FATEC GT/FATEC SJC. Prof. MSc. Herivelto Tiago Marcondes dos Santos [LISTA 2]

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1 FATEC GT/FATEC SJC Prof. MSc. Herivelto Tiago Marcondes dos Santos [LISTA 2]

2 1. O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo com a densidade Uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos, tendo por base experimentos conduzidos em animais. Um paciente, que esteja sofrendo dor, recebe o remédio e, supondo válido o modelo mencionado acima, pergunta-se a probabilidade da dor: a. Cessar em até 10 minutos? b. Demorar pelo menos 12 minutos? c. Durar mais de 7 minutos, sabendo-se que durou menos de 10? 2. Suponha que o tempo de vida T de um vírus exposto ao meio ambiente segue uma distribuição Exponencial com parâmetro = 0,05s. Calcule 3. Dois amigos planejam um encontro entre 20 e 21 horas. Um deles é pontual e pretende chegar às 20:30 horas e esperar por exatos 15 minutos. O outro é mais imprevisível e poderá chegar em qualquer momento do intervalo inicialmente previsto, saindo imediatamente se não encontrar o amigo. Qual é a probabilidade deles se encontrarem? Qual é a probabilidade deles não se encontrarem por um lapso de no máximo 5 minutos? 4. Para uma Exponencial de parâmetro 1, calcule a probabilidade de sortearmos um valor que se distancie no máximo 0,5 da média. Obtenha a expressão da função de distribuição ( ) dessa variável. Qual é o valor do terceiro quartil? 5. O tempo, em minutos, de utilização de um caixa eletrônico por clientes de um banco, foi modelado por uma variável T com densidade exponencial (3). Determine: a. b. c. Um número a tal que 6. O tempo necessário para eliminar o perigo de contaminação de um pesticida, após a sua aplicação em um pomar, é uma variável com densidade Exponencial (2 anos). O maior ou menor tempo depende de fatores como chuva, vento, umidade da região. Tendo em vista esse comportamento, as autoridades sanitárias recomendam que o contato direto ou indireto com as frutas pulverizadas seja evitado por algum tempo após a aplicação. Calcule a probabilidade de uma fruta desse pomar, escolhida ao acaso, não estar mais contaminada após 1 ano da pulverização. Qual é a nossa segurança se aguardarmos 2 anos para consumir as frutas? 7. Na distribuição, encontre: a. b. c. d. O número a tal que

3 e. O número a tal que 8. Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma distribuição Normal de média 130 kg e desvio padrão 20 kg. Para determinar o tratamento mais adequado, os 25% pacientes de menor peso são classificados de magros, enquanto os 25% de maior peso de obesos. Determine os valores que delimitam cada uma dessas classificações. 9. Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma série de operações seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que o tempo necessário para completar o teste seja distribuído de acordo com uma Normal de média 90 minutos e desvio padrão 20 minutos. a. Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de 80 minutos. Se 65 candidatos tomam o teste, quantos são esperados passar? b. Se os 5% melhores candidatos são alocados para aeronaves maiores, quão rápido deve ser o candidato para que tenha essa posição? 10. Com base em experiências anteriores, a Companhia Telefônica sabe que 10% das contas de seus clientes em uma comunidade são pagas com atraso. Para os itens abaixo, compare a solução exata com aquela obtida através da aproximação da variável aleatória pela distribuição Normal. a. Se 20 contas são enviadas em um dia pela Companhia Telefônica, qual é a probabilidade de que menos do que 3 sejam pagas com atraso? b. Se 150 contas são enviadas mensalmente para a comunidade, encontre a probabilidade de que 17 ou mais sejam pagas com atraso. 11. A durabilidade de um tipo de pneu da marca Rodabem é descrita por uma variável Normal de média km e desvio padrão de km. a. Se a Rodabem garante os pneus pelos primeiros km, qual a proporção de pneus que deverão ser trocados pela garantia? b. O que aconteceria com a proporção do item (a), se a garantia fosse para os primeiros km? c. Qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria sob garantia no máximo 2% dos pneus? d. Se você comprar 4 pneus Rodabem, qual será a probabilidade de que você utilizará a garantia ( km) para trocar um ou mais destes pneus? 12. Seja Determine: a. b. c. d.

