Modelação de séries temporais não estacionárias

Transcrição

1 Modelação de séries temporais não estacionárias Susana Barbosa Mestrado em Ciências Geofísicas

2 Motivação - exemplo I

3 Motivação - exemplo I

4 Motivação - exemplo II

5 Motivação - exemplo II

6 Decomposição de séries temporais Y t = f (S t + T t + ε t ) Aditiva: Y t = S t + T t + ε t Multiplicativa: Y t = S t T t ε t logy t = logs t + logt t + logε t

7 Exemplo

8 Exemplo

9 Métodos de decomposição de séries temporais Decomposição classica Decomposição STL Decomposição wavelet...

10 Decomposição clássica (aditiva) 1- Calcular a tendência: T t (média móvel, regressão polinomial) 2- Retirar a tendência: Y t T t 3- Calcular a componente sazonal: S t (índices sazonais, médias móveis, regressão local) 4- Calcular a série residual: ε t ε t = Y t T t S t

11 Decomposição clássica (aditiva) 1- Calcular a tendência: T t (média móvel, regressão polinomial) 2- Retirar a tendência: Y t T t 3- Calcular a componente sazonal: S t (índices sazonais, médias móveis, regressão local) 4- Calcular a série residual: ε t ε t = Y t T t S t

12 Decomposição clássica (aditiva) 1- Calcular a tendência: T t (média móvel, regressão polinomial) 2- Retirar a tendência: Y t T t 3- Calcular a componente sazonal: S t (índices sazonais, médias móveis, regressão local) 4- Calcular a série residual: ε t ε t = Y t T t S t

13 Decomposição clássica (aditiva) 1- Calcular a tendência: T t (média móvel, regressão polinomial) 2- Retirar a tendência: Y t T t 3- Calcular a componente sazonal: S t (índices sazonais, médias móveis, regressão local) 4- Calcular a série residual: ε t ε t = Y t T t S t

14 Exemplo I

15 Exemplo II

16 STL STL (Seasonal-Trend decomposition by Lowess / loess) Loess / Lowess (Cleveland, 1979): regressão local robusta

17 STL Decomposição baseada em regressão local robusta Parâmetros: t (parâmetro de alisamento para a tendência) s (parâmetro de alisamento para a componente sazonal) Mais robusta e flexível do que a decomposição clássica Estimação simultânea das componentes Estimativa da tendência instável nos extremos da séries

18 STL Decomposição baseada em regressão local robusta Parâmetros: t (parâmetro de alisamento para a tendência) s (parâmetro de alisamento para a componente sazonal) Mais robusta e flexível do que a decomposição clássica Estimação simultânea das componentes Estimativa da tendência instável nos extremos da séries

19 STL Decomposição baseada em regressão local robusta Parâmetros: t (parâmetro de alisamento para a tendência) s (parâmetro de alisamento para a componente sazonal) Mais robusta e flexível do que a decomposição clássica Estimação simultânea das componentes Estimativa da tendência instável nos extremos da séries

20 STL Decomposição baseada em regressão local robusta Parâmetros: t (parâmetro de alisamento para a tendência) s (parâmetro de alisamento para a componente sazonal) Mais robusta e flexível do que a decomposição clássica Estimação simultânea das componentes Estimativa da tendência instável nos extremos da séries

21 STL Decomposição baseada em regressão local robusta Parâmetros: t (parâmetro de alisamento para a tendência) s (parâmetro de alisamento para a componente sazonal) Mais robusta e flexível do que a decomposição clássica Estimação simultânea das componentes Estimativa da tendência instável nos extremos da séries

22 Exemplo I

23 Exemplo I

24 Exemplo I

25 Exemplo I

26 Exemplo II

27 Exemplo II

28 Exemplo II

29 Exemplo II

30 Domínios temporal, espectral e wavelet

31 Domínios temporal, espectral e wavelet

32 Domínios temporal, espectral e wavelet

33 Domínios temporal, espectral e wavelet

34 Funções base Fourier Wavelet

35 O conceito de multi-resolução

36 Continuous Wavelet transform (CWT) Discrete Wavelet Transform (DWT) imagem série temporal

37 CWT - exemplo i

38 CWT - exemplo ii

39 CWT - limitações anti-estatístico : série temporal imagem 2-D redundante coeficientes muito correlacionados significancia [e.g. Mauran et al 2007, Phys. Rev. E 75]

40 Discrete wavelet transform (DWT) Decomposição multi-resolução X = J j=1 WT J W j + V T J V j J j=1 D j + S J Decomposição de energia X 2 = J j=1 W j 2 + V j 2 [e.g. Percival & Walden 2000; Percival, 2008]

41 DWT - exemplo

42 DWT - exemplo

43 Aplicações da DWT: denoising

44 Aplicações da DWT: denoising

45 Aplicações da DWT: denoising

46 Aplicações da DWT: espectro wavelet

47 Aplicações da DWT: espectro wavelet Example: SLP, % variance, level j=3 (annual cycle)

48 Aplicações da DWT: correlação

49 Processo de previsão 1. Dividir a série temporal em duas partes - conjunto de inicialização - conjunto de teste 2. Escolher um método de previsão 3. Inicializar o método de previsão 4. Obter previsões para o conjunto de teste - calcular erros quadráticos médios - optimizar valores dos parâmetros 5. Efectuar previsões para observações futuras

50 Métodos não-paramétricos de previsão Método de alisamento exponencial simples (séries estacionárias) Método linear de Holt (séries com tendência) Método de Holt-Winters (séries com tendência e sazonalidade)

51 Método de alisamento exponencial simples Y t : observação no instante t F t : previsão para o instante t Y t F t : erro de previsão F t+1 = F t + α(y t F t ) F t+1 = αy t + (1 α)f t Inicialização: F 1 = Y 1 Parâmetro: α (determinado por minimização do erro)

52 Método linear de Holt L t (nível): L t = αy t + (1 α)(l t 1 + b t 1 ) b t (tendência): b t = β(l t L t 1 ) + (1 β)b t 1 F t+m = L t + b t m Inicialização: L 1 = Y 1, b 1 = Y 2 Y 1 Parâmetros: α, β

53 Método de Holt-Winters L t (nível): b t (tendência): L t = αy t + (1 α)(l t 1 + b t 1 ) S t (sazonalidade, período s) b t = β(l t L t 1 ) + (1 β)b t 1 S t = γ(y t L t ) + (1 γ)s t s

54 Método de Holt-Winters (cont) Inicialização: L s = (Y Y s )/s b s = 1 s ( Ys+a Y 1 s Ys+s Ys s ) S 1 = Y 1 L s,..., S s = Y s L s Parâmetros: α, β, γ F t+m = L t + b t m + S t s+m

55 Exemplo

56 Exemplo