CT-234. Estruturas de Dados, Análise de Algoritmos e Complexidade Estrutural. Carlos Alberto Alonso Sanches

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1 CT-234 Estruturas de Dados, Aálise de Algoritmos e Complexidade Estrutural Carlos Alberto Aloso Saches

2 CT-234 4) Árvores balaceadas AVL, Rubro-Negras, B-Trees

3 Operações em árvores biárias de busca Numa árvore biária de busca, também costuma haver operações de iserção e de elimiação de dados. Iserção igêua : São realizadas comparações a partir da raiz, descedo-se à esquerda ou à direita, até ecotrar uma posição vaga. Elimiação igêua : Iicialmete, é preciso ecotrar o ó a ser elimiado. Se for uma folha, basta retirá-la. Se tiver um úico filho, este filho ocupará o seu lugar. Se tiver dois filhos, será ecessário trocá-lo com o descedete mais à esquerda da sua sub-árvore direita (ou com o descedete mais à direita da sua subárvore esquerda). A realização aleatória dessas operações pode gerar árvores biárias de busca com formatos muito variados, comprometedo a eficiêcia das futuras operações...

4 Necessidade de balaceameto Uma árvore biária de busca com iserções e elimiações aleatórias ão garate acesso em tempo logarítmico: Essas operações podem desbalaceá-la. A árvore pode degeerar uma lista ligada, ode a busca passa a gastar tempo liear o pior caso. Balaceameto das árvores biárias de busca: Evitam esses casos degeerados. Garatem tempo logarítmico em todas as operações. Requerem algoritmos mais elaborados para iserção e elimiação. De modo geral, os ós das árvores balaceadas armazeam mais iformações. Dois cohecidos modelos: árvores AVL e rubro-egras.

5 Árvores AVL Autores: Adelso-Velskii e Ladis (1962) Foi o primeiro modelo de balaceameto proposto para árvores biárias de busca. Exigêcias para as sub-árvores de cada ó: Difereça de alturas ão pode exceder 1 Pode ser matida sem oerar o tempo das operações Garate altura logarítmica para a árvore Defiição: uma árvore AVL é uma árvore biária de busca em cujos ós as alturas das sub-árvores diferem o máximo de uma uidade.

6 Árvores AVL Iserção do e 8 desbalaceados Após cada iserção ou elimiação, é ecessário verificar o balaceameto de todos os ós da árvore

7 Iserção em árvores AVL Após uma iserção, somete podem ficar desbalaceados os ós do camiho da raiz até esse ovo ó. Nesse camiho, é preciso ecotrar o ó mais profudo (de maior ível) o qual ocorreu desbalaceameto. Veremos que basta rebalacear esse ó! Supodo que X seja esse ó, possíveis casos a serem aalisados: a) árvore esquerda do filho esquerdo de X b) árvore direita do filho esquerdo de X c) árvore esquerda do filho direito de X d) árvore direita do filho direito de X Casos simétricos: a e d (caso 1); b e c (caso 2).

8 Caso 1: rotação simples k2 k1 k1 k2 C B A B C A k2 é ó mais profudo que sofreu desbalaceameto Sua sub-árvore esquerda ficou 2 íveis abaixo da direita B ão está o mesmo ível de A (pois k2 estaria desbalaceado ates da iserção) B ão está o mesmo ível que C (pois k1 seria o ó mais profudo)

9 Exemplo A k1 k2 8 C B 16 A k1 4 2 k B 10 C 1 A árvore resultate é AVL k1 e k2 ficam balaceados A altura da árvore resultate é igual à da árvore aterior à iserção A troca de poteiros pode ser feita em tempo costate O ó k2 pode ser ecotrado em tempo proporcioal à altura da árvore

10 Caso 2 k2 k1 k1 k2 D A A Q Q D Uma rotação simples ão resolveria o desbalaceameto A sub-árvore Q, que está a 2 íveis de difereça de D, passaria a estar a 2 íveis de difereça de A

11 Caso 2: rotação dupla k2 k3 k1 k1 k2 k3 D A A B C D B C Uma (e somete uma) das sub-árvores B ou C está 2 íveis abaixo de D k3 ficaria a raiz As ovas posições de k1, k2 e das sub-árvores respeitam a ordeação A altura da árvore resultate é igual à da árvore aterior à iserção

12 Exemplo k1 k2 8 D k1 k3 6 k A 2 6 k3 A 2 5 B C 10 D B 5 C Essa rotação dupla correspode a 2 rotações simples Etre k1 e k3 Etre k2 e k3 Também pode ser feita em tempo costate

13 Elimiação em árvores AVL A elimiação de um ó uma árvore AVL é, iicialmete, aáloga à que ocorre uma árvore biária de busca. Como foi cometado, essa técica pode provocar desbalaceametos a árvore. O rebalaceameto começará o ó mais profudo que, após a elimiação, perdeu a propriedade AVL. Do modo semelhate às iserções, será preciso verificar três pares de casos.

