Teste Intermédio A I (50%)

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1 aculdade de Economia da Universidade ova de Lisboa 1304 Análise de Dados e robabilidades ernando Brito Soares Graça Silva edro Chaves Teste Intermédio A Data: 14 de Abril de 2007, Duração: 2 horas ota: A utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset. Atenção: Responda a cada grupo numa folha separada. Apresente todos os cálculos e/ou justificações para as suas respostas. I (50%) 1. Considere os seguintes dados classificados referentes ao tempo de internamento (em dias) na unidade de cuidados intensivos do Hospital Rápidas Melhoras de Lisboa, de uma amostra de 120 doentes: úmero de dias de internamento úmero de doentes a) (7,5%) Construa a tabela de frequências e represente graficamente a distribuição através de um histograma de área. b) (5%) Determine o tempo médio de internamento. c) (5%) Qual a percentagem de doentes cujo tempo de internamento é superior à média? d) (5%) Sabendo que f.x utilizando este resultado. 655, calcule a variância da variável em estudo, e) (10%) Determine o coeficiente de Bowley e comente a assimetria da distribuição. f) (7,5%) Calcule o índice de Gini e comente o resultado obtido. 2. ara o Hospital Rápidas Melhoras do orto a média e a variância do tempo de internamento na unidade de cuidados intensivos obtidos para uma amostra de 100 doentes foram os seguintes: x 26 e s 158. a) (5%) Determine a variância dos tempos de internamento dos dois Hospitais. b) (5 %) Comente, quantificando, a seguinte afirmação: o Hospital Rápidas Melhoras do orto os tempos de internamento são mais dispersos. 1

2 1304 Análise de Dados e robabilidades II (35%) os Hospitais Rápidas Melhoras de Lisboa e do orto, organizados da mesma forma, existem 3 especialidades: Oftalmologia, Dermatologia e isiologia. Cada hospital tem o direito de determinar os seus próprios preços, mas é obrigado a fixar um preço único para cada especialidade, em cada ano. A seguinte informação encontra se disponível: Ano Lisboa Oftalmologia Dermatologia isiologia º Consultas reço º Consultas reço º Consultas reço , ,5 Ano orto Oftalmologia Dermatologia isiologia º Consultas reço º Consultas reço º Consultas reço a) (7,5%) Calcule o índice elo de preços das consultas de Dermatologia de Lisboa. b) (10%) Sabendo que, no que diz respeito à especialidade de isiologia do orto, I / 2,5 e I / 0,5, calcule um índice simples de quantidades, com base em 2000, para esta especialidade no orto. c) (10%) Calcule o índice de Laspeyres de preços das consultas de Lisboa no ano de 2005 com base em Calcule o índice de aasche de quantidades de Oftalmologia, nos mesmos anos. Como interpreta estes valores? d) (7,5%) Sabendo que o índice de Laspeyres de preços das consultas de Oftalmologia de 2006 com base em 2005 é 1,1 e que as consultas desta especialidade no orto ficaram 20% mais caras de 2005 para 2006, calcule o preço das consultas de Oftalmologia em Lisboa em III (15%) a) (5%) Se lhe dessem a opção de o cálculo da sua média de Licenciatura ser feito utilizando a média aritmética ou a média harmónica, qual escolheria? orquê? E para calcular a média dos lucros e prejuízos anuais de uma empresa ao longo de vários anos, que tipo de média escolheria: a média aritmética ou a média geométrica? orquê? b) (5%) orque razão a última classe de uma distribuição de frequências não é considerada no cálculo do índice de Gini? Justifique a sua resposta. c) (5%) Se o índice de Laspeyres de preços for inferior ao índice de rendimento, que pode concluir sobre o valor do índice de aasche de quantidades? Justifique a sua resposta. 2

3 aculdade de Economia da Universidade ova de Lisboa 1304 Análise de Dados e robabilidades ernando Brito Soares Graça Silva edro Chaves Correcção Teste Intermédio A I (50%) 1. a) (7,5%) úmero de dias de internamento úmero de doentes x j S j f j j * x j.f j h j n j /h j ,1(6) 0,1(6) 0,8(3) ,(3) 0, ,21(6) 0,71(6) 5,41(6) 10 2, ,1(6) 0,88(3) 5,8(3) ,11(6) 1 5, ,4 O histograma pretendido é o de área, logo temos de colocar no eixo dos yy (n j /h j ): n j /h j 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 Histograma de Área Classes b) (5%) O tempo médio de internamento é dado por x f.x 22,3 dias. c) (5%) X 22, , 3 1 0,5505 0,4494 O tempo médio de internamento pertence à classe ]20,30]. or interpolação linear, temos que: 1

