Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 1304 Análise de Dados e Probabilidade 2º Semestre 2007/2008 Fernando Brito Soares Erica Marujo

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Marco Angelim Gil
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Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 1304 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 00/008 Fernando Brito Soares Erica Marujo Mini Teste A Data: 8 de Março de 008, 14:00 Duração: 30

1 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 1304 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 00/008 Fernando Brito Soares Erica Marujo Mini Teste A Data: 8 de Março de 008, 14:00 Duração: 30 minutos Nota: A utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset. Atenção: Responda a todas as perguntas nas folhas do enunciado. Escreva o seu número e nome na primeira página. Não desagrafe nenhuma folha. A Autoridade Reguladora Aérea Europeia decidiu realizar um estudo sobre a capacidade dos aeroportos europeus. Assim, com base nos dados recolhidos em 00 aeroportos, construiuse o seguinte quadro, relativo ao número médio de voos diários registados em cada aeroporto, durante um ano: Número médio de voos diários Número de aeroportos a a b a) (15%) Sabendo que a média aritmética é igual a 48,5, determine o valor de a e b. b) (0%) Construa a tabela de frequências, indicando pontos médios, amplitudes, frequências absolutas e relativas, simples e acumuladas e densidades de frequência. c) (15%) Calcule a mediana e a moda. d) (0%) O mesmo estudo foi realizado nos EUA, onde os resultados indicaram uma média de 50 voos diários por aeroporto e uma variância de 9. O Presidente da Autoridade Reguladora Norte-Americana afirmou que, apesar dos EUA registarem um maior número médio diário de voos, a dispersão é mais acentuada na Europa. Comente a afirmação, justificando a sua resposta. e) (15%) Determine a variância do conjunto das duas áreas geográficas (Europa e EUA), sabendo que nos EUA o estudo foi realizado em 50 aeroportos. f) (15%) Na Europa, foi proposta uma lei que impõe um aumento de 5% no número médio de voos diários. A ser aprovada, que consequências teria esta lei sobre as medidas de localização desta distribuição? E sobre a variância? (Não precisa fazer novos cálculos). 1

2 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 1304 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 00/008 Fernando Brito Soares Erica Marujo A Autoridade Reguladora Aérea Europeia decidiu realizar um estudo sobre a capacidade dos aeroportos europeus. Assim, com base nos dados recolhidos em 00 aeroportos, construiu-se o seguinte quadro, relativo ao número médio de voos diários registados em cada aeroporto, durante um ano: Número médio de voos diários Número de aeroportos a a B a) (15%) Sabendo que a média aritmética é igual a 48,5, determine o valor de a e b. j 1,,3,, m: x l l h l l l h x 1 ' 010 5; x ' 10a ; x 3 ' a30 x 6 ' 090 nj N j1 x 1 m N n ' jx j ji 80; x ' ; x 4 ' 3050 N=00 Assim, podemos resolver o seguinte sistema de equações: m 40; x ' ; 1

3 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 00/008 48,5 b4 a a 1030b a30 b b) (0%) Construa a tabela de frequências, indicando pontos médios, amplitudes, frequências absolutas e relativas, simples e acumuladas e densidades de frequência. Após substituir o valor de a e b determinados na alínea anterior, obtemos a seguinte tabela de frequências: x j x j h j n j f j S j F * j d j ]0;10] , ,05 0,005 ]10;0] ,11 3 0,16 0,011 ]0;30] ,15 6 0,31 0,015 ]30;50] , ,5 0,0105 ]50;0] , ,8 0,014 ]0;90] , ,95 0,0065 ]90;10] , , c) (15%) Calcule a mediana e a moda. - Mediana: Para variáveis contínuas, a mediana é dada por F * x 0,5. Através das frequências relativas acumuladas apresentadas na tabela de frequências, podemos concluir que a mediana se situa na classe ]30;50]. Assim, por interpolação linear, temos: F 50 F x 48,095 F 50 F x 50 x 0,5 0,31 0 0,5 0,5 50 x 0,150 x 0,4 - Moda: Dado que as classes têm amplitudes diferentes, a classe modal é a classe com maior densidade de frequência: Classe modal = 0; 30. Podemos então determinar a moda (número médio de voos diários mais frequente) pela Fórmula de King: d30; 50 modx l0; 30 h0; 30. d10; 0 d30; 50 0, ,884 0,011 0,0105

