1º Mini Teste B. Nº: Nome:

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1 Faculdade de Economia da Universidade ova de Lisboa 1304 Análise de Dados e robabilidade B 1º Semestre 008/009 Fernando Brito Soares Cátia Fernandes Erica Marujo Daniel Monteiro º: ome: Data: 8 de ovembro de 008, 14:00 Duração: 45 minutos ota: A utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset. Atenção: Responda a todas as perguntas nas folhas do enunciado. Escreva o seu número e nome na primeira página. ão desagrafe nenhuma folha. I (35%) o aís do atal, o ai atal decidiu fazer um estudo sobre a produtividade dos seus duendes na fábrica de brinquedos ao longo dos últimos 50 anos. Desse estudo, foram apurados os seguintes resultados, nos quais B corresponde ao número total de brinquedos produzidos por ano (em milhões), e H corresponde ao número médio de dias de trabalho dos duendes, num ano: =0,9; s B =500; Cov B i,h i =150; B i R B,H =110500; H =340 a) (0%) Com base nesta informação, determine a equação da recta de regressão de B em relação a H (assuma que b>0). Interprete os valores de a e b. Foram ainda apura das as seguintes informações sob re este estudo: ln H i ln B i =65; ln B i =331,5 ; ln H i =4300 ; ln B =7,5; ln H =6 b) (15%) Ajuste estes dados a uma função potência. Qual das duas relações lhe parece mais adequada aos dados: a linear ou a potência? II (35%) a) (15%) Comente, em não mais do que 5 linhas, a seguinte afirmação: Os modelos aditivo e multiplicativo de decomposição de variáveis temporais podem revelar se substancialmente diferentes na previsão para a componente da tendência, 1

2 uma vez que quando a retiramos os valores sem tendência diferem significativamente entre os dois modelos. b) (0%) Considere os seguintes dados anuais para o consumo de café de um aluno da Faculdade de Economia ao longo dos 3 anos da licenciatura: Ano X t = Consumo de Café Obtenha os valores da tendência pelo método analítico. III (30%) Conhece se a seguinte informação referente às quantidades consumidas e respectivos preços de dois bens, nos anos 003 e 004: Azeite Manteiga Ano 003 reço 10 Y=? Quantidade Ano 004 reço 1 9 Quantidade 9 16 Adicionalmente conhecem se os seguintes índices de preços simples da Manteiga: I Manteiga 04/0 =1,1; I Manteiga 0/03 =1,364 a) (15%) Determine o preço da manteiga no ano 003 (valor de Y). b) (15%) Obtenha o Índice de aasche de quantidades para o ano 004 com base em 003.

3 Correcção Mini Teste B I (35%) o aís do atal, o ai atal decidiu fazer um estudo sobre a produtividade dos seus duendes na fábrica de brinquedos ao longo dos últimos 50 anos. Desse estudo, foram apurados os seguintes resultados, nos quais B corresponde ao número total de brinquedos produzidos por ano (em milhões), e H corresponde ao número médio de dias de trabalho dos duendes, num ano: R B,H =0,9; s B =500; Cov B i,h i =150; B i =110500; H =340 a) (0%) Com base nesta informação, determine a equação da recta de regressão de B em relação a H. Interprete os valores de a e b. A recta de regressão de B em relação a H é dada pela seguinte expressão: B a bh, onde B é a variável explicada ou dependente e H a variável explicativa ou independente. Com a informação disponível no enu nciado, para encontrarm os o valor de b, sabemos que: 0,9 Cov B i,h i 0,9 Cov B i,h i s 0,9 150 B s H s B s H 500 s 0,9 s H 50 H R B,H Então, o valo r de b será dado por: b Cov B i,h i s H Em relação ao valor de a, sabemos que será determinado por: a B b H o entanto, para podermos determinar este valor, primeiro torna se necessário calcular o valor da média da variável B (número médio de brinquedos produzidos por ano). Uma vez que conhecemos o valor da variância de B e de s B B i B i, torna se fácil calcular este valor: B B B B 1100 B 1100 Mas uma vez mais, neste caso, só faz sentido considerarmos o valor positivo, logo: B 1100 Assim, o valor do coeficiente a será: a B b H a a 80 Logo, a recta de regressão de B em relação a H é dada por: B 80 3H 3

