CT-234. Estruturas de Dados, Análise de Algoritmos e Complexidade Estrutural. Carlos Alberto Alonso Sanches

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1 CT-234 Estruturas de Dados, Aálise de Algoritmos e Complexidade Estrutural Carlos Alberto Aloso Saches

2 CT-234 3) Estruturas de dados elemetares Filas, pilhas e árvores

3 Alocação estática versus diâmica

4 Alocação estática versus diâmica Variáveis estáticas: têm edereço determiado em tempo de compilação São previstas ates da compilação do programa Ocupam uma área de dados do programa, determiada a compilação Existem durate toda a execução do programa Variáveis diâmicas: têm edereço determiado em tempo de execução São alocadas de uma área extra da memória, chamada heap, através de fuções específicas (malloc, ew, etc.) Sua evetual existêcia depede do programa, e seu edereço precisa ser armazeado em um poteiro Exigem uma política de admiistração da memória

5 Variáveis idexadas Exemplo: um vetor de iteiros it A[1:10] (Obs: ídice low costuma ser + ( i low ). sizeof(a[1]) Edereço base Quase sempre é uma potêcia de 2, cohecida em tempo de compilação (esse caso, usamse shifts para acelerar o cálculo) Quado low é 0, acesso tora-se mais rápido (ecoomiza-se uma subtração) Cálculo em tempo Θ(1)

6 Poteiros Poteiros (ou apotadores) são variáveis que armazeam edereços, ou seja, apotam para uma posição da memória São ecessárias quado ocorre alocação diâmica Exemplos: it i = 15, j, *p, *q; p = &i; i j p q 15??? i j p q 15? 1080? p i 15

7 Poteiros *p = 20; i j p q 20? 1080? p i 20 j = 2 * *p; q = &i; i j p q ? i j p q 20? p i q 20

8 Tipos abstratos de dados Os tipos abstratos de dados (TAD), defiidos através das suas operações, ecapsulam a implemetação Exemplos de operações abstratas: Iserção Remoção Míimo ou máximo Sucessor ou predecessor Busca As estruturas de dados utilizadas as implemetações dessas operações têm impacto direto o desempeho, tato o tempo de execução como o cosumo de espaço

9 TADs x implemetações x desempeho Pilhas Filas Árvores Grafos Variáveis idexadas Poteiros etc.

10 Pilhas (stacks) Pilhas são estruturas que permitem acessos em somete uma das suas extremidades Por essa razão, uma pilha é chamada de estrutura LIFO (last i/first out) Operações: push(x): empilha x pop(): desempilha o topo top(): retora o topo sem desempilhá-lo size(): retora o tamaho atual da pilha isempty(): verifica se a pilha está vazia

11 Exemplos com pilha push 10 push 5 pop push 15 push

12 Implemetação com vetor size() { retur t+1; } isempty() { retur (t<0); } top() { if (isempty()) retur Error; retur S[t]; } push(x) { if (size() == N) retur Error; S[++t]=x; } pop() { if (isempty()) retur Error; S[t--]=ull; }

13 Eficiêcia das operações Na implemetação com vetor, todas as operações ateriores podem ser executadas em tempo Θ(1) Caso fosse ecessário implemetar uma operação de busca a pilha, a solução gastaria tempo de pior caso Θ(N), ou seja, seria ieficiete...

14 Uma aplicação típica Pilhas são utilizadas para verificar o emparelhameto de delimitadores: Leia o próximo caractere ch; while ão é fim de arquivo { if ch é '(','[' ou '{' push(ch); else if ch é ')',']' ou '}' { x = top(); pop(); if ch e x ão se casam erro; } Leia o próximo caractere ch; } if isempty() sucesso; else erro;

15 Implemetação com lista ligada Os elemetos da pilha podem estar coectados através de uma cadeia de poteiros: O topo da pilha seria o ó apotado por head tail também poderia ser utilizado como topo da pilha?

16 Filas (queues) Filas são simples sequêcias de espera: crescem através do acréscimo de ovos elemetos o fial e dimiuem com a saída dos elemetos da frete Os elemetos são acrescetados em uma extremidade e removidos da outra Em relação à pilha, a pricipal difereça é que a fila é uma estrutura FIFO (first i/first out)

17 Operações das filas size(): retora o tamaho atual da fila isempty(): verifica se a fila está vazia first(): retora o primeiro elemeto da fila sem removê-lo dequeue(): retira o primeiro elemeto da fila equeue(x): coloca x o fial da fila

18 Exemplos com fila equeue 10 equeue 5 dequeue equeue 15 equeue

19 Implemetação com vetor Covém utilizar o vetor de maeira circular: Nesse caso, o que sigificaria f = r? Como difereciar fila vazia de fila cheia?

