(a) Seja X o número de pessoas que apreciam o refrigerante da marca Cola, X Bin(200; 0, 4). Logo, 200 x. Logo,

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1 1 Exercício 1 Em uma determinada faixa etária, 40% das pessoas apreciam o refrigerante da marca Cola. Calcule a probabilidade exata de que, em uma amostra de pessoas dessa faixa etária, haja: a entre 65 e 90 inclusive os extremos apreciadores do refrigerante da marca Cola; b no máximo 70 apreciadores do refrigerante da marca Cola; c mais do que 68 apreciadores do refrigerante da marca Cola. Repita os itens a b e c usando a aproximação da distribuição binomial pela distribuição normal e compare os resultados. a Seja X o número de pessoas que apreciam o refrigerante da marca Cola, X Bin; 0, 4. Logo, X = x = 0, 4 x 0, 6 x, X {0, 1, 2, 3,, }. x Logo, 65 X 90 = X 90 X 64 Com auxilio do software R com o pacote Rcommander Distribuições/ Distribuição Binomial/ robabilidades binomiais acumuladas obtém-se X 90 = 0, 9345 e X 64 = 0, 0119, portanto, 65 X 90 = 0, , 0119 = 0, b Temos que, X 70 = 0, 4 0 0, 6 + 0, 4 1 0, , , Com auxilio do software R com o pacote Rcommander Distribuições/ Distribuição Binomial/ robabilidades binomiais acumuladas obtem-se c Temos que, X 70 = 0, X > 68 = 1 X 68 { = 1 0, 4 0 0, 6 + 0, 4 1 0, = 1 0, 0475 = 0, 9525 = X 69 } 0, , Com auxilio do software R com o pacote Rcommander Distribuições/ Distribuição Binomial/ robabilidades binomiais acumuladas obtem-se X 68 = 0, 0475.

2 2 Vamos agora repetir os itens a b e c usando a aproximação da distribuição binomial pela distribuição normal. Veja que E[X] = np = 0, 4 = 80 e Var[X] = np1 p = 0, 4 0, 6 = 48, desse modo pode-se aproximar a variável X pela variável Y, em que Y N80, 48 e então Z = Y 80 N0; 1. 6, 93 Assim, 65 X Y 90 = , 93 Y , 93 6, 93 = 2, 164 Z 1, 443 = Z 1, 443 Z 2, 164 = Z 1, 443 [1 Z 2, 164] = A1, 443 [1 A2, 164] = 0, 9251 [1 0, 9846] = 0, 9097 X 70 Y 70 = Y , 93 6, 93 = Z 1, 443 = 1 Z 1, 443 = 1 A1, 443 = 1 0, 9251 = 0, 0749 X > 68 = X 69 Y 69 = Y , 93 6, 93 = Z 1, 587 = Z 1, 587 = A1, 587 = 0, 9441 A tabela a seguir contém as probabilidades exatas obtidas da distribuição binomial e aproximadas pela distribuição normal, note que elas não são muito diferentes. Item rob. Exata Aprox. Normal a 0,9226 0,9097 b 0,0844 0,0749 c 0,9525 0,9441

3 3 Exercício 2 Sabe-se que cerca de % da população brasileira adulta é analfabeta. Uma amostra aleatória de 270 brasileiros adultos será investigada quanto ao nível de escolaridade, qual é a probabilidade aproximada de ocorrerem: a pelo menos 20, mas não mais do que 30 indivíduos analfabetos; b no máximo 40 analfabetos; c Se X é o número de analfabetos encontrados na amostra dos 270 brasileiros adultos, determine o valor k tal que, 14 X k = 0,15. a Seja X número de indivíduos analfabetos dos 270 brasileiros amostrados. Assim, X Bin270; Como E[X] = np = = 27 e Var[X] = np1-p = =24.3. Então X pode ser aproximada por Y N27; 24; 3 e então Z = Y 27 N0; Logo, X Y 30 = = 1.42 Z 0.61 = Z 0.61 Z 1.42 = Z 0.61 [1 Z 1; 42] = A0.61 [1 A1.42] = [ ] = Y b Temos que, Y 27 X 40 Y 40 = = Z 2.64 =