4 O valor de a corresponde à ordenada na origem da recta, ou seja, corresponde ao número de brinquedos produzidos por ano, em milhões, caso os duendes não trabalhassem nenhum dia. Como neste caso o valor de a é positivo, este valor diz nos que, caso os duendes não trabalhem nenhum dia, durante um ano, o valor da produção de brinquedos será de 80 milhões de unidades. o entanto, intuitivamente sabemos que tal afirmação não faz sentido (a não ser que alguém produza os brinquedos pelos duendes nos dias em que estes não trabalham, o que é pouco provável...) O valor de b corresponde ao declive da recta de regressão, e é geralmente designado por coeficiente de regressão. este caso, o valor de b diz nos que quando os duendes trabalham, em média, um dia a mais por ano, o valor da produção total de brinquedos aumenta em 3 milhões, em média. Foram ainda apuradas as seguintes informações sobre este estudo: ln H i ln B i =65; ln B i =331,5 ; ln H i =4300 ; ln B =7,5; ln H =6 b) (15%) Ajuste estes dados a uma função potência. Qual das duas relações lhe parece mais adequada aos dados: a linear ou a potência? este caso, a função potência terá a seguinte forma: B AH i B i em que A e B são os parâmetros que definem a função potência, B i é a variável explicada e H i é a variável explicativa. Uma vez que não é possível aplicarmos o método dos mínimos quadrados directamente a esta função por esta não ser linear, teremos que logaritmizar esta função de modo a transformá la numa função linear, isto é, na equação de uma recta: B i AH ln A H i B ' i a ' B ' H ' i B B i ln AH B i ln B i ln B ln i Onde: B i ' ln B i ; a ' ln A ; B ' B; H i ' ln H i Assim, ao aplicarmos o método dos mínimos quadrados a esta recta de regressão, o valor de b ' é dado por: B ln H i ln B i ln H ln B ln H i ln H ln H i ln B i ln H ln B 65 7,5 6 0,4 s ln H E o valor de a ' será: a ' ln A ln B B ln H 7,5 0,4 6 5,1 ln H i ln B i ln H ln B ln H i ln H 4

5 Logo: ln B i 5,1 0,4ln Hi ara podermos transformar esta equação novamente na equação da função potência temos que fazer: a ' ln A A e a' A e, 164,0 Logo, a função potência é dada por: B 164,0 H 0,4 ara averiguarmos qual das relações é mais adequada aos dados temos que comparar o coeficiente de determinação de cada uma das relações (linear e potência). Uma vez que no caso da função potência não é possível determinar o coeficiente de determinação para a equação inicial por esta não ser linear, temos que calcular o coeficiente de determinação aplicada à equação da recta logaritimizada: Relação Linear: R Linear 0,9 Relaçã o otência: R otência B Onde: s ln B s ln B sln H s ln B ln H i ln B i Assim, como: 50 0,4 10 0,8 R otência 0,8 R Linear 0,9 ln H ln B 331,5 7, odemos concluir que a relação linear se ajusta melhor aos dados do que a função potência. II (35%) 5

6 a) (15%) Comente, em não mais do que 5 linhas, a seguinte afirmação: Os modelos aditivo e multiplicativo de decomposição de variáveis temporais podem revelar se substancialmente diferentes na previsão para a componente da tendência, uma vez que quando a retiramos os valores sem tendência diferem significativamente entre os dois modelos. A afirmação é falsa. A previsão para a componente da tendência é perfeitamente independente da hipótese sobre o modelo subjacente, variando apenas consoante seja calculada pelo método analítico ou pelo método das médias móveis. Embora os valores sem tendência difiram entre o modelo aditivo e o modelo multiplicativo, os valores estimados para a tendência são necessariamente iguais em ambos os casos. b) (0%) Considere os seguintes dados anuais para o consumo de café de um aluno da Faculdade de Economia ao longo dos 3 anos da licenciatura: Ano X t = Consumo de Café Obtenha os valores da tendência pelo método analítico. ara obter os valores da tendência pelo método analítico temos de regredir a variável X t sobre o tempo. or conveniência, construímos a seguinte tabela e utilizamos uma variável tempo transformada, t ' t t : t X t = Consumo de Café t' X t t' t' Σ Tendo em conta que t tem média zero, os parâmetros da recta de regressão são obtidos da seguinte forma: 008 b t 005 x t t' t' 0 53,5 t 005 6

7 a x ,5 Logo, a recta de regressão é dada por: x t 15,5 53,5t' Substituindo os valores de t na recta de regressão obtemos a tendência estimada para cada um dos anos: t T III (30%) Conhece se a seguinte informação referente às quantidades consumidas e respectivos preços de dois bens, nos anos 003 e 004: Azeite Manteiga Ano 003 reço 10 Y=? Quantidade Ano 004 reço 1 9 Quantidade 9 16 Adicionalmente conhecem se os seguintes índices de preços simples da Manteiga: I Manteiga 04/0 =1,1; I Manteiga 0/03 =1,364 a) (15%) Determine o preço da manteiga no ano 003 (valor de Y). I 04/03 04/0 I 0/03 I 1,1 1,364 1, , , Y b) (15%) Obtenha o Índice de aasche de quantidades para o ano 004 com base em 003. Q 04/03 Q 04 Q 03 i i 04 i i ,9767 7