20 Implemetação com vetor size() { retur (N-f+r) % N; } isempty() { retur (f==r); } first() { if (isempty()) retur Error; retur Q[f]; } dequeue() { if (isempty()) retur Error; Q[f] = ull; f = (f+1) % N; } equeue(x) { if (size() == N-1) retur Error; Q[r] = x; r = (r+1) % N; }

21 Eficiêcia das operações Na implemetação com vetor, todas as as operações ateriores também podem ser executadas em tempo Θ(1) Caso fosse ecessário uma operação de busca, a solução óbvia gastaria tempo de pior caso Θ(N), ou seja, seria ieficiete. Seria possível realizá-la em tempo de pior caso Θ(log N)?

22 Implemetação com lista ligada Dequeue:

23 Implemetação com lista ligada Equeue: crie um ovo ó Adiate o poteiro tail :

24 Implemetação com lista ligada Exercícios: Numa fila de N elemetos, implemetada com lista ligada, seria possível realizar remoções o seu fial em tempo costate? Nessa mesma estrutura, seria possível realizar uma operação de busca em tempo de pior caso Θ(log N)?

25 Filas com duplo-fim (deques) Filas com duplo-fim (doubled-eded queue) permitem iserção e remoção, em tempo costate, tato o iício como o fim Operações: isertfirst(x): isere x o iício isertlast(x): isere x o fial removefirst(): remove o primeiro elemeto removelast(): remove o último elemeto first(): retora o primeiro elemeto last(): retora o último elemeto size(): retora o tamaho atual isempty(): verifica se está vazia A deque pode simular tato as operações de uma pilha como as de uma fila

26 Listas duplamete ligadas Podemos implemetar uma deque através de uma lista duplamete ligada: iício Aa Pedro Clara João fial Cada ó tem dois poteiros: para o próximo e para o aterior. Para cada deque, é preciso guardar poteiros para o seu iício e o seu fial

27 Remoção do último elemeto iício Aa Pedro Clara João fial iício Aa Pedro Clara João fial iício Aa Pedro Clara fial

28 Filas com duplo-fim Seria possível implemetar uma deque através de um vetor? Quais as vatages e as desvatages em relação à implemetação com listas duplamete ligadas?

29 Exercícios Escreva um programa que leia uma expressão matemática com ( ), [ ] e { }, e iforme se está balaceada (ão é preciso calculá-la, em preocupar-se com a preseça de outros caracteres). Escreva um programa para resolver qualquer istâcia do Problema de Josephus. Faça uma versão que utilize vetor e outra com listas ligadas.

30 Tabelas de dispersão (hashig) Dicioário é o ome de uma TAD com as seguites operações: Iserção Remoção Busca através de uma chave Os dicioários podem ser implemetados eficietemete com tabelas de dispersão, baseadas em listas ligadas (ope hashig) Em codições adequadas, essas três operações podem ser realizadas em tempo costate

31 Ideia Uiverso de todas as possíveis chaves Fução h de dispersão 0 m-1 Tabela de dispersão 0-1 Naturalmete, m << h: {0,,-1} {0,...,m-1} é calculada em tempo Θ(1) Colisão: h(a) = h(b) quado a ¹ b Na técica ope hashig, as colisões são tratadas com listas ligadas

32 Implemetação da tabela Colisões 4 5 : m-1 Evidetemete, as posições em que ocorrem colisões, a busca e a remoção passam a gastar mais tempo Nesses casos, a correspodete lista ligada precisa ser percorrida, ó a ó

33 Cometários fiais Fatores que alteram o desempeho das operações: grau de ocupação da tabela escolha da fução de dispersão Dada uma chave x, uma cohecida fução de dispersão é h(x) = x mod m. Geralmete, escolhe-se um valor de m primo Kuth oferece um bom estudo sobre diversas fuções de dispersão

34 Árvores (trees) Tatos as pilhas como as filas são estruturas lieares, isto é, de uma úica dimesão Na sua implemetação, as listas ligadas possibilitam maior flexibilidade que os vetores, mas mesmo assim ão permitem a represetação hierárquica de dados Árvores são estruturas hierárquicas, formadas por vértices e arestas. Ao cotrário das árvores aturais, são represetadas de cima para baixo: a raiz está o topo e as folhas a base

35 Árvores É uma estrutura recursiva: cada filho é também uma árvore A raiz é o úico ó que ão possui acestrais As folhas são os ós sem filhos

36 Exemplos de árvores

37 Algumas defiições Cada ó pode ser alcaçado a partir da raiz através de uma sequêcia úica de arestas, chamada de camiho O comprimeto de um camiho é a quatidade de arestas que ele possui O ível de um ó é o comprimeto do camiho da raiz até ele A altura de uma árvore ão vazia é o ível máximo dos ós dessa árvore

38 Algumas defiições O grau de um ó é o úmero de seus filhos As folhas têm grau ulo e são chamadas de ós termiais Um ó que ão é folha (isto é, que possui grau ão ulo) é chamado de ó itero ou ó ão-termial O grau de uma árvore é o máximo etre os graus dos seus ós Um cojuto de árvores é chamado de floresta

39 Algumas características O úmero de filhos por ó e as iformações armazeadas difereciam os tipos de árvores A árvore ao lado represeta a expressão (3+6)*(4-1)+5: as folhas possuem valores e os ós itermediários, operadores matemáticos