4 4 c Temos que, 14 X k = X k Y k = Y 27 k 27 = Z k 27 = 0.15 Z k 27 Z 2.64 = 0.15 Z k 27 Z > 2.64 = 0.15 Z k 27 [1 Z 2.64] = 0.15 Z k 27 [1 A 2.64] = 0.15 Z k 27 [ ] = 0.15 k 27 A = [ ] k 27 A = Fazendo z = k 27, z é tal que A z = = ela tabela da normal padrão, z=-1,02. ortanto, k 27 = 1, 02 k = Exercício 3 O peso de pacotes de um certo tipo de pó de café tem distribuição normal com média 00 g e desvio padrão g. a Um pacote é considerado dentro do padrão se apresentar conteúdo entre 980 e 20 g. Selecionando-se ao acaso um pacote desse tipo de pó de café, qual é a probabilidade do mesmo estar dentro do padrão? b Numa amostra de 500 pacotes, qual é a probabilidade aproximada de pelo menos 480 estarem dentro do padrão? c Serão retirados do mercado os pacotes com conteúdo inferior à 980 g. Qual é a probabilidade de um pacote selecionado ao acaso ser retirado do mercado?

5 5 d Numa amostra de 0 pacotes, calcule a probabilidade aproximada de que no máximo 4 sejam retirados do mercado. a Seja X peso de pacotes de um certo tipo de pó de café. Então, X N00; X 20 = = 2 Z 2 X 00 = Z 2 Z 2 = Z 2 [1 Z 2] = 2Z 2 1 = 2A2 1 = 20, = 0, 9544 A probabilidade de um pacote estar dentro do padrão é 0, b Seja Y o número de pacotes que estão dentro do padrão dentro dos 500 amostrados. Então Y Bin500; 0, Como E[X] = np = 500 0, 9544 = 477, 2 e Var[X] = np1 p = 500 0, , 0456 = 21, 8 então Y pode ser aproximada por W N477, 2; 21, 8 e então Z = W 477, 2 N0; 1, logo, 4, 67 Y 480 W 480 = W 477, 2 4, 67 = Z 0, 5996 = 1 Z < 0, 5996 = 1 A0, 5996 = 1 0, 7257 = 0, , 2 4, 67 c Temos que, X 980 = X 00 = Z 2 = 1 Z 2 = 1 A2 = 1 0, 9772 = 0,

6 6 d Seja Y o número de pacotes com conteúdo inferior a 980 dos 0 amostrados. Então Y Bin0; 0, Como E[X] = np = 00, 0228 = 2, 28 e Var[X] = np1 p = 00, 02280, 9772 = 2, 23 então Y pode se aproximar a W N2, 28; 2, 23 e então Z = W 2, 28 N0; 1, logo, 1, 49 Y 4 W 4 = W 2, 28 1, 49 = Z 1, 154 = A1, 15 = 0, , 28 1, 49 Exercício 4 Um distribuidor de sementes sabe, através de experiências anteriores, que 95% das sementes que comercializa germinam. Ele vende pacotes de sementes, com garantia de que pelo menos 180 germinarão. Qual é a probabilidade aproximada de um pacote não satisfazer à garantia. Seja X número de sementes que germinam das vendidas. Então X Bin; 0, 95, veja que E[X] = np = 0, 95 = 190 e Var[X] = np1 p = 0, 95 0, 05 = 9, 5, logo X pode se aproximar a Y N190; 9, 5 e então Z = Y 190 N0; 1 de modo que 3, 08 X < 180 = X 179 Y 179 = Y 190 3, 08 = Z 3, 57 = 1 Z 3, 57 = 1 A3, 57 = 1 0, 9998 = 0, , 08