P x. 2 i = P y. 2 i = Analise os dados e comente a possibilidade de existir uma relação linear entreasvariáveisemestudo.

Transcrição

1 8 Regressão Linear Exercício 8.1 Indique, justificando, qual dos valores abaixo indicados se aproxima mais do coeficiente de correlação dos dados descritos nas seguintes nuvens de pontos, X X X 1. r xy =0.. r xy =1. 3. r xy = r xy =. Exercício 8. Uma amostra de alunos, seleccionados ao acaso, de entre os inscritos nas unidades curriculares E e AMII na ESTSetúbal, produziu as seguintes classificações num teste efectuado a meio do ano lectivo (em %): AMII (x i ) E (y i ) xi = 57 yi =610 x i = y i = xi y i = Analise os dados e comente a possibilidade de existir uma relação linear entreasvariáveisemestudo.. A Joana e o António obtiveram, respectivamente, as seguintes notas notestedeamii:60% e 0%. Tendo ambos faltado ao teste de E, sugira valores para as notas esperadas nos testes destes alunos. Indique, justificando, se os valores sugeridos são de confiança. 3. A Maria obteve 70% no teste de E e ainda não conhece a nota do teste de AMII. Indique, justificando, uma estimativa da nota do teste de AMII da Maria. 63

2 Exercício 8.3 Na tabela seguinte está registada a percentagem da população com mais de 65 anos e a taxa de mortalidade (em permilagem) por distritos (dados de 1990): Distrito op. com mais de 65 anos (%) Tx. Mortalidade (% ) Aveiro Beja Braga C. Branco Évora Guarda ortalegre Setúbal Vila Real Viseu x i = y i = x i y i = x i = Identifique a variável dependente e independente e represente os dados através de um diagrama de dispersão. Comente o diagrama com vista a um possível ajustamento de uma recta de regressão linear simples.. Ajuste uma recta de regressão aos dados. 3. Qual a taxa de mortalidade prevista para um distrito em que a percentagem de população com mais de 65 anos é igual a 0? Comente, justificando, a qualidade da previsão efectuada. Exercício 8.4 A tabela seguinte constitui uma amostra aleatória referente às alturas, em centímetros, de 10 raparigas e respectivas mães: Altura das mães Altura das filhas Defina, justificando qual a variável explicativa e explicada.. Represente as observações num diagrama de dispersão e comente a possível existência de correlação linear. 3. Calcule o coeficiente de correlação linear empírico e comente-o. 4. reveja a altura de uma rapariga cuja mãe tenha 150 cm de altura. 64

3 5. Calcule os resíduos, analise-os graficamente e conclua acerca da qualidade do ajustamento efectuado. Exercício 8.5 Relativamente a um conjunto de 10 dados bidimensionais, (X, Y ), sabe-seque xi =160 x i = 874 xi y i =3496 yi =198 y i = Calcule a média e a variância de X.. Calcule o coeficiente de correlação entre X e Y. Comente o resultado. 3. Caso se justifique, determine a equação da recta de regressão de X sobre Y. 4. Apresente um valor admissivel para y quando x =16 ecomente-o. Exercício 8.6 Suponha que um médico está interessado em estudar a relação entre as despesas mensais com a saúde e os rendimentos dos portugueses. Recolheu-se informação (em milhares de euros) relativa a 15 famílias, tendo-se obtido os seguintes dados: Rendimento Despesa Represente as observações num diagrama de dispersão. Esta representação sugere a existência de alguma relação linear entre as variáveis em estudo? 65

4 . Calcule o coeficiente de correlação linear empírico e obtenha a expressão da recta dos mínimos quadrados. Comente o resultado obtido. 3. Calcule os resíduos, analise-os graficamente e conclua acerca da qualidade do ajustamento efectuado. 4. Substitua na amostra a observação (.1, 1.4) por (.1, 0.14). Represente novamente os dados através de uma nuvem de pontos e obtenha a correspondente recta dos mínimos quadrados. Indique, justificando, como classifica a observação substituída. 5. Calcule, utilizando a nova observação, o coeficiente de correlação linear empírico e proceda a uma análise de resíduos. 6. Obtenha uma estimativa (com base no último modelo linear) para os gastos com a saúde de uma família cujos rendimentos mensais são de 1500 euros e comente a sua qualidade. Exercício 8.7 O quadro seguinte é o resultado de observações feitas num túnel rodoviário durante períodos de 5 minutos, para o estudo da fluidez do tráfego, Densidade (Veíc./ km) Velocidade (km / hora) Calcule a variância de cada um dos conjuntos de dados observados. Qual dos conjuntos de dados apresenta maior dispersão? Justifique.. Calcule o coeficiente de correlação linear entre as duas variáveis. Que conclusões pode retirar? 3. Determine a equação da recta de regressão, caso se justifique. 66

5 Exercício 8.8 Considere X e Y duas variáveis discretas; para um conjunto de 6 observações foram determinados os seguintes valores, xi =981 yi =875 x i = y i = xi y i = Sabendo que um dos valores observados para a variável X foi 333 diga, justificando, se é possível obter uma estimativa do correspondente valor de Y. 67

6 Soluções 8.1.1: 3 a nuvem de pontos. 8.1.: 1 a nuvem de pontos : a nuvem de pontos : Valor impossível para r xy. 8..1: r xy = : by = x; Joana: by =63.001; António: by = : by = x; by = :. 8.3.: ŷ = x : ŷ = e r xy = :. 8.4.: : r xy = : cm : Bom : x =16e s X = : r xy = : by = x : by = :. 8.6.: r xy = e by = x : : by = x : r xy = : by = mil euros por mês : s X = e s Y = ; Densidade. 8.7.: r xy = : by = x. 8.8: r xy = e by =