1º Mini Teste B. Nº: Nome:

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1 Faculdade de Economia da Universidade ova de Lisboa 130 Análise de Dados e Probabilidade A 1º Semestre 008/009 Fernando Brito Soares Cátia Fernandes Erica Marujo Daniel Monteiro º: ome: Data: 8 de ovembro de 008, 11:00 Duração: 5 minutos ota: A utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset. Atenção: Responda a todas as perguntas nas folhas do enunciado. Escreva o seu número e nome na primeira página. ão desagrafe nenhuma folha. I (35%) o País do atal, o Pai atal decidiu fazer um estudo sobre a produtividade dos seus duendes na fábrica de brinquedos ao longo dos últimos 50 anos. Desse estudo, foram apurados os seguintes resultados, nos quais B corresponde ao número total de brinquedos produzidos por ano (em milhões), e H corresponde ao número médio de dias de trabalho dos duendes, num ano: a) (0%) Com base nesta informação, determine a equação da recta de regressão de B em relação a H (assuma que b>0). Interprete os valores de a e b. Foram ainda apuradas as seguintes informações sobre este estudo: b) (15%) Ajuste estes dados a uma função exponencial. Qual das duas relações lhe parece mais adequada aos dados: a linear ou a exponencial? II (35%) a) (15%) Considere os seguintes cronogramas e respectivas rectas de regressão para a evolução do consumo de café de uma aluna e de um aluno da Faculdade de Economia ao longo dos três anos de licenciatura: 1

2 130 Aluno 130 Aluna 0 0 tempo (em trimestres) tempo (em trimestres) Comente, em não mais do que 5 linhas, a seguinte afirmação: Se quisermos fazer previsão para a evolução do consumo de café dos dois alunos, conhecermos os respectivos índices de sazonalidade é igualmente útil. b) (0%) Considere os mais recentes dados trimestrais do IE para a evolução do Rendimento Disponível Bruto (em milhões de Euros): Ano Trimestre I II III IV n.d. n.d. Estime a tendência para o ano de 006 pelo método das médias móveis de período. III (30%) Conhece se a seguinte informação referente às quantidades consumidas e respectivos preços de dois bens, nos anos 005 e 006: AO 005 AO 006 Preço Quantidade Preço Quantidade Massa K=? Arroz 8 9 W=? 7 a) Sabendo que o Índice de Laspeyres de Quantidades para o ano 006 com base em 005 é igual a 0,803 e que o Índice da Despesa Total para o ano 006 com base em 005 é igual a 1,038 indique : a 1 ) (15%) Qual o valor assumido por K. a ) (15%) Qual o valor assumido por W.

3 Correcção Mini Teste B I (35%) o País do atal, o Pai atal decidiu fazer um estudo sobre a produtividade dos seus duendes na fábrica de brinquedos ao longo dos últimos 50 anos. Desse estudo, foram apurados os seguintes resultados, nos quais B corresponde ao número total de brinquedos produzidos por ano (em milhões), e H corresponde ao número médio de dias de trabalho dos duendes, num ano: R B,H =0,9; s B =500; s H =50; i=1 B i i=1 =110500; H i =115650; H =30 a) (0%) Com base nesta informação, determine a equação da recta de regressão de B em relação a H. Interprete os valores de a e b. A recta de regressão de B em relação a H é dada pela seguinte expressão: B a bh, onde B é a variável explicada ou dependente e H a variável explicativa ou independente. Assim, com a informação disponível no enunciado, para encontrarmos o valor de b, sabemos qu e: R sh 50 B,H 0,9 b 0,9 b s B 500 0,9 b 0, b 9 b 3 b 3 Mas como pelo enunciado assumimos que b 0, então a hipótese correcta neste caso é b 3. Em relação ao valor de a, sabemos que será determinado por: a B b H o entanto, para podermos determinar este valor, primeiro torna se necessário calcular o valor da média da variável B (número médio de brinquedos produzidos por ano). Uma vez que conhecemos o valor da variância de B e de s B i 1 B i i=1 B i, torna se fácil calcular este valor: B B B B 1100 B 1100 Mas uma vez mais, neste caso, só faz sentido considerarmos o valor positivo, logo: B 1100 Assim, o valor do coeficiente a será: a B b H a a 80 Logo, a recta de regressão de B em relação a H é dada por: B 80 3H 3

