MÉTODOS EXPERIMENTAIS E TÉCNICAS DE MEDIDAS

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1 MÉTODOS EXPERIMENTAIS E TÉCNICAS DE MEDIDAS Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br

2 Aula 4 Variáveis Aleatórias

3 Conceitos relacionados à probabilidade Mestrado em Eng. Mecânica 3/66

4 Experimentos Aleatórios Um experimento que pode fornecer diferentes resultados, muito embora seja repetido toda vez da mesma maneira, é chamado de um. Mestrado em Eng. Mecânica 4/66

5 Experimentos Aleatórios Em alguns casos, as variações aleatórias são experimentais, que podem ser ignoradas., relativa aos nossos objetivos No entanto, não importa quão cuidadosamente nosso experimento seja planejado e conduzido, a variação está quase sempre presente e sua magnitude pode ser grande o suficiente que conclusões importantes podem não ser óbvias. Nosso é compreender, quantificar e modelar os tipos de variações que encontramos com frequência. Mestrado em Eng. Mecânica 5/66

6 Espaços Amostrais Para modelar e analisar um experimento aleatório, temos de entender o de um experimento. Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Mestrado em Eng. Mecânica 6/66

7 Espaços Amostrais Considere um experimento em que você seleciona uma peça plástica moldada, tal como um conector, e mede sua espessura. Os valores possíveis da espessura dependem da resolução do instrumento de medição e também dos limites superior e inferior da espessura. Já que um valor negativo para espessura não pode ocorrer: S R x R x 0 Mestrado em Eng. Mecânica 7/66

8 Espaços Amostrais Se soubéssemos que todos os conetores terão espessura S x R10 x 11 entre 10 e 11 milímetros. Objetivo da análise é verificar se a peça tem espessura baixa, média ou alta. S= baixa, média, alta { } Objetivo da análise é verificar se a peça obedece ou não às especificações de fabricação. S= sim, não { } Mestrado em Eng. Mecânica 8/66

9 Eventos Frequentemente, estamos interessados, a partir de um experimento aleatório, em uma coleção de resultados relacionados. Um é um subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Mestrado em Eng. Mecânica 9/66

10 Exemplos Procedimento: Lançamento de um dado Evento: número 1 Espaço amostral: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} Procedimento: Lançamento de dois dados Evento: Cair no mínimo um número 1 Todos estes eventos: 1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 1 Espaço amostral completo: S={1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6,...} Mestrado em Eng. Mecânica 10/66

11 Probabilidade A probabilidade de um evento é determinada como a entre o número de resultados e o número de resultados no (para resultados igualmente prováveis). Probabilidade é usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrência de um resultado de um experimento aleatório. Quantificamos com um número entre [0, 1] ou em porcentagem, de 0% a 100%. Mestrado em Eng. Mecânica 11/66

12 Probabilidade Números maiores indicam que o resultado é mais provável que números menores. Probabilidade igual a 0 Resultado não ocorrerá Probabilidade igual a 1 Resultado ocorrerá com certeza. Mestrado em Eng. Mecânica 12/66

13 Definições de Probabilidade Definição Clássica; Definição Frequentista; Definição Axiomática. Mestrado em Eng. Mecânica 13/66

14 Definição Clássica A probabilidade de um evento E, que é um subconjunto finito de um espaço amostral S, de resultados igualmente prováveis, é: P E ne ns Sendo n(e) e n(s) a quantidade de elementos de E e de S, respectivamente. Mestrado em Eng. Mecânica 14/66

15 Definição Clássica A definição clássica é dúbia, já que a ideia de igualmente provável é a mesma de com probabilidade igual, isto é, a definição é circular, porque está definindo essencialmente a probabilidade com seus próprios termos. A definição não pode ser aplicada quando o espaço amostral é infinito. Mestrado em Eng. Mecânica 15/66

16 Frequência Relativa Probabilidade Nem sempre é possível determinar, pela definição clássica, a probabilidade de ocorrência de um evento. Qual a probabilidade de um avião cair? Qual a probabilidade de que um carro seja roubado? Qual a probabilidade de chover hoje? Mestrado em Eng. Mecânica 16/66

17 Frequência Relativa Probabilidade Respostas para esses problemas são fundamentais mas, como não podemos calcular essas probabilidades pela definição clássica, tudo o que podemos fazer é observar com que frequência esses fatos ocorrem. Com um grande número de observações, podemos obter uma boa estimativa da probabilidade de ocorrência desses tipos de eventos. Denominamos de Mestrado em Eng. Mecânica 17/66

