7, v 8 } Da equação (23) chega-se a 4 B db ( ) Para este grafo, ota-se que ão existe um subcojuto dos vértices iferiores que satisfaça a equação (24) Logo ão existe cojuto equilibrador para este grafo b B (24) Figura 23 Um grafo G ão-ajustado que ão possui cojuto equilibrador 3 CONJUNTO EQUILIBRADOR PARA GRAFO COM GAP NULO A partir dos coceitos apresetados as seções ateriores surge o resultado a seguir apresetado, que caracteriza os grafos de gap ulo Teorema 3 Seja G um grafo qualquer, L o cojuto dos vértices iferiores de G e B um cojuto equilibrador de G Tem-se que h(g) 0 se e somete se G possui um úico cojuto equilibrador B tal que B L Prova Seja G um grafo qualquer tal que B seja um cojuto equilibrador de G, U o cojuto dos vértices superiores, A o cojuto dos vértices ajustados e L o cojuto dos vértices iferiores ( ) Supoha que h(g) 0 De (22) tem-se i ω( i) i ω (3) i i ( i) 2322

5 É preciso primeiro verificar se G possui um cojuto equilibrador B Se isso ocorrer, a equação (23) precisa ser satisfeita, ou seja, é preciso determiar um cojuto B que a satisfaça Da defiição dos subcojutos U, A e L de V(G), tem-se i ω( i) du ( ) + da ( ) + dl ( ) i a A l L Para o caso em que A, o resultado é trivial Seja A Dado que A é o cojuto dos vértices ajustados, Assim, chega-se a da ( ) a A A da ( ) du ( ) + da ( ) + dl ( ) A U + A + L a A a A l L Através de simples maipulação algébrica, lembrado que por hipótese h(g) 0 e usado ovamete (33), chega-se a du ( ) + dl ( ) b B U + L Assim, para um grafo qualquer G, tem-se que se h(g) 0 etão B L, e é úico ( ) Supoha que B L seja o úico cojuto equilibrador de G De acordo com a equação (23) tem-se que du ( ) + dl ( ) l L U + L Para A, A 0 e, assim, é possível iserir a parcela referete ao cojuto ajustado A o somatório do umerador e deomiador da equação (36), resultado em du ( ) + da ( ) + dl ( ) a A l L cadg ( ) dg ( ), U + A + L o que implica diretamete em se ter h(g) 0 Para A etão A 0 Supoha, este caso, h(g) 0 Assim, da defiição de gap, d( G) > 0 Porém, para os vértices ajustados tem-se que da ( ) dg ( ) 0 A > Da defiição de d(g) e dado que du ( ) + da ( ) + dl ( ) 2 m a A a A l L a A, tem-se: (32) (33) (34) (35) (36) (37) da ( ) E desta forma, A (38) 2323

6 da ( ) du ( ) + da ( ) + dl ( ) a A a A l L > 0 A Com simples maipulação algébrica chega-se a: da ( ) du ( ) + dl ( ) > A ( A ) a A l L Da defiição de vértices ajustados sabe-se que desigualdade (30) chega-se a > a A du ( ) + dl ( ) l L ( A ) (39) (30) da ( ) Aplicado-se esse valor a A 0 Porém: ( A ) U + L e, coseqüetemete, du ( ) + dl ( ) l L > (3) U + L A desigualdade (3) cotraria (36) Logo, para um grafo qualquer G quado B L etão h(g) Na próxima seção será descrito um método para geração de grafos ão-ajustados com gap ulo 4 GERAÇÃO DE GRAFOS NÃO-AJUSTADOS COM GAP NULO O Teorema 3 caracteriza os grafos com gap ulo como aqueles possuem apeas o cojuto equilibrador trivial Nesta seção será mostrado como costruir grafos que possuam tal característica O Lema 4 itroduz uma propriedade que será utilizada a geração Lema 4 Seja G um grafo qualquer Tem-se que h(g) 0 se e somete se o somatório dos graus de G for múltiplo do úmero de vértices de G Prova Seja G um grafo qualquer, ode é o úmero de vértices e m o úmero de arestas ( ) Seja h(g) 0 Da defiição (22), obtém-se: 2 m 0 cadg ( ) 2 m cadg ( ) (4) 2 m Pela defiição de cad(g) sabe-se que (42) Comparado (4) e (42) coclui-se que 2m é múltiplo de Logo se h(g) 0 etão o somatório dos graus de G é múltiplo do úmero de vértices de G ( ) Supoha que o somatório dos graus de G é múltiplo do úmero de vértices de G Logo temse que 2m é múltiplo de e obviamete 2m é um úmero iteiro Assim, como por defiição 2 m dg ( ) e d( G), etão 2 m De (22) obtém-se que: 2324

