Econometria em Finanças e Atuária

Transcrição

1 Ralph S. Silva Departamento de Métodos Estatísticos Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro Maio-Junho/2013

2 Motivação Motivação Por exemplo, queremos analisar a série de vendas mensais de um certo tipo doce no Reino Unido de janeiro de 1976 a dezembro de 1981 e, se possível, utilizar a série de preços, na escala do logaritmo, deste doce como variável explicativa. Tendência? Sazonalidade? Variáveis causais (explicativas)? Vendas Preços Mês (a) Vendas Mês (b) Preços Figura : Vendas e logaritmo dos preços mensais de um certo tipo doce no Reino Unido de janeiro de 1976 a dezembro de 1981.

3 Modelos dinâmicos Modelos dinâmicos A maioria das análises estatísticas utiliza modelos estáticos: modelos com uma descrição fixa (através de parâmetros fixos) ao longo das unidades de observação. Por exemplo: Análise de regressão, Modelos ARMA, y t = α + βx t + ε t, ε t N (0, σ 2 ); e y t = α+φ 1 y t 1 + +φ py t p +θ 1 ε t 1 + +θ qε t q +ε t, ε t N (0, σ 2 ). Em séries temporais, essa hipótese muitas vezes é violada: as estruturas mudam com a passagem do tempo. Séries temporais ligados às atividades humanas são alvos de mudanças: Abruptas - devido a grandes mudanças, hecatombes, novas leis; Graduais.

4 Modelos dinâmicos Aqui, todos os modelos são dinâmicos: A descrição (os parâmetros) muda com a passagem do tempo. Neste curso em especial, os modelos dinâmicos nos permitem a modelagem da tendência (média) e variância (volatilidade). Eles incluem como caso particular os modelos estáticos. Normalmente, a passagem do tempo traz observações e aumenta o nosso conhecimento. Em modelos dinâmicos temos também perda de informação devido à passagem do tempo. Exemplo: o nível de vendas mês passado é mais relevante hoje que o nível de vendas em janeiro. Construção do modelo dinâmico é feita em duas etapas: 1 a : Qualitativa; 2 a : Quantitativa de uma forma local. Em modelos estáticos, a mesma quantificação é válida globalmente.

5 Abordagem bayesiana Abordagem bayesiana A construção de um modelo é uma arte. Um modelo é uma representação de uma realidade; será tão adequado quanto à sua capacidade de alcançar os objetivos a que ele se destina. Portanto, a construção do modelo traz inerente em si um caráter subjetivo. Previsão é uma afirmação sobre um futuro incerto. A incerteza aqui será sempre representada através de probabilidade. Portanto, a previsão será sempre formulada em termos de probabilidade condicionada ao nosso estado de conhecimento. Se ele muda, nossa previsão mudará.

6 Abordagem bayesiana Nosso conhecimento provém de duas fontes: A série histórica ou dados; Outros conhecimentos (subjetivos). Exemplos: entrada em vigor de leis, falência de competidor. Ambas as fontes são importantes, podem e devem ser utilizadas. A abordagem bayesiana incorpora esses elementos natural e coerentemente. Aplicando à previsão, significa que o modelo padrão é posto para funcionar. Se acontecimentos não rotineiros intervém, o modelo os incorpora: Preparando para mudança; e/ou Alterando o que for necessário. Exemplo: se o competidor vai falir, precisa usar seu conhecimento sobre a divisão do mercado para formular a mudança que ele espera que aconteça.

7 O modelo de regressão usual O modelo de regressão usual Em um modelo de regressão temos uma variável resposta Y que é explicada por um conjunto de variáveis explicativas x 1,..., x p através da relação y = θ 0 + θ 1x θ px p + erro. Em geral, assume-se que o erro tem distribuição N (0, σ 2 ). A equação acima pode ser mais compactamente escrita como: y = x θ + erro, sendo x = 1 x 1. x p e θ = θ 0 θ 1. θ p.

8 O modelo de regressão usual A natureza das variáveis explicativas ou regressoras é bastante ampla. Podendo assim, utilizar-se qualquer variável quantificável. Os coeficientes de regressão θ 1,..., θ p informam sobre a influência que os regressores têm sobre a resposta y. Na prática, seus valores são desconhecidos e estimados a partir de uma coleção de observações feitas sobre o modelo acima. Observamos respostas y 1,..., y n com seus respectivos regressores x 1,..., x n. Simbolicamente, temos: y t = x tθ + erro t, t = 1,..., n.