18 Frequência Relativa Probabilidade Seja E um experimento aleatório e A um evento de um espaço amostral associado S. Suponha que E é repetido n vezes e seja fr A a frequência relativa do evento. Então, a probabilidade de A é definida como sendo o limite de fr A quando n tende ao infinito. Ou seja: P A lim n fr A Mestrado em Eng. Mecânica 18/66

19 Frequência Relativa Probabilidade Deve-se notar que a frequência relativa do evento A é uma aproximação da probabilidade de A. As duas se igualam apenas no limite. Em geral, para um valor de n razoavelmente grande, a fr A é uma boa aproximação de P(A). Mestrado em Eng. Mecânica 19/66

20 Distribuições de Frequência Probabilidade de ter um potinho entre 49,58 e 51,33g de canela em pó Classes fa fr fp (%) Freq. Abs. Acumulada Freq. Rel. Acumulada [44,33;46,08) 5 0,10 10,0 5 0,10 é de 28% Exemplo da Canela em pó [46,08;47,83) 6 0,12 12,0 11 0,22 [47,83;49,58) 10 0,20 20,0 21 0,42 [49,58;51,33) 14 0,28 28,0 35 0,70 [51,33;53,08) 9 0,18 18,0 44 0,88 [53,08;54,83) 0 0,00 0,0 44 0,88 [54,83;56,58) 6 0,12 12,0 50 1,00 Total 50 1,00 100,0 - - Soma das probabilidades de todos os resultados Mestrado em Eng. Mecânica 20/66

21 Esta definição frequentista, embora útil na prática, apresenta dificuldades matemáticas, pois o limite pode não existir. Em virtude dos problemas apresentados pela definição clássica e pela definição frequentista, foi desenvolvida uma teoria moderna, que é a Mestrado em Eng. Mecânica 21/66

22 Axiomas de Probabilidade Probabilidade é um número que é atribuído a cada membro de uma coleção de eventos, a partir de um experimento aleatório que satisfaça as seguintes propriedades: Se S for o espaço amostral e E for qualquer evento em um experimento aleatório: P (S) = 1; 0 P (E) 1; Para dois eventos E 1 e E 2 com E 1 E 2 P E E PE P E Mestrado em Eng. Mecânica 22/66

23 Axiomas de Probabilidade Estes axiomas implicam nos seguintes resultados: P 0 PE' 1 PE Se o evento E 1 estiver contido no evento E 2 : PE PE 1 2 Mestrado em Eng. Mecânica 23/66

24 Variáveis Aleatórias Mestrado em Eng. Mecânica 24/66

25 Variável Aleatória Lance um dado Colete dados amostrais e, então, obtenha estatísticas e gráficos Criar um modelo teórico que descreva como se espera que o experimento se comporte e, então obtenha parâmetros Encontre a probabilidade para cada resultado x f 1 8 x 2P(x) / / / / /6 6P(1) 1/6= 1/6 P(2) = 1/6 P(6) = 1/6 x = 3, 6 s=1, 7 m = 3, 5 s =1, 7 Mestrado em Eng. Mecânica 25/66

26 Variáveis Aleatórias Uma é uma variável (normalmente representada por X) que assume um único valor numérico x, determinado pelo acaso, para cada resultado de um experimento. Mestrado em Eng. Mecânica 26/66

27 Distribuição de Probabilidade Mestrado em Eng. Mecânica 27/66

28 Distribuição de Probabilidade Uma de uma variável aleatória X é uma descrição das probabilidades associadas com os valores possíveis de X. Ela é frequentemente expressa na forma de um gráfico, de uma tabela ou de uma fórmula. Mestrado em Eng. Mecânica 28/66

29 EXEMPLO 1 Considere a prole de ervilhas de pais que têm, ambos, a combinação verde/amarelo de genes de vagem (verde dominante). Sob essas condições, a probabilidade de uma prole ter uma vagem verde é 3/4 ou 0,75. Isto é, P (vagem verde) = 0,75. Se obtemos cinco dessas proles e fazemos: x = número de ervilhas com vagens verdes entre 5 proles de ervilhas Então, x é uma variável aleatória, pois seu valor depende do acaso. Mestrado em Eng. Mecânica 29/66

30 EXEMPLO 1 A tabela abaixo, é uma distribuição de probabilidade, porque ela dá a probabilidade para cada valor da variável aleatória x. x (Número de ervilhas com vagens verdes) P(x) 0 0,01 1 0, , , , ,237 Mestrado em Eng. Mecânica 30/66

