2º Mini Teste A I (40%)

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1 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 304 Análise de Dados e Probabilidade B º Semestre 2007/2008 Fernando Brito Soares Erica Marujo Pedro Chaves 2º Mini Teste A Data: 27 de Novembro de 2007,.00 Duração: 45 minutos Nota: A utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset. Atenção: Responda a todas as perguntas nas folhas do enunciado. Escreva o seu número e nome na primeira página. Não desagrafe nenhuma folha. I (40%) Uma determinada ilha situada no Oceano Atlântico exporta três tipos de produtos: bananas, flores e vinho. São conhecidos os seguintes dados referentes ao valor destas exportações, em milhares de euros, ao longo dos últimos 5 anos: Valor das Exportações (milhares de ) Ano Bananas Flores Vinho São ainda conhecidos os dados relativos às quantidades exportadas de bananas e flores (em toneladas) e dois índices de quantidades das exportações de vinho: Exportações Bananas Flores Vinho Ano Toneladas Toneladas Índice de quantidades (base 2002) Índice de quantidades (base 2004) c ,25 d , a, b,5 a) (5%) Determine os valores a, b, c e d.

2 Análise de Dados e Probabilidade B º Semestre 2007/2008 2º Mini Teste A b) (0%) Elabore um índice simples, com base em 2002, das quantidades exportadas de bananas e outro índice, com a mesma base, das quantidades exportadas de flores. c) (5%) Calcule o índice de quantidades de Paasche para 2006 com base em 2002, para o conjunto dos três produtos. II (60%) Considere o seguinte problema: a N.A.S.A. pretende formar duas equipas de astronautas, uma destinada a ir à Lua (equipa A) e outra destinada a reparar um satélite em órbita (equipa B). Para tal, são seleccionados 20 astronautas para se candidatarem às duas equipas: 8 Americanos, 5 Ingleses, 4 Espanhóis e 3 Portugueses. Sabe-se que a equipa A terá que ser constituída por 6 elementos e a equipa B por 4 elementos. Para decidir quais serão os astronautas escolhidos para integrar cada uma das equipas, colocam-se 20 bolas numeradas de a 20 num saco. Serão seleccionados os astronautas que retirarem as bolas numeradas de a 20. A constituição final de cada uma das equipas é feita da seguinte forma: colocamse agora apenas 0 bolas no saco, 6 pretas e 4 brancas e cada astronauta, de entre os que foram seleccionados, retira uma bola. Aqueles que retirarem uma bola preta irão ser integrados na equipa A, os outros na equipa B. a) (5%) De quantas maneiras diferentes se pode constituir a equipa A? E se for exigido que a equipa A tenha exactamente 2 Americanos e Inglês? b) (5%) Qual a probabilidade de pelo menos astronauta Português ser escolhido para integrar pelo menos uma das equipas? c) (30%) Sabe-se que, após a primeira selecção, foram escolhidos 5 astronautas Americanos, 2 Ingleses, Espanhol e 2 Portugueses (nas 3 sub-alíneas que se seguem, pode mas não precisa de fazer cálculos, mas deve sempre apresentar os seus raciocínios e os conceitos que utiliza). (i) (0%) Se o astronauta Espanhol tirar uma bola branca, qual a probabilidade de os 2 Ingleses e os 2 Portugueses irem simultanemanente reparar o satélite em órbita? (ii) (0%) Se todos os astronautas da mesma nacionalidade ficarem na mesma equipa, qual a probabilidade de os 2 astronautas Portugueses terem tirado uma bola branca? (iii) (0%) Os acontecimentos A: Os 2 astronautas Portugueses tiram uma bola branca e B: Todos os astronautas da mesma nacionalidade ficam na mesma equipa são independentes? Justifique. 2