4 O valor de a corresponde à ordenada na origem da recta, ou seja, corresponde ao número de brinquedos produzidos por ano, em milhões, caso os duendes não trabalhassem nenhum dia. Como neste caso o valor de a é positivo, este valor diz nos que, caso os duendes não trabalhem nenhum dia, durante um ano, o valor da produção de brinquedos será de 80 milhões de unidades. o entanto, intuitivamente sabemos que tal afirmação não faz sentido (a não ser que alguém produza os brinquedos pelos duendes nos dias em que estes não trabalham, o que é pouco provável...) O valor de b corresponde ao declive da recta de regressão, e é geralmente designado por coeficiente de regressão. este caso, o valor de b diz nos que quando os duendes trabalham, em média, um dia a mais por ano, o valor da produção total de brinquedos aumenta em 3 milhões, em média. Foram aind a apuradas as seguintes informações sobre este estudo: i=1 H i ln B i =570; ln B i =331,5 i=1 ; ln B =7,5 b) (15%) Ajuste estes dados a uma função exponencial. Qual das duas relações lhe parece mais adequada aos dados: a linear ou a exponencial? este caso, a função exponencial terá a seguinte forma: B AB H i, i em que A e B são os parâmetros que definem a função exponencial, B i é a variável explicada e H i é a variável explicativa. Uma vez que não é possível aplicarmos o método dos mínimos quadrados directamente a esta função por esta não ser linear, teremos que logaritmizar esta função de modo a transformá la numa função linear, isto é, na equação de uma recta: H B i AB B B ' i a ' b ' H i ' ln B i ln AB H i ln B i ln A H i ln i Onde: B i ' ln B i ; a ' ln A ; b ' ln B ; H i ' H i Assim, ao aplicarmos o método dos mínimos quadrados a esta recta de regressão, o valor de b ' é dado por: b ' ln B i ,5 0, 50 E o valor de a ' será: H i ln B i H ln B i 1 H i ln B i i 1 H H ln B i 1 H i ln B i H ln B i H i 1 H i H s H a ' ln A ln B b' H 7,5 0, 30 18,5 Logo: ln B i 18,5 0,Hi

5 Para podermos transformar esta equação novamente na equação da relação exponencial temos que fazer: ' a ' ln A A e a A e 18,5 b ' ln B B e b' A e, 1,9 Logo, a função exponencial é dada por: B e 18,5 1,9 H Para averiguarmos qual das relações é mais adequada aos dados temos que comparar o coeficiente de determinação de cada uma das relações (linear e exponencial). Uma vez que no caso da relação exponencial não é possível determinar o coeficiente de determinação para a equação inicial por esta não ser linear, temos que calcular o coeficiente de determinação aplicada à equação da recta logaritimizada: Relação Linear: R Linear 0,9 Relação Exponenci al: b ' R Exponencial Onde: s ln B s H 0, ,8 s ln B ln B i i 1 Assim, como: R Exponencial 0,8 R Linear 0,9 ln B 331, ,5 10 Podemos concluir que a relação linear se ajusta melhor aos dados do que a relação exponencial. 5

6 II (35%) a) (15%) Considere os seguintes cronogramas e respectivas rectas de regressão para a evolução do consumo de café de uma aluna e de um aluno da Faculdade de Economia ao longo dos três anos de licenciatura: 130 Aluno 130 Aluna 0 0 tempo (em trimestres) tempo (em trimestres) Comente, em não mais do que 5 linhas, a seguinte afirmação: Se quisermos fazer previsão para a evolução do consumo de café dos dois alunos, conhecermos os respectivos índices de sazonalidade é igualmente útil. A afirmação é falsa. É possível observar que o comportamento cíclico do consumo de café, evidente em ambos os casos, é sazonal somente no caso da aluna. Em particular, a aluna consome acima da tendência no primeiro e quarto trimestre, e abaixo no segundo e terceiro. Já o consumo do aluno não apresenta sazonalidade (por exemplo, para o primeiro trimestre, consome acima da tendência no primeiro ano, abaixo no segundo e na tendência no terceiro). Assim, conhecer o índice de sazonalidade apenas será útil no caso da aluno, onde servirá para corrigir em alta ou em baixa as estimativas dadas pela recta da tendência. 6 b) (0%) Considere os mais recentes dados trimestrais do IE para a evolução do Rendimento Disponível Bruto (em milhões de Euros): Ano Trimestre I II III IV n.d. n.d. Estime a tendência para o ano de 006 pelo método das médias móveis de período. Uma vez que iremos estimar a tendência somente para o ano de 006, só precisamos de considerar parte da tabela:

7 Ano Trimestre Rendimento (Rend) MM não centradas MM centradas I II ,5 III ,75 IV , ,5 I 01 - II uma primeira fase, estimamos as médias móveis não centradas de modo a preencher a co luna MM não centradas : MM I III, 06 R end I, 06 Rend II, 06 Rend III, 06 Rend IV, 06 T I MM II IV, 06 R end II, 06 Rend III, 06 Rend IV, 06 Rend I, 07 T I MM Rend III, 06 Rend IV, 06 Rend I, 07 Rend II, 07 T IV I, , , ,5 uma segunda fase, centramos as médias móveis de modo a obter a tendência T para o ano de 006: MM II, 06 MM MM T II III, 06 T III IV, 06 T I 3799, , T MM IV, 06 T MM MM III IV, 06 T IV I, , ,5 3857,5 De notar que apenas conseguimos estimar a tendência para o terceiro e o quarto semestres de 006, uma vez que a utilização de médias móveis de período implica que se percam os dois primeiros valores (tendência para o primeiro e segundo semestres de 006). 7

8 III (30%) Conhece se a seguinte informação referente às quantidades consumidas e respectivos preços de dois bens, nos anos 005 e 006: AO 005 AO 006 Preço Quantidade Preço Quantidade Massa K=? Arroz 8 9 W=? 7 a) Sabendo que o Índice de Laspeyres de Quantidades para o ano 006 com base em 005 é igual a 0,803 e que o Índice da Despesa Total para o ano 006 com base em 005 é igual a 1,038 indique : Q L 06/05 i 1 Q 06 i 1 Q 05 06/05 i 1 Q 06 i 1 Q 05 a 1 ) (15%) Qual o valor assumido por K. i i P 05 i i P 05 K ,803 K 5 a ) (15%) Qual o valor assumido por W. i i P 06 i i P W ,038 W 11 8