31 Variáveis Aleatórias Variável Aleatória Discreta É uma variável aleatória com uma faixa finita (ou infinita contável). Variável Aleatória Contínua É uma variável aleatória com um intervalo (tanto finito como infinito) de números reais para sua faixa. Mestrado em Eng. Mecânica 31/66

32 Variáveis Aleatórias Variável Aleatória Discreta Número de arranhões em uma superfície; Proporção de partes defeituosas entre testadas; Número de bits transmitidos que foram recebidos com erro. Variável Aleatória Contínua Corrente Elétrica; Comprimento; Pressão; Temperatura, Tempo. Mestrado em Eng. Mecânica 32/66

33 Histogramas A de uma tabela de distribuições de probabilidade é um histograma. Um histograma é um no qual a escala horizontal representa classes de valores de dados e a escala vertical representa frequências. As alturas das barras correspondem aos valores das frequências, e as barras são desenhadas adjacentes umas às outras (sem separação). Mestrado em Eng. Mecânica 33/66

34 Histogramas no R hist(nome_do_arquivo,breaks=c(limites inferiores das classes)) Opções: freq=false or TRUE ylab, xlab, main, col. Mestrado em Eng. Mecânica 34/66

35 Gráficos Podemos representar uma distribuição de probabilidades através de um histograma: o Área do retângulo: 1 0,396 As áreas dos retângulos são iguais às probabilidades da Tabela do Exemplo 1 Mestrado em Eng. Mecânica 35/66

36 Distribuição de Probabilidades Toda distribuição de probabilidades deve satisfazer cada um dos seguintes requisitos: P x 1 Valores como 0,999 ou 1,001 são aceitáveis quando resultam de erros de arredondamento. 0 Px 1 Mestrado em Eng. Mecânica 36/66

37 EXEMPLO 1 Analisando a tabela do Exemplo 1: x (Número de ervilhas com vagens verdes) P(x) 0 0, , , , , ,237 P x 1, 001 Cada P (x) está entre 0 e 1 Mestrado em Eng. Mecânica 37/66

38 Distribuição de Probabilidade Para uma variável aleatória discreta, frequentemente esta distribuição é apresentada por uma lista de valores possíveis. Em alguns casos, podemos descrever a distribuição de probabilidades usando uma função que especifica a probabilidade de cada um dos valores discretos possíveis para X. Mestrado em Eng. Mecânica 38/66

39 Função de Probabilidade Para uma variável aleatória discreta X, com valores possíveis x 1, x 2,...,x n, a função de probabilidade é uma função tal que: f x 0 i n i1 f 1 x i f x PX x i i Mestrado em Eng. Mecânica 39/66

40 Funções de Distribuição Cumulativa A função de probabilidade cumulativa de uma variável aleatória discreta, X, denotada por F(x), é: F x PX x f x x i x i Mestrado em Eng. Mecânica 40/66

41 Funções de Distribuição Cumulativa Para uma variável aleatória discreta X, F(x) satisfaz as seguintes propriedades: F x PX x f x x i x i 0 Fx 1 Se x y, então F x F y Mestrado em Eng. Mecânica 41/66

42 Média, Variância e Desvio-Padrão Podemos descrever distribuições de probabilidades utilizando a média, a variância e o desvio-padrão. : Valor central da variável aleatória. variável aleatória. : Medem a variabilidade da Duas distribuições diferentes podem ter a mesma média e variância. Mestrado em Eng. Mecânica 42/66

43 Média, Variância e Desvio-Padrão A média ou valor esperado de uma variável aleatória discreta X é uma média ponderada dos possíveis valores de X, com pesos iguais às probabilidades. Média de uma variável aleatória E X x f x x Podemos considerar tal média como o valor esperado no sentido de que é o valor médio que esperaríamos se as tentativas pudessem continuar indefinidamente. Mestrado em Eng. Mecânica 43/66

44 Média, Variância e Desvio-Padrão A variância utiliza o peso f(x) como o multiplicador de cada desvio quadrático possível (x ) 2 2 x 2 Variância f x x Desvio-padrão 2 Mestrado em Eng. Mecânica 44/66

45 EXEMPLO 2 A tabela abaixo descreve a distribuição de probabilidade para o número de ervilhas com vagens verdes entre 5 proles obtidas de pais que tinham, ambos, pares de genes verde/amarelo. Ache a média, a variância e o desvio-padrão para esta distribuição de probabilidade. Mestrado em Eng. Mecânica 45/66

