Lista 1 de Exercícios Estatística II-CE003

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1 Lista 1 de Exercícios Estatística II-CE003 1) Os dados abaixo mostram os primeiros, de um total 4 registros, de uma companhia seguradora. Cidade Motor Idade Segurados Sinistros 1 1 < > < As 5 colunas de registro referem-se a: Cidade: tipo das cidades de moradia do segurado (1 a 4) 1: cidade pequena; 2: cidade de porte médio; 3: cidade grande; 4: metrópole Motor: tipo do motor (1 a 4) 1: < 1 litro; 2: 1 1,5 litros; 3: 1,5 2 litros; 4: 2 litros Idade: faixa etária do motorista (< 25 anos; 25-2 anos; anos; > 35 anos) Segurados: número de segurados Sinistros: número de sinistros reclamados a) Classifique cada uma das 5 variáveis em: qualitativa (nominal ou ordinal) ou quantitativa (discreta ou contínua); Qual tipo de gráfico e quais medidas resumo são adequadas para descrever cada variável? b) Discuta sobre alguma outra variável de interesse que poderia ser obtida a partir de alguma operação matemática efetuada com duas variáveis originais; c) Formule uma questão de possível interesse envolvendo duas variáveis; diga que tipo de gráfico poderia ser utilizado para responder tal questão. 2) Uma pesquisa foi feita com pacientes com problemas vasculares em uma determinada clínica. Os dados obtidos são: Variável Paciente Cálculos disponíveis Glicemia (mg/dl) x i =32 Pressão (mmhg) x i =105 Sexo M M F M F F M F M N o de Internamentos x i =18 x 2 i =7218 x 2 i =530 x 2 i =48 a) Classifique cada uma das variáveis em: qualitativa (nominal ou ordinal) ou quantitativa (discreta ou contínua); b) Compare a variabilidade da variável Glicemia com a variável Pressão (use a medida de variabilidade mais adequada).; c) Calcule a média, mediana e moda da variável número de internamentos. O que se pode dizer sobre a simetria dessa variável?

2 3) Durante os anos 80, aproximadamente médicos com mais de 40 anos concordaram em participar de um estudo de longo prazo chamado Physicians Health Study. Uma questão investigada foi se a aspirina ajuda a diminuir a taxa de ataques cardíacos. Os médicos foram aleatoriamente designados para tomar aspirina ou tomar placebo. a) Identifique a variável de resposta e a variável explicativa; b) Explique por que o estudo é um experimento. 4) Existem outras variáveis explicativas, como o hábito de fumar dos médicos, que se espera estar associado à variável resposta do Exercício (3). A aleatorização deve ter equilibrado os grupos de tratamento quanto ao hábito de fumar. A Tabela 1 classifica de forma cruzada o grupo de tratamento por estado de tabagismo. Tabela 1 Distribuição de Hábito de Fumar por tratamento Fumante? Tratamento TOTAL nunca no passado atualmente aspirina (%) 5431 ( ) 4373 ( ) 13 ( ) ( ) placebo (%) 5488 ( ) 4301 ( ) 25 ( ) ( ) TOTAL 101 ( ) 874 ( ) 2438 ( ) ( ) a) Calcule as porcentagens adequadas para cada tratamento, a fim de responder o item (ii); b) Você acha que o processo de aleatorização fez um bom trabalho em alcançar grupos de tratamento equilibrados em termos desse potencial efeito da variável tabagismo? Explique. 5) Os dados a seguir são de coletas de água da Lagoa da Conceição em Florianópolis. Foram observadas duas variáveis, X : a condutividade (mho) e Y : salinidade (g l) da água. a) As coletas de água são mais semelhantes entre si com relação a condutividade ou a salinidade? b) Construa um gráfico adequado para representar os dados e discuta se existe alguma relação entre estas duas variáveis. Condutividade (X) Salinidade (Y) 1,2 3,85 11,78 2,2 14,11 2,0 1,10 2,8 3,52,1 51,4 11,40 Cálculos disponíveis: x i =14,8 y i =32,07 x i 2 =475,718 y i 2 =254,837