14 Casos de rotação simples Nos dois esquemas abaixo, como a elimiação ocorreu a sub-árvore C, bastará realizar uma rotação simples: k2 k1 k2 k1 k1 k2 k1 k2 ou C C A C B A B C A B B A No segudo esquema, a sub-árvore resultate dimiuiu de altura (uma uidade). Por isso, também será preciso realizar um evetual rebalaceameto o pai de k1. Isso pode cotiuar até a raiz... Há também os correspodetes casos simétricos a esses esquemas (C é iicialmete a sub-árvore esquerda de k2).

15 Casos de rotação dupla No esquema abaixo, B ou C podem ter altura meor (uma uidade). Como a elimiação ocorreu a sub-árvore D, será preciso realizar uma rotação dupla: k2 k3 k1 k1 k2 k3 D A A B C D B C A sub-árvore resultate dimiuiu de altura (uma uidade). Por isso, também será preciso realizar um evetual rebalaceameto o pai de k3. Isso pode cotiuar até a raiz... Há também o caso simétrico, ode D é iicialmete a subárvore esquerda de k2 e k3 é filho esquerdo de k1.

16 Altura de árvores AVL Seja (h) o úmero míimo de ós de uma árvore AVL com altura h. Sabemos que (0)=1 e (1)=2. Para h>1, essa árvore AVL míima será formada pela raiz, por uma sub-árvore de altura h-1 e por outra sub-árvore de altura h-2. Portato, (h) = 1 + (h-1) + (h-2), para h>1. Como (h-1) > (h-2), sabemos que (h) > 2.(h-2). Repetido: (h) > 2.(h-2) > 2.(2.(h-2-2)) = 4.(h-4) (h) > 4.(h-4) > 4.(2.(h-4-2)) = 8.(h-6) Geeralizado: (h) > 2 i.(h-2i), para i>0.

17 Altura de árvores AVL (h) > 2 i.(h-2i), para i>0. Cosideremos o caso h-2i = 1, ou seja, i = (h-1)/2: (h) > 2 (h-1)/2.(1) (h) > 2.2 (h-1)/2 (h) > 2 (h+1)/2 lg (h) > (h+1)/2 h < 2.lg (h) 1 Lembrado: (h) é o úmero míimo de ós de uma árvore AVL com altura h. Portato, h = O(log ): a altura de uma árvore AVL é de ordem logarítmica em relação ao seu úmero de ós. Desse modo, os algoritmos de iserção, de elimiação e de busca a árvore AVL são logarítmicos!

18 Altura de árvores AVL Por outro lado, é fácil verificar que (h) = F(h+3)-1, ode F(h) é o h-ésimo úmero de Fiboacci. Mais precisamete, sabe-se que h < 1,44.lg (+2), ode h é a altura e é o úmero de ós de uma árvore AVL, ou seja, o pior caso tem um fator multiplicativo pequeo. Em 1998, Kuth mostrou que, para grade, a altura média de uma árvore AVL é lg + 0,25.

19 Implemetação Vimos que, as árvores AVL, iserções e elimiações gastam, o pior caso, tempo proporcioal à altura da árvore, que por sua vez é limitada pelo logaritmo do úmero de ós. Na sua implemetação, o que seria preciso acrescetar à estrutura de dados? Em cada ó, basta acrescetar uma flag de três valores (-1, 0 ou 1) que idica a difereça etre as alturas das suas sub-árvores.

20 Árvores rubro-egras As árvores rubro-egras (Guibas e Sedgewick, 1978) são árvores biárias de busca balaceadas segudo um critério diferete do usado as árvores AVL. Todos os ós (iclusive os ulos!) têm cor vermelha ou preta: 1) A raiz e os ós ulos são pretos. 2) Se um ó é vermelho, etão seus filhos são pretos. 3) Todos os camihos de um ó até qualquer ó ulo percorrem um úmero idêtico de ós pretos (é a altura egra desse ó). Em cada sub-árvore rubro-egra, cosidere que a folha mais próxima e a folha mais distate de sua raiz teham distâcias p e d, respectivamete, ode p d. As codições acima asseguram que d 2p.

