Medidas repetidas No.1

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1 Medidas repetidas No.1 Fernando Lucambio Departamento de Estatística Universidade Federal do Paraná Curitiba/PR, , Brasil Agosto de Introdução Tempo de reação de 10 indivíduos submetidos a um estimulo na presença e ausência de ruídos ambientais e utilizando o estímulo inclinado a três diferentes ângulos. Dados do livro Designing Experiments and Analyzing Data: A model comparison perspective. S.E. Maxwell and H.D. Delaney (1990). Books/Cole, Pacific Grove, CA. Os dados são reproduzidos a seguir e podem ser encontrados digitando help(estvar). cond subj deg0na deg4na deg8na deg0np deg4np deg8np A ausência de ruídos ambientais é codificada como NA e a presença como NP, subj indica o indivíduo e deg0, deg4 e deg8 os ângulos de inclinação do estímulo. Os dados podem ser visualizados na Figura 1. Vejamos alguns resultados descritivos. A média por columa pode ser calculada da seguinte maneira, lembrando que o resultados observados por linha devem ser dependentes e entre as linhas não, ou seja, é razovál supor independencia entre os indivíduos. > colmeans(reacttime) deg0na deg4na deg8na deg0np deg4np deg8np As matrizes de varianças e covarianças e a matriz de correlações são obtidas sa seguinte maneira. 1

2 > mlmfit = lm(reacttime) > estvar(mlmfit) cond cond deg0na deg4na deg8na deg0np deg4np deg8np deg0na deg4na deg8na deg0np deg4np deg8np e > cor(reacttime) deg0na deg4na deg8na deg0np deg4np deg8np deg0na deg4na deg8na deg0np deg4np deg8np Ausência de estímulo Presença de estímulo tempo de reação tempo de reação deg0na deg4na deg8na deg0np deg4np deg8np Figura 1: Comportamento dos indíduos segundo a presença ou asência de ruídos ambientais e o ângulo do estímulo. 1.1 Considerações teóricas O modelo geral é da forma Y N(ΞB, I Σ), onde Y é uma matriz N p e Σ a matriz p p de variancias e covarianças. As linhas de Y são independentes com a mesma matriz Σ. Ξ é a matriz de planejamento ou das variáveis explicativas de dimensão N k e B a matriz de parâmetros da regressão de dimensão k p. Isto é, temos o mesmo modelo linear para as p colunas de Y com parâmetros possivelmente diferentes. 2

3 Por exemplo, no objeto mlmfit temos guardados os resultados: > summary(mlmfit) Response deg0na : (Intercept) e-10 *** Residual standard error: on 9 degrees of freedom Response deg4na : (Intercept) e-08 *** Residual standard error: on 9 degrees of freedom Response deg8na : (Intercept) e-09 *** Residual standard error: on 9 degrees of freedom Response deg0np : (Intercept) e-08 *** Residual standard error: on 9 degrees of freedom Response deg4np : (Intercept) e-08 *** Residual standard error: on 9 degrees of freedom Response deg8np : (Intercept) e-09 *** Residual standard error: on 9 degrees of freedom 3

