1. ORDENAÇÃO POR TROCA ORDENAÇÃO. 1.1 Ordenação por Bolha. Exemplo, 25, 57, 48, 37, 12, 92, 86, 33. Algoritmo. Complexidade de Tempo

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1 ORDENAÇÃO Ordear é o processo de orgaizar uma lista de iformações similares em ordem crescete ou decrescete. Especificamete, dada uma lista de ites r[], r[], r[],, r[-], cada item a lista é chamado registro. Uma chave, [i], é associada a cada registro r[i]. Diz-se que a lista está ordeada pela chave se i precede j implicar que [i] < [j] (ou [i] > [j]) em alguma ordeação as chaves. ORDENAÇÃO POR ROCA. Ordeação por Bolha Em cada um dos exemplos subseqüetes, x é um vetor de iteiros do qual os primeiros devem ser ordeados de modo que x[i] x[j] para i < j <. A idéia básica por trás da ordeação por bolha é percorrer a lista seqüecialmete varias vezes. Cada passagem cosiste em comparar cada elemeto a lista com seu sucessor (x[i] com x[i+]) e trocar os dois elemetos se ele ão estiverem a ordem correta Exemplo, 5, 57, 48, 7,, 9, 86, Primeira Passagem x[] com x[] (5 com 57) ehuma troca x[] com x[] (57 com 48) troca x[] com x[] (57 com 7) troca x[] com x[4] (57 com ) troca x[4] com x[5] (57 com 9) ehuma troca x[5] com x[6] (9 com 86) troca x[6] com x[7] (9 com ) troca Observe que, depois da primeira passagem, o maior elemeto está em sua posição correta. Em geral x[-i] ficara a posição correta depois da iteração i. 5, 57, 48, 7,, 9, 86, O cojuto completo de iterações fica assim: iteração iteração iteração iteração iteração iteração iteração iteração bubble (it x[ ], it ) it j, pass; bool switched = true; Algoritmo for (pass = ; pass < - && switched; pass++) /*repetição extera, cotrola o de passages*/ switched = false; for (j = ; j < - pass - ; j++) /*repetição itera, cotrola cada passagem idividual*/ if (x[j] > x[j+]) /*elemeto fora da ordem é ecessária uma troca*/ switched = true; troca(x[j], x[j+]); Complexidade de empo em o aprimorameto Numero de comparações: (-)/ Numero de trocas: melhor caso: ehuma pior caso: (-)/ Com o aprimorameto Numero de comparações será (-) + (-) + + (-) = (- -)/ Como = O(), etão, o aprimorameto ão muda a complexidade de tempo do algoritmo Coclusão fial: A complexidade do algoritmo de ordeação por bolha = O( )

2 . Quicort A ordeação por troca de partição ou quicsort é provavelmete o algoritmo de ordeação mais utilizado. Idéia Básica Quicsort trabalha particioado um vetor em duas partes e etão as ordeado separadamete. Especificamete, seja x um vetor e o umero de elemetos o vetor a ser classificados. Escolha um elemeto a uma posição especifica detro do vetor, digamos a posição j. Os elemetos de x são particioados de modo que a é colocado a posição j e as seguites codições são observadas:. Cada elemeto as posições até j- são meor ou igual a a.. Cada elemeto as posições j+ até - são maior que a a. O mesmo processo é repetido com os subvetores x[] até x[j-] e x[j+] até x[-] e com quaisquer vetores criados pelo processo em sucessivas iterações, o resultado fial será uma lista ordeada. Algoritmo Básico quicsort (it x[], it: lb, ub) it i; if (lb > ub) retur; j = partitio(x, lb, ub); quicsort(x, lb, j-); quicsort(x, j+, ub); Os parâmetros lb e ub delimitam os sub-vetores detro do vetor origial, detro dos quais a ordeação ocorre. A chamada iicial pode ser feita com quicsort(x,, -); O poto crucial é o algoritmo de partição. Exemplo: Ordeação do vetor iicial ohamos que o primeiro elemeto (5) é escolhido para colocar a sua posição correta, teremos: Como 5 está a sua posição fial, o problema foi decomposto a ordeação dos subvetores: () e ( ). O subvetor () já está classificado. Repetir o processo para x[]x[7] resulta em: 5 (48 7 ) 57 (9 86) Exemplo: e cotiuarmos particioado 5 (48 7 ) 57 (9 86), teremos: 5 (7 ) (9 86) 5 () (9 86) (9 86) (86) Método de Particioameto Cosidere a = x[lb] como o elemeto cuja posição fial é a procurada. Dois poteiros e dow são iicializados como os limites máximo e míimo do subvetor que vamos aalisar. Em qualquer poto da execução, todo elemeto acima de é maior do que a e todo elemeto abaixo de dow é meor ou igual a a.