4 e. f. 13. Uma corretora negocia títulos na Bolsa de Valores e utiliza um modelo probabilístico para avaliar seus lucros. Suas aplicações financeiras de compra e venda atingem três áreas: agricultura, indústria e comércio. Admita que o seguinte modelo represente o comportamento do lucro diário da corretora (em milhares de reais):, com L A, L I e L C representando, respectivamente, os lucros diários nos setores agricultura, indústria e comércio. As distribuições de probabilidade dessas variáveis são. Supondo independência entre os três setores, qual será a probabilidade de um lucro diário acima de 50 mil? 14. O diâmetro de um cabo elétrico é normalmente distribuído com média 0,8 e variância 0,0004. Qual é a probabilidade de que o diâmetro ultrapasse 0,81? 15. Suponha que X, a carga de ruptura de um cabo (em kg), tenha distribuição N(100, 16). Cada rolo de 100 metros de cabo dá um lucro de US$ 25, desde que. Se, o cabo poderá ser utilizado para uma finalidade diferente e um lucro de US$ 10 por rolo será obtido. Determinar o lucro esperado. 16. O gerente geral da empresa necessita conhecer o valor do investimento do projeto para lançamento do novo produto. Quando pergunta ao gerente de projetos novos da empresa, este responde que a estimativa se situa entre R$ 1,5 milhão e R$ 2 milhões, com 50% de probabilidade de acerto. Qual a probabilidade do investimento não passar de R$ 1 milhão? Considere uma distribuição normal para os valores do investimento. 17. O produto farmacêutico é colocado em ampolas por uma máquina automática que pode ser ajustada em qualquer volume entre dez e vinte centímetros cúbicos. O volume do produto é uma variável aleatória com distribuição normal com desvio padrão 0,4 centímetros cúbicos. A especificação do controle de qualidade exige que pelo menos 98% das amplas contenham 16 centímetros cúbicos a mais. Qual o volume que a máquina deve ser ajustada? 18. O prazo de operação medido em horas de uma máquina de embalagem de frascos sem interrupções para manutenção tem distribuição exponencial com média de duas horas. Qual a probabilidade desta máquina conseguir operar mais de uma hora sem interrupção? 19. O gerente do controle de qualidade da empresa de refrigerantes afirma que as garrafas tem em média 610 ml e desvio padrão 8 ml com distribuição normal. Qual a probabilidade de: a. De uma garrafa conter menos de 600 ml de refrigerante? b. Mais de 600 ml de refrigerante? c. Entre 600 e 620 ml de refrigerante?

