Exame de Recurso de Métodos Estatísticos. Departamento de Matemática Universidade de Aveiro

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1 Exame de Recurso de Métodos Estatísticos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro Data: /7/6 Duração: 3 horas Nome: N.º: Curso: Regime: Declaro que desisto Classificação: As cotações deste exame encontram-se na seguinte tabela: a b c d a(i) a(ii) b a b c a b c d e f a b c d e Cotação,8,8,8,3,,8,6,8,8,3,8,5,8,6,8,5,5,5,8 Classif. Responda às questões utilizando o espaço reservado para o efeito. Tenha em atenção a clareza e apresentação das suas respostas. Num dado município em que a pluviosidade é baixa, pretende-se tirar o máximo proveito da pouca água existente. As situações que se descrevem a seguir, visam conhecer melhor a quantidade de água que se ganha, trata, perde e consome.. Foi pedido um levantamento relativo à pluviosidade do local. Concluíram que a quantidade de chuva que cai durante um ano na área do município, em litros/m, pode ser considerada uma variável aleatória com a seguinte f.d.p.: λe f ( x) = λx, x, x < com λ >. (a) Determine o valor da constante λ sabendo que a probabilidade de chover mais de 6 litros/m é igual a.3 λx (Note: a função distribuição é dada por F( x) = e, x ) (b) Em média, qual a quantidade de chuva que cai por ano nesta cidade? Com que desvio padrão? Indique os cálculos que efectuar. (Sugestão: identifique a distribuição.) Se não resolveu a alínea anterior considere =.. = =

2 (c) Utilizando a propriedade da perda de memória da exponencial determinou-se a probabilidade da quantidade de chuva ser superior litros/m dado que já choveu 5 llitros/m, P ( X > X > 5). Assinale a expressão correcta. P(X> X>5)=P(X>)P(X>5)/P(X>5)=P(X>) P(X> X>5)=P(X>)/P(X>5)=P(X>6) P(X> X>5)=P(X>)P(X>5)/P(X>)=P(X>5) P(X> X>5)=P(5<X<) (d) Assumindo que a quantidade de chuva que cai durante um ano não depende dos outros anos, qual a probabilidade de em 3 anos obter uma quantidade de água superior a litros/m (Sugestão: use o Teorema do limite central e caso não tenha resolvido (b) considere [ X ] Var[ X ] E = =5).. O reservatório para recolha das águas residuais deste pequeno município tem uma capacidade de 85 litros. Foram recolhidas de modo aleatório observações relativas ao volume diário de águas residuais (podendo exceder 85 litros). A amostra apresenta as seguintes características: Volume diário de águas residuais Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf, Extremes (=<75), 78. 9, 79., , 8., 8. 55, , , 8. 9, , 83. 9, , 84., , 85., 85., 86. Stem width:, Each leaf: case(s) Admita a normalidade dos dados. Volume diário de águas residuais Valid N (listwise) Descriptive Statistics N Mean Std. Deviation 85 (a) A estação de tratamento garante o escoamento das águas desde que o desvio padrão não seja superior a 75 litros. Ao nível de significância 5% e com base na amostra recolhida é de crer que não haja problemas no escoamento das águas residuais? Para responder à questão formularam-se as seguintes hipóteses:

3 H : σ = 75 vs H : σ > 75 (i) Realize o teste com base na região crítica. (ii) Calcule o p-value do teste. (b) Teste ao nível de significância 5% se há razões para acreditar que a proporção de dias em que o volume diário de águas excede 85 litros é inferior.5. 3

4 3. Recolheram-se aleatoriamente 5 observações relativas à pluviosidade diária e o respectivo valor previsto pelo serviço municipal de protecção civil. Alguns dos resultados obtidos a partir dos dados foram: Test Statistics b previsão em l/m^ de precipitação valor registado em l/m^ de precipitação a. Lilliefors Significance Correction Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig.,79 5,,736 5,,95 5,,83 5, Z Asymp. Sig. (-tailed) a. Based on positive ranks. valor registado em l/m^ de precipitação - previsão em l/m^ de precipitação -,354 a b. Wilcoxon Signed Ranks Test (a) As amostras relativas à pluviosidade e previsão são emparelhadas ou independentes? Justifique. (b) O que pode concluir com base nos resultados da tabela onde se apresentam os resultados de testes da normalidade. (c) Calcule o p-value assimptótico do teste de Wilcoxon, para a diferença de médias e conclua se existem diferenças significativas ao nível de significância 5%. (Sugestão: Z N(,) sob ) H 4. Pretende-se estudar o de água de um município de acordo com as temperaturas máximas diárias. Escolheram-se aleatoriamente indivíduos e separam-se em 4 grupos equilibrados e para cada grupo foi atribuído um dia escolhido aleatoriamente. Registaram-se as máximas diárias dos dias atribuídos aos grupos e no dia atribuído os indivíduos do grupo registaram a água por eles consumida. As máximas diárias atingidas nos dias escolhidos (aleatoriamente) foram,, e. 4