9 Definição do modelo dinâmico Definição do modelo dinâmico Em modelos dinâmicos os parâmetros mudam com o passar do tempo. O modelo de regressão é estendido para Note a indexação de θ. y t = x tθ t + erro t, t = 1,..., n. A formulação acima cria uma profusão de parâmetros a serem estimados. O modelo acima necessita de mais informação. Essa informação vem do fato que os parâmetros sucessivos estão intimamente relacionados. Em geral, um parâmetro é igual ao seu antecessor mais uma pequena perturbação causada pelas mudanças às quais o sistema está sujeito. Se o sistema é estático, como em regressão, temos: θ t = θ t 1 = θ.

10 Definição do modelo dinâmico Em modelos dinâmicos, vamos admitir a forma mais geral θ t = G tθ t 1 + w t, sendo que G t contém valores conhecidos (ou parâmetros fixos) e w t é uma perturbação aleatória. A equação acima é conhecida como equação do sistema. A matriz de evolução G t controla a parte determinística da evolução do sistema e estabelece a propagação do sistema ao longo do tempo. A perturbação w t é responsável pela introdução de incertezas devidas à passagem do tempo e consequente perda de informação. Note que se G t = I e w t = 0, o modelo se reduz ao caso estático.

11 Exemplo Exemplo Se observamos uma série de vendas explicada pela respectiva série de preços através de uma relação estável teremos: vendas t = nível t + β tpreço t + erro t nível t = nível t 1 + nível t β t = β t 1 + β t. As vendas são explicadas pelo preço em uma regressão dinâmica. A maior (ou menor) estabilidade dessa relação será controlada pela magnitude dos incrementos nível t e β t.

12 Modelo linear dinâmico Modelo linear dinâmico O modelo linear dinâmico pode então ser definido como: Equação das observações: y t = F tθ t + v t, v t N (0, V t) Equação do sistema: θ t = G tθ t 1 + w t, w t N (0, W t) No exemplo acima, y t = venda t, F t = (1, preço t ) ( ) ( ) nívelt 1 0 θ t =, G β t = I 2 = t 0 1 e w t = ( nível β )

13 Modelo linear dinâmico Exemplo Vamos analisar a série de vendas mensais de um certo tipo doce no Reino Unido de janeiro de 1976 a dezembro de Também utilizaremos a série de preços, na escala do logaritmo, deste doce como variável explicativa. Vendas Preços Mês (a) Vendas Mês (b) Preços Figura : Vendas e logaritmo dos preços mensais de um certo tipo doce no Reino Unido de janeiro de 1976 a dezembro de Mostrar os dados do exercício no R: aplicacao_06.r

14 Alguns modelos Alguns modelos Consideraremos três modelos. Modelo de tendência estável. É composto apenas de um nível que varia segundo um passeio aleatório. vendas t = nível t + v t, v t N (0, V t) nível t = nível t 1 + w t, w t N (0, W t). Segundo esse modelo, o nível permanece localmente constante, mas varia quando se considera longos períodos de tempo. Usualmente, a variação das observações em torno dos níveis (medida por V ) é bem maior que as variações temporais do nível ao longo do tempo (medidas por W ). O modelo de tendência estável é obtido ao particularizar o modelo dinâmico com F t = 1 e G t = 1. Para a série de vendas de doce faremos V t = V e W t = W para todo t (variâncias constantes ao longo do tempo).

15 Alguns modelos Observações importantes Consideraremos a análise somente após observar toda a série. Isto é, a análise suavizada. É possível considerar a análise sequencial no tempo. Para uma subclasse dos modelos dinâmicos (lineares e com erros normais) é possível aplicar o filtro de Kalman na análise sequencial. Por exemplo, os três modelos que veremos para os dados de vendas do doce. O filtro de Kalman também pode ser empregado nestes modelos para a análise por máxima verossimilhança. Nos consideraremos somente a análise bayesiana. Precisaremos descrever o modelo e a distribuição priori dos parâmetros. Utilizaremos o WinBUGS (ou OpenBUGS) para fazer a análise. Podemos calcular o Critério de Informação do Desvio (DIC) para comparar modelos. Mostrar exemplo no WinBUGS: doce_modelo_01.odc

16 Alguns modelos Modelo de tendência linear. Isso é quantificado através de um parâmetro adicional. vendas t = nível t + v t, v t N (0, V t) nível t = nível t 1 + crescimento t 1 + w 1t crescimento t = crescimento t 1 + w 2t, sendo w t = (w 1t, w 2t) N (0, W t). ( ) 1 Esse modelo é obtido com F t = e G 0 t = ( Aqui, o nível permanece localmente linear, mas a forma da reta pode variar com o tempo. ( σ 2 Para a série de vendas de doce faremos V t = V e W t = W = σ2 2 para todo t (independência e variâncias constantes ao longo do tempo). ). ) Mostrar exemplo no WinBUGS: doce_modelo_02.odc