3 ) Um estudo sobre as mudanças de radioatividade, conforme a exposição ao ar, tem interesse em analisar diferenças entre a radioatividade de porções desgastadas e frescas de duas fases de cor do granito: vermelha e verde. Foi medido a radioatividade de amostras recolhidas de uma pedreira, por meio da contagem b-g. A Tabela 2 apresenta a radioatividade de 4 grupos de granito, segundo a exposição e a cor. Com relação a radioatividade média e seu desvio padrão, parece que os grupos são diferentes? Tabela 2 - Radioatividade (contagem b-g) de 4 grupos de granito, segundo a exposição e a cor Fase verde Fase vermelha Desgastada Fresca Desgastada Fresca Dados disponíveis: x i = x 2 i = x i =721 x 2 i = x i =1144 x 2 i = x i =118 x 2 i = ) Os gráficos de box-plot, na Figura 1, mostram os valores relatados pela ONU de emissões per capita de dióxido de carbono para nações da União Europeia e da América do Sul, em Compare as emissões de dióxido de carbono na Europa e na América do Sul, considerando as propriedades do gráfico. Figura 1 Box Plot de CO2 na Europa e na América do Sul

4 8) O nível de albumina no sangue, um indicador do estado nutricional, foi medido em um grupo de 0 pacientes. Dada a lista dos dados em g/dl, de forma ordenada, calcule: a) os quartis (Q 1, Q 2 e Q 3 ). O que você pode dizer sobre a simetria dos dados? b) o percentil de ordem 80 (P 80 ). Interprete P 80. 4,44 4,47 4,48 4,51 4,54 4,54 4,1 4,4 4, 4,8 4,8 4, 4,71 4,73 4,7 4,7 4,7 4,81 4,8 4,8 4,87 4,88 4,0 4,0 4,5 4,5 4, 4,7 4,8 4,8 4, 5,00 5,01 5,01 5,01 5,02 5,04 5,05 5,08 5,0 5,0 5,10 5,11 5,11 5,1 5,17 5,18 5,18 5,1 5,24 5,24 5,2 5,27 5,27 5,2 5,32 5,35 5,4 5,50 5,85 ) Seja a variável aleatória, X, a resposta de uma pessoa escolhida aleatoriamente para a pergunta: Qual é o número ideal de filhos para uma família ter? A distribuição de probabilidades de X nos Estados Unidos é aproximadamente como mostrado na Tabela 3, de acordo com o sexo da pessoa que respondeu a pergunta. Tabela 3 - Distribuição de probabilidades de X Possível valor Probabilidade Mulheres Homens 0 0,01 0,02 1 0,03 0,03 2 0,55 0,0 3 0,31 0,28 4 0,11 0,08 TOTAL (1) 1,00 1,00 (1) Note que as probabilidades não somam exatamente 1 devido a critérios de arredondamento. a) Calcule a resposta média para as mulheres e para os homens. Compare as duas médias; b) Você pode dizer que os homens teriam visões ligeiramente mais consistentes do que as mulheres sobre o tamanho ideal da família? Calcule medidas adequadas para responder esta questão. 10) Considere que a variável aleatória X tem função densidade de probabilidades f(x) = 3x 2 ; 1 x 0 a) Calcule P(X > 0,5); b) Calcule E(X) e Var(X). 11) Estimativas de mercado indicam que um novo produto para a análise de amostras de solo terá pleno sucesso, sucesso moderado ou insucesso com probabilidades iguais a: 0,3; 0, e 0,1; respectivamente. O retorno anual associado a venda do produto, em cada um destes cenários, é estimada em 10 milhões, 5 milhões e 1 milhão de dólares, respectivamente. a) Apresente a distribuição de probabilidades para o retorno anual do produto; b) Qual o retorno anual esperado, de acordo com as estimativas de mercado?

