MAE116 Noções de Estatística

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1 Exercício 1 Suponha que os tempos de vida de dois aparelhos elétricos D1 e D2 tenham distribuições N(42, 36) e N(45, 9), respectivamente. Se os aparelhos são feitos para serem usados por um período de 45 horas, (a) (1,25) qual aparelho deve ser preferido? Seja X1 o tempo de vida do aparelho eléctrico D1 com X1 ~ N(42; 36) e X2 o tempo de vida do aparelho eléctrico D2 com X2 ~N(45; 9). Logo, calculamos e P(X1 < 45) = P(Z < 0,5) = 0,6915 P(X2 < 45) = P(Z < 0) = 0,5. Portanto, o aparelho a ser preferido é o D2, pois a probabilidade que dure menos de 45 horas é menor que a do aparelho D1. (b) (1,25) E se for por um período de 49 horas? Para o segundo período temos P(X1 < 49) = P(Z < 1,2) = 0,8849 e P(X2 < 49) = P(Z < 1,3) = 0,9032: Portanto, o aparelho a ser preferido é o D1, pois a probabilidade que dure menos de 49 horas é menor que a do aparelho D2. Exercício 2 A durabilidade de um tipo de pneu da marca Michelin é descrita por uma variável aleatória Normal de média km e desvio padrão de km. (a) (1,25) Se a Michelin garante os pneus pelos primeiros km, qual é a proporção de pneus que deverão ser trocados na garantia? Solução Se X: Durabilidade do pneu, então X~N(60.000, (8.300) 2 ). Precisamos calcular P(X ) P(X ) = P Z = P Z = P(Z -1,45) = 8300 = P(Z 1,45) = 1 P(Z < 1,45) = 1 A(1,45) = 1 0,9265 = 0,0735. Portanto, 7,35% dos pneus devem ser trocados pela garantia. Página 1 de 6

2 (b) (1,25) Qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria sob garantia no máximo 2% dos pneus? Solução A garantia desejada é a constante c tal que P(X c) conforme a figura a seguir: 0,02 0,98 C X X~N(60.000, ) c c P(X c) = P Z 0, 02 P Z 0, 02 (por simetria) c 1 P Z 0, c P Z 0,98 Pela tabela da N(0,1), o valor que deixa uma área de 0,98 a esquerda é 2, c Então, 2, c (2,06 x 8.300) c km. Página 2 de 6

3 Exercício 3 (2,5) A distribuição das relações altura/comprimento de conchas de mexilhões Perna perna, num ambiente de costão batido, pode ser representada por uma distribuição normal, com média de 0,5 e desvio padrão de 0, Um pesquisador pretende classificá-los de acordo com a relação acima, do seguinte modo: 25% dos mais leves, como pequenos, os 50% seguintes como médios e os 25% restantes como grandes. Quais os valores de altura/comprimento que classificam os mexilhões como pequenos, médios e grandes? Seja X: A distribuição das relações altura/comprimento de conchas de mexilhões Perna perna. Então X~N(0,5; 0, ). Assim, P(X x 1 ) = 0,25 P (Z x 1 0,5 0,02414 ) = 0,25 Então,z = x 1 0,5 0,02414 = 0,67. Logo x 1 = 0,5 + (0,02414) ( 0,67) = 0,48. e P(X x 2 ) = 0,75 P (Z x 2 0,5 0,02414 ) = 0,75 Então,z = x 2 0,5 0,02414 = 0,67. Logo x 2 = 0,5 + (0,02414) (0,67) = 0,52. Assim os valores de altura/comprimento que classificam os mexilhões como pequenos, médios e grandes são 0,48 e 0,52 Página 3 de 6

4 Exercício 4 Uma máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição normal, com média e desvio padrão 10 g. (a) (0,5)Em quanto deve ser fixado o peso médio para que apenas 10% dos pacotes tenham menos de 500 g? Seja X: peso dos pacotes obtidos por essa máquina. Então X~N(μ; 10 2 ). Se 10% dos pacotes têm menos de 500 g, temos a seguinte relação, P(X < 500) = 0,10 P (Z < 500 μ ) = 0,10 10 Temos que a é tal que A(a)=0,90 e z = a. Pela tabela, a = 1,28 e, assim, z = 1,28. Então, z = 500 μ = 1,28. Logo μ = ,8 = 512,8. 10 Portanto, para que apenas 10% dos pacotes tenham menos de 500 g, o peso médio deve ser μ = 512,8 g. Com a máquina assim regulada, (b) (0,5)qual é a probabilidade de que o peso de um pacote exceda 550 g? Do item (a) temos que μ = 512,8, ou seja, X~N(512,8; 10 2 ). Então, a probabilidade de que o peso de um pacote exceda 600 g é P(X > 550) = P (Z > ,8 ) = P(Z > 3,72) = 1 A(3,72) = 1 0,9999 = 0, Logo, P(X > 550) = 0,0001 Página 4 de 6

5 (c) (0,75) Determine a porcentagem de pacotes em que o peso não se afasta da média em mais que dois desvios padrões. Temos que a porcentagem de pacotes em que o peso não se afasta da média em mais que dois desvios padrão é dado por P(μ 2σ < X < μ + 2σ) = P( 2 < Z < 2) = P(Z < 2) P(Z < 2) = P(Z < 2) P(Z 2) = P(Z < 2) (1 P(Z < 2)) = 2 P(Z < 2) 1 = 2 A(2) 1 = 2 0, = 0,9544. (d) (0,75) Se forem selecionados 12 pacotes, qual é a probabilidade de que pelo menos dois pacotes tenham peso inferior a 500 g? Do item (a) temos que a probabilidade de que o peso de um pacote tenha menos de 500 g é p=0,10. Seja a variável N: número de pacotes com menos de 500g, então N~ Bin(12; 0,10). Obtenha a distribuição de probabilidades de Bin(12; 0,10) usando o MINITAB: Na planilha: Na coluna C1 da planilha coloque os dados 0,1,2,,12 No menu: Calc -> Probability Distributions -> Binomial -> Probability Number of trials = 12 Event probability = 0,10 Input column = C1 OK E obtenha a saída: Probability Density Function Binomial with n = 12 and p = 0,1 x P( X = x ) 0 0, , , , , , , , , , Página 5 de , , ,000000

6 Então, a probabilidade de que pelo menos 2 tenham peso inferior a 500 g é P(N 2) = 1 P(N < 2) = 1 (P(N = 0) + P(N = 1)) = 1 (0, ,376573) = 0, Ou, faça no menu do MINITAB: Calc -> Probability Distributions -> Binomial -> Cumulative Probability Number of trials = 12 Event probability = 0,10 Input column = C1 OK E obtenha a saída: Cumulative Distribution Function Binomial with n = 12 and p = 0,1 x P( X <= x ) 0 0, , , , , , , , , , , , ,00000 onde é fornecida, diretamente, a probabilidade na Bin(12; 0,10) de ocorrer um valor menor ou igual a x, e temos P(N 1) = P(N = 0) + P(N = 1) = 0, Página 6 de 6

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