Exame 2ª Época. Nº: Nome:

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1 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 34 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 28/29 Fernando Brito Soares Cátia Fernandes Erica Marujo Daniel Monteiro Nº: Nome: Data: 2 de Janeiro de 29, :3 Duração: 2:3 horas Nota: A utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset. Atenção: Responda a todos os grupos no enunciado. Não desagrafe nenhuma folha. Apresente todos os cálculos e/ou justificações para as suas respostas. I (3%). Num debate televisivo entre um deputado do partido do governo e um deputado da oposição, este último apresentou, para benefício do telespectador, uma tabela e uma curva de Lorenz incompletas, onde as variáveis p j e q j têm o sentido habitual, referindo-se, respectivamente, à população e à riqueza do país: p j q j?,25,,75?? q j,9,8,7,6,5,4,3,2, (,25;,),5 Curva de Lorenz p j a) (5%) O deputado da oposição afirmou: É preciso que haja uma mudança! Neste país os % mais pobres possuem apenas 2,5% da riqueza. Comente a veracidade da afirmação, apresentando os cálculos que achar apropriados. b) (5%) O deputado do partido do governo retorquiu da seguinte forma: Há que ter esperança! Tenho comigo uma versão mais completa da sua curva de Lorenz que demonstra que os 75% mais pobres possuem 6% da riqueza. Sabendo que o índice de Gini tem valor igual a,4, comente a veracidade da afirmação. c) (5%) Assumindo que a afirmação na alínea anterior é verdadeira, complete a curva de Lorenz e desenhe a recta de igual repartição.

2 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 28/29 2. Ao longo de 4 anos o Instituto de Estatística do País à Beira-mar Plantado recolheu os seguintes dados para três variáveis de interesse nacional: Onde, Ano F V B F = Número de falências bancárias, V = Variação anual no total de bancos no sistema, B = Consumo de bolo-rei (em centenas de toneladas). a) (5%) Calcule o valor dos parâmetros da regressão linear de F em relação a V sem fazer cálculos que envolvam os valores da tabela. b) (5%) Calcule a recta de regressão linear que explica o número de falências bancárias com base no consumo de bolo-rei. c) (5%) De modo a travar a crise bancária, o Governo decide importar 2,5 centenas de toneladas de bolo-rei, aumentando o consumo de 4,875 para 6,6875 centenas de toneladas. Estime o número de falências evitadas com esta política. Porque é que a estimativa não é fiável? II (2%) Considere os seguintes dados relativos aos lucros semestrais de uma seguradora entre 25 e 28, em milhares de euros: Anos ºSemestre 2º Semestre a) (%) Determine e estime a tendência desta sucessão através do método dos mínimos quadrados. b) (%) Calcule os índices de sazonalidade desta sucessão através do modelo aditivo. Interprete o valor desses índices. 2

3 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 28/29 III (25%) A Maria Mendelévia é uma sportinguista que trabalha na Loja Verde, onde vende essencialmente três tipos de produtos: cachecóis (CC), bandeiras (B) e camisolas (CM). A direcção da loja encomendou-lhe um estudo sobre a evolução dos preços e quantidades vendidas destes artigos nos últimos 5 anos. Para tal, são conhecidos os seguintes dados relativos a estes produtos, durante os últimos 5 anos, em que p representa preços (em euros), q quantidades e r receitas (em euros): t Cachecóis Bandeiras Camisolas q p r r , ,25 85, 255, ,5 894,25 298, ,4 225, ,68 228,38 a) (5%) Construa um índice de preços (para cada ano) dos cachecóis, com base em 24. b) (5%) Calcule o índice de Laspeyres e o índice de Paasche, ambos de quantidades, para o ano de 28, com base em 27. c) (%) Prevê-se que, de 28, para 29, o preço dos cachecóis cresça % e o preço das bandeiras cresça 5%. Prevê-se ainda que o a variação total dos preços, medida pelo índice de preços de Laspeyres para o mesmo período, será de 7,5%. Qual o valor previsto para a variação dos preços das camisolas de 28 para 29? d) (5%) O índice de Laspeyres é circular? Justifique analiticamente a sua resposta. IV (25%). (%) Na escola de condução SlowMotion % das pessoas que se propõem a exame de condução são reprovadas. Para melhorar a estatística de aprovações, a escola resolveu oferecer gratuitamente aos alunos inscritos um pacote de aulas extra. Das pessoas reprovadas no exame de condução, 4% beneficiaram do pacote de aulas extra. Por seu turno, das pessoas aprovadas, % aceitaram o pacote de aulas extra. Qual a probabilidade de uma pessoa que tenha aceite o pacote de aulas extra vir a reprovar no exame de condução? 2. A empresa Entregas Rápidas consegue responder a 3% das encomendas efectuadas pelos seus clientes no próprio dia e a 4% das encomendas no dia seguinte. O gestor da empresa considera que seria rentável aumentar os stocks caso o número de encomendas diárias de clientes que consigam ser satisfeitas no próprio dia seja inferior a 9. 3

4 Análise de Dados e Probabilidade º Semestre 28/29 a) (5%) Num dia a empresa recebeu 6 encomendas de clientes. Qual a probabilidade do gestor decidir aumentar o stock? b) (5%) Qual o valor da variância da variável aleatória número de encomendas entregues no próprio dia num conjunto de 6 encomendas recebidas? c) (5%) Tendo a empresa recebido solicitações de clientes, qual a probabilidade de pelo menos 5 serem satisfeitas no dia seguinte à encomenda? 4

5 Distribuições de probabilidade de v. a. discretas Distribuição Função de probabilidade Função de distribuição X ~ DU( i, j) j i + { i, i +,..., j j} x. x i + j i + x < i i x j { i, i +,..., j j} x, x > j q = p x = x < X ~ Bernoulli( p) p x = q = p x < outros casos x X ~ Bin( n, p) n x n x ( ) p ( p) x x {,,2,..., n} {,,2 n} x,..., x < x i p i= n i ( p) x < n x n λ x e λ x < x {,2,... } X ~ Poisson( λ) x! x i λ λ e x x,2,... i { } i=! Análise de Dados e Probabilidade Fernando Brito Soares

6 TABELA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (Continuação) A. Função probabilidade B. Função de distribuição θ θ n x n x

7 TABELA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (Continuação) A. Função probabilidade B. Função de distribuição θ θ n x n x