46 EXEMPLO 2 x (Número de ervilhas com vagens verdes) f(x) 0 0,01 1 0, , , , ,237 Total x. f(x) (x - ) 2. f(x) 0,000 0, ,015 0, ,176 0, ,792 0, ,584 0, ,185 0, ,752 0, Mestrado em Eng. Mecânica 46/66

47 EXEMPLO 2 O número médio de ervilhas com vagens verdes é 3,8 ervilhas; A variância é 0,9 ervilhas ao quadrado ; O desvio-padrão é 1,0 ervilha. Mestrado em Eng. Mecânica 47/66

48 VALORES NÃO USUAIS Se, sob uma dada hipótese, a probabilidade de um evento particular observado é extremamente pequena, concluímos que a hipótese provavelmente não é correta. Como no caso da hipótese de uma moeda ser honesta. Se tivermos observado 992 caras em 1000 lançamentos. Concluímos que a hipótese não é correta, já que a probabilidade deste evento é extremamente baixa. Mestrado em Eng. Mecânica 48/66

49 VALORES NÃO USUAIS Probabilidades podem ser usadas para se aplicar a regra do evento raro. Número de sucessos não usualmente alto: x sucessos em n tentativas é um número de sucessos se a probabilidade de x ou mais sucessos for improvável, com uma probabilidade de 0,05 ou menos. Esse critério pode ser expresso como. Mestrado em Eng. Mecânica 49/66

50 VALORES NÃO USUAIS Número de sucessos não usualmente baixo: x sucessos em n tentativas é um número de sucessos se a probabilidade de x ou menos sucessos for improvável, com uma probabilidade de 0,05 ou menos. Esse critério pode ser expresso como. O valor 0,05 não é absolutamente rígido. Outros valores, tais como 0,01 também são frequentemente usados. Mestrado em Eng. Mecânica 50/66

51 EXEMPLO 3 Para determinarmos se 1 é um valor não usualmente baixo de ervilhas com vagens verdes (entre 5 proles), precisamos encontrar a probabilidade de se obter 1 ou menos ervilhas com vagens verdes. x (n o de ervilhas com vagens verdes) P(x) 0 0, , , , , ,237 P 1ou menos P1ou 0 0, 015 0, 016 0, 001 Como 0,016 < 0,05, 1 é um valor não usualmente baixo. Mestrado em Eng. Mecânica 51/66

52 Distribuição Binomial Mestrado em Eng. Mecânica 52/66

53 Distribuição Binomial A nos permite lidar com circunstâncias nas quais os resultados pertencem a categorias, tais como aceitável/defeituoso ou sobreviveu/morreu. Mestrado em Eng. Mecânica 53/66

54 Distribuição Binomial Uma distribuição binomial resulta de um experimento que satisfaz os seguintes requisitos: 1. O experimento tem um ; 2. As tentativas devem ser ; 3. Cada tentativa deve ter todos os resultados classificados em (em geral, chamadas de e ); 4. A probabilidade de sucesso permanece em todas as tentativas. Mestrado em Eng. Mecânica 54/66

55 Distribuição Binomial Se um experimento satisfaz os requisitos anteriores, a distribuição da variável aleatória x (número de sucessos) é chamada de. Mestrado em Eng. Mecânica 55/66

56 Notação para Distribuição Binomial S e F (sucesso e fracasso): Representam as duas categorias possíveis de resultados. P(S) = p: probabilidade de sucesso. P(F) = 1 p = q: probabilidade de fracasso. n: número fixo de tentativas. Mestrado em Eng. Mecânica 56/66

57 Notação para Distribuição Binomial x: número específico de em n tentativas, de modo que x pode ser qualquer número inteiro entre 0 e n, inclusive. p: Probabilidade de em uma de n tentativas. q: Probabilidade de fracasso em uma de n tentativas. P(x): Probabilidade de se obterem exatamente x sucessos entre as n tentativas. Mestrado em Eng. Mecânica 57/66

58 A palavra sucesso é arbitrária e não representa, necessariamente, algo bom. Qualquer uma das duas categorias pode ser chamada de sucesso S, desde que sua probabilidade seja identificada como p. Ao usar a Distribuição Binomial, certifique-se de que p e x se referem à mesma categoria. Mestrado em Eng. Mecânica 58/66

59 EXEMPLO 4 Considere um experimento no qual 5 proles de ervilhas são geradas de 2 pais, tendo cada um a combinação de genes verde/amarelo para a cor da vagem. A probabilidade de uma prole de ervilha ter uma vagem verde é 0,75, ou seja, P (vagem verde) = 0,75. Suponha que desejemos encontrar a probabilidade de que exatamente 3 das 5 proles de ervilhas tenham vagem verde. Esse procedimento resulta em uma Distribuição Binomial? Se sim, identifique os valores de n, x, p e q. Mestrado em Eng. Mecânica 59/66

