Aplicação do modelo de Quase-Verossimilhança

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Izabel Daniela Franco Carvalho
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1 Aplicação do modelo de Quase-Verossimilhança Fábio Hideto Oki 1 1 Introdução O câncer é uma doença de proporção mundial, atingindo só no Brasil cerca de 350 mil pessoas por ano e é caracterizado pela mutação de algumas células. Todo nosso corpo é constituído por células, desde nossa pele até nosso sistema nervoso e eventualmente, algumas dessas células podem adoecer e começar a se multiplicar de forma rápida e desordenada atingindo estruturas em torno delas. Esse crescimento desordenado pode causar tumores dos tipos benigno e maligno, sendo o maligno o que alcança as consequências mais drásticas, caracterizado pela perda de identidade e função celular, podendo espalhar-se para outras partes do corpo, as chamadas metástases. Em particular, segundo o Instituto Nacional do Câncer, cerca de 20 mil pessoas morrem por câncer de traqueia, brônquios e pulmões (TBP) todo ano no Brasil, obtendo maior incidência em pessoas com idade superior aos 50 anos. Alguns fatores de risco devem ser levados em consideração quando falamos de câncer de TBP. Pessoas com determinadas características são mais propícias a desenvolver este tipo de câncer, entre elas pode-se citar: histórico familiar de câncer, tabagismo e alcoolismo. Uma simples forma de prevenção é manter hábitos saudáveis, como uma dieta rica em fibras, frutas e vegetais, pobre em gordura, e a prática de exercícios físicos regularmente. O câncer de traqueia, brônquios e pulmões (TBP) têm uma das mais altas taxas de óbitos no Brasil, sendo este o motivo para a modelagem do número de óbitos de câncer TBP para este trabalho. Aliando-se a isso temos a vasta aplicação dos modelos lineares generalizados e extensões na análise estatística. Mais especificamente será utilizado o modelo de quaseverossimilhança. 2 Material e métodos Dada a importância destes modelos em aplicações práticas, o objetivo deste trabalho é estudar a teoria para os modelos de quase-verossimilhança, no contexto de dados de contagem. Uma aplicação à dados reais dessa metodologia é mostrada neste trabalho. Considerando que o câncer de TBP é um dos tipos que apresenta altas taxas de mortalidade, o objetivo nesta aplicação foi estudar o risco de óbito TBP, em função das variáveis sexo e 1 Departamento de Estatística - IME/USP. fhoki@ime.usp.br 1

2 categoria de idade, buscando evidenciar características importantes para auxiliar autoridades de saúde na definição de medidas de prevenção. Os dados foram obtidos no Banco de Dados DATASUS, do Sistema Único de Saúde, por microrregião do Estado de São Paulo, subdivididos por sexo e em nove faixas etárias, como pode ser visto na Tabela 1. O período considerado foi de 1998 a Tabela 1: Número de mortes por câncer TBP no Estado de São Paulo, categorizados por grupo de idade e sexo, para o período de 1998 a Modelo Feminino Masculino Mortes População Mortes População até a a a a a a a ou mais Para a análise desses dados utilizou-se o modelo de quase-verossimilhança, relacionando o número de óbitos por faixa etária e as variáveis sexo e categoria de idade, a partir das análises descritivas preliminares. Mais especificamente, o modelo proposto foi Y i QV(µ i,σ 2 ) Var(Y i ) = σ 2 µ i, σ 2 > 0 log(µ i ) = log(n i ) + β 0 + β 1 x 1i + β 2 x2i 3 + β 3 x 1i x 2i + β 4 x 1i x2i 2 (1) em que Y i representa o número de óbitos, µ i a média, σ 2 o parâmetro de dispersão, n i o número de habitantes para a i-ésima classe de idade, β = (β 0 ;β 1 ;β 2 ;β 3 ;β 4 ) o vetor de parâmetros, x 1 a variável sexo (fem. 0, masc. 1) e x 2 as classes de idade (0 9,10 2,...,> 80), categorizadas por 1,2,...,N = 9. Claro que foram pensados outros modelos para esta aplicação porém, o modelo (1) foi que melhor se ajustou aos dados. 3 Resultados e discussões (1). Utilizando o software R [2], obtemos as estimativas de máxima verossimilhança do modelo 2

3 Tabela 2: Estimativas de máxima verossimilhança para os parâmetros do modelo (1) Efeitos Estimativas E. Padrão valor z Intercepto -17,995 0, x 1-2,045 0, x 2 1,796 0, x2 3-0,007 0, x 1 x 2 0,593 0, x 1 x2 3-0,003 0, σ A Tabela 2 mostra as estimativas que são todas significativas. Temos também o desvio D (y, ˆµ) = 173,5(12 graus de liberdade) e o Quasi-likelihood Information Criterion, ou somente QIC = , 7. Normal Q Q Plot Componente do Desvio Percentil da N(0,1) Figura 1: Gráfico normal de probabilidades referente ao modelo log-linear quase-verossimilhança ajustado. A Figura 1 mostra o envelope gerado, reforçando o bom ajuste do modelo. 3

4 Observado masculino Observado feminino Estimado masculino Estimado feminino Óbitos por 100 mil Faixa Etária Figura 2: Dados observados e valores esperados para modelo (1) ajustado. A Figura 2 mostra a como ficaram os ajustes em cada classe etária. Nota-se que as estimativas foram bem próximas dos dados observados. 4 Conclusões No decorrer da aplicação foi pensado na possibilidade de modelagem com outros tipos de preditores lineares, mas pela dificuldade na interpretação dos parâmetros não foi apresentada. A exploração de outros modelos se justifica no caso de preditor linear polinomial cúbico. Apesar do modelo (1), ainda necessitar ser melhor estudado, pode-se afirmar pelas análises feitas que o modelo se adequa bem aos dados. As razões de chances, calculadas considerando sexo masculino em relação ao feminino, para as categorias de idade 5, 6, 7, 8 e 9 são dadas, respectivamente, por 1,57; 2,21; 2,94; 3,27 e 2,68, indicando, por exemplo, que o risco de óbito no grupo dos homens aumenta aproximadamente 3 vezes na categoria 7 e em torno de 3.3 na categoria 8. Além disso, como mostra a Figura 2 o risco no grupo dos homens é sempre maior a partir da categoria 5. 4

5 Referências [1] PAULA, G. A. Modelos de regressão: com apoio computacional. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, São Paulo, [2] R Core Team. R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN Disponível em:

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