7 2 m hg ( ) 2 m hg ( ) 2 m 2 m hg ( ) 0 Logo se o somatório dos graus de G é múltiplo do úmero de vértices de G etão h(g) 0 Deseja-se obter grafos coexos ão-ajustados que teham gap ulo e que, por coseguite, possuam, cada um deles, somete cojuto equilibrador trivial O algoritmo que será descrito a seguir garate que sempre existem tais grafos para um úmero de vértices maior do que 3 O algoritmo baseia-se o Lema 4 e costrói grafos coexos com vértices ão-ajustados que possuam gap ulo Esse algoritmo ão se aplica para valores de iguais a 2 e 3, dado que ão é possível criar grafos com essas codições para esses valores Para 2 e 3, os grafos que satisfazem à codição de gap ulo são o K 2 e o K 3, que, por serem completos, são regulares e, portato, ajustados Dado um valor de o algoritmo etão se propõe a ecotrar grafos com as características desejadas para valores do cad variado de 2 até 2 A variação do cad é determiada pela variável cad_do_grafo O valor míimo igual a 2 deve-se ao fato de que o úico grafo de gap ulo com cad igual a é o K 2 Já o limite máximo de 2 deve-se à verificação que o grafo de gap ulo com cad igual a é o K, que aturalmete é ajustado A partir do valor de cad_do_grafo é possível determiar qual é o úmero exato de arestas m 2 m Sabe-se que Pelo Lema 4, tem-se que um grafo possui gap ulo se e somete se 2m é múltiplo de, logo cad _ do _ grafo * (43) m 2 O grafo desejado existirá se o valor de m for iteiro Quado o valor de for um úmero par é possível ecotrar grafos para todos os valores de cad_do_grafo, pois o valor de m sempre será iteiro Já quado for ímpar, só será possível ecotrar grafos para os valores pares de cad_do_grafo O algoritmo pode ser divido em quatro etapas pricipais, repetidas para cada valor de cad_do_grafo: Passo : calcular o valor de m através de (43) Se m é um úmero iteiro, o algoritmo cria um ovo grafo G, com vértices, ode cada vértice é rotulado como v i, para i, e vai para o passo 2 Caso cotrário reiicia-se o passo e calcula-se o valor de m para o próximo valor de cad_do_grafo Passo 2: criar um camiho v, v 2, v 3,, v -, v em G, para garatir que G seja coexo Além disso, atribui-se a variável cotador_arestas o valor, correspodete à quatidade de arestas acrescetadas ao grafo Passo 3: percorrer o cojuto de vértices, ordeadamete, v, v 2,, v, e para cada v i adicioarse ovas arestas (v i,v j ), para i < j, de forma que seja esgotado o úmero máximo de arestas icidetes a v i, respeitado o limite imposto pelo valor de m já calculado o passo de iicialização Ao fial deste passo tem-se que G é um grafo ão-ajustado, pois, pela maeira como as arestas são iseridas, sempre existirão vértices com grau maior do que o valor de cad_do_grafo Passo 4: Acrescetar o grafo G obtido a um cojuto de grafos solução Voltar ao passo 2325

8 As três primeiras etapas garatem que os grafos obtidos possuam gap ulo (passo ), sejam coexos (passo 2) e ão-ajustados (passo 3) A seguir é apresetada a descrição detalhada do algoritmo Algoritmo: Obteção de cojutos de grafos coexos ão-ajustados com gap ulo Etrada Um úmero iteiro > 3, correspodete ao úmero de vértices do grafo que se deseja obter Saída Um cojuto H formado por grafos coexos ão-ajustados com vértices e que possuam gap ulo Iício H ; p ; Para cad_do_grafo 2 até ( 2) faça cad _ do _ grafo * mp ; 2 Se (m p for um úmero iteiro) etão Criar um grafo G p com vértices ode cada vértice é rotulado com v i, i ; Para i até ( ) faça Adicioar a aresta (v i, v i+ ) em G p ; Fim_Para; cotador_arestas ; i ; j 3; Equato (cotador_arestas < m k ) faça Se (d(v i ) ) etão i i + ; j i + 2; Fim_Se; Adicioar uma aresta (v i, v j ) em G p ; j j + ; cotador_arestas cotador_arestas + ; Fim_Equato; H H G p ; p p + ; Fim_Se; Fim_Para; retore H; Fim Nas duas figuras que se seguem são apresetadas soluções obtidas pelo algoritmo para valores distitos de Na Figura 4, tem-se os grafos obtidos pelo algoritmo quado igual a 7 Como é ímpar ão foi possível costruir grafos para cad(g) 3 e 5 A Figura 42, tem-se os grafos obtidos quado igual a 6 Figura 4 Grafos coexos, ão-ajustados e com gap ulo, quado 7 vértices 2326

9 Figura 42 Grafos coexos, ão-ajustados e com gap ulo, quado 6 vértices 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS A defiição de cojutos equilibrador de um grafo foi aqui itroduzida para grafos em geral e, baseado-se ela, foi possível caracterizar um grafo ão-ajustado com gap ulo como aquele cujo cojuto equilibrador é úico e trivial Uma classe desses grafos foi costruída Uma proposta de estudo iteressate seria caracterizar cojutos equilibrador para grafos de famílias cohecidas como árvores, mops ou aida grafos plaares maximais Certamete, essa forma de determiar características dos grafos pela distribuição dos graus de seus vértices pode ser útil uma abordagem estatística para os grafos, possivelmete de iteresse em grafos aleatórios, que os dias atuais, tem vasta aplicação em redes 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [D00] DIESTEL, R, Graph Theory, Spriger-Verlag, 2000 [MAJ0] PE Moraes, NMM Abreu, S Jurkiewicz, Graphs with homogeous desity i (a,b)-liear classes, Cogressus Numeratium 5 (200), [R97] RMND Rodrigues, Grafos Periplaares Maximais: Seqüêcia de Graus Hamiltoiaa e Maxregularidade, Tese de Doutorado, COPPE/UFRJ,