LISTA 3 Introdução à Probabilidade (Profa. Cira.) OBS. Apenas os exercícios indicados como adicional não constam no livro.

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1 LISTA 3 Introdução à Probabilidade (Profa. Cira.) OBS. Apenas os exercícios indicados como adicional não constam no livro V. A. C O N T Í N U A ( C a p. 2 Livro) Considere a seguinte função de densidade de probabilidade associada a uma v.a. X: f x (x ) = k x, 0 x<2. = k (4 - x), 2 x 4. = 0, caso contrário. (a) Ache o valor de k tal que f seja, de fato, uma função de densidade de probabilidade. (b) Calcule P(X<3). (c) Calcule E(X). Resposta: a) 1/4; b)7/8, (c) 2/3. 2. (adicional) Seja X o tempo (medida em horas) de vida de uma válvula, cuja densidade é f(x) = k/x 2 para x > 1 e zero para outros valores. (a) Determine k; (b) Qual a probabilidade que a válvula dure até 1000 horas?

2 Resposta: (a) k=3; (b) Aprox V. A. UNIFORME (Cap. 6) Escolhe-se um ponto aleatoriamente sobre o seguimento de reta [0,4]. A Qual é a probabilidade de que ele esteja entre 1 2 e 1 3 4? Resposta: 5/ O retorno de uma determinada ação é distribuído uniformemente sobre o intervalo [1, 10] (em reais). Qual é a probabilidade de que, em um certo dia, o retorno seja superior a 9 reais? Resposta: 1/9. 5. A variável aleatória X é distribuída uniformemente no intervalo [0,2]. Ache a distribuição da variável aleatória Y = 5 + 2X. Resposta: U[5,9].

3 6. Um corretor imobiliário fixa um honorário de $500 mais uma comissão de 10% sobre o lucro do proprietário. Se esse lucro é distribuído uniformemente entre $ 0 e $ 2000, ache o valor médio dos honorários totais do corretor. Resposta: H ~ U[500, 700], valor médio dos honorários (adicional) A temperatura T de destilação de petróleo é crucial na determinação da qualidade final do produto. Suponha que T ~ U[150, 300]. Calcule a probabilidade de a temperatura ser no máximo 200 o e no mínimo 160 o. Resposta: 4/ V. A. E X P O N E N C I A L ( C a p. 6 ) Estima-se que o tempo de falha de um tubo de televisão seja distribuído exponencialmente, com uma média de três anos. Uma companhia oferece seguro para esses tubos no primeiro ano de uso. Qual a porcentagem de apólices que terão que pagar? Resposta: P(X<1)= 0, Um transistor tem distribuição exponencial para o tempo de falha, com um tempo médio de falha de horas. O transistor já durou horas em uma determinada aplicação. Qual é a probabilidade de que o transistor falhe em torno de horas? (Considere, em torno como menor ou igual ). Resposta: 1-e -1/2.

4 10. (adicional) Uma fábrica de tubos de TV observou que a vida média dos tubos de sua fabricação é de 800 horas de uso contínuo e segue uma distribuição exponencial. Qual a probabilidade de que a fábrica tenha que substituir um tubo gratuitamente se oferece uma garantia de 300 horas de uso? Resposta: 1-e -3/ (adicional) O tempo de vida de uma lâmpada tem distribuição exponencial com média de 1000 horas. Qual é a probabilidade da lâmpada se queimar após 1000 horas de uso contínuo se até 800 horas ainda esteve em funcionamento? Resposta: e V. A. N O R M A L ( C a p. 7 ) Nas questões 12-16, basta probabilidade. normalizar X e olhar a tabela para calcular 12. Seja Z uma variável aleatória normal padronizada e calcule as seguintes probabilidades, usando esboços onde for apropriado: (a) P(0 Z 2)

5 R: 0,4772. (b) P(-1 Z +1) R: 0, (c) P(Z 1.65) R: 0,9505. (d) P(Z 1.96) R: 0,975. (e) P( Z > 1.5) R: 0,1336. (f) P(-1.9 Z 2) R: 0,9485. (g) P(Z 1.37) R:0,9147. (h) P( Z 2.57) R: 0, Seja X ~ N(10, 9). Ache P(X 8), P(X 12), P(2 X 10). R: 0,25; 0,25; 0, Em cada parte a seguir, ache o valor de c que torna verdadeira a afirmativa sobre probabilidade. (a) Φ(c) = R: c=1,56. (b) P( Z c) = 0.95 R: c=1,96. (c) P( Z c) = 0.99 R: c=2,58. (d) P(Z c) = 0.05 R: c=-1,65.