5 ) Suponha que o número de falhas abertas em decorrência de um terremoto de proporções menores possa ser aproximado por um processo de Poisson com média de 0,02 falha por metro quadrado. Inspecionando-se aleatoriamente áreas de 100 metros quadrados, determine a probabilidade de se encontrar menos de 2 falhas em uma dessas áreas. 13) Os telefones da central de reservas de uma companhia aérea estão ocupados 35% do tempo. Assuma que os eventos da linha estar ocupada em chamadas sucessivas são independentes e que 10 chamadas são efetuadas. a) Defina a variável aleatória e a sua distribuição de probabilidades para calcular a probabilidade solicitada nos próximos itens. b) Qual a probabilidade de que exatamente três chamadas estejam ocupadas? c) Qual a probabilidade de que pelo menos, duas chamadas não estejam ocupadas? d) Qual o número esperado de chamadas nas quais todas as linhas estão ocupadas? 14) Suponha que uma variável aleatória X tem função densidade de probabilidade, f(x) = e -(x-4) ; x > 4. a) Mostre que f(x) é uma função de densidade de probabilidade; E calcule: b) P[X > 10] c) P[4,2 X < 4,5] d) x tal que P[X < x] = 0,80 15) Suponha que em uma linha de produção, a probabilidade de se obter uma peça defeituosa é igual a 0,1. Uma amostra de 10 peças foi obtida aleatoriamente, para inspeção. a) Para responder aos próximos itens, defina a variável aleatória de interesse e identifique-a com alguma das principais distribuições de probabilidade; b) Qual a probabilidade de na inspeção encontrar 3 peças defeituosas? c) Qual a probabilidade de que, pelo menos, peças sejam perfeitas? d) Qual o número esperado de peças defeituosas? E o desvio padrão do número de peças defeituosas? 1) A probabilidade de um atirador acertar em um alvo é 0,8. a) Se o atirador dispara 5 vezes, qual a probabilidade de acertar no alvo pelo menos 3 vezes? b) Em 7 disparos, calcule: i) o número mais provável de disparos certeiros; ii) o número esperado de disparos certeiros. 17) Encontre as probabilidades indicadas: a) P(Z > 0,5) b) P(Z 1,02) c) P(0 < Z < 1) d) P( 1,33 < Z < 1,33) 18) Encontre o valor de z tal que: a) P(Z > z) = 0,11 b) P(Z < z) = 0,8051

6 1) A vida média de um teodolito é de 3 anos com desvio padrão de 0,1. Supondo que a vida útil dos teodolitos siga uma distribuição Normal, é razoável um prazo de garantia de 2,5 anos para este aparelho? 20) A resistência de um papel produzido por certo processo, segue uma distribuição de probabilidade normal, de média 35 lb/in 2 (libras por polegadas quadradas) e um desvio padrão de 2 lb/in 2. Considerando somente papéis produzidos por esse processo: a) Qual a probabilidade de selecionar, ao acaso, um papel com resistência menor que 40 lb/in 2? b) Qual é o valor da resistência, para o qual se espera que 75% de uma amostra aleatória de papéis tenha resistência inferior? c) Se a especificação do material requer resistência superior a 33 lb/in 2, qual a proporção de papéis que se espera descartar após inspeção? d) Qual deveria ser a resistência média para que a proporção calculada no item (c) fosse igual a 5%? 21) A quantidade de urânio de uma formação argilosa possui média igual a 5u.m. e desvio padrão igual a 7,5u.m. Sabendo-se que X (quantidade de urânio numa amostra aleatória dessa formação) é uma variável aleatória com distribuição Normal, ache a quantidade b tal que: a) P(X >b) = 0,211 b) P(X <b) = 0,750 22) O tempo de espera para cada cliente que entra na fila do caixa de uma loja, segue uma distribuição de probabilidade exponencial com taxa igual a 0,2 por minuto. Calcule: a) o tempo médio de espera e o desvio padrão do tempo de espera; b) a probabilidade de um cliente selecionado ao acaso, ficar até 20 minutos na fila; c) e a probabilidade dele ficar na fila mais tempo que a média.