60 EXEMPLO 4 1. O número de tentativas (5) é fixo; 2. As 5 tentativas são independentes, porque a probabilidade de qualquer prole de ervilha ter vagem verde não é afetada pelo resultado de qualquer outra prole de ervilha. 3. Cada uma das 5 tentativas tem duas categorias de resultados: a ervilha tem vagem verde ou não; 4. Para cada prole de ervilha, a probabilidade de que tenha vagem verde é 0,75, e essa probabilidade permanece a mesma para cada uma das cinco ervilhas. Mestrado em Eng. Mecânica 60/66

61 EXEMPLO 4 Podemos, então, concluir que o procedimento dado resulta em uma Distribuição Binomial. n = 5; x = 3; p = 0,75; q = 0,25. x e p devem se referir ao mesmo conceito de sucesso. Aqui, usamos x para contar o número de ervilhas com vagem verde, de modo que p deve ser a probabilidade de que uma ervilha tenha vagem verde. Mestrado em Eng. Mecânica 61/66

62 Determinação das probabilidades correspondentes à variável aleatória x em uma distribuição binomial: f x n n! x! x! p x q nx para x = 0, 1, 2,..., n. em que: n = número de tentativas; x = número de sucessos entre n tentativas; p = probabilidade de sucesso em qualquer tentativa; q = probabilidade de fracasso em qualquer tentativa. Mestrado em Eng. Mecânica 62/66

63 Exemplo 5 Supondo que a probabilidade de uma ervilha ter vagem verde seja 0,75, use a fórmula da probabilidade binomial para encontrar a probabilidade de se obter exatamente 3 ervilhas com vagens verdes quando são geradas 5 proles. Mestrado em Eng. Mecânica 63/66

64 Distribuição Binomial no R Quando o número de tentativas (size) e a probabilidade de sucesso são conhecidos para cada evento (prob) é possível utilizar o comando abaixo para descobrir a probabilidade para qualquer valor da variável x. dbinom(x, size, prob) Mestrado em Eng. Mecânica 64/66

65 Função de Probabilidade Cumulativa Para descobrir a probabilidade de valores menores ou iguais a X utilizamos o comando: pbinom(x, size, prob) Exemplo 6: Qual a probabilidade de obtermos 3 ou menos ervilhas verdes quando são geradas 5 proles. Mestrado em Eng. Mecânica 65/66

66 Você pode plotar o gráfico da distribuição de probabilidade discreta através do seguinte comando: plot(dbinom(seq(0,5, by =1), size = 5, prob = 0.75), type = h, xlab = Número de proles verdes, ylab = Probabilidade, main = Distribuição de Probabilidade ) Mestrado em Eng. Mecânica 66/66

67 Média, Variância e Desvio-Padrão Vamos analisar como fica a média, a variância e o desviopadrão para a Distribuição Binomial. Distribuição Qualquer Distribuição Binomial x P x np 2 x 2 P x 2 2 npq 2 npq Mestrado em Eng. Mecânica 67/66

68 EXEMPLO 6 Use as fórmulas para o cálculo da média e do desvio-padrão para uma Distribuição Binomial para os números de ervilhas com vagens verdes, quando são gerados grupos de 5 ervilhas. Suponha que haja uma probabilidade 0,75 de que uma ervilha gerada tenha vagem verde. Mestrado em Eng. Mecânica 68/66

69 EXEMPLO A fórmula para a média tem sentido, intuitivamente. Se 75% das ervilhas têm vagens verdes e são geradas 5 ervilhas, esperamos obter cerca de 5 0,75 = 3,8 ervilhas com vagens verdes. Este resultado pode ser facilmente generalizado como = np. A variância e o desvio-padrão não se justificam tão facilmente, então apenas verificamos que usando ambas as fórmulas para desvio-padrão, obtivemos o mesmo resultado. Mestrado em Eng. Mecânica 69/66

70 Referências Triola, M.F. Introdução à Estatística: Atualização da Tecnologia. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 11ª Edição, ISBN Montgomery, D.C., Runger, G.C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Rio de Janeiro, RJ: LTC, Quinta Edição, ISBN Ferreira, E.B., Oliveira, M.S. Introdução à Estatística Básica com R. Universidade Federal de Lavras Lavras MG. Mestrado em Eng. Mecânica 70/66