4 1304 Análise de Dados e robabilidades , 3 0, , 3 0,716 0, , ,716 22, 3 7, 6 d) (5%) A variância pode ser calculada pela seguinte expressão: s f.x x , 3 156, 2 dias. g e) (10%) O coeficiente de assimetria de Bowley é definido pela seguinte expressão: Q M M Q Q M M Q O primeiro quartil é dado por: Q 0,25. Através das frequências relativas acumuladas apresentadas no quadro da alínea a), podemos concluir que Q se situa na classe ]10,20]. or interpolação linear, temos que: Q Q ,5 0, ,25 0,16 Q 10 Q 12,5 O segundo quartil, ou mediana, é dado por Q 0,5. Através das frequências relativas acumuladas apresentadas no quadro da alínea a), podemos concluir que Q 20. O terceiro quartil é dado por Q 0,75. Através das frequências relativas acumuladas apresentadas no quadro da alínea a), podemos concluir que Q se situa na classe ]30,40]. or interpolação linear, temos que: Q Q ,883 0, ,75 0,716 Q 30 Substituindo os valores encontrados na expressão anterior temos que: g , ,5 0,231 Q 32 Através da observação do histograma e face ao resultado obtido para o coeficiente de Bowley, podemos concluir que a distribuição é assimétrica positiva ou enviesada à direita. f) (7,5%) O índice de Gini pode ser obtido pela seguinte expressão: G p q ; p n ; q p t t onde t j representa o total do atributo na classe j q j valores relativos acumulados do atributo (dias de internamento) p j frequências relativas acumuladas dos elementos (doentes) 2

5 1304 Análise de Dados e robabilidades O quadro seguinte apresenta de forma resumida o cálculo de q j e p j para cada uma das classes: úmero de dias de internamento úmero de doentes x j f j j *= p j t j t j r q j ,1(6) 0,1(6) 100 0,037 0, ,(3) 0, ,224 0, ,21(6) 0,71(6) 650 0,243 0, ,1(6) 0,88(3) 700 0,261 0, ,11(6) , Utilizando os valores do quadro anterior, obtemos: G p q p 0,700 2,26 0,309 O valor obtido para o índice de Gini revela que a concentração dos doentes nos períodos de internamento é reduzida. 2. a) (5%) Estatística Hospital Rápidas Melhoras de Lisboa Hospital Rápidas Melhoras do orto Dimensão da amostra Tempo médio de internamento (dias) Variância do tempo de internamento (dias 2 ) 22,(3) ,(2) 158 O tempo médio de internamento do conjunto dos dois hospitais é dado por: x.x ª propriedade da média 24 dias 220 A variância do tempo de internamento do conjunto dos dois hospitais é dada por: s.s. x x 2ª propriedade da variância , , , 363 dias 220 b) (5 %) Lisboa: v s 156, 2 0,560 x 22, 3 orto: v s x ,483 3

6 1304 Análise de Dados e robabilidades A afirmação é falsa, os tempos de internamento são mais dispersos no Hospital Rápidas Melhoras de Lisboa (coeficiente de dispersão mais elevado). II (35%) a) (7,5%) D I L p D L D p L ,2; I D L p D L D p L ,25; I D L p D L D p L ,6 I / I / I / b) (10%) 3,5; I / 0,5 q q 2,5 q q c) (10%) q 0,5q 500 0,5q 250 q 1; I / 500 q q L p L / p / O p 2,5250 2,5q 100 q 2,5; I / q ; I / L L.q L.q L O O.q O p O.q q q q p O L O.q L D p L D.q L p 100 2; I / L.q L O p L O.q L D p L D.q L p L.q p O L O.q L O p O.q O p L O.q L O p O.q q q ,5.200 L ,5 R: O valor do índice de Lapeyres indica nos que, entre 2004 e 2005, os preços no Hospital de Lisboa, apesar de terem evoluído de forma diferente em cada especialidade, no geral e ponderados pelas quantidades de 2004, não se alteraram. O valor do índice de aasche indicanos que, no mesmo período, o número de consultas de Oftalmologia, apesar de ter variado de forma diferente para cada hospital, no geral e ponderado pelos preços de 2005, aumentou 50%. 4 O d) (7,5%) Consultas no orto ficam 20% mais caras de 2005 para 2006 I / 1,2 O p L 1, I O O.q O p O.q O L 1,1% Despesa O O.I 1, ,22 3.I O L ,2 1,1 I O L 1,05

7 1304 Análise de Dados e robabilidades O I L 1,05 p O L O L O p L 1,05p 20 1,05p O L 21 III (15%) a) (5%) Se me dessem a opção de calcular a minha média de licenciatura, eu utilizaria a média aritmética pois, para o mesmo conjunto de observações, o seu valor é sempre superior ou igual ao da harmónica, sendo natural que eu pretendesse obter a maior média de licenciatura possível. o cálculo do lucro médio de uma empresa ao longo dos anos, eu também utilizaria a média aritmética, pois existe a possibilidade de ocorrência de prejuízos, que mais não são são do que observações negativas, o que inviabiliza a correcta utilização da média geométrica, só utilizada quando todas as observações são positivas. b) (5%) A última classe de uma distribuição de frequências não é considerada no cálculo do Índice de Gini, de forma a que o seu valor se encontre compreendido entre 0 e 1, sendo 0 quando estamos perante uma distribuição igualitária da variável em causa e 1 se a variável for perfeitamente concentrada. Atentemos na situação de total concentração, descrita pela seguinte tabela: x j n j f j p j t j t j r q j 0 n 1 n 1 / n 1 / a n 2 n 2 / 1 a.n a.n Utilizando a última classe no índice de Gini, vem G p q 1 p q 1 01 p n 1 n n 1 Assim, para garantir que uma distribuição perfeitamente concentrada apresenta um Índice de Gini de valor 1, a sua última classe deve ser ignorada no cálculo desta medida. c) (5%) L /./ I / I/ L / / I / L / I / L / 1 / 1 R: osso concluir que o índice de aasche de quantidades vai ser superior a 1, ou seja, que as quantidades, no geral e ponderadas pelos preços do ano corrente, vão aumentar. 5