Restauração de Imagem e redução de ruído

Transcrição

1 Restauração de magem e redução de ruído orge Salvador Marques, 7

2 Aplicações imagem médica recuperação de imagens degradadas super-resolução compressive sensing orge Salvador Marques, 7

3 Degradação de imagem, y d, y dd há perda de informação orge Salvador Marques, 7

4 Modelo imagem ideal : R MN imagem observada: R MN W imagem de ruído: W R MN W. operador : R MN R MN modelo linear H W orge Salvador Marques, 7

5 Problema Problema [restauração]: dada a imagem W, obter a imagem Problema [redução de ruído]: dada a imagem W, obter a imagem dificuldades: é não invertível ou mal condicionado numericamente tem um número infinito de soluções Não há critério para separar de W? problema inverso orge Salvador Marques, 7

6 Problema inversos não invertível mal condicionado orge Salvador Marques, 7

7 Solução métodos determinísticos como a equação tem um número infinito de soluções, impõem-se condições adicionais suavidade à solução. métodos de regularização métodos probabilísticos interpretar o cálculo de como um problema de inferência estatística orge Salvador Marques, 7

8 Condição de suavidade primeira diferença orge Salvador Marques, 7

9 Regularização de ikhonov auste do modelo aos dados condição de suavidade ε H δ D as duas normas estão definidas em espaços diferentes e podem ser diferentes a escolha mais comum é a norma euclidiana l. pretende-se minimizar a condição de suavidade sob a hipótese de ε ser pequeno. E H λ D λ mede o compromisso entre o auste aos dados e suavidade. orge Salvador Marques, 7

10 Solução com norma l E H H λ D D derivando de d H H λd D H H λd D H sistema linear de equações de muito grande dimensão orge Salvador Marques, 7

11 Algoritmo recursivo Como resolver um sistema de grande dimensão My? y M α y M Recursão t t t α y M t t t αy αm t αy αm Nota: em problemas de restauração a multiplicação de por M é uma operação de filtragem. orge Salvador Marques, 7

12 Convergência Há garantia de convergência se o operador for uma contracção. ' < k ' k < Se for usada a norma l então a condição anterior é equivalente a ma αλ i M < i Ver detalhes em Katsaggelos, terative image restoration algorithms, 998. orge Salvador Marques, 7

13 Algoritmo recursivo Pode haver dificuldade de convergência se M tiver valores próprios positivos e negativos. Essa dificuldade pode ser ultrapassada fazendo M y αm M M y M Recursão t t t α M y M M Convergência ma αλ M M < i i t αm y αm M t orge Salvador Marques, 7

14 Eemplo sinal original estimativas λ SNR-. db observações λ SNR.9 db λ SNR.3 db orge Salvador Marques, 7-5 5

15 ransições abruptas sinal original estimativas λ SNR-. db observações λ SNR9.8 db λ SNR8.7dB orge Salvador Marques, 7-5 5

16 SNR3.dB α SNR7.6dB α8 SNR8.5dB orge Salvador Marques, 7

17 Preservação de contornos Os métodos anteriores reduzem o ruído destruindo os contornos. Será possível reduzir o ruído preservando os contornos? deia: transições de grande amplitude devem autorizadas. custo orge Salvador Marques, 7 erro

18 Regularização com norma l Energia caso D E H n λ i i ρ i R n, R m A matriz m n, norma em : euclidiana norma l A minimização de E é um problema de optimização não linear. Conversão num problema quadrático E H i i, i i ε i> e n λ i i ρ, ε Os pesos dependem do sinal reconstruído! orge Salvador Marques, 7 recursão

19 Regularização: norma l Algoritmo recursivo H H Q H λ,,3,... em que orge Salvador Marques, 7 n n n n n n ρ Q ε ε > i i i i

20 Eemplo observações norma euclidiana SNR7dB norma l SNR.7dB orge Salvador Marques, 7

21 Eemplo original norma euclidiana SNR8,6dB norma l SNR9.3dB orge Salvador Marques, 7

22 Redução de ruído: método de máima verosimilhança Admitamos que a degradação é linear e que o ruído é branco e gaussiano. W W~N,s representa a imagem ou a matriz identidade dependendo do conteto. Pretende-se estimar dado. Função de verosimilança logarítmica l log p l log p i i log p i i l C i orge Salvador Marques, 7 i E E i i σ i solução desilusão ˆ Não meer, para não estragar!

23 Crítica ao método de MV Pretende-se decompor na soma de W. Há infinitas maneiras de o fazer. O método de máima verosimilhança sugere a decomposição Î e W porque só usa um modelo para o ruído e não usa nenhum modelo para o sinal. Esta opção é a habitual nos métodos clássicos não-bayesianos de estimação: não se sabe nada acerca dos parâmetros antes de se observarem os dados. Solução: usar um modelo para o sinal Questão: como modelar a dependência entre piels consecutivos? orge Salvador Marques, 7

24 Modelo de magem prior Um modelo simples consiste em admite-se que as primeiras diferenças δ m, n m, n m, n δ m, n m, n m, n têm distribuição normal Ν,σ e são independentes Sea D o operador que transforma o vector de imagem no vector de primeiras diferenças δ D δ ~ N, σ Assim δ δ σ p δ Ce D D σ p C' e orge Salvador Marques, 7

25 Redução de ruído: método MAP Critério: achar a imagem mais provável, maimizando p K p p modelo dos dados gaussiano: p Ce σ modelo da imagem gaussiano: p C' e D σ Distribuição a posteriori: p c e D σ σ e orge Salvador Marques, 7

26 Redução de ruído: método MAP log D C p σ σ Critério a optimizar optimização orge Salvador Marques, 7 D D D D D D p d d σ σ σ σ σ σ ˆ log Conduz à resolução de um sistema linear de equações com tantas equações como piels observados. matriz identidade Não é realizável!!!

27 Algoritmo recursivo, σ σ V y α y α Critério a minimizar Derivando em relação a vem orge Salvador Marques, 7 V y V y αn αn y α αn y α Derivando em relação a vem y V y N média na vizinhança 4 de

28 Restauração de imagem: método MAP Critério: achar a imagem mais provável, maimizando p K p p modelo dos dados gaussiano: p Ce H σ modelo da imagem gaussiano: p C' e D σ Distribuição a posteriori: p c e H D σ σ e orge Salvador Marques, 7

29 Restauração de imagem: método MAP Critério a optimizar log p C M α D optimização d d M log p M M αd D M M α D D M M αd D ˆ M orge Salvador Marques, 7