17 Alguns modelos Modelo de regressão dinâmica. Introduzimos variáveis explicativas com coeficientes variando no tempo. vendas t = nível t + β tpreço t + v t, v t N (0, V t) nível t = nível t 1 + w 1t β t = β t 1 + w 2t, sendo w t = (w 1t, w 2t) N (0, W t). ( ) ( ) nívelt 1 Esse modelo é obtido com θ t =, F β t = e G t preço t = I. t ( ) σ 2 Para a série de vendas de doce faremos V t = V e W t = W = σ2 2 para todo t (independência e variâncias constantes ao longo do tempo). Mostrar exemplo no WinBUGS: doce_modelo_03.odc

18 Alguns modelos Modelo de efeitos sazonais. Considere o modelo y t = γ t + v t, sendo γ t a componente de sazonalidade. Seja s o número de períodos nos dados. Por exemplo, s = 12 para dados mensais; s = 4 para dados trimestrais; e s = 7 para dados diários e modelagem de padrões semanais. A maneira mais simples de modelar efeitos sazonais é utilizando variáveis binárias. A soma dos efeitos do período devem ser igual a zero, s 1 γ t = j=1 γ t j. Para permitir que o padrão mude ao longo do tempo, introduzimos um novo termo de erro, s 1 γ t = γ t j + w t, w t N (0, σ 2 ). j=1 O valor esperado da soma dos efeitos sazonais é zero.

19 Previsão Previsão Estamos interessados na previsão de horizonte h na origem t, y t+h. Podemos considerar o conjunto {y t+1, y t+2,..., y t+h } como não observados (dados faltantes). Do ponto de vista bayesiano, devemos estimar estas quantidades condicional aos dados. Este procedimento é facilmente implementado no WinBUGS. Em geral, tomamos a média a posterior de y t+h como a previsão (pontual). Temos também o intervalo de previsão (intervalo de credibilidade) de y t+h. Mostrar exemplos no WinBUGS: doce_modelo_01_b.odc e doce_modelo_02_b.odc

20 Superposição de modelos Superposição de modelos Estamos interessados em uma forma geral para estruturar e acomodar as várias componentes intervenientes em um modelo dinâmico. Por exemplo, variáveis causais e sazonalidade. Muitas séries temporais exibem um comportamento bastante complexo. Ao identificarmos as características mais marcantes, estamos caminhando na direção de formular um modelo. A série ilustrada na figura a seguir é um exemplo típico. A tendência global parece ser de uma variação suave do nível. Se agora nos concentramos na variação em torno desse nível, podemos detectar um comportamento cíclico. Essa inspeção permitiu identificar as duas componentes do modelo: uma componente para a tendência e outro para a sazonalidade.

21 Superposição de modelos Exemplo (Mostrar exemplo no R: aplicacao_07.r) Vendas Mês Figura : Venda de carros nos EUA de janeiro de 1960 a dezembro de 1968.

22 Superposição de modelos A estrutura dos modelos dinâmicos é apropriada para isto, pois permite que as componentes sejam modeladas separadamente e depois integradas em um modelo. No caso mais comum de duas componentes: tendência e sazonalidade, estruturamos a equação das observações com dois termos: y t = y Nt + y St + v t. Cada um dos termos é descrito na dinâmica a seguir. y Nt = F Ntθ Nt θ Nt = G Ntθ Nt 1 + w Nt e y St = F Stθ St θ St = G Stθ St 1 + w St.

23 Superposição de modelos Se agora integramos esses termos, obtemos a equação das observações Y t = F tθ t + v t sendo F t = ( FNt F St ) e θ t = ( θnt ). θ St Similarmente, a equação do sistema (integrado) fica θ t = G tθ t 1 + w t, w t N (0, W t) sendo G t = ( ) GNt 0 0 G St e W t = ( ) WNt 0. 0 W St Modelos com mais componentes são construídos da mesma forma: cada termo contribui para a equação das observações e com um bloco de parâmetros para a equação do sistema.

24 Superposição de modelos Exemplo (superposição: tendência linear e sazonalidade) Vamos analisar a série de venda de carros nos EUA. Note a tendência linear e a sazonalidade. Mostrar exemplo no WinBUGS: carro_modelo_01.odc Exercício - Trabalho II Agora, como exercício, analise a série vendas mensais de vinho na Austrália de janeiro de 1980 a dezembro de Arquivo vinho.txt ou vinho_winbugs.txt Dica: note a presença de tendência linear, sazonalidade e variância crescente ao longo do tempo.