3 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 304 Análise de Dados e Probabilidade B º Semestre 2007/2008 Fernando Brito Soares Erica Marujo Pedro Chaves I (40%) Uma determinada ilha situada no Oceano Atlântico exporta três tipos de produtos: bananas, flores e vinho. São conhecidos os seguintes dados referentes ao valor destas exportações, em milhares de euros, ao longo dos últimos 5 anos: Valor das Exportações (milhares de ) Ano Bananas Flores Vinho São ainda conhecidos os dados relativos às quantidades exportadas de bananas e flores (em toneladas) e dois índices de quantidades das exportações de vinho: Ano Exportações Bananas Flores Vinho Toneladas Toneladas Índice de quantidades Índice de quantidades (base 2002) (base 2004) c ,25 d , a, b,5 I / a) ( 5% ) Determine os valores a, b, c e d. q q V V q ; I / V V q I / q V q V V q V. q q V V q I V /.I/ V,2.,4,68

4 Análise de Dados e Probabilidade B º Semestre 2007/2008 V V q I / q V q V V q. q V V q I / V q V V q I / V q V q V q q V V q V q V q V q V q V q V V V I /.I/,5.,4 2, I V / V 0,74 I,4 / I V /,25 0,893 V I,4 / b) (0%) Elabore um índice simples, com base em 2002, das quantidades exportadas de bananas e outro índi ce, com a mesma base, das quantidades exportadas de flores. B F B q I / B q ; I F q / F q B B B q I / B q ; I B q / B q 2.040,024; B B B q 2.35 I / 2.040,047; I B q 2.20 /,083; B q B B q I / B q 2.300, F F q I / q q F 646 F q 72, F 52 ; I / 52,262; I / F F q B q F F q 590 F 52,52; I / F q q ,338; I / F F F q F q c) (5%) Calcule o índice de quantidades de Paasche para 2006 com base em 2002, para o conjunto dos trê s produtos. P / p.q p.q p p.q.q. q q Despesa Despesa.I / 2

5 Análise de Dados e Probabilidade B º Semestre 2007/2008 Despesa Despesa. I / Despesa. Despesa I / Despesa Despesa. I /, , ,432, , II (60%) Considere o seguinte problema: a N.A.S.A. pretende formar duas equipas de astronautas, uma destinada a ir à Lua (equipa A) e outra destinada a reparar um satélite em órbita (equipa B). Para tal, são seleccionados 20 astronautas para se candidatarem às duas equipas: 8 Americanos, 5 Ingleses, 4 Espanhóis e 3 Portugueses. Sabe-se que a equipa A terá que ser constituída por 6 elementos e a equipa B por 4 elementos. Para decidir quais serão os astronautas escolhidos para integrar cada uma das equipas, colocam-se 20 bolas numeradas de a 20 num saco. Serão seleccionados os astronautas que retirarem as bolas numeradas de a 20. A constituição final de cada uma das equipas é feita da seguinte forma: colocam-se agora apenas 0 bolas no saco, 6 pretas e 4 brancas e cada astronauta, de entre os que foram seleccionados, retira uma bola. Aqueles que retirarem uma bola preta irão ser integrados na equipa A, os outros na equipa B. a) (5%) De quantas maneiras diferentes se pode constituir a equipa A? E se for exigido que a equipa A tenha exactamente 2 Americanos e Inglês? Existem 20 astronautas diferentes passíveis de ser seleccionados e a equipa A tem 6 vagas indistinguíveis entre si, o que quer dizer que a ordem pela qual os astronautas são escolhidos é irrelevante: Número de maneiras diferentes de constituir a equipa A C 20! !. 20 6! Se a equipa A tiver que incluir obrigatoriamente 2 Americanos e Inglês, entre todos os Americanos e Ingleses disponíveis, então é possível escolher 2 de entre os 8 Americanos, para cada uma destas escolhas é possível escolher de entre os 5 Ingleses e para cada uma destas escolhas é possível escolher 3 de entre os 7 restantes (Espanhóis e Portugueses): Número de maneiras diferentes de constituir a equipa A, com exactamente 2 Americanos e Inglês C.C.C 8! 5!. 2!. 8 2!!. 5!. 7! !. 7 3! 3

