Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática

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1 Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática ESTATÍSTICA Ano lectivo: 2007/2008 Curso: Ciências do Desporto Folha de exercícios nº4: Distribuições de probabilidade. Introdução à Inferência Estatística: Intervalos de confiança 1. Um estudante que não teve tempo para se preparar para a 1ª frequência de Estatística, em que cada questão (de escolha múltipla) tinha 6 respostas possíveis (e uma só correcta), decide responder ao acaso. Tendo a frequência 18 questões, determine: a) Qual a probabilidade de responder certo a uma questão? b) Qual o nº esperado de respostas certas que o estudante espera obter? c) Qual a probabilidade de responder certo a 3 ou 4 questões? 2. Determinada empresa comercializa uma bebida isotónica em garrafas de 1 litro. Supõe-se no entanto que 40% dessas garrafas contém na realidade menos do que a quantidade indicada no rótulo. Tendo adquirido 6 dessas garrafas, qual a probabilidade de: a) Duas delas conterem menos de 1 litro? b) No máximo 2 conterem menos de 1 litro? c) Pelo menos duas conterem menos de 1 litro? d) Todas conterem menos de um litro? e) Todas conterem o volume indicado no rótulo? f) Nas 100 garrafas existentes num supermercado, haver não mais de 30 com volume inferior ao indicado no rótulo? 3. Qual a probabilidade de, em 10 lançamentos de um dado perfeito, se obter: a) Cinco faces par. b) Cinco faces superiores a Suponha que X é uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p. Sabendo que E(X)=5 e var(x)=4, encontre os valores de n e p. 5. A variável aleatória X segue distribuição Normal com valor médio μ=20 e desvio padrão =3. Determine as seguintes probabilidades: a) P(X 23); P(X 19) b) P(X<14); P(X>21) c) P(21,5 X 25); P(16,2 X 18,8) 6. Relativamente ao exercício anterior, determinar os valores de a tais que: a) P(X a)=0,9332; P(X a)=0,1788 b) P(X>a)=0,9989; P(X>a)=0,0062 ESTATÍSTICA Ficha de exercícios 4 1

2 7. Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal de parâmetros μ e. Qual a probabilidade contida nos intervalos: a) [μ- ;μ+ ] b) [μ-2 ;μ+2 ] c) [μ-3 ;μ+3 ] 8. Calcule o valor médio e o desvio padrão da variável X, com distribuição N(μ, ), sabendo que P(X 3)=0,8413 e P(X 9)=0, O tempo, em minutos, que um desportista leva a concluir uma determinada minimaratona é uma variável aleatória com distribuição Normal. Sabe-se que a probabilidade de o desportista demorar mais de 120 minutos é de 0,0668, e a de demorar menos do que 70 minutos é de 0,1587. a) Calcule o tempo médio requerido para completar a mini-maratona e o respectivo desvio padrão. b) Calcule a probabilidade do desportista demorar entre 83 e 101 minutos. 10. Existem num determinado clube desportistas de três nacionalidades: portuguesa (A), brasileira (B) e queniana (C). No início de época, após uma semana de treino específico, pretende-se estudar a concentração de triglicéridos (CT) no sangue, relativamente a cada nacionalidade. Assume-se que a referida concentração (expressa em mg/dl) dos indivíduos de cada nacionalidade segue uma distribuição Normal com os seguintes parâmetros: Valor médio (mg/dl) Variância (mg/dl) 2 A B C Nestas condições: a) Que proporção de indivíduos de nacionalidade B tem CT inferior a 290 mg/dl? b) Sabe-se que o valor da CT para indivíduos de nacionalidade A tem probabilidade igual a 0.95 de não exceder um certo valor. Determine esse valor. c) Determine o mesmo valor pretendido da alínea anterior supondo que a referida probabilidade é igual a 10%. d) Qual a probabilidade de, considerando três indivíduos quaisquer de nacionalidades diferentes, a soma das respectivas CT estar compreendida no intervalo [680;750]? 11. No Fê-Quê-Pê, duas maratonistas, A e B, treinam em separado. Diariamente, o número total de kilómetros que A e B correm é aleatório, seguindo distribuições Normais de parâmetros μ A =12km, A =2,8km, μ B =10km e B =1,1km. Qual a probabilidade de: a) Num mês (23 dias úteis), a desportista A percorrer uma distância superior a 270km? b) Num dia, A e B realizarem em conjunto menos que 18km? c) Num dia, a desportista B percorrer uma maior distância que a desportista A? ESTATÍSTICA Ficha de exercícios 4 2