4 1.1.1 Diferentes testes de hipóteses 1. Teste de hipóteses acerca da simplificação da estrutura de média. O objetivo é saber se podemos escolher um modelo mais simpäo es para todas as variáveis estudadas e substituindo Ξ por uma submatriz dela. O teste assume a forma R = MS 1 resms eff, com distribuição aproximada F. Nesta espressão M S refere-se às somas de quadrados da análise de varianças. Se os modelos comparados são fornecem médias semelhantes, R deve ser a matriz identidade, porém para calcular a estatística de teste efetiva, fazse necessário reduzir R num escalar. Quatro formas de fazer isso têm sido proposta na literatura conduzindo a quatro formas diferentes de realizar o mesmo teste, conhecidas como λ de Wilks, traço de Pillai, traço de Hotelling-Lawley e raiz quadrado superior de Roy. No exemplo: > mlmfit0=update(mlmfit, ~0) > anova(mlmfit,mlmfit0,x=,test="pillai") Analysis of Variance Table Model 1: reacttime ~ 1 Model 2: reacttime ~ 1-1 Res.Df Df Gen.var. Pillai approx F num Df den Df Pr(>F) ** Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * ou variantes dele escolhendo test igual a Wilks, Hotelling-Lawley ou Roy. Observemos que estamos comparando um modelo no qual as médias são iguais a uma constante (média geral) com um modelo no qual as médias das variáveis deg0na, deg4na, deg8na, deg0np, deg4np e deg8np são diferentes. Rejeitamos a hipótese de igualdade de modelos, concluimos então que as médias das variáveis são diferentes. Outra forma de realizar o teste acima, porém assumindo esferidade da matriz de covarianças é da forma > anova(mlmfit1,mlmfit0,x=,test= Spherical ) Analysis of Variance Table Model 1: reacttime ~ 1 Model 2: reacttime ~ 1-1 Greenhouse-Geisser epsilon: Huynh-Feldt epsilon:

5 Res.Df Df Gen.var. F num Df den Df Pr(>F) G-G Pr H-F Pr e e e-11 Aqui, Greenhouse-Geisser epsilon e Huynh-Feldt epsilon são modificações do teste λ de Wilks para melhorar a aproximação à distribuição de referência desta estatística. 2. Verificar quando Σ é proporcional à alguma matriz conhecida, digamos Σ 0 (usualmente a matriz identidade). Este teste é conhecido como o teste Mauchly esférico. A idéia é comparar o determinante e o traço da matriz U = Σ 1 0 S, onde S é o estimador de Σ. Especificamente, a estatística de teste é W = det(u)/tr(u/p) p, se o valor desta estatística estiver perto de 1 significa que U está perto de ser a matriz identidade de dimensão p. A transformação f log W é aproximadamente uma variável aleatória χ 2 com p(p + 1)/2 1 graus de liberdade e f são os graus de liberdade da matriz de covarianças. No exemplo: > mauchly.test(mlmfit,x=) Mauchly s test of sphericity data: SSD matrix from lm(formula = reacttime ~ 1) W = , p-value = De acordo com este teste rejeitamos a esfericidade da matriz de covarianças e, portanto, dos testes anteriores somente é válido aquele obtido digitando >anova(mlmfit,mlmfit0,x=,test="pillai") 1.2 Exercícios Faça e interprete o seguinte exemplo. Qual a vantagem de utilizar MANOVA? ## Example on producing plastic film from Krzanowski (1998, p. 381) > tear <- c(6.5, 6.2, 5.8, 6.5, 6.5, 6.9, 7.2, 6.9, 6.1, 6.3, 6.7, 6.6, 7.2, 7.1, 6.8, 7.1, 7.0, 7.2, 7.5, 7.6) > gloss <- c(9.5, 9.9, 9.6, 9.6, 9.2, 9.1, 10.0, 9.9, 9.5, 9.4, 9.1, 9.3, 8.3, 8.4, 8.5, 9.2, 8.8, 9.7, 10.1, 9.2) > opacity <- c(4.4, 6.4, 3.0, 4.1, 0.8, 5.7, 2.0, 3.9, 1.9, 5.7, 2.8, 4.1, 3.8, 1.6, 3.4, 8.4, 5.2, 6.9, 2.7, 1.9) > Y <- cbind(tear, gloss, opacity) > rate <- factor(gl(2,10), labels=c("low", "High")) > additive <- factor(gl(2, 5, length=20), labels=c("low", "High")) > > fit <- manova(y ~ rate * additive) > summary.aov(fit) # univariate ANOVA tables > summary(fit, test="wilks") # ANOVA table of Wilks lambda > summary(fit) # same F statistics as single-df terms 5