5 Test of Homogeneity of Variances Levene Statistic df df Sig., ,67 Index Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig., 5,77,97 5,4,94 5,*,98 5,6,99 5,*,96 5,9,87 5,*,975 5,36 *. This is a lower bound of the true significance. a. Lilliefors Significance Correction ANOVA Between Groups Within Groups Total Sum of Squares 3566,393 df , Mean Square F Sig., Descriptives Model Fixed Effects Random Effects 95% Confidence Interval for Mean Between- Component Variance Std. Deviation Std. Error Lower Bound Upper Bound,676, ,6 65,9536 7,375 4,364 85, Multiple Comparisons Dependent Variable: Tukey HSD (I) Index (J) Index Mean Difference 95% Confidence Interval (I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound -8,598 4,545-8,8497,53 -,3897 4,545, -3,796-9,6998-3,636 4,545, -43,35 -,947 8,598 4,545 -,53 8,8497 -,99 4,545,8 -,998 -,54-4,478 4,545, -35,67-3,789,3897 4,545, 9,6998 3,796,99 4,545,8,54,998 -,49 4,545,8 -,938 -,55 3,636 4,545,,947 43,35 4,478 4,545, 3,789 35,67,49 4,545,8,55,938 4,,, 8, 6, 4,,, Index Descriptives Total N Mean Std. Deviation Minimum Maximum 5 47,78 7,967,88 8, ,949,6738,5 6, ,78, ,74 4,84 5 8,47,45 4,6 7, 63,77 3,935 8,74 7, 5

6 (a) Complete os espaços a tracejado das tabelas. (b) Com base nas tabelas anteriores que achar conveniente, discuta se são válidos os pressupostos da ANOVA paramétrica. (c) Com base nas amostras e assumindo válidos os pressupostos da ANOVA paramétrica, utilize o método dos momentos para apresentar uma estimativa para o(s) parâmetro(s) da distribuição do volume de água consumida a. (d) Com base na tabela de ANOVA diga se os s são significativamente diferentes para diferentes máximas diárias (α =%). Justifique. (e) Com base nos resultados disponíveis na tabela resultante do método de Tuckey comparações múltiplas, indique ao nível de significância 5% quais os pares de médias significativamente diferentes. Justifique. (Note que os asteriscos foram retirados da tabela) (f) Comente a validade da análise de comparações múltiplas efectuada neste problema. 6

7 5. No sentido de estudar o total de água consumida por família mensalmente registou-se: O tempo semanal de duches e/ou banhos (em horas), O tempo semanal que a casa está habitada (em horas), O número de habitantes da casa, A área do jardim (em m ) de 6 individuos escolhidos aleatoriamente. Optou-se por ajustar um modelo de regressão linear, o qual permitiu obter os resultados seguintes: Model Summary b Model Adjusted Std. Error of R R Square R Square the Estimate,999 a,998,998,9869 a. Predictors: (Constant), área do jardim (x4), tempo semanal de banhos e/ou duches (x), número de habitantes da casa (x3), tempo semanal médio que a casa está habitada (x) b. Dependent Variable: total de água consumida (y) Model Regression Residual Total ANOVA b Sum of Squares df Mean Square F Sig. 37, ,45 697,663, a 53,49 55, ,96 59 a. Predictors: (Constant), área do jardim (x4), tempo semanal de banhos e/ou duches (x), número de habitantes da casa (x3), tempo semanal médio que a casa está habitada (x) b. Dependent Variable: total de água consumida (y) Model (Constant) tempo semanal de banhos e/ou duches (x) tempo semanal médio que a casa está habitada (x) número de habitantes da casa (x3) área do jardim (x4) Coefficients a Unstandardized Coefficients a. Dependent Variable: total de água consumida (y) Standardized Coefficients B Std. Error Beta t Sig.,9,938,98,9,36,4 3,699, -,67,4 -, -,589,8,,73,36,,9,,9, Histogram Scatterplot Dependent Variable: total de água consumida (y) Dependent Variable: total de água consumida (y) 4 Frequency Regression Standardized Residual 3 Mean = -,3E-4 Std. Dev. =,966 N = 6 Regression Standardized Predicted Value , 8,,, total de água consumida (y) 4, 6, Dependent Variable: total de água consumida (y), Scatterplot Expected Cum Prob,8,6,4,,,,,4,6,8 Observed Cum Prob, Regression Standardized Residual Dependent Variable: total de água consumida (y) - Regression Standardized Predicted Value 4 7

8 Unstandardized Residual *. This is a lower bound of the true significance. a. Lilliefors Significance Correction Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig.,58 6,*,985 6,66 (a) Complete os espaços da tabela. (b) Identifique os coeficientes que não são significativamente diferentes de zero ao nível de significância 5%. Justifique. (c) Complete as seguintes frases e risque o que não interessa: Em média, estima-se que cada novo habitante de uma casa provoca um(a) acréscimo / diminuição de m 3 no mensal de água. Em média, se uma família pavimentar m m 3 no mensal de água. do seu jardim, irá ter um(a) acréscimo / diminuição de Em média, estima-se que cada hora semanal em que a casa está habitada provoca um(a) acréscimo / diminuição de m 3 no mensal de água. Esta variação é / não é significativa. O coeficiente ˆb é / não é significativo, porque o seu valor é próximo de zero / o p-value associado é próximo de (d). Averigúe, aos níveis usuais de significância, se existem evidências para concluir que o coeficiente associado ao tempo semanal de banhos e/ou duches (x) é negativo. (Indique o valor do p-value do teste unilateral.) (e) Com base nos gráficos e tabelas fornecidos (que achar conveniente) proceda à validação dos pressupostos do modelo de regressão. 8