3 12. Um fisioterapeuta pretende reduzir a carga diária de trabalho para 6 horas. Os casos que este trata requerem um tempo de tratamento que segue distribuição aproximadamente Normal N(32,12), em minutos. Determine o número máximo de casos a tratar por dia, de forma a que a probabilidade do tempo total de trabalho ser inferior a 6 horas seja de, pelo menos, 95%. 13. Um professor de natação tem 20 alunos de alta competição. Supõe-se que o tempo (em segundos) que um desportista qualquer leva a fazer 100 metros no estilo mariposa tem distribuição Normal, com valor médio de 45 segundos e variância de 25 segundos 2. O treinador afirmou que só fica satisfeito se a probabilidade da média de tempos obtida pelos seus alunos ser inferior a 40 segundos for superior a 80%. Diga, justificando, se o referido professor terá razões para realmente ficar satisfeito com o seu trabalho. 14. Na selecção nacional, dois futebolistas (A e B) lesionados treinam separadamente e, com esperança de virem a ser utilizados por Scolari, fazem diariamente bastante corrida. Considere que o número total de kilómetros que A e B correm diariamente é aleatório, seguindo distribuições Normais de parâmetros μ A =5km, A =0,5km, μ B =6km e B =1,3km. a) Qual a probabilidade de, numa semana (7 dias), o futebolista A percorrer uma distância superior a 40km? b) Calcule a probabilidade de, num dia, o futebolista A correr uma maior distância que B. c) Calcule qual o valor da distância percorrida pelo futebolista B num dia, sabendo que a probabilidade de B exceder esse valor é de d) Suponha que o valor médio da distância percorrida por A é desconhecido (mas A =0,5km continua a ser um dado adquirido). Determine um intervalo de confiança para μ A com um coeficiente de confiança de 90%, a partir da informação de uma amostra recolhida ao longo de 9 dias em que A correu uma média de 4.8km. e) Relativamente à alínea anterior, qual o nº de dias de observação do futebolista A necessário para obter um intervalo de confiança de 90% com uma incerteza de 0,1? f) Comente os resultados obtidos em a) e b) quanto à amplitude dos intervalos de confiança em questão. 15. Duas maratonistas (A e B) treinam isoladamente. Considere que o número total de horas que A e B correm diariamente é aleatório, seguindo distribuições Normais de parâmetros μ A =3,2h, A =0,5h, μ B =3h e B =0,3h. a) Calcule a probabilidade da maratonista A correr entre 3 e 3,4h diariamente. b) Determine a probabilidade de, numa semana (7 dias), a maratonista A correr mais tempo que B. c) Calcule durante quanto tempo a maratonista A correu num dia, sabendo que a probabilidade de A exceder esse valor é de d) Suponha que μ B é desconhecido (mas B =0,3h continua a ser um dado adquirido). Determine um intervalo de confiança para μ B com um coeficiente de confiança de 99%, a partir da informação de uma amostra recolhida ao longo de 16 dias em que B correu uma média de 3,1h por dia. e) Relativamente à alínea anterior, qual o nº de dias de observação do futebolista B necessário para obter um intervalo de confiança de 99% com uma incerteza de 0,05h? f) Comente os resultados obtidos em a) e b) quanto à amplitude (ou incerteza) dos intervalos de confiança em questão. ESTATÍSTICA Ficha de exercícios 4 3