3 Os dois poteiros e dow são movidos um em direção ao outro da seguite forma:. Icremete dow em uma posição até que x[dow] > a.. Decremete em uma posição até que x[] a.. e a > dow, troque x[dow] por x[]. O processo é repetido até que a codição descrita em. falhe (quado dow). Neste poto x[] será trocado por x[lb], cuja posição fial era procurada, e é retorado em j. Exemplo: a = 5 dow--> dow < dow < dow < dow dow dow--> dow dow < dow < <-- dow dow dow Algoritmo de Particioameto it partitio(it x[], it: lb, ub) it a, dow, ; a = x[lb]; = ub; dow = lb; while (dow < ) while (x[dow] <= a && dow < ub) dow++; while (x[] > a) --; if (dow < ) swap(x[dow], x[]); x[lb] = x[]; x[] = a; retur ; Eficiêcia do Quicsort O tempo de execução do Quicort depede se o particioameto é balaceado ou ão.. O pior caso do Quicort ocorre quado o particioameto gera um cojuto com elemeto e outro com - elemetos para todos os passos do algoritmo. Desde que o particioameto custa O() a recorrêcia este caso tora-se () = (-) + O() como () = O(), ão é difícil mostrar que () = O( ). (() = + (-) = + (-) + (-) ()). O melhor caso ocorre quado o particioameto sempre gera dois sub-cojutos de tamaho /, temos a recorrêcia () = (/) + O() Etão, () = O().

4 4 O m m. Caso Médio. O algoritmo partitio leva tempo proporcioal ao, deotado. ohamos que a lista é separada em duas sublistas de comprimeto e --, respectivamete. Etão, temos () = + () + ( - - ) Mas, ão sabemos o valor exato do. Portato, calculamos a media de todas possibilidades de : ) ( ) ( ubstrai as duas formulas e rearraja: Isso pode ser simplificado para: (Porquê?) ode Etão, () = O(l ) l ~ Aproximado () x dx x dx l l l l Para evitar o pior caso e casos ruis ode elemetos estão em gros ordeados pode-se utilizar uma estratégia probabilística: elecioe, ao ivés do primeiro elemeto para ser a, um elemeto aleatório. Critérios: eleção totalmete radômica: selecioe qualquer elemeto do subvetor usado um gerador de úmeros aleatórios. Desvatagem: tempo de processameto extra para o gerador. eleção da mediaa etre os três elemetos: lb, ub e elemeto o meio. eleção média: usa o valor media do subvetor. odos estes métodos melhoram a performace média. Cometários sobre o Quicsort