40 Árvores biárias Nas árvores biárias, os ós têm o máximo dois filhos, desigados como filho da esquerda e filho da direita Raiz Æ Seria possível implemetar uma árvore biária através de um vetor? Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ

41 Percursos em árvores Percurso em árvores é uma sequêcia em que cada um dos ós da árvore aparece exatamete uma vez (ão precisam estar ecessariamete uidos por arestas) Uma árvore com N ós possui N! percursos diferetes Mais importates: percursos em largura (ou extesão) e percursos em profudidade

42 Percurso em largura O percurso em largura começa a raiz e passa ordeadamete por todos os íveis subsequetes, visitado-se primeiro os ós da esquerda e depois os da direita É possível implemetá-lo com o uso de uma fila: Depois que um ó é visitado, seus filhos são colocados o fial dessa fila (primeiro, o da esquerda; depois, o da direita) O próximo ó a ser visitado é o que está o iício da fila Desse modo, os ós de ível i+1 serão visitados somete depois que todos os ós do ível i já o foram

43 Exemplo Fila: 13 Fila: 10, 25 Fila: 25, 2, 12 Fila: 2, 12, 20, 31 Fila: 12, 20, 31 Fila: 20, 31 Fila: 31 Fila: 29 Percurso em largura: 13, 10, 25, 2, 12, 20, 31, 29

44 Percurso em largura void BreadthFirst() { Queue q; Node *p = root; if (p!= 0) { q.equeue(p); while (!q.isempty()){ p = q.dequeue(); visit(p); if (p->left!= 0) q.equeue(p->left); if (p->right!= 0) q.equeue(p->right); } } }

45 Percurso em profudidade O percurso em profudidade prossegue tato quato possível à esquerda (ou à direita). Em seguida, volta ao último ó visitado e recomeça Este processo é repetido até que todos os ós sejam visitados Pode ser implemetado recursivamete ou com uma pilha explícita

46 Exemplo Percurso em profudidade à esquerda: Qual seria o percurso em profudidade à direita dessa árvore? Percurso: 13, 10, 2, 12, 25, 20, 31, 29

47 Percursos à esquerda Pré-ordem: raiz, filhos da esquerda, filhos da direita I-ordem: filhos da esquerda, raiz, filhos da direita Pós-ordem: filhos da esquerda, filhos da direita, raiz

48 Percursos à esquerda void iorder(node *p) { if (p!= 0) { iorder(p->left); visit(p); iorder(p->right); } } void preorder(node *p) { if (p!= 0) { visit(p); preorder(p->left); preorder(p->right); } } void postorder(node *p) { if (p!= 0) { postorder(p->left); postorder(p->right); visit(p); } }

49 Um caso particular Nas árvores biárias ão-vazias cujos ós iteros teham exatamete dois filhos, sabese que f = i + 1, ode f e i são respectivamete o úmero de folhas e o úmero de ós iteros i ós iteros f folhas f = i + 1 i+1 ós iteros f+1 folhas f+1= i+1 + 1

50 Demostração Como as árvores são estruturas recursivas, suas propriedades geralmete são demostradas através de idução No caso cosiderado, a argumetação é costrutiva, isto é, prova-se para todas as possíveis árvores, de forma icremetal o tamaho: Se a árvore é apeas a raiz: i = 0, f = 1. Portato, f = i + 1 Cosidere uma árvore com a propriedade f = i + 1 A úica maeira dessa árvore crescer, matedo a propriedade, é aexar duas folhas a uma folha já existete, que se torará ó itero. Logo, tato o úmero de folhas como o úmero de ós iteros é acrescido de um, matedo-se válida a propriedade f = i + 1

51 Árvores biárias completas Uma árvore biária é completa quado os ós iteros têm exatamete dois filhos e as folhas têm a mesma distâcia da raiz Uma árvore biária completa de altura h tem exatamete 2 h -1 ós iteros e 2 h folhas Numa árvore biária completa com folhas, a distâcia da raiz até qualquer folha é lg Prove!!

52 Árvores biárias de busca Defiição: Uma árvore biária é de busca se em cada um de seus ós : as chaves armazeadas a sua sub-árvore esquerda são meores que a chave do próprio ó as chaves armazeadas a sua sub-árvore direita são maiores que a chave do próprio ó Exemplos: 13 K A P N R 29

53 Árvores biárias de busca Algoritmo de busca é simples e direto Repetição que começa a raiz: Compare com o valor armazeado o ó Se for igual, a busca chegou ao fim Se for meor, vá para a sub-árvore esquerda Se for maior, vá para a sub-árvore direita Se ão houver como cotiuar, o valor ão está a árvore No pior caso, gastará tempo proporcioal à altura da árvore

54 Árvores biárias de busca Como pode ser feita a iserção e a remoção de valores? Objetivos: Garatir a ordeação Mater um balaceameto: é desejável que a altura dessa árvore biária de busca seja proporcioal ao logaritmo da quatidade de valores armazeados Há diversos algoritmos...