4 16. Considere que na equipa de rugby do Benfica, numa jornada qualquer, a probabilidade de um jogador partir um dedo é de 10%. Sabendo que numa equipa há 15 jogadores em campo e supondo que numa determinada jornada não houve substituições, calcule a probabilidade de nessa equipa ter havido: a) No máximo, dois jogadores com um dedo partido. b) Pelo menos um jogador com um dedo partido, sabendo que, no máximo, dois jogadores partiram um dedo. 17. Seja X uma variável aleatória que representa a altura dos alunos do 1.º ano de um curso de Estatística. As alturas encontram-se distribuídas normalmente cuja variância é 2 2 conhecida: = 0,051m. Admita-se que foi recolhida uma amostra aleatória com dimensão n = 25 alunos e calculada a respectiva média amostral, tendo-se obtido x = 1,70m. Determine um intervalo de confiança (com coeficiente de confiança de 95%) para o valor esperado da altura dos alunos. 18. Um treinador, ao medir o tempo de reacção de um indivíduo a determinado acontecimento, tem razões para acreditar que o desvio padrão é de 0,05 segundos. Sabendo que o erro da sua estimativa não é superior a 0,01 segundos, determine a dimensão da amostra que se deve recolher para se obter um intervalos de confiança para o valor médio do tempo de reacção com coeficiente de confiança igual a 95%. Repita o exercício para 99%. Como relaciona os resultados obtidos? 19. Sobre uma amostra aleatória de 26 indivíduos mediu-se a pressão sanguínea tendo-se obtido uma média x = 130 mm. Sabendo que = 10 mm indique o intervalo de confiança a 95% para o parâmetro μ, admitindo a normalidade da pressão sanguínea, variável X. 20. Para estudar a auto-estima dos alunos, um centro de investigação aplicou um determinado teste a uma amostra aleatória de 100 alunos. Obtiveram-se os seguintes resultados: x = 20 e s = 4. Calcule: a) O intervalo de confiança de 95% para o valor médio da auto-estima. b) Os limites de confiança para o valor médio da auto-estima, usando um coeficiente de confiança de 0, Determine o intervalo de confiança de 90% para o valor médio de uma distribuição normal com desvio padrão 3, a partir da amostra: (3,3; -0,3; -0,6; -0,9) 22. Assume-se que a distância percorrida (em quilómetros) por um nadador diariamente, segue uma distribuição Normal N(μ, ), com 2 =0,04Km 2. Durante 10 dias de observação, verificou-se que a distância média percorrida pelo desportista foi de 5Km. a) Determine um intervalo de confiança para μ, com um coeficiente de confiança de 99%. b) Indique, aproximadamente, o nº de dias de observação necessário para que, com um coeficiente de confiança de 99%, a incerteza de um intervalo de confiança para μ seja igual a 0,05Km. ESTATÍSTICA Ficha de exercícios 4 4

5 c) Justifique a diferença entre os resultados obtidos nas alíneas a) e b), relativamente às amplitudes dos diferentes intervalos obtidos. d) Suponha que o desportista é observado ao longo de 25 dias, durante os quais a distância média percorrida foi de 6Km. Calcule o coeficiente de confiança com que μ pertence ao intervalo [5,608; 6,392]. 23. Têm sido apresentadas queixas, a um instituto para a defesa do consumidor, no sentido de que as embalagens de determinada bebida isotónica têm menos que 33cl, conforme indicado nas embalagens. Supõe-se que a quantidade de bebida (expressa em cl) em cada embalagem segue uma distribuição Normal, com valor médio (μ) desconhecido mas com =0.8cl Uma recolha aleatória de 40 destas embalagens revelou uma média de 32.7cl. a) Determine um intervalo de confiança para μ, com um coeficiente de confiança de 95%. A marca da bebida deverá ser processada? b) Quantas embalagens devem ser examinadas, de forma a obter uma estimação intervalar de valores de μ com uma incerteza inferior a 0.01cl, com um coeficiente de confiança de 95%. c) Compare os resultados obtidos nas alíneas a) e b) relativamente às amplitudes dos diferentes intervalos obtidos. 24. Suponha que X, variável aleatória que representa a distância atingida (em metros) no salto em comprimento pelos participantes numa prova internacional, tem distribuição Normal N(μ, ). O desvio padrão é conhecido: =0.5m. Foi recolhida uma amostra de 20 valores do comprimento do salto, cuja média é x = 7, 1m. Determine: a) Um intervalo de confiança de 99% para μ. b) Quantas observações são necessárias para que a incerteza sobre μ seja inferior a 0.1, com um coeficiente de confiança de 95%. Comente o resultado. ESTATÍSTICA Ficha de exercícios 4 5