6 15. Se P(Z z α ) = α, determine z α para α = 0.025, α = 0.005, α = 0,05 e α = R: 1,96; 2,58; 1,65, 2, Se X ~ N(80, 10 2 ), calcule o seguinte: (a) P(X 100) R:0,9772. (b) P(X 80) R:0,5. (c) P(75 X 100) R:0,5328. (d) P(75 X) R:0,6915. (e) P( X 80 ) 19.6 R:0, A vida de determinado tipo de bateria de cela seca é distribuída normalmente, com uma média de 600 dias e um desvio-padrão de 60 dias. Que fração dessas baterias espera-se que sobreviva acima de 680 dias? Que fração espera-se que falhe antes de 560 dias? R: (a) 1- Φ(4/3); b) 1- Φ(2/3).

7 18. O gerente de pessoal de uma grande companhia exige que os candidatos a emprego façam certo teste e alcancem um escore de 500. Se os escores dos testes são normalmente distribuídos, com uma média de 485 e um desvio-padrão de 30, que percentagem dos candidatos será aprovada no teste? R: 0, A experiência indica que o tempo de desenvolvimento para um papel fotográfico de impressão é distribuído normalmente como X ~ N(30 segundos; 1.21 segundos 2 ). Ache o seguinte: (a) A probabilidade de que X seja, no mínimo, de 28.5 segundos. (b) A probabilidade de que X seja, no máximo, de 31 segundos. (c) A probabilidade de que X seja diferente de seu valor esperado por mais de 2 segundos. Resposta: (a) Φ(1,36); (b) Φ(0,91); (c) 2-2Φ(1,82). 20. Certo tipo de lâmpada tem um resultado que é normalmente distribuído, com média de 2500 foot-candles e um desvio-padrão de 75 foot-candles. Determine o limite inferior de especificação tal que apenas 5% das lâmpadas fabricadas serão defeituosas. Resposta: 2376,25.

8 21. Se X ~ N(μ,σ 2 ), mostre que Y = ax + b, em que a e b são constantes reais, é também normalmente distribuída. Resposta: Y ~N(aμ+b, a 2 σ 2 ). 22. (adicional) Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação tem duração normal com µ = km e σ =5.000 km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, tenha um motor que dure: (a) menos de km?; (b) Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior a garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores seja de 2%? Resposta: (a) Φ(2); (b)x a tal que P(X< X a )=0, (adicional) Uma pesquisa de dados mostra que o peso de bebês nascidos nos Estados Unidos possui distribuição normal com média µ = 3432 e desvio padrão de 482 gramas. (a) Qual a probabilidade de o peso de nascimento de um bebê selecionado aleatoriamente estar entre 3000 e 4000 gramas? (b) Qual é o peso máximo que apresentam 95% dos bebês? Resposta: (a) Φ(1.18)+ Φ(0.89)-1; (b) X a tal que P(X< X a )=0,95.

9 DISTRIBUIÇÃO MULTIVARIADA (Cap. 4) Uma gerente de estoque acumulou registros da demanda do produto de sua companhia pelos últimos 100 dias. A variável aleatória X representa o número de pedidos recebidos por dia, e a variável aleatória Y representa o número de unidades por pedido. Seus dados estão exibidos na tabela a seguir. Ache o número esperado de unidades por pedido, dado que há três pedidos por dia. y x /100 6/100 3/100 2/100 1/100 1/100 1/100 1/100 1/ /100 5/100 3/100 2/100 1/100 1/100 1/ /100 5/100 2/100 1/100 1/ /100 4/100 2/100 1/100 1/ /100 3/100 1/100 1/ /100 3/100 1/100 1/100 Resposta : E(Y X=3)=17/ (adicional) Dada a função P(X=k,Y= j) = (0,5) 2 (0,5) k + j se k, j = 0, 1, 2,... e P(X=i, Y=j) = 0 caso contrário. (a) Determine as probabilidades marginais. (b) São X e Y independentes? Justifique; (c) Qual é a esperança e variância de X e Y. (d)calcule a covariância de X e Y Resposta: (a) 0,5(0,5) k, 0,5(0,5) j, (b) Sim c) ; d) 0.