5 20. Suponha-se que a duração de vida de dois dispositivos eletrônicos, D 1 e D 2, tenham distribuições N(40, 36) e N(45, 9), respectivamente. Se o dispositivo eletrônico tiver de ser usado por um período de 45 horas, qual dos dois dispositivos deve ser preferido? Se tiver de ser usado por um período de 48 horas qual deles deve ser preferido? 21. Sabe-se que os erros, em certo dispositivo para medir comprimentos, são normalmente distribuídos com valor esperado Zero e desvio padrão 1 (uma) unidade. Qual é a probabilidade de que o erro na medida seja maior do que 1 unidade? 2 unidades? 3 unidades? 22. Suponha que X seja uma variável aleatória para a qual e. Suponha que Y seja Uniformemente distribuída sobre o intervalo (a, b). Determine a e b de modo que:. 23. Suponha que X, a carga de ruptura de um cabo (em kg), tenha distribuição N(100, 16). Cada rolo de 100 metros de cabo dá um lucro de US$ 25, desde que X> 95. Se X 95, o cabo poderá ser utilizado para uma finalidade diferente e um lucro de US$ 10 por rolo será obtido. Determinar o lucro esperado do rolo. 24. O diâmetro D exterior de um eixo é especificado igual a 4 polegadas. Considere D como uma variável aleatória normalmente distribuída com média 4 polegadas e variância 0,01 polegadas 2. Se o diâmetro real, diferir do valor especificado por mais de 0,05 polegadas e menos de 0,08 polegadas, o prejuízo do fabricante será de US$ 0,50. Se o diâmetro real diferir do diâmetro especificado por mais de 0,08 polegadas, o prejuízo será de US$ 1. O prejuízo L pode ser considerado uma variável aleatória. Estabeleça a função de probabilidade de L e calcule. 25. Suponha que X tenha distribuição N(µ, σ 2 ). Determine c (escrever c como uma função de µ e σ), tal que: 26. Suponha a temperatura (medida em graus Celsius) seja normalmente distribuída, com valor esperado 50 C e desvio padrão 2 C. Qual é a probabilidade de que a temperatura esteja entre 48 C e 53 C? 27. Seja X o número de vezes que uma moeda não viciada é lançada, após lançar 40 vezes, e mostra a face Cara. Encontre a probabilidade de que X=20. Use a aproximação Normal [ ] e compare com solução exata [Binomial]. 28. Suponha que a altura, em polegadas, de homens de 25 anos de idade, seja uma variável aleatória normalmente distribuída com parâmetros. a. Qual a porcentagem desses homens tem mais de 6 pés e 2 polegadas [1pé = 12 polegadas]? b. Qual a porcentagem deles tem menos de 6 pés e 5 polegadas? 29. O tempo de vida de um chip produzido por uma empresa de semicondutores são normalmente distribuídos com parâmetros. Qual é a probabilidade

6 aproximada de que um lote de 100 chips contenha no mínimo 20 deles com tempo de vida menor do que. 30. O peso das latas de pêssego em caldas tem distribuição normal com média g e desvio padrão 40g. Se for retirada uma lata de um lote grande de latas, calcular a probabilidade: a. Do peso da lata ser menor que 990 g. b. Do peso dessa lata ser maior que 1.060g. c. Do peso dessa lata estar no intervalo (950, 1050). 31. As vendas mensais dos últimos 50 meses têm distribuição Normal com média igual a $500 mil e desvio padrão $80 mil. Se para o próximo mês a empresa estabeleceu uma meta de vendas de $550 mil, considerando que os dados históricos se repetem no futuro próximo, calcular: a. A probabilidade de ficar abaixo da meta. b. A probabilidade de superar a meta. c. A probabilidade das vendas se situarem entre 80% e 110% da média. 32. Os resultados da pesquisa de custo de vida das famílias com renda entre 10 e 15 salários mínimos (R$ e R$ 2.000) (OESP, 24/05/1999) mostram que as despesas mensais com alimentação tem distribuição normal com média R$ 500 e desvio padrão R$ 90. Responda que porcentagem dessas famílias tem despesas mensais com alimentação, sem utilizar a tabela Z nem nenhuma função estatística: a. Até R$ 500? b. Até R$ 410? c. Maiores do que R$ 680? d. Menores do que R$ 680? 33. Para ser membro da Mensa International (mesa em latim), por exemplo, o candidato precisa obter uma pontuação que se encaixe entre os 2% mais inteligentes do mundo cerca de 132 pontos no teste de QI (Quociente de inteligência). A média da população em geral varia em torno de 100. a. Considerando que o QI seja uma variável aleatória com distribuição normal, qual o desvio padrão? b. A partir do item a, qual o QI de um participante que pertence ao seleto grupo dos 0.1% mais inteligentes do mundo? c. Qual o QI de um participante que pertence ao grupo dos: Um em trinta mil mais inteligentes do mundo? Um em um milhão mais inteligentes do mundo?