5 ORDENAÇÃO POR INERÇÃO Uma ordeação por iserção é a que ordea um cojuto de registros iserido registros um arquivo ordeado já existete.. Iserção imples Exemplo: 4,, 6,, 5, i = temp = 5 i = temp = i = temp = 6 i = temp = i = temp = 4 i = temp = isertsort(it x[ ], it ) /*iicialmete x[-] é cosiderado um arq ordeado de um elemeto*/ /*após passages, os elemetos x[-] a x[-] estarão em seqüêcia*/ it i, j, temp; for (i = -; i >= ; i--) temp = x[i] ; j = i+; while (j <= - && x[j] < temp) x[j - ] = x[j]; j = j+; x[j - ] = temp; /*isere temp a posição correta*/ Eficiêcia do Algoritmo de Iserção imples. Numero de comparações: ( - ) =. Numero de deslocametos Para grade o compoete pricipal do tempo gasto pelo algoritmo é o laço do while (deslocameto dos elemetos à esquerda). Para aalisar complexidade do algoritmo, precisamos calcular a soma dos úmeros de deslocameto para cada um i = -,,. No exemplo aterior: 4,, 6,, 5, i 4 distacia distacia total 9.. Melhor Caso. Numero de deslocameto é zero, uma vez a lista origial já está em ordem.. Pior Caso. Para uma lista de ites, o umero de deslocameto é ( - ) = Isto acotece se a lista está em ordem reversa.. Caso Médio. Cosidere agora o algoritmo. No estagio i ós fazemos exame do elemeto x[i] e movemos a uma distâcia d i,, - i- a sua posição correta. x[i] ão foram tocados pelo algoritmo até este poto assim, ão temos ehuma iformação sobre sua posição apropriada a lista. Ou seja todas as IF possíveis para x[i] são igualmete prováveis. Assim a distacia média movida por x[i] está i i i ( ( - i -))/( - i) = i Etão, em media, o umero total de deslocameto é i i 4 Portato, este é um O( ) algoritmo.. Ordeação de hell (Ordeação de Icremeto Decrescete) O algoritmo de ordeação de hell (ome de seu ivetor Doald hell) foi um dos primeiros a baixar a complexidade de O( ). O algoritmo usa uma seqüêcia de icremetos e ordea os elemetos cujo a distâcia é igual a este icremeto. A cada etapa o icremeto vai dimiuido até chegar a, ao fial de uma etapa com icremeto, dizemos que o cojuto está - ordeado. Uma importate propriedade deste algoritmo é que para < um cojuto -ordeado, que é submetido a uma ordeação com icremeto, permaece -ordeado. 5

6 Por exemplo, se = 5, cico subvetores, cada um cotedo um quito do elemetos do vetor origial, são ordeados. ão eles: ubveotr x[] x[5] x[] ubvetor x[] x[6] x[] ubvetor x[] x[7] x[] ubvetor 4 x[] x[8] x[] ubvetor 5 x[4] x[9] x[4] O i-ésimo elemeto do j-ésimo subvetor é x[(i-)*5+j-]. e um icremeto diferete for escolhido, os subvetores são divididos de modo que o i-ésimo elemeto do j-ésimo subvetor seja x[(i-)*+j-]. Exemplo: 5, 57, 48, 7,, 9, 86, primeira iteração (icremeto = 5) (x[], x[5]) (x[], x[6]) (x[], x[7]) (x[]) (x[4]) seguda iteração (icremeto = ) (x[], x[], x[6]) (x[], x[4], x[7]) (x[], x[5]) terceira iteração (icremeto = ) (x[], x[], x[], x[], x[4], x[5], x[6], x[7]) Exemplo: lista origial passagem icremeto = passagem icremeto = passagem icremeto = Lista classificada void shellsort(it x[ ], it, it icrmts[ ], it umic) /* icrts eh um array cotedo os icremetos */ it icr, j,, spa, temp; for (icr = ; icr < umic; icr++) spa = icrmts[icr]; /* spa eh o tamaho do icremeto */ for (j = spa; j < ; j++) temp = x[j]; /*isere elemeto x[j] em sua posição correta detro de seu subvetor*/ for ( = j - spa; >= && temp < x[]; -= spa) x[+spa] = x[]; x[+spa] = temp; Idéia Básica de Ordeação de hell. A ordeação por iserção simples é altamete eficiete sobre uma lista de elemetos quase ordeado.. Quado o tamaho de lista é pequeo, uma ordeação O( ) é em geral mais eficiete do que uma ordeação O(). Isto acotece porque usualmete as ordeações O( ) são muito simples de programar e exigem bem poucas ações alem de comparações e trocas em cada passagem. Por causa dessa baixa sobrecarga, a costate de proporcioalidade é bem pequea. Em geral, uma ordeação O() é muito complexa e emprega um grade umero de operações adicioais em cada passagem para dimiuir o trabalho das passages subsequetes. edo assim, sua costate de proporcioalidade é maior. Observação: em geral, a ordeação de hell é recomedada para as listas de tamaho moderado, da varias ceteas de elemetos. Eficiêcia de Ordeação de hell A ordem da ordeação de hell pode ser aproximada por O(()) se for usada uma seqüêcia apropriada de icremetos. Para outras seqüêcias de icremetos, o tempo de execução pode provar-se como O(.5 ). 6