10 PROPRIEDADES DA NORMAL E TLC (Cap. 7 ) Ache a média e a variância da combinação linear Y =X 1 +2 X 2 +X 3 + X 4 Onde X 1 ~ N(4, 3), X 2 ~ N(4, 4), X 3 ~ N(2, 4) e X 4 ~ N(3,2). Qual é a probabilidade de que 15 Y 20? 27. Um eixo com diâmetro externo (D.E.) ~ N(1.20; 0,0016) é inserido em um mancal comum de diâmetro interno (D.I.), que é N(1.25; 0,0009). Determine a probabilidade de interferência (Probabilidade da diferença ser maior que zero). Resposta: Φ(1).

11 28. Uma montagem consiste em três componentes colocados lado a lado. O comprimento de cada componente é distribuído normalmente, com uma média de 2 polegadas e um desvio-padrão de 0,2 polegada. As especificações exigem que todas as montagens tenham comprimento entre 5,7 e 6,3 polegadas. Qual a probabilidade de uma montagem satisfazer essa exigência? Resposta: Livro. 29. Sejam X i (i = 1, 2,..., n) variáveis aleatórias independentes, identicamente distribuídas, com média μ e variância σ 2. Considere a média amostral X= 1 n ( X 1 + X X n )= 1 n i=1 X i n Mostre que E( X ) = μ e V( X ) = σ2 /n. 30. O erro de arredondamento tem uma distribuição em [-0,5, +0,5], e esses erros são independentes. Faz-se uma soma de 50 números, em que cada número é arredondado antes de ser somado. Qual é a probabilidade de que o erro de arredondamento total exceda 5? Resposta: Livro. 31. Cem pequenos parafusos são embalados em uma caixa. Cada parafuso, em média, pesa uma onça, com um desvio-padrão de 0,1 onça. Ache a probabilidade de que a caixa pese mais de 102 onças. Resposta: 1- Φ(2).

12 32. (adicional) Um fabricante de produtos alimentícios vende seus produtos em latas de 900 g de conteúdo. Para embalar o produto adquiriu uma máquina que permite obter o peso desejado com distribuição normal com desvio padrão 10 g. O I.P.M. (Instituto de Pesos e Medidas) exige que no máximo 5 % contenham menos do que o líquido especificado. (a) Se a máquina for regulada para 910g, poderá satisfazer tal exigência?; (b) Qual deverá ser a regulagem da máquina para que a exigência do I.P.M. seja observada?; (d) O I.P.M. examina 50 de tais latas fabricadas com a nova regulagem. Qual a probabilidade aproximada de ao menos 40 satisfaçam as exigências do I.P.M.? Resposta: (a) não; (b)916, 5; (c) (adicional) Suponha que há 49 alunos em uma turma de P.E. da UnB e que o tempo necessário para corrigir uma prova escolhida aleatoriamente, por um professor, é uma v.a. com média 8 min e desvio padrão 6 min. Se os tempos de correção são independentes e o professor começa a corrigir `as 19:00 hs, sem parar, qual a probabilidade (aproximada) de terminar as correções antes das 23:00 hs? Resposta: 0,0001.

13 34. (adicional ) Um trabalho de cálculo numérico envolve a execução de um programa curto. Se uma experiência anterior indica que 40% dos alunos não cometem erros de programação, qual a probabilidade (aproximada) de que em uma turma de 50 alunos, os quais trabalharam independentemente, pelo menos 25 não cometeram erros? Resposta: 0, (adicional) Suponha que o tempo gasto por um aluno de certa Universidade em um projeto específico é uma v. a. exponencial com média 2 horas. Se forem escolhidos aleatoriamente 50 alunos para desenvolver projetos independentes. Qual a probabilidade de todos os projetos serem desenvolvidos em no máximo 125 horas? Resposta: Φ(1,77).