4 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 00/008 d) (0%) O mesmo estudo foi realizado nos EUA, onde os resultados indicaram uma média de 50 voos diários por aeroporto e uma variância de 9. O Presidente da Autoridade Reguladora Norte-Americana afirmou que, apesar dos EUA registarem um maior número médio diário de voos, a dispersão é mais acentuada na Europa. Comente a afirmação, justificando a sua resposta. Para podermos comparar a dispersão entre duas amostras diferentes, temos que utilizar medidas de dispersão relativa, e não de dispersão absoluta. Assim, iremos calcular o coeficiente de variação/dispersão da Europa e o dos EUA, e só então poderemos concluir qual das áreas geográficas possui maior dispersão. Assim, para os EUA temos: x EUA 50 s EUA 9s EUA 9 c EUA v s EUA x EUA 50 0,54 Para a Europa, primeiro temos que calcular o valor da variância: f j x ' j xeuropa f j x ' j 48,5 s EUROPA m j1 j1 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 16,49935 E assim, obtemos: s EUROPA 16,499356,651 c EUROPA v s EUROPA 6,651 x EUROPA 48,5 0,5494 x EUROPA x EUA c EUROPA EUA v c v Logo, uma vez que os EUA registaram um maior número médio diário de voos em relação à Europa, e uma vez que o coeficiente de dispersão da Europa é maior do que o dos EUA, podemos concluir que o Presidente da Autoridade Reguladora Aérea Norte-Americana tem de facto razão ao afirmar que a dispersão é mais acentuada na Europa. Logo, a afirmação é verdadeira. e) (15%) Determine a média do conjunto das duas áreas geográficas (Europa e EUA), sabendo que nos EUA o estudo foi realizado em 50 aeroportos..n EUROPA 00; xeuropa 48,5. N EUA 50; x EUA 50.x G L N.x L N EUROPA.x EUROPA N EUA.x EUA 00.48, ,43 N N EUROPA N EUA

5 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 00/008 f) (15%) Na Europa, foi proposta uma lei que impõe um aumento de 5% no número médio de voos diários. A ser aprovada, que consequências teria esta lei sobre as medidas de localização desta distribuição? E sobre a variância? (Não precisa fazer novos cálculos). Caso a lei seja aprovada, o número médio diário de voos diários irá aumentar 5% em todos os aeroportos europeus. Isso implica que todas as observações irão ser multiplicadas por 1,05, ou seja, xi A x i 0,05 x i 1,05xi. Não conhecemos todas as observações, mas conhecemos as classes em que se inserem, sabendo que em cada classe, não há nenhuma observação inferior ao seu limite inferior, nem nenhuma superior ao seu limite superior. Tendo todas as observações aumentado na mesma percentagem (5%), também os limites inferior e superior e o ponto médio de cada classe aumentam nesta proporção, mantendo-se o restante da tabela de frequências inalterada: 4 x j x j h j n j f j S j F * j d j ]0;10,5] 5, , ,05 0,005 ]10,5;1] 15,5 10 0,11 3 0,16 0,011 ]1;31,5] 6, ,15 6 0,31 0,015 ]31,5;5,5] , ,5 0,0105 ]5,5;3,5] , ,8 0,014 ]3,5;94,5] , ,95 0,0065 ]94,5;16] 110, , , Assim, como cálculo da média consideramos que todas as observações pertencentes a uma classe são iguais ao seu ponto médio, este aumento representa um crescimento de todos os valores utilizados na média em 5%, ou seja, 1,05 vezes o valor de cada ponto médio. Designe-se aumento por A: x A f A.x A f. 1,05 x 1,05 f.x 1,05 f.x 1,05 x 1,05 48,5 51,1615 Com o aumento relativo de todas as observações em 5%, a posição relativa das observações não muda, apenas o seu valor. Por isso, a classe em que se encontra a mediana vai ser a mesma, com a devida correcção dos limites inferior e superior. A nova mediana resulta da multiplicação de 1,05 à mediana anterior à alteração: F A 1,05 x 0,5F A 0,5 1,05 xx A 1,05 x 1,05 48,095 50,5 Se todas as observações aumentam em 5%, a classe modal também vai ser a mesma, com a devida correcção dos limites inferior e superior. Os valores respeitantes à distribuição dos valores na amostra não se alteram, pelo que a nova moda resulta da multiplicação de 1,05 à moda anterior à alteração: Classe modal A 1,05 0; 1, ; 31,5 modx A l0; 30 A h0; 30 A d30; 50 A d10; 0 A d30; 50 A

6 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 00/008 d31,5; 5,5 l1; 31,5 h1; 31,5 d10,5; 1 d31,5; 5,5 1,05 modx 1,05 4,884 6,18 Finalmente, uma vez que todas as observações e a média aumentam em 5%, então os desvios em relação à média também irão aumentar nessa proporção, pelo que a variância vem multiplicada pelo quadrado de 1,05, ou seja, aumenta 10,5%: s A f ja x A j xa f j 1,05 x j 1,05 x 1,05 f j x j x 1,05 f j x j x j1 j1 1,05 s 1,105 16, ,941 j1 j1 5

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