ANOVA com modelos encaixados

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1 ANOVA com modelos encaixados Motivação 1 Testar a significância de β j ( j = 0, 1,, p na presença das demais regressoras, usando o teste t, é trabalho, pois precisa de: ^β e ^Var (^β j = ^σ 2 j c ( j+1( j +1 elemento da matriz (X X -1 Tabela da ANOVA cálculo à mão pode acarretar erros grandes por arredondamento Forma alternativa de testar a significância de β j ( j = 1, 2,, p na presença das demais regressoras: ANOVA com modelos encaixados (q = 1 Comando no R: anova(ajuste1, ajuste2 sendo que a diferença entre ajuste1 e ajuste2 é que em ajuste1 não tem β j

2 Motivação 2 ATENÇÃO: o comando anova(ajuste não realiza o teste de significância conjunta de β 1, β 2, β 3,, β p, mesmo que em ajuste esteja o modelo com todas as regressoras anova(reta ##não testa a significância conjunta de beta1 e beta2 Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(F x < 2.2e-16 *** x e-07 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

3 Forma alternativa de testar a significância conjunta de β 1, β 2, β 3,, β p : ANOVA com modelos encaixados (q = p Comando no R: anova(ajuste1, ajuste2 sendo que em ajuste1 está o modelo nulo * e em ajuste2 está o modelo com todas as regressoras * modelo nulo: Y = β 0 + ε ; ε ~ N(0 ; σ 2 no R: lm(y~1

4 ANOVA com modelos encaixados (Teste de significância de β *, na presença das demais regressoras Tabela da ANOVA para M 1 Tabela da ANOVA para M 2 Fonte GL SQ Fonte GL SQ Regressão (M 1 m q Regressão (M 2 m Resíduo (M 1 n m + q 1 SQRes(M 1 Total n 1 Resíduo (M 2 n m 1 SQRes(M 2 Total n 1 SQExtra = SQRes(M 1 SQRes(M 2 GL da SQExtra = q = GL da SQRes(M 1 GL da SQRes(M 2 F = SQExtra /q SQRes(M 2 /(n m 1 F ~ q F (n m 1, sob H 0

5 Exemplo 1 (cont. Com o R e usando ANOVA com modelos encaixados, teste a: a significância de β 1, na presença de X 2 b significância de β 2, na presença de X 1 c significância conjunta de β 1 e β 2 d significância da interação X 1 X 2, na presença de X 1 e X 2

6 a significância de β 1 na presença de X 2 #ajuste do modelo restrito,sem beta1 ajuste1 <- lm(y~x2 #ajuste do modelo com beta1 e beta2 mas sem interação ajuste2 <- lm(y~x1+x2 #ANOVA com modelos encaixados (p/ testar signif. de beta1 na presença de X2 anova(ajuste1,ajuste2 Model 1: y ~ x2 Model 2: y ~ x1 + x2 GL da SQExtra SQExtra Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(F < 2.2e-16 *** GL da SQRes --- SQRes Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

7 * comparando as saídas do summary e da anova com modelos encaixados summary(ajuste Call: lm(formula = y ~ x1 + x2 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr( t (Intercept x < 2e-16 *** anova(ajuste1,ajuste2 Model 1: y ~ x2 Model 2: y ~ x1 + x2 t 2 Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(F < 2.2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

8 b significância de β 2 na presença de X 1 #ajuste do modelo restrito, sem beta2 ajuste1 <- lm(y~x1 #ajuste do modelo sem interação ajuste2 <- lm(y~x1+x2 #ANOVA com modelos encaixados anova(ajuste1,ajuste2 Model 1: y ~ x1 Model 2: y ~ x1 + x2 Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(F e-07 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * lm(formula = y ~ x1 + x2 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr( t (Intercept x < 2e-16 x e-07

9 c significância de (β 1, β 2 #ajuste do modelo nulo ajuste1 <- lm(y~1 #ajuste do modelo sem interação ajuste2 <- lm(y~x1+x2 #ANOVA com modelos encaixados anova(ajuste1,ajuste2 Model 1: y ~ 1 Model 2: y ~ x1 + x2 Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(F < 2.2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Tabela da ANOVA ( à mão Fonte GL SQ QM F p-valor Regressão , , ,64 < 0,05 Resíduos 12 53,61 4,47 Total ,60

10 d significância da interação #ajuste do modelo sem interação ajuste1 <- lm(y~x1+x2 #ajuste do modelo com interação (modelo completo ajuste2 <- lm(y~x1*x2 #ANOVA com modelos encaixados anova(ajuste1,ajuste2 Model 1: y ~ x1 + x2 Model 2: y ~ x1 + x2 + x1 * x2 Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(F Call: lm(formula = y ~ x1 * x2 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr( t (Intercept 4.901e e x e e e-09 x e e x1:x e e

11 ANÁLISE DE MAIS SAÍDAS DO R

12 * saída do R para o comando anova com um único modelo #ajuste do modelo com X1, X2 e interação ajuste <- lm(y~x1*x2 anova(ajuste Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(F x < 2.2e-16 *** x e-06 *** x1:x Residuals A saída apresenta uma sequencia de SQExtra para modelos encaixados: Linha 1 H 0 : β 1 = 0 (SQExtra com M 1 : y ~ 1 e M 2 : y ~ x 1 (p-valor pequeno: a inclusão de X 1 no modelo nulo é significativa Linha 2 H 0 : β 2 = 0 na presença de X 1 (SQExtra com M 1 : y ~ x 1 e M 2 : y ~ x 1 + x 2 (p-valor pequeno: a inclusão de X 2 no modelo com X 1 é significativa Linha 3 H 0 : β 3 = 0 na presença de X 1 e X 2 (SQExtra com M 1 : y ~ x 1 + x 2 e M 2 : y ~ x 1 + x 2 + x 1 x 2 (p-valor grande: a inclusão da interação X 1 X 2 no modelo hierárquico não é significativa

13 * comparando as saídas do comando anova e summary summary(ajuste Call: lm(formula = y ~ x1 * x2 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr( t (Intercept 4.901e e x e e e-09 *** x e e * x1:x e e anova(ajuste diferente de t 2 Response: y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(F X < 2.2e-16 *** x e-06 *** x1:x Residuals