6 Análise de Dados e Probabilidade B º Semestre 2007/2008 b) (5%) Qual a probabilidade de pelo menos astronauta Português ser escolhido para integrar pelo menos uma das equipas? Aqui, seria possível definir dois acontecimentos contrários: A: Pelo menos astronauta português é escolhido para integrar uma das equipas B: Nenhum astronauta português é escolhido para integrar qualquer das equipas No cálculo da probabilidade de qualquer um deles, poderíamos diferenciar a equipa em que cada astronauta fica ou não, já que o que é relevante é um astronauta estar presente ou não e não a equipa em que se encontra. Com diferenciação de equipas: Neste caso, o acontecimento A é a reunião de vários subacontecimentos: astronauta português é escolhido para a a equipa A e nenhum para a equipa B, é escolhido para a B e nenhum para a A, 2 para a A e nenhum para a B, 2 para a B e nenhum para a A, para a A e para a B, 3 para a A e nenhum para a B, 3 para a B e nenhum para a A, 2 para a A e para a B e para a A e 2 para a B: PA C.C.C C.C.C C.C.C C.C.C C.C.C.C C.C.C C.C.C C.C.C.C C.C.C.C /C.C , O acontecimento B consiste simplesmente em serem escolhidos apenas astronautas não portugueses para a equipa A e para a equipa B: AB PA PB C.C C 0,895.C Sem diferenciação de equipas: Agora, A acontece quando ou 2 o u 3 portugueses são escolhidos:.c PA C.C C.C C , C B consiste simplesmente em serem escolhidos apenas não portugueses para as duas missões: AB PA PB C ,895 C c) (30%) Sabe-se que, após a primeira selecção, foram escolhidos 5 astronautas Americanos, 2 Ingleses, Espanhol e 2 Portugueses (nas 3 sub-alíneas que se seguem, pode mas não precisa de fazer cálculos, mas deve sempre apresentar os seus raciocínios e os conceitos que utiliza). (i) (0%) Se o astronauta Espanhol tirar uma bola branca, qual a probabilidade de os 2 Ingleses e os 2 Portugueses irem simultanemanente reparar o satélite em órbita? 4

7 Análise de Dados e Probabilidade B º Semestre 2007/2008 A: O astronauta Espanhol tira uma bola branca B: Os 2 Ingleses e os 2 Portugueses vão simultaneamente reparar o satélite em órbita Aqui, basta notar que os acontecimentos A e B são mutuamente exclusivos. De facto, o astronauta Espanhol tirar uma bola branca nunca terá como consequência os 2 Ingleses e os 2 Portugueses repararem simultaneamente o satélite em órbita, já que apenas 4 astronautas o irão fazer e o Espanhol será um deles: PB A PB A P PA PA 0 0 C C (ii) (0%) Se todos os astronautas da mesma nacionalidade ficarem na mesma equipa, qual a probabilidade de os 2 astronautas Portugueses terem tirado uma bola branca? A: Os 2 astronautas Portugueses tiram uma bola branca B: Todos os astronautas da mesma nacionalidade ficam na mesma equipa Neste caso, podemos construir uma partição do Universo constituída por A e A, possíveis causas para o acontecimento B. Com esta construcção, B apenas acontece se A se verificar e nunca se A tiver ocorrido, já que para todos os astronautas da mesma nacionalidade ficarem na mesma equipa, é necessário que os Americanos e o Espanhol tenham tirado as bolas pretas e os Ingleses e os Portugueses as brancas. Ou seja, a probabilidade de A ter sido a causa pa ra o registo de B é. A aplicação do Teorema de Bayes confirma-nos este resultado: PA B PA B PB C PA.PB A PA.PB A C. C C C. C PA.PB A PA.PB A PA.PB A PA.PB A PA.PB A PA.0 (iii) (0%) Os acontecimentos A: Os 2 astronautas Portugueses tiram uma bola branca e B: Todos os astronautas da mesma nacionalidade ficam na mesma equipa são independentes? Justifique. Por um lado, é possível verificar que a ocorrência de B altera a probabilidade de A acontecer. De facto, A é um acontecimento não certo, já que pode ocorrer ou não, mas se B se registar, então a probabilidade de A ter lugar é, ou seja, A, condicionado na ocorrência de B, torna- o certo e, portanto, A e B não são independentes: se um aconteciment PA B 2 5 C C PA Por outro lado, podemos verificar que a probabilidade da intersecção de A e B não é equivalente ao produto da probabilidade de cada um dos acontecimentos, o que comprova a ideia de que A e B não são independentes: 5

8 Análise de Dados e Probabilidade B º Semestre 2007/2008 PA B PB C PA.PB 6