21 Árvores rubro-egras Defiição: a altura egra de um ó x, desigada por a(x), é o úmero de ós pretos abaixo dele em qualquer camiho até um ó ulo. Exemplo:

22 AVL x rubro-egras Ambas estruturas toleram um certo desbalaceameto em cada ó da árvore: AVL Rubro-egras h-1 h h 2h Em ambos os casos, essa tolerâcia é de simples mauteção, e garate relação logarítmica etre altura e úmero total de ós.

23 Árvores rubro-egras Lema 1: Numa árvore rubro-egra, a sub-árvore eraizada em um ó x tem o míimo 2 a(x) 1 ós ão ulos. Prova por idução: Para a árvore com apeas uma folha (por ser a raiz, será preta): = 1 ó ão ulo. Caso geérico: ó x ão-termial Um filho de x, se for vermelho, terá altura egra a(x); se for preto, terá altura egra a(x) 1. Portato, pela hipótese de idução, cada sub-árvore de x terá, o pior caso (isto é, quado os dois filhos de x forem pretos), 2 a(x) 1 1 ós ão ulos. Logo, a sub-árvore eraizada em x terá o míimo 2(2 a(x) 1 1) + 1 = 2 a(x) 1 ós ão ulos.

24 Árvores rubro-egras Lema 2: Uma árvore rubro-egra com ós ão ulos tem o máximo altura 2.lg ( + 1). Prova: Se uma árvore rubro-egra tem altura h, a altura egra da raiz será o míimo h/2 (pois todo ó vermelho tem filho preto). Portato, pelo lema aterior, a árvore terá 2 h/2 1 ós ão ulos, de ode segue o Lema 2. Isso permite a realização das operações de busca, iserção e elimiação uma árvore rubro-egra em tempo O(log ), desde que suas propriedades sejam matidas.

25 Iserção em árvores rubro-egras Ao cotrário das árvores AVL, agora é preciso ajustar outro critério: as cores dos ós. Se um ó x for iserido uma árvore vazia, ele será a raiz. Portato, deverá ser preto. Caso cotrário, ao iserir um ó x uma posição vazia da árvore (isto é, o lugar de um ó ulo), ele será pitado de vermelho para tetar ão alterar a altura egra dos seus atecessores. p 1 p 1 x 1 Mas é preciso verificar o que acotecerá com p, pai de x...

26 Iserção em árvores rubro-egras [Caso 1] Se o ó p for preto, ada mais precisa ser feito. [Caso 2] Por outro lado, se p for vermelho (logo, ão será a raiz), o ó a, pai de p e avô de x, será preto. Se houver um ó t vermelho, irmão de p e tio de x, etão serão modificadas as cores de a, t e p. t a 1 p 1 t a 2 p 1 Se o pai do ó a for vermelho, o rebalaceameto cotiuará, seguido o mesmo algoritmo. x 1 x 1 Se esse processo chegar até a raiz, basta trocar sua cor (de vermelho para preto).

27 Iserção em árvores rubro-egras [Caso 3] Fialmete, se ão houver um ó t vermelho, será preciso fazer rotações evolvedo a, t, p e x. Há 4 subcasos (que são simétricos, 2 a 2). [Caso 3a] Rotações simples: x p a t x p a t t a p x t a p x

28 Iserção em árvores rubro-egras [Caso 3b] Rotações duplas: t a x p t a x p p a x t p x a t Não é preciso cosiderar o caso de t como folha preta. Por quê?

29 Exercício Pesquisar os algoritmos de elimiação em árvores rubro-egras e comprovar que também gastam tempo O(log ). Importate: repare que, a implemetação de uma árvore rubroegra, é suficiete que cada ó armazee a sua cor (ou seja, basta uma simples flag booleaa).

30 Quado covém utilizar essa estrutura? As árvores biárias de busca balaceadas são muito adequadas para pesquisa em memória primária, pois satisfazem simultaeamete algus requisitos coflitates: Acesso direto eficiete (tempo logarítmico) Acesso sequecial eficiete (tempo liear) Iserção e elimiação eficietes (tempo logarítmico) Boa taxa de utilização da memória Para pesquisa em memória secudária, também há uma boa diversidade de modelos. O mais cohecido é a árvore B (Bayer e McCreight, 1972) com suas variates.

31 Árvores B (Bayer e McCreight, 1972) São árvores de pesquisa balaceadas projetadas para dispositivos de armazeameto secudário (discos, fitas magéticas, etc.). O fator de ramificação (úmero máximo de filhos) é escolhido em fução do tamaho do bloco de leitura/escrita dessa memória, que costuma ser chamado de págia. Geralmete, os ós cotêm iformações armazeadas uma mesma págia. Por isso, os coceitos de ó e págia acabam se idetificado. As B-Trees são apropriadas, por exemplo, para sistemas de bacos de dados.

32 Árvores B* Veremos apeas um caso particular: a árvore B* Em uma árvore B* de ordem M: Todas as folhas estão o mesmo ível A raiz, se ão for folha, tem de 2 a M filhos Exceto a raiz, todos os ós iteros têm de ém/2ù a M filhos Os ós iteros guardam de ém/2ù-1 a M-1 chaves (para idetificar os valores armazeados os filhos) Os dados associados às chaves estão guardados as folhas (é o que a diferecia das demais árvores B) Cada folha tem de ém/2ù a M dados armazeados Ela também é chamada de árvore B* ém/2ù-m

33 Exemplo: árvore B* de ordem 4 (ou 2-4) ,4,8,11 12,13 15,18,19 21,24 25,26 31,38 41,43,46 48,49,50 59,68 72,78 84,88 91,92,99 M = 4 Nós iteros: 2 a 4 filhos (1 a 3 chaves) Folhas: 2 a 4 dados

34 Iserções em árvore B* : - 22 : - 16 : - 41 : : - 41 : ,11,12 16, 17 22,23,31 41, 52 58,59,61 8,11,12 16,17,18 22,23,31 41, 52 58,59,61 22 : - 11 : : , 8 11, 12 16, 17,18 22,23,31 41, 52 58,59,61

35 Iserções em árvore B* : - 11 : : 58 Ultrapassaria o úmero máximo de filhos... 1, 8 11, 12 16, 17 18, 19 22,23,31 41, 52 58,59,61 16 : : - 18 : - 41 : , 8 11, 12 16, 17 18, 19 22,23,31 41, 52 58,59,61

36 Iserções em árvore B* : : - 18 : - 41 : 58 Idem... 1, 8 11, 12 16, 17 18, 19 22, 23 28, 31 41, 52 58,59,61 16 : : - 18 : - 28 : - 58 : - Idem... 1, 8 11, 12 16, 17 18, 19 22, 23 28, 31 41, 52 58,59,61

37 Iserções em árvore B* : - 16 : - 41 : - 11 : - 18 : - 28 : - 58 : - 1, 8 11, 12 16, 17 18, 19 22, 23 28, 31 41, 52 58,59,61 No pior caso, as iserções se propagam até a raiz, e a altura da árvore cresce 1 uidade

38 Elimiações em árvores B* Busca da folha com o dado a ser elimiado: Se a folha ficar com um suficiete úmero de dados: fim. Se a folha ficar com um úmero de dados abaixo do míimo: Se a folha irmã tiver um úmero de dados acima do míimo: pegar um dado dessa folha. Se a folha irmã ão tiver um úmero de dados acima do míimo: fudir ambas as folhas. Quado ocorre fusão de ós, a elimiação prossegue os íveis superiores da árvore. Se a fusão de ós deixar a raiz com apeas um filho, etão ela se jutará ao filho e a altura da árvore dimiuirá um ível.

39 Elimiações em árvore B* 2-4 Obs.: ão estão represetadas as folhas Elimiação de

40 Elimiações em árvore B* Elimiação de

41 Elimiações em árvore B*

42 Elimiações em árvore B*

43 Características de uma árvore B* Cosidere uma árvore B* de ordem M. Sedo h a altura dessa árvore, o úmero de folhas será: ém/2ù h M h Ideia da demostração: as árvores B* míima e máxima correspoderão, respectivamete, a árvores completas com ém/2ù e M filhos por ó. Portato, as operações de iserção, elimiação, busca e extração de míimo podem ser realizadas com O